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高級中學名校試卷PAGEPAGE1重慶市2024屆高三上學期9月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè),則,由得:,化簡得:,,解得:,.故選:D.2.已知集合,,則下列判斷正確的是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知,,所以,A選項正確;,B選項錯誤;,所以C、D選項錯誤.故選:A.3.四名同學各擲骰子5次,分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù),根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果、可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是()A.平均數(shù)為2,方差為3.1 B.中位數(shù)為3,方差為1.6C.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2 D.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2〖答案〗A〖解析〗對于A,若平均數(shù)為2,出現(xiàn)點數(shù)6,可得方差,故平均數(shù)為2,方差為3.1,一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6,故A正確.對于B,當投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3,3,3,5,6時,滿足中位數(shù)為3,方差為:,此時出現(xiàn)點數(shù)為6,故B錯誤;對于C,當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2,2,3,4,6時,滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為2,可以出現(xiàn)點數(shù)6,故C錯誤;對于D,當投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1,1,2,5,6時,滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為2,可以出現(xiàn)點數(shù)6,故D錯誤.故選:A4.函數(shù),的零點個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗當時,由.若,可得、;若,可得、.綜上所述,函數(shù)在上的零點個數(shù)為4.故選:C.5.已知A,B是圓C:上的兩個動點,且,若,則點P到直線AB距離的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.7〖答案〗D〖解析〗由題意可知:圓C:的圓心,半徑,則,設(shè)P、C到直線AB的距離分別為,因為,解得,分別過P、C作,垂足分別為,再過C作,垂足為,顯然當P、C位于直線AB的同側(cè)時,點P到直線AB的距離較大,則,當且僅當,即直線AB與直線PC垂直時,等號成立,所以點P到直線AB距離的最大值為7.故選:D.6.若函數(shù)在區(qū)間上有零點,則的最小值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意,函數(shù),設(shè)為函數(shù)在上的零點,則,即,即點在直線上,又表示點到原點的距離的平方,則,即,令,則,因為,所以,在單調(diào)遞增.所以最小值為.故選:A.7.若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解,即(,取為銳角)在內(nèi)有兩個不同的解,即方程在內(nèi)有兩個不同的解.不妨令,由,則,所以,所以.則,即,所以.故選:D.8.已知數(shù)列滿足:,對于任意實數(shù),集合的元素個數(shù)是()A.個 B.非零有限個C.無窮多個 D.不確定,與的取值有關(guān)〖答案〗C〖解析〗當時,根據(jù)題意,則,則集合的元素有無數(shù)個;當時,則,根據(jù)題意,則,則集合的元素有無數(shù)個;當且時,,若,則;若,則;若,則;若,則.而,則時,數(shù)列遞減且無下限(※);時,數(shù)列遞增且無上限(*).(1)若,則,根據(jù)(※)可知,在求解的迭代過程中,終有一項會首次小于,不妨設(shè)為;(2)若,則;①若,則,接下來進入(2)或(3);②若,接下來進入(3);(3)若,則,接下來進入(1)或(4);(4)若,則,接下來進入(2)或(3).若,則進入(4).若,則進入②.若,則進入①.如此會無限循環(huán)下去,會出現(xiàn)無限個負數(shù)項.綜上:集合元素個數(shù)為無數(shù)個.故選:C.二、多項選擇題9.在四面體ABCD中,,,E,F(xiàn),G分別是棱BC,AC,AD上的動點,且滿足AB,CD均與面EFG平行,則()A.直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B.四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1C.的面積的最大值為D.四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A,取AB的中點Q,CD的中點M,連接,由于,故,而平面,故平面,又平面,故平面平面,則即為直線AB與平面ACD所成角,又,而,故,則,故,A正確;對于B,設(shè)平面與棱BD的交點為P,因為平面,且平面,平面平面,故,且由題意知,否則重合,不合題意,故四邊形為梯形,同理四邊形為梯形,所以,由于,故,又因為,同理可證,則;同理證明,則四邊形為平行四邊形,故四邊形的周長為2,即四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值2,B錯誤;對于C,因為平面,平面,故;而,同理可證,故,結(jié)合,故,當且僅當時等號成立,即的面積的最大值為,C正確;對于D,由以上分析知,故,而平面,,故,而,設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為r,則,即,故四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為,D正確,故選:ACD.10.已知圓M:,圓N:,則下列選項正確的是()A.直線MN的方程為B.若P?Q兩點分別是圓M和圓N上的動點,則的最大值為5C.圓M和圓N的一條公切線長為D.經(jīng)過點M?N兩點的所有圓中面積最小的圓的面積為〖答案〗AD〖解析〗由題意可知:圓M:的圓心,半徑,圓N:,的圓心,半徑,對于選項A:直線MN的方程為,即,故A正確;對于選項B:因,所以的最大值為,故B錯誤;對于選項C:因為,可知圓M與圓N外切,如圖,直線為兩圓的公切線,為切點坐標,過A作,交NB于,則為平行四邊形,可得,所以公切線長為,故C錯誤;對于選項D:當為直徑的圓時,經(jīng)過點M?N兩點的所有圓中面積最小,此時圓的面積為,故D正確;故選:AD.11.已知函數(shù),則下列選項正確的是()A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,C.若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是D.若關(guān)于x的方程有6個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗由題意,當時,,可得,所以當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減,且,所以,當時,可得,可得在上單調(diào)遞減,且,作出函數(shù)的圖象,如圖所示,由此可得函數(shù)的值域為,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以A錯誤,B正確;由方程,解得或,要使得方程有3個不相等的實數(shù)根,因,有兩個實數(shù)根,則只有一個實數(shù)根,即和的圖象有一個公共點,結(jié)合圖象,可得或,所以C錯誤;由方程,即,可得或,由,可得,可得或,要使得方程有6個不相等的實數(shù)根,則有4個實數(shù)根,即與的圖象有4個交點,作出函數(shù)的圖象,如圖所示,結(jié)合圖象,可得,所以D正確.故選:BD.12.歷史上著名的伯努利錯排問題指的是:一個人有封不同的信,投入n個對應(yīng)的不同的信箱,他把每封信都投錯了信箱,投錯的方法數(shù)為.例如兩封信都投錯有種方法,三封信都投錯有種方法,通過推理可得:.高等數(shù)學給出了泰勒公式:,則下列說法正確的是()A. B.為等比數(shù)列C. D.信封均被投錯的概率大于〖答案〗ABC〖解析〗選項A,令4封信分別為,當在第2個信箱時,共3種錯排方式:第1種信箱1234信第2種信箱1234信第3種信箱1234信同理可得在第3和4個信箱時,也分別有3種錯排方式,所以共種方法,故A選項正確;選項B,,∴,又,則,故B選項正確;選項C,,兩邊同除以得,∴,,故C選項正確;選項D,裝錯信封的概率為,∵,則,即當n為奇數(shù)時,;當n為偶數(shù)時,;綜上,當n為奇數(shù)時;當n為偶數(shù)時,故D項錯誤.故選:ABC.三、填空題13.若,,則在上的投影向量的坐標為______.〖答案〗〖解析〗,,,且,則與方向相同的單位向量為,設(shè)與的夾角為,則在上的投影向量為.故〖答案〗為:.14.已知正四棱柱的每個頂點都在球的球面上,若球的表面積為,則該四棱柱的側(cè)面積的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè),則正四棱柱的體對角線長為,所以正四棱柱外接球的半徑為,因為球的表面積為,所以,化簡得,所以,當且僅當,即時取等號,所以,當且僅當,即時取等號,所以該四棱柱的側(cè)面積為,當且僅當,即時取等號,所以該四棱柱的側(cè)面積的最大值為,故〖答案〗為:15.已知函數(shù),則使不等式成立的的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)定義域為R,顯然有,即函數(shù)是偶函數(shù),當時,,令,,,,因,則,即,,有,在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,因此,在上單調(diào)遞增,于是得,解得或,所以不等式成立的x的取值范圍是.故〖答案〗為:.16.2023年1月底,由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司發(fā)布的名為“”的人工智能聊天程序進入中國,迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法,它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學習率模型為,其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率,表示初始學習率,表示衰減系數(shù),表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為,衰減速度為18,且當訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時,學習率衰減為,則學習率衰減到以下(不含)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為______.(參考數(shù)據(jù):)〖答案〗74〖解析〗根據(jù)題意可得,該指數(shù)衰減的學習模型為,當時,代入得,,解得,由學習率衰減到以下(不含),可得,即,所以,因為,所以,則取.故〖答案〗為:.四、解答題17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列為等差數(shù)列,且公差,.(1)求數(shù)列的通項公式以及前項和;(2)數(shù)列的前項和為,求證:.(1)解:設(shè)的公比為,由題意,可得,解得,所以,所以;(2)證明:由(1)得,所以,所以,因為,所以,得證.18.已知,,其中,為銳角.(1)求的值;(2)求的值.解:(1)由題意知所以.(2)由題意知且為銳角,所以,所以,所以,所以,因為為銳角,所以且,所以,則,故.19.紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一,能對柚子樹造成嚴重傷害,每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y(個)和平均溫度x(℃)有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù),得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(1)根據(jù)散點圖判斷,與(其中…為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y(個)關(guān)于平均溫度x(℃)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)由(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程.(計算結(jié)果精確到0.1)附:回歸方程中,,參考數(shù)據(jù)()5215177137142781.33.6(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計,得到以下數(shù)據(jù):平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%,對柚子產(chǎn)量影響不大,不需要采取防蟲措施;平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%,柚子產(chǎn)量會下降20%;平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%,柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害,農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價格不變,無蟲害的情況下,某果園年產(chǎn)值為200萬元,根據(jù)以上數(shù)據(jù),以得到最高收益(收益=產(chǎn)值-防害費用)為目標,請為果農(nóng)從以下幾個方案中推薦最佳防害方案,并說明理由.方案1:選擇防害措施A,可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn),費用是18萬;方案2:選擇防害措施B,可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害,但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害,費用是10萬;方案3:不采取防蟲害措施.解:(1)由散點圖可以判斷,更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.(2)將兩邊同時取自然對數(shù),可得,由題中的數(shù)據(jù)可得,,,所以,則,所以z關(guān)于x的線性回歸方程為,故y關(guān)于x的回歸方程為;(3)用,和分別表示選擇三種方案的收益.采用第1種方案,無論氣溫如何,產(chǎn)值不受影響,收益為萬,即采用第2種方案,不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害,收益為萬,如果發(fā)生,則收益為萬,即,同樣,采用第3種方案,有所以,,,.顯然,最大,所以選擇方案1最佳.20.如圖,四棱錐的底面為直角梯形,平面平面,,,,,.(1)若三棱錐的外接球的球心恰為中點,求與平面所成角的正弦值;(2)求四棱錐體積的最大值.解:(1)如下圖,若為中點,則,即,所以,即,由,,,面,則面,由面,則,又面,則面,面,則,因為,,設(shè),易知,,,,所以,故,,,在中,由等面積法可知到的距離為,由上知面,即面面,又面面,所以到的距離即到面的距離,因為,所以到面的距離為,由,而,,若到面的距離為,所以,所以與平面所成角的正弦值為.(2)由,面面,構(gòu)建如上圖示的空間直角坐標系,則,令,根據(jù),則,整理得,所以,故點軌跡是在面上以為圓心,為半徑的圓上,要使四棱錐體積的最大,即到面的距離最大,綜上,到面的最大距離為,又,所以最大體積為.21.已知點到定點的距離和它到直線:的距離的比是常數(shù).(1)求點的軌跡的方程;(2)若直線:與圓相切,切點在第四象限,直線與曲線交于,兩點,求證:的周長為定值.(1)解:設(shè),由條件可知:,等號的兩邊平方,整理后得:;(2)證明:由(1)的結(jié)論知:曲線C是方程為的橢圓,設(shè),依題意有:,則,所以直線l的方程為:,聯(lián)立方程:,得:,設(shè),則,,,由條件可知:,,的周長,即定值為10;綜上,曲線C的方向為,的周長.22.已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)設(shè),證明:當時,函數(shù)有三個零點.(1)解:根據(jù)題意得,,,當時,,在上單調(diào)遞增;當時,,得;令,得,故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)證明:當時,,則,所以當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增,故的最小值為,又,;,,故.,設(shè),,則,,則,由,得.因此,當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增.由于,故,又,由零點存在定理,存在,使得,所以有兩個零點和,即方程有兩個根和.的圖象如下,當時,因為,故方程有一個根;當時,其中,因為,故由圖角可知,有兩個不同的根,,且.綜上,當時,函數(shù)有三個零點.重慶市2024屆高三上學期9月月度質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè),則,由得:,化簡得:,,解得:,.故選:D.2.已知集合,,則下列判斷正確的是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知,,所以,A選項正確;,B選項錯誤;,所以C、D選項錯誤.故選:A.3.四名同學各擲骰子5次,分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù),根據(jù)四名同學的統(tǒng)計結(jié)果、可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是()A.平均數(shù)為2,方差為3.1 B.中位數(shù)為3,方差為1.6C.中位數(shù)為3,眾數(shù)為2 D.平均數(shù)為3,中位數(shù)為2〖答案〗A〖解析〗對于A,若平均數(shù)為2,出現(xiàn)點數(shù)6,可得方差,故平均數(shù)為2,方差為3.1,一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6,故A正確.對于B,當投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為3,3,3,5,6時,滿足中位數(shù)為3,方差為:,此時出現(xiàn)點數(shù)為6,故B錯誤;對于C,當投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2,2,3,4,6時,滿足中位數(shù)為3,眾數(shù)為2,可以出現(xiàn)點數(shù)6,故C錯誤;對于D,當投擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1,1,2,5,6時,滿足平均數(shù)為3,中位數(shù)為2,可以出現(xiàn)點數(shù)6,故D錯誤.故選:A4.函數(shù),的零點個數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗當時,由.若,可得、;若,可得、.綜上所述,函數(shù)在上的零點個數(shù)為4.故選:C.5.已知A,B是圓C:上的兩個動點,且,若,則點P到直線AB距離的最大值為()A.2 B.3 C.4 D.7〖答案〗D〖解析〗由題意可知:圓C:的圓心,半徑,則,設(shè)P、C到直線AB的距離分別為,因為,解得,分別過P、C作,垂足分別為,再過C作,垂足為,顯然當P、C位于直線AB的同側(cè)時,點P到直線AB的距離較大,則,當且僅當,即直線AB與直線PC垂直時,等號成立,所以點P到直線AB距離的最大值為7.故選:D.6.若函數(shù)在區(qū)間上有零點,則的最小值為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意,函數(shù),設(shè)為函數(shù)在上的零點,則,即,即點在直線上,又表示點到原點的距離的平方,則,即,令,則,因為,所以,在單調(diào)遞增.所以最小值為.故選:A.7.若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解,則的值為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解,即(,取為銳角)在內(nèi)有兩個不同的解,即方程在內(nèi)有兩個不同的解.不妨令,由,則,所以,所以.則,即,所以.故選:D.8.已知數(shù)列滿足:,對于任意實數(shù),集合的元素個數(shù)是()A.個 B.非零有限個C.無窮多個 D.不確定,與的取值有關(guān)〖答案〗C〖解析〗當時,根據(jù)題意,則,則集合的元素有無數(shù)個;當時,則,根據(jù)題意,則,則集合的元素有無數(shù)個;當且時,,若,則;若,則;若,則;若,則.而,則時,數(shù)列遞減且無下限(※);時,數(shù)列遞增且無上限(*).(1)若,則,根據(jù)(※)可知,在求解的迭代過程中,終有一項會首次小于,不妨設(shè)為;(2)若,則;①若,則,接下來進入(2)或(3);②若,接下來進入(3);(3)若,則,接下來進入(1)或(4);(4)若,則,接下來進入(2)或(3).若,則進入(4).若,則進入②.若,則進入①.如此會無限循環(huán)下去,會出現(xiàn)無限個負數(shù)項.綜上:集合元素個數(shù)為無數(shù)個.故選:C.二、多項選擇題9.在四面體ABCD中,,,E,F(xiàn),G分別是棱BC,AC,AD上的動點,且滿足AB,CD均與面EFG平行,則()A.直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B.四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值1C.的面積的最大值為D.四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A,取AB的中點Q,CD的中點M,連接,由于,故,而平面,故平面,又平面,故平面平面,則即為直線AB與平面ACD所成角,又,而,故,則,故,A正確;對于B,設(shè)平面與棱BD的交點為P,因為平面,且平面,平面平面,故,且由題意知,否則重合,不合題意,故四邊形為梯形,同理四邊形為梯形,所以,由于,故,又因為,同理可證,則;同理證明,則四邊形為平行四邊形,故四邊形的周長為2,即四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長為定值2,B錯誤;對于C,因為平面,平面,故;而,同理可證,故,結(jié)合,故,當且僅當時等號成立,即的面積的最大值為,C正確;對于D,由以上分析知,故,而平面,,故,而,設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑為r,則,即,故四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為,D正確,故選:ACD.10.已知圓M:,圓N:,則下列選項正確的是()A.直線MN的方程為B.若P?Q兩點分別是圓M和圓N上的動點,則的最大值為5C.圓M和圓N的一條公切線長為D.經(jīng)過點M?N兩點的所有圓中面積最小的圓的面積為〖答案〗AD〖解析〗由題意可知:圓M:的圓心,半徑,圓N:,的圓心,半徑,對于選項A:直線MN的方程為,即,故A正確;對于選項B:因,所以的最大值為,故B錯誤;對于選項C:因為,可知圓M與圓N外切,如圖,直線為兩圓的公切線,為切點坐標,過A作,交NB于,則為平行四邊形,可得,所以公切線長為,故C錯誤;對于選項D:當為直徑的圓時,經(jīng)過點M?N兩點的所有圓中面積最小,此時圓的面積為,故D正確;故選:AD.11.已知函數(shù),則下列選項正確的是()A.函數(shù)的值域為B.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,C.若關(guān)于x的方程有3個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是D.若關(guān)于x的方程有6個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗由題意,當時,,可得,所以當時,,單調(diào)遞增;當時,,單調(diào)遞減,且,所以,當時,可得,可得在上單調(diào)遞減,且,作出函數(shù)的圖象,如圖所示,由此可得函數(shù)的值域為,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以A錯誤,B正確;由方程,解得或,要使得方程有3個不相等的實數(shù)根,因,有兩個實數(shù)根,則只有一個實數(shù)根,即和的圖象有一個公共點,結(jié)合圖象,可得或,所以C錯誤;由方程,即,可得或,由,可得,可得或,要使得方程有6個不相等的實數(shù)根,則有4個實數(shù)根,即與的圖象有4個交點,作出函數(shù)的圖象,如圖所示,結(jié)合圖象,可得,所以D正確.故選:BD.12.歷史上著名的伯努利錯排問題指的是:一個人有封不同的信,投入n個對應(yīng)的不同的信箱,他把每封信都投錯了信箱,投錯的方法數(shù)為.例如兩封信都投錯有種方法,三封信都投錯有種方法,通過推理可得:.高等數(shù)學給出了泰勒公式:,則下列說法正確的是()A. B.為等比數(shù)列C. D.信封均被投錯的概率大于〖答案〗ABC〖解析〗選項A,令4封信分別為,當在第2個信箱時,共3種錯排方式:第1種信箱1234信第2種信箱1234信第3種信箱1234信同理可得在第3和4個信箱時,也分別有3種錯排方式,所以共種方法,故A選項正確;選項B,,∴,又,則,故B選項正確;選項C,,兩邊同除以得,∴,,故C選項正確;選項D,裝錯信封的概率為,∵,則,即當n為奇數(shù)時,;當n為偶數(shù)時,;綜上,當n為奇數(shù)時;當n為偶數(shù)時,故D項錯誤.故選:ABC.三、填空題13.若,,則在上的投影向量的坐標為______.〖答案〗〖解析〗,,,且,則與方向相同的單位向量為,設(shè)與的夾角為,則在上的投影向量為.故〖答案〗為:.14.已知正四棱柱的每個頂點都在球的球面上,若球的表面積為,則該四棱柱的側(cè)面積的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗設(shè),則正四棱柱的體對角線長為,所以正四棱柱外接球的半徑為,因為球的表面積為,所以,化簡得,所以,當且僅當,即時取等號,所以,當且僅當,即時取等號,所以該四棱柱的側(cè)面積為,當且僅當,即時取等號,所以該四棱柱的側(cè)面積的最大值為,故〖答案〗為:15.已知函數(shù),則使不等式成立的的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)定義域為R,顯然有,即函數(shù)是偶函數(shù),當時,,令,,,,因,則,即,,有,在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,因此,在上單調(diào)遞增,于是得,解得或,所以不等式成立的x的取值范圍是.故〖答案〗為:.16.2023年1月底,由馬斯克、彼得泰爾等人創(chuàng)立的人工智能研究公司發(fā)布的名為“”的人工智能聊天程序進入中國,迅速以其極高的智能化水平引起國內(nèi)關(guān)注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法,它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學習率模型為,其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率,表示初始學習率,表示衰減系數(shù),表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為,衰減速度為18,且當訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時,學習率衰減為,則學習率衰減到以下(不含)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為______.(參考數(shù)據(jù):)〖答案〗74〖解析〗根據(jù)題意可得,該指數(shù)衰減的學習模型為,當時,代入得,,解得,由學習率衰減到以下(不含),可得,即,所以,因為,所以,則取.故〖答案〗為:.四、解答題17.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列為等差數(shù)列,且公差,.(1)求數(shù)列的通項公式以及前項和;(2)數(shù)列的前項和為,求證:.(1)解:設(shè)的公比為,由題意,可得,解得,所以,所以;(2)證明:由(1)得,所以,所以,因為,所以,得證.18.已知,,其中,為銳角.(1)求的值;(2)求的值.解:(1)由題意知所以.(2)由題意知且為銳角,所以,所以,所以,所以,因為為銳角,所以且,所以,則,故.19.紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一,能對柚子樹造成嚴重傷害,每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y(個)和平均溫度x(℃)有關(guān),現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù),得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(1)根據(jù)散點圖判斷,與(其中…為自然對數(shù)的底數(shù))哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y(個)關(guān)于平均溫度x(℃)的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)由(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回歸方程.(計算結(jié)果精確到0.1)附:回歸方程中,,參考數(shù)據(jù)()5215177137142781.33.6(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計,得到以下數(shù)據(jù):平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%,對柚子產(chǎn)量影響不大,不需要采取防蟲措施;平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%,柚子產(chǎn)量會下降20%;平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%,柚子產(chǎn)量會下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害,農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價格不變,無蟲害的情況下,某果園年產(chǎn)值為200萬元,根據(jù)以上數(shù)據(jù),以得到最高收益(收益=產(chǎn)值-防害費用)為目標,請為果農(nóng)從以下幾個方案中推薦最佳防害方案,并說明理由.方案1:選擇防害措施A,可以防止各種
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