高中數(shù)學(xué)集合測(cè)試題(附答案和解析)

高中數(shù)學(xué)集合測(cè)試題（附答案和解析）

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=x-log2x,xeA},則AB=()

A.{1,2}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{1,3,4}

2.已知集合月;卜4二五71},B={0,1,2,3},則AB=()

A.{3}B.{2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

3.已知集合A={1,2,3},8={y|y=2x-l,xeA},則AB=()

A.{1,2}B.{1,2,3}

C.{1,3}D.{1,2,3,5}

4.己知集合A={x|x2-8x+12<。},B={xeZ|l<x<4},則AB=()

A.{1,2}B.{2,4}C.{3}D.0

5.已知集合A={xeN|14x45},8={x|0<x<5},則AB=()

A.{2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|l<x<5}D.{x|l<x<5j

6.已知R為實(shí)數(shù)集，集合A=Wk2-3x-44o},8={Hy=[n(x-i)},則()

A.{x|l<x<4}B.{x|-l<x<l)C.D.{x|x<4j

7.已知集合4=卜—一2彳一3<0},8=卜忖41},則4(AcB)=()

A.(-ao,-l]u[l,+ao)B.(^o,-l]<J(l,-K?)

C.(—1,1]D.[-1,1)

8.已知集合A={x|x>2},B={x|x(x-l)>。}，則AuB=()

A.(-8,o)B.(^?,0)u(l,+oo)

C.(-<o,0)U(2,+a))D.(2,+°0)

9.設(shè)集合A={x|y=ln(x-2)},B=1x|l<x<3),則AuB=()

A.(2,3]B.[1,+<?)

C.(2,+oo)D.(-oo,3]

10.己知集合A={x|—1<X<2},8={-2,-1,0,2,4},則低A)cB=()

A.0B.{-1,2}C.{-2,4}D.{-2,—1,4}

11.己知函數(shù)f(力=10氏X，g(x)=a-2x,若存在苔,w使得f&)=g(蒼),則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是()

A.(Y,2)U(5,+O))B.(-OO,2]U[5,+OO)

C.(2,5)D.[2,5]

12.已知集合/={(工,刈>=》},N={(x,y)*+y2=[},MCN=4,則A中元素個(gè)數(shù)為

)個(gè).

A.1B.2C.3D.4

13.設(shè)全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,4},8={2,3},則(“4)cb=()

A.{2}B.{2,3}C.{0,3}D.{3}

14.集合A=,xeN±.1},B=|xeN|log2(x+l)<l|,ScA,Sc8x0,則集合S的個(gè)

數(shù)為()

A.0B.2C.4D.8

15.設(shè)集合4=卜,2-X-640},B={x\lx+a<6\,且AcB={H-2〈x41},貝心=

()

A.-4B.-2C.2D.4

二、填空題

16.如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，A8是一條側(cè)棱，1(i=l,2,、8)是

上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，x,=ABAE(i=l，2,L,8)則用集合列舉法表示占組成的集合

17.如圖，用集合符號(hào)表述下列點(diǎn)、直線與平面之間的關(guān)系.

(1)點(diǎn)C與平面尸：；

(2)點(diǎn)A與平面a：；

(3)直線AB與平面a：；

(4)直線CD與平面a：.

18.若集合4={1,2,3,4},3={幻24》43},則4B=.

19.已知集合A={1,2,3,4,},B={l,4,7,10,L},下有命題：

①={2,3,5,6,8,9,L}；

②若f表示對(duì)二個(gè)數(shù)乘以3減去2的運(yùn)算，則對(duì)應(yīng)f:A->8表示一個(gè)函數(shù);

③A、8兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)相等；

④V”eA,2">n2.

其中真命題序號(hào)是.

20.已知A={*Mx4a+3},&={x|-l<x<5),A8=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

21.集合A={(x,y)|y=a|x|},8={(x,y)|y=x+"},C=AB,且集合C為單元素集合，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

22.已知國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù).例如[2.1]=2,[-1.3]=-2,⑼=0,若

A={y[y=x-[x]},B={y\0<y<m],A是yeB的充分不必要條件，則m的取值范圍

是.

23.已知集合4={1,2,3},則滿足Au8=A的非空集合B有個(gè).

24.已知集合4={-1,0,1},B={X|X2-2X=0},則4口8=.

25.寫出集合{-11}的所有子集.

三、解答題

26.(1)已知全集。={*1-5"410,工仁2},集合M={x|0VxV7,xeZ},

N={x|-2Wx<4,xeZ},求@N)M(分別用描述法和列舉法表示結(jié)果)；

(2)已知全集1/=4=8={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若集合A={2,46,8},求集合8;

(3)已知集合P={x|加+2奴+l=0,aeR,xeR},當(dāng)集合戶只有一個(gè)元素時(shí)，求實(shí)數(shù)。的

值，并求出這個(gè)元素.

〃sin2x+2

27.函數(shù)f(x)=

6/(sinx+cosx)-l

⑴若a=l,xe-y,ol求函數(shù)f(x)的值域;

⑵當(dāng)xe-y,0,且/(x)有意義時(shí)，

①若。"小=求正數(shù)0的取值范圍;

②當(dāng)1<“<2時(shí)，求的最小值N.

「心》人4f12x+l1

28.已知集合A=,B={x|(x-l)(2x+m)<0}.

(1)當(dāng)加=1時(shí)，求AB；

⑵已知〃是〃的必要條件，求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

29.已知集合A={x|y=lg(x-3)+>/9-2]},B={x\x2-9x+20<0},

C={x\a+l<x<2a-l].^C^(AB),求實(shí)數(shù)o的取值范圍.

30.己知U=R,A=|x|x2-16<0|,B=^x\-x2+3x+18>o|,求AB,AB.

【參考答案】

一、單選題

1.A

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出集合B,再根據(jù)交集的定義可求出結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)x=l時(shí)，y=l-log2l=l,

當(dāng)x=2時(shí)，y=2-log22=l,

當(dāng)x=3時(shí)，=3-log,3,

當(dāng)x=4時(shí)，y=4-log,4=2,

所以B={l,2,log23},

所以A3={1,2}.

故選：A

2.C

【解析】

【分析】

先由y=的定義域得到集合A,再根據(jù)集合交集的原則即可求解.

【詳解】

對(duì)于集合A,x-l>0,即x21,貝！|A={x|x21},

所以A8={1,2,3},

故選：C

3.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意求出集合B,在和集合A取交集即可.

【詳解】

因?yàn)榧螦={1,2,3},B={y\y=2x-\,x&A\,

所以B={1,3,5},所以AB={1,3},

故選：C.

4.C

【解析】

【分析】

解出不等式V-8x+12<(),然后可得答案.

【詳解】

因?yàn)锳={X|X2—8X+12<0}={X[2<X<6},B={xeZ|1<x<4)={2,3}

所以AcB={3},

故選：C

5.B

【解析】

【分析】

由集合的交運(yùn)算求48即可.

【詳解】

由題設(shè)，集合A={1,2,3,4,5},B={x|0<x<5},

所以Ac3={l,2,3,4}.

故選：B

6.D

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求出集合A,再根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域求出集合B,最后根據(jù)補(bǔ)

集、并集的定義計(jì)算可得；

【詳解】

解：由丁-3尤一440,即(x-4)(x+l)?0,解得—l?x<4,即

A=(X|X2-3X-4<0}={X|-1<X<4),

又8=卜卜=m(彳-1)}={吊力1},所以03={x|x41},所以AuG8={x|x44}；

故選：D

7.B

【解析】

【分析】

解一元二次不等式求集合A、解絕對(duì)值不等式求集合B,再應(yīng)用集合的交補(bǔ)運(yùn)算求

々(A8).

【詳解】

由題設(shè)，A={x|-l<x<3},B={x|-l<x<l},

所以AB={x|-l<x<l},則4(AcB)={x|x4-l或x>

故選：B

8.B

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求出集合B,再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得；

【詳解】

解：由x(x-l)>0,解得x>l或x<0,所以B={x|x(x—l)>O}={x|x>l或x<0},又

A={x|x>2},所以AU3=(^K),())51,+8)；

故選：B

9.B

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合集合并集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)锳=(2,”)，B={x|l<x<3},

所以AuB=[l,+8),

故選：B

10.D

【解析】

【分析】

利用補(bǔ)集定義求出"A,利用交集定義能求出風(fēng)A)B.

【詳解】

解：集合佳={x[-l<xl2},B={-2,-1,0,2,4},

則QA={x|x4-l或x>2},

.?.低A)cB={-2,-1,4}.

故選：D

11.D

【解析】

【分析】

根據(jù)條件求出兩個(gè)函數(shù)在[1,2]上的值域，結(jié)合若存在與,々€[1,2],使得/(X1)=g(七),等

價(jià)為兩個(gè)集合有公共元素，然后根據(jù)集合關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【詳解】

當(dāng)14x42時(shí)，log/W/GYlog?2,gpO</(x)<l,則/(x)的值域?yàn)閇0,1],

當(dāng)14x42時(shí)，a-4<g(x)<a-2,則g(x)的值域?yàn)?

因?yàn)榇嬖谳?使得/a)=g(X2)，

則[a-4,a—21[0,1]工0

若出—4,a-2]i[0,11=0,

則1<。一4或0>a—2,

得a>5或“<2,

則當(dāng)[。-4,。-2][0,1]=0時(shí)，24a45,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是⑵5],A,B,C錯(cuò)，D對(duì).

故選：D.

12.B

【解析】

【分析】

聯(lián)立方程，解方程組，考察方程組的解的組數(shù)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)；

【詳解】

也__V2

、Iy=x"?一2

聯(lián)立方程得2,J解得;或

[X+y=1V2

y=-一2

所以集合M與N的交集A中的元素個(gè)數(shù)為2個(gè)；

故選：B.

13.D

【解析】

【分析】

利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.

【詳解】

由已知可得Q,A={0,3},因此，(^A)c8={3},

故選：D.

14.C

【解析】

【分析】

根據(jù)分式不等式和對(duì)數(shù)不等式求出集合A和8,利用交集的定義

和集合的包含關(guān)系即可求解.

【詳解】

3

由一..1,得OvxW3,

x

所以A={xeN：.“={1,2,3}.

由log2(x+l)41,W-l<x<l.

所以B=[eN|log2(x+l)<l}={0,l}.

由SRA,SC8R0,知S中必含有元素1,可以有元素2,3.

所以S只有{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},即集合S的個(gè)數(shù)共4個(gè).

故選：C.

15.B

【解析】

【分析】

先求出集合A,8,再根據(jù)交集的結(jié)果求出”即可.

【詳解】

由已知可得A=卜卜2Mx<3},Sx<——j

又?；4cB={x|-2VE},=

a=-2.

故選：B.

二、填空題

16.{1}

【解析】

【分析】

由空間向量的加法得：A"AB+Bq,根據(jù)向量的垂直和數(shù)量積得"=,B『=1,

484月=0計(jì)算即可.

【詳解】

由題意得，x,=ABAP,=AB^AB+BP^=AB+ABBP.

又QAB_L平面84冗6，

ABLBP.,則

所以X,=A/+A8.Bq=|AB『=1,

則x,=ABA^(i=l,2,,8)=1,

故答案為：{1}

17.Cg/7AIaABr\a=BCDua

【解析】

【分析】

根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系，由圖可寫出答案

【詳解】

(1)C為元素，平面夕為集合，所以，由圖可得C/6.

(2)A為元素，平面a為集合，所以，由圖可得Aia.

⑶直線A8為集合，平面。為集合，所以，由圖可得ABca=5.

⑷直線為集合，平面a為集合，所以，C￡>ua.

故答案為：①Ce尸；②Aia；③=④COua；

18.{2,3}##{3,2}

【解析】

【分析】

由交集的運(yùn)算求解

【詳解】

A={l,2,3,4},B={x|2<x<3},則A8={2,3}

故答案為：{2,3}

19.①②③

【解析】

【分析】

①由補(bǔ)集定義直接判斷；②按照函數(shù)定義進(jìn)行判斷；③元素一一對(duì)應(yīng)即可判斷；

④〃=3時(shí)，不成立.

【詳解】

因?yàn)?={",€乂'},3={“|〃=3%-2,%€川,},故②正確，又6"8={3〃=3左一1或

n=3k,kwN*},故①正確；

A、B兩個(gè)集合元素一一對(duì)應(yīng)，元素個(gè)數(shù)相等，故③正確；當(dāng)〃=3時(shí)，23<32,故④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.

20.a4-4或aN5

【解析】

【分析】

由a<a+3可得AH0,根據(jù)題意可得到端點(diǎn)的大小關(guān)系，得到不等式，從而可得答案.

【詳解】

由題意a<a+3,則AH0

要使得AB=0,則a+34-1或aN5

解得q4-4或a25

故答案為：aWT或。25

21.[-1,1]

【解析】

【分析】

由題意可得集合48表示的曲線有一個(gè)交點(diǎn)，可得=有一個(gè)根，當(dāng)。=0時(shí)，符

合題意，當(dāng)“HO時(shí)，兇=：+1，分別作出丫=兇與y=?+l的圖象，根圖象求解即可

【詳解】

因?yàn)镃=AC3,且集合C為單元素集合，

所以集合48表示的曲線有一個(gè)交點(diǎn)，

所以a|x|=x+a有一個(gè)根

當(dāng)。=0時(shí)，符合題意，

當(dāng)awO時(shí)，國(guó)=；+1,分別作出y=W與y=?+l的圖象，

由圖象可知‘21或時(shí)，兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，

aa

解得0<。41或一lKa<0,

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是「1,1],

故答案為：[-1,1]

22.[L+8)

【解析】

【分析】

由題可得人={乂y=x-W}=[O,l),然后利用充分不必要條件的定義及集合的包含關(guān)系即

求.

【詳解】

V[A]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，

/.[A-]<x,0<x-[x]<l,即A={y|y=x-[x]}=[0,1),

又MA是yeB的充分不必要條件，B={y|O<y</w},

.M。8,故mNl,即機(jī)的取值范圍是[1,+℃).

故答案為：[L+00).

23.7

【解析】

【分析】

由Au8=A可得8=A,所以求出集合8的所有非空子集即可

【詳解】

因?yàn)锳uB=A,所以B=

因?yàn)?={1,2,3},

所以非空集合8={1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},

所以非空集合8有7個(gè)，

故答案為：7

24.{-1,0,1,2)

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件求出集合B,再利用并集的定義直接計(jì)算作答.

【詳解】

解方程V—2x=0得：x=0或x=2,則3={0,2},而4={-1,0,1},

所以4B={-1,0,1,2).

故答案為：{-L0,1,2}

25.0,{-1},{1},{-1,1}

【解析】

【分析】

利用子集的定義寫出所有子集即可.

【詳解】

由子集的定義，得集合{-11}的所有子集有：

0,{-1),{1},{-1,1}.

故答案為：0,{-1},{1},{-1,1}.

三、解答題

26.(1){x|44xV7,xeZ},{4,5,6,7}；(2){0,1,3,5,7,9,10}:(3)a=\,元素為-1.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義直接計(jì)算作答.

(2)利用補(bǔ)集的定義直接計(jì)算作答.

(3)利用元素與集合的關(guān)系推理計(jì)算作答.

【詳解】

(1)由。={x|-5VxV10,xeZ},N={x|-2Wx<4,xeZ},

得：6N={x|-5Vx<-2或4VE0,xeZ},而“={x|0W7,xeZ},

所以@N)M={x|4<x<7,xeZ}={4,5,6,7}.

(2)由)=4-8={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={2,4,6,8},得?,B={2,4,6,8},

所以B=賴<B)={0,1,3,5,7,9,10}.

(3)當(dāng)a=0時(shí)，P=0,不符合題意，

當(dāng)"HO時(shí)，因集合P只有一個(gè)元素，則方程or?+2ar+l=0有等根，A=4a2-4a=0,

此時(shí)a=l,集合戶中的元素為-1,

所以〃=1,這個(gè)元素是T.

27.⑴(-co,2-20]

(2)①心2；②N=Z(Jl+2a—

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求得/(x)=—2"+2_,令/=sinx+cosxe[-l,l),令

sinx+cosx-l

o

zn=r-l6[-2,0),〃(機(jī))=/(*)=初+*+2,利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)M〃z)在

m

12,0)上的值域，即可得解；

(2)①分析可知-14三40,可得出。22,分[一忙2、也三2兩種情況討

aa\aa\a

論，化簡(jiǎn)函數(shù)p(/)="止^的函數(shù)解析式或求出函數(shù)|F(x)|的最小值，綜合可得出正實(shí)

ut—1

數(shù)〃的取值范圍；

(2)^n=at-le[-a-l,a-l],可得出〃?)='n+l+2aa-+2=°(〃)，分

aan

析可得出-1v1+2-a?<0<tz-1<\]l+2a-a2，利用雙勾函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合比較

法可求得N.

⑴

5wsin2x+2

解：當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=-----------

sinx+cosx-1

貝卜+?￡-(A)，令1=sinx+cosx=\^sin[x+工卜[-1,1),

因?yàn)楣ぁ暌?/p>

則/=l+2sinxcosx=l+sin2x,可得5吊2無(wú)=/一1,

/2.1

設(shè)g⑺=〃力=號(hào)1,其中

令機(jī)力T,則f!!=(〃?+i『+i=_+2+2,

t—1mm

令力(加)="+\+2,其中一24〃z<0,下面證明函數(shù)〃("。在[-2,-垃)上單調(diào)遞增，在

(-60)上單調(diào)遞減，

任取〃4、?-2,0）旦叫＜帆2，則〃（町）一〃（生）=班+—+2-?+—+2

2（町一色）（見一團(tuán)2）（小加2-2）

（町一，巧）一

町團(tuán)2/4網(wǎng)

當(dāng)一24叫vm2c一￡，則町%＞2,此時(shí)〃（犯）＜〃（，巧），

當(dāng)一正〈町＜網(wǎng)＜0,則0＜叫叫＜2,此時(shí)人（犯）＞力（“），

所以，函數(shù)〃（〃?）在[-2,-垃]上單調(diào)遞增，在（-及,0）上單調(diào)遞減,

貝股（叫?「?亞）=2-2&'

因此，函數(shù).“X）在-會(huì)0）上的值域?yàn)椴?,2-20].

(2)

rIn7T7T

解：因?yàn)閄G一萬(wàn)，°貝"+a￡~49~4

I22-a

a\t+-----

設(shè)，/\/.\ar+2-aka

小P

)=(')=F"at-1

①若。/⑸},必有*與々0,因?yàn)?。＞o,則心2,

當(dāng)工=目時(shí),即當(dāng)a=]+立時(shí)，則p?）=/+，=r+&-]=0,可得/=1_收，合乎題

a\aa

意；

當(dāng):w/P時(shí)，即當(dāng)“22且aH1+啦時(shí)，則|p（f）L=O,合乎題意.

綜上所述，a＞2；

②令"="一16[一。一,貝Ij[二^"^,

nl[

則/、VaJa1\+2a-a2、,、，

p\t）=-------------------=—n+---------+2=（pin）

nan

令s（x）=x+4+2（q＞0）,下面證明函數(shù)s（x）在（0,&）上單調(diào)遞減，在（荷,”）上為增函

數(shù)，

任取4、%e（0,&）且X＜工2，則公—x2＜0,0＜x1x2＜q,

所以，

4&-玉）（%-王）心電-9）

s(xj_s(%2)=|X|—~+2-1x-y++2]=(X]-%2)->0,

中2

所以，s（xj＞s（%）,故函數(shù)s（x）在（0，G）上單調(diào)遞減，

同理可證函數(shù)s（x）在（?,+?＞）上為增函數(shù)，在（7,-6）上為增函數(shù)，在卜&,0）上為減

函數(shù)，

因?yàn)?<々<2,則1+2〃一〃2=一(々一1『+2￡(1,2),

且1+2。-/=2。(2-。)>0，所以，y]i+2a—a2>a-i>09

又]+2々_々2_(_〃_1)=-2a~<0,1.-a—1v—Vl+2a-/，

-a-l<-yjx+la-a1<Q<a-\<^\+2a-a1，

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)勾〃)在卜川+2a-〃)上為增函數(shù),

在卜，1+2〃-/,0)上為減函數(shù),在(0,a-1]上為減函數(shù)，

4a-2-2（a-l）Vl+2（z-a24a-2-2何a-1）_2（夜-1）（缶+1）

/\—7r=7r>0

a\a-\）