安徽省淮北市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次階段考試試題含解析

Page16一、單選題1.集合的非空真子集共有（）個A.6 B.7 C.8 D.9【答案】A【解析】【分析】先化簡A合，再求解即可.【詳解】，所以所求非空真子集共有個.故選：A.2.當(dāng)時，若，且，則稱為的一個“孤立元素”，由的全部孤立元素組成的集合稱為的“孤星集”，若集合的孤星集為，集合的孤星集為，則()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)“孤星集”定義，求集合和，即可求交集.【詳解】由題知，由條件及孤星集的定義知，集合中的元素，，，所以0不是“孤立元素”，，，，所以1不是“孤立元素”，，，，所以3是“孤立元素”，則，，，，所以0是“孤立元素”，，，，所以3不是“孤立元素”，，，，所以4不是“孤立元素”，則，則．故選：B3.已知當(dāng)時，不等式：恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由得，由基本不等式得，故.【詳解】當(dāng)時，由得，因，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，因當(dāng)時，恒成立，得，故選：C4.若定義在R的奇函數(shù)，若時，則滿意的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出時，、和的解，再由奇函數(shù)性質(zhì)得出時，、和的解，然后分類探討解不等式可得．【詳解】當(dāng)時，，時，，時，，，又是奇函數(shù)，所以時，，時，，且，不等式或或，所以或，綜上．故選：D．5.已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由解析式及的單調(diào)性，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由為遞減函數(shù)，且在上的單調(diào)函數(shù)，所以單調(diào)遞減，則.故選：D6.函數(shù)的最大值為（）A.8 B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，由換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，即，所以，因?yàn)椋援?dāng)時，函數(shù)取得最大值為.故選：A7.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，且對隨意都有，若，則不等式的解為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由知，在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)，知其在在上單調(diào)遞減即可解.【詳解】對，滿意，等價于函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.則可化為，解得.故選：B.8.定義在R上函數(shù)滿意以下條件：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，②對隨意，當(dāng)時都有，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知條件推斷函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性比較函數(shù)值大?。驹斀狻俊吆瘮?shù)圖象關(guān)于對稱，且對隨意，當(dāng)時都有，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，∵，∴，∴．故選：B．二、多選題9.下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵ǎ〢.， B.C.， D.【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)推斷A、B、C，利用基本不等式計(jì)算D.【詳解】對于A：函數(shù)，在定義域上單調(diào)遞增，又，，所以，故A正確；對于B：由，所以，即，故B錯誤；對于C：函數(shù)，在定義域上單調(diào)遞增，又，，所以，故C正確；對于D：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，故D錯誤；故選：AC10.下列說法正確的是（）A.若冪函數(shù)過點(diǎn)，則B.函數(shù)表示冪函數(shù)C.若表示遞增的冪函數(shù)，則D.冪函數(shù)的圖像都過點(diǎn)，【答案】AC【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義、性質(zhì)，逐項(xiàng)分析推斷作答.【詳解】對于A，設(shè)，則，即，解得，，A正確；對于B，函數(shù)不是冪函數(shù)，B錯誤；對于C，是冪函數(shù)，則，解得或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時，是R上的增函數(shù)，符合題意，因此，C正確；對于D，冪函數(shù)不過點(diǎn)，D錯誤.故選：AC11.下列說法正確的是（）A.任何集合都是它自身的真子集B.集合共有4個子集C.集合D.集合【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，依據(jù)元素個數(shù)求出子集個數(shù)；C選項(xiàng)，兩個集合中的元素均為被3除余1的全部整數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，舉出，但，D錯誤.【詳解】對于A，空集不是它自身真子集，故A錯誤；對于B，因?yàn)榧现杏?個元素，所以有個子集，故B正確；對于C，因?yàn)閮蓚€集合中的元素均為被3除余1的全部整數(shù)，所以兩個集合相等，故C正確；對于D，因?yàn)椋?dāng)時，，所以，但，故兩個集合不相等，故D錯誤.故選：BC12.已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（）A.為奇函數(shù)B.對隨意的都有C.的值域是D.對隨意的都有【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)奇函數(shù)定義確定A正確，變換計(jì)算函數(shù)單調(diào)性得到B正確，取，無解得到C錯誤，舉反例得到D錯誤，得到答案.【詳解】對選項(xiàng)A：，，則，函數(shù)為奇函數(shù)，正確；對選項(xiàng)B：當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，正確；對選項(xiàng)C：取，得到，當(dāng)時，，方程無解，當(dāng)時，，不滿意，不正確；對選項(xiàng)D：取，，則，，故，錯誤；故選：AB.第Ⅱ卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第Ⅱ卷的文字說明三、填空題13.設(shè)函數(shù)，則___________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)的學(xué)問求得正確答案.【詳解】，.故答案為：14.________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】原式故答案為：15.若，且，則的最小值為______.【答案】8【解析】【分析】由可得，，再與相乘構(gòu)建積定式,繼而可用基本不等式求最小值.【詳解】可得，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）.故答案為：8.16.已知實(shí)數(shù)、滿意方程，當(dāng)時，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題述條件可將所求化為關(guān)于的函數(shù)，結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，不妨設(shè)，所以，因?yàn)椋?，所以的值域?yàn)?，即的取值范圍?故答案為：.四、解答題17.已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實(shí)數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意，在時恒成立，求在時的最大值即可；（2）分類探討解不等式，由題意，是的真子集，列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由題意得在時恒成立，令，對稱軸，結(jié)合圖像可知，取得最大值，則有，得，即.【小問2詳解】不等式，①當(dāng)，即時，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，有，此時；②當(dāng)，即時，解集，若是的充分不必要條件，則是的真子集，有，此時，綜上①②可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知二次函數(shù)，恒有.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件得出關(guān)于的方程，解出即可；（2）依據(jù)對稱軸與區(qū)間中點(diǎn)關(guān)系分類探討求解即可.【小問1詳解】由，得，則，所以且，解得，又，則，故．【小問2詳解】，對稱軸，當(dāng)，即時，時，，解得；當(dāng)，即時，，時，，不合題意；當(dāng)，即時，時，，解得（舍），綜上，．19.已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且.（1）確定函數(shù)的解析式并證明推斷在上的單調(diào)性；（2）解不等式.【答案】（1），函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件及奇函數(shù)的性質(zhì)，求出，，即可求出的解析式，再利用定義即可證明在上的單調(diào)性；（2）利用函數(shù)在上的奇偶性和單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的函數(shù)，且恒成立，所以，又，所以，得到，當(dāng)，時，，，所以，，滿意題意，故函數(shù)的解析式為，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下，任取，且，，因?yàn)?，且，所以，，，又易知，，所以，即，所以，函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上奇函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，由，得到，所以，即，解得，所以，原不等式的解集為.20.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對于隨意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)條件，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（2）由（1）得到，再求的值域，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，得到，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿意題意，故實(shí)數(shù)的值為.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時，，又的對稱軸為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，又的對稱軸為，所以當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，故不等式恒成立時，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍21.A地某校打算組織學(xué)生及學(xué)生家長到B地進(jìn)行社會實(shí)踐，為便于管理，全部人員必需乘坐在同一列火車上.依據(jù)報(bào)名人數(shù)，若都買一等座單程火車票需17010元，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則需11220元.已知學(xué)生家長與老師的人數(shù)之比為，從A到B的火車票價格（部分）如下表所示：運(yùn)行區(qū)間公布票價學(xué)生票上車站下車站一等座二等座二等座AB81（元）68（元）51（元）（1）參與社會實(shí)踐的老師、家長與學(xué)生各有多少人？（2）由于各種緣由，二等座火車票只能買x張（x小于參與社會實(shí)踐的人數(shù)），其余的需買一等座火車票，在保證每位參與人員都有座位的前提下，請你設(shè)計(jì)最經(jīng)濟(jì)的購票方案，并寫出購買火車票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（3）請你做一個預(yù)算，按第（2）小題中的購票方案，購買單程火車票至少要花多少錢？最多要花多少錢？【答案】（1）10人、20人與180人；（2）；（3）至少要花11233元，最多要花16980元.【解析】【分析】（1）設(shè)出老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長有2m人，列出方程組，求出結(jié)果；（2）分與兩種狀況進(jìn)行求解；（3）在其次問基礎(chǔ)上分別求出購買火車票的總費(fèi)用，比較后得到至少要花11233元，最多要花16980元.【小問1詳解】設(shè)參與社會實(shí)踐的老師有m人，學(xué)生有n人，則學(xué)生家長有2m人，若都買二等座單程火車票且花錢最少，則全體學(xué)生都需買二等座火車票，依題意得：，

解得，則.答：參與社會實(shí)踐的老師、家長與學(xué)生各有10人、20人與180人.【小問2詳解】由（1）知全部參與人員總共有210人，其中學(xué)生有180人，①當(dāng)時，最經(jīng)濟(jì)的購票方案為：學(xué)生都買學(xué)生票共180張，名成年人買二等座火車票，名成年人買一等座火車票.所以火車票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：，即.②當(dāng)時，最經(jīng)濟(jì)的購票方案為：一部分學(xué)生買學(xué)生票共x張，其余的學(xué)生與家長、老師一起購買一等座火車票共張.所以火車票的總費(fèi)用（單程）y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：，即.綜上：【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時，，由此可見，當(dāng)時，y的值最小，最小值為11233元，當(dāng)時，y的值最大，最大值為11610元.當(dāng)時，，由此可見，當(dāng)時，y的值最小，最小值為11640元，當(dāng)時，y的值最大，最大值為16980元.所以按（2）小題中的購票方案，購買單程火車票至少要花11233元，最多要花16980元.22.定義在上的函數(shù)滿意對隨意的x，，都有，且當(dāng)時，．（1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）求證：在上是減函數(shù)；（3）若，對隨意，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）.【解析】【分析】（1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明