用空間向量研究距離、夾角問題教案

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題⑴

教材分析

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第一章《空間向量與立體幾何》，本節(jié)課主

要學(xué)習(xí)運(yùn)用空間向量解決計算空間距離問題。

在向量坐標(biāo)化的基礎(chǔ)上，將空間中點(diǎn)到線、點(diǎn)到面、兩條平行線及二平行平面角的距離問題，首先轉(zhuǎn)

化為向量語言，進(jìn)而運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用空間向量解決空間距離問題，為學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾

何提供了新的方法和新的觀點(diǎn)，為培養(yǎng)學(xué)生思維提供了更廣闊的空間。

教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.能用向量語言表示點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平1.數(shù)學(xué)抽象：向量語言表述空間距離

面、互相平行的直線、互相平行的平面的2.邏輯推理：運(yùn)用向量運(yùn)算求解空間距離的原理；

距離問題.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間距離問題.

B.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平

面、互相平行的直線、互相平行的平面的

距離問題.

教學(xué)重難點(diǎn)

1.教學(xué)重點(diǎn)：理解運(yùn)用向量方法求空間距離的原理

2.教學(xué)難點(diǎn)：掌握運(yùn)用空間向量求空間距離的方法

課前準(zhǔn)備

多媒體

教學(xué)過程

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

一、情境導(dǎo)學(xué)

如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點(diǎn)A處，修建一

個蔬菜存儲庫。

如何在公路上

選擇一個點(diǎn)，修

一條公路到達(dá)通過生活中的

A點(diǎn)，要想使這現(xiàn)實(shí)情況，幫助學(xué)生

個路線長度理回顧空間距離的概

論上最短,應(yīng)該如何設(shè)計？念，并提出運(yùn)用向量

問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些？解空間距離的問題，

答案：點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行線及兩個平行平面的距離；傳

引導(dǎo)學(xué)生回顧空間

統(tǒng)方法和向量法.

中線線、線面、面面

二、探究新知

的平行問題的解法

一、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離

方法，進(jìn)一步體會空

1.點(diǎn)到直線的距離

間幾何問題代數(shù)化

已知直線I的單位方向向量為是直線I上的定點(diǎn)，尸是直線I外一

點(diǎn).設(shè)3?=a廁向量方在直線I上的投影向量而=(a-p)出點(diǎn)P到直線I的基本思想

的距離為PQ=Ja2-(a*2.

2.兩條平行直線之間的距離

求兩條平行直線l,m之間的距離，可在其中一條直線I上任取一點(diǎn)P,

則兩條平行直線間的距離就等于點(diǎn)P到直線m的距離.

點(diǎn)睛：點(diǎn)到直線的距離,即點(diǎn)到直線的垂線段的長度，由于直線與直線

外一點(diǎn)確定一個平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某

一個平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題.

1.已知正方體型R的棱長為2分分別是的中

點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線EF的距離為.

答案：?

解析:如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn),D4,"7)Z)i所在直線分別為x軸、y軸、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，則4(2,0,0)6(021)4(1,0,2),而=(1,-2,1),

FX=(1,0,-2),.：|BT|=Jl2+(-2)2+l2=V6,

?：直線斯的單位方向向量"=1(1,21),

O

?:點(diǎn)/到直線斯的距離

二、點(diǎn)到平面的距離、兩個平行平面之間的距離

點(diǎn)到平面的距離由基本問題出

已知平面a的法向量為111A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，尸是平面a外一發(fā)，讓學(xué)生掌握運(yùn)用

點(diǎn).過點(diǎn)P作平面?的垂線/,交平面a于點(diǎn)。，則點(diǎn)P到平面a的距離空間向量解決空間

距離問題的基本原

理，實(shí)現(xiàn)將立體幾何

問題向量化。發(fā)展學(xué)

生邏輯推理，數(shù)學(xué)抽

象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

點(diǎn)睛1實(shí)質(zhì)上,n是直線I的方向向量，點(diǎn)P到平面?的距離就是而在

心素養(yǎng)。

直線/上的投影向量評的長度.

2.如果一條直線I與一個平面a平行，可在直線I上任取一點(diǎn)尸,將線面

距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)尸到平面a的距離求解.

3.兩個平行平面之間的距離

如果兩個平面a，B互相平行，在其中一個平面a內(nèi)任取一點(diǎn)尸,可將兩

個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面￡的距離求解.

2.在正四棱柱ABCD-ABCD中，底面邊長為2,側(cè)棱長為4,則點(diǎn)8到

11111

平面4DC的距離為

1-------

答案：!解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),D4QJDD所在直線分別為無軸,y

31

軸,Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),C(0,2,0),q(0,0,4),%(2,2,4),

則前=(-2,2,0),麗=(-2,0,4),甌*=(2-2,0),

設(shè)平面ADiC的法向量為n=(x,%z),

貝小?它°"弋浮:

(n-ADr=0,(-2x+4z=0.

取z=l廁x=y=2,所以n=(2,2,1).

所以點(diǎn)Bi到平面/DC的距離4=萼可=

I四J

三、典例解析

例L已知直三棱柱ABC-ABC中，A4=143=4,87=3,/48。=90。,求

1111

點(diǎn)B到直線AC的距離.

1?

-----------------

解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

鄧4,0,1)￡(。,3,1),所以直線*的方向向量

京=(-4,3,0),殖=(0,3,1),所以點(diǎn)B到直線4G的距離

監(jiān)之一匹據(jù)T1。(丁=T

Ai\

x卜、

A、C

用向量法求點(diǎn)到直線的距離時需注意以下幾點(diǎn)：

(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段；

(2)在直線上可以任意選點(diǎn),但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn)；

(3)直線的方向向量可以任取，但必須保證計算正確.

延伸探究1例1中的條件不變，若分別是4%2c的中點(diǎn)，試求點(diǎn)

q到直線的距離.

解:如例1解中建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).

則M(2,0,l),N(2,|,0),Ci(0,3,l),

所以直線MN的方向向量為麗=福=(23,0),

通過典型例題

所以點(diǎn)G到MN的距離…西廣甌簫(=察的分析和解決，讓學(xué)

生感受空間向量坐

延伸探究2將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱，求點(diǎn)

標(biāo)運(yùn)算在解決立體

B到AC的距離.

11幾何問題的應(yīng)用。發(fā)

解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA,過B垂直于BA的直線,8%為x軸,y展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏

軸,z軸建立輯推理的核心素養(yǎng)。

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B(0,0,0)4(2,0,2),Ci(l,V3,2),

1

所以4c的方向向量京=(-l,V3,0)M=(1,V3,2),

所以點(diǎn)3到直線小G的距離

西匕甌

d=r8-（亨）2=g=5

例2在三棱錐S-ABC中,AABC是邊長為4的正三角形，平面SACX

平面ABC,SA=SC=2>/3

分別為AB,SB的中點(diǎn)，如圖所示.求點(diǎn)B到平面CMN的距離.

思路分析借助平面SAC,平面ABC的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，先

求平面CMN的法向量，再求距離.

解:取AC的中點(diǎn)0,連接0SQB.

：'SA=SCAB=BC,.\AC±SOAC.LBO.

:‘平面SAC_L平面ABC,平面SACTI平面ABC=AC,

.：S0_L平面ABC.

又BOu平面ABC,/.SO±BO.

如圖所示,分別以O(shè)A,OB,OS所在直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角

坐標(biāo)系。孫z,則B(0,2V3,0),C(-2,0,0),S(0,0,2V2),M(l,V3,0),M0,V3,V2).

.：CM=(3,V3,0),MW=(-l,0,V2),MB=(-l,V3,0).

設(shè)n=(x,%z)為平面CMN的一個法向量，

則巴.n=3x+fy=0,取zf

(MN，n=-x+\2z=0,

則x=V2,^=-V6,Zn=(V2,-V6,l).

?:點(diǎn)B到平面CMN的距離"上等=苧.

I叫3

求點(diǎn)到平面的距離的主要方法

(1)作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.

(2)在三棱錐中用等體積法求解.

(3)向量法:4=暇(〃為平面的法向量H為平面上一點(diǎn),M4為過點(diǎn)A

的斜線段)

跟蹤訓(xùn)練1在直三棱柱中A41AB=8C=34C=2,。是AC的中點(diǎn).

(1)求證：BC〃平面ABD-

11

⑵求直線qc到平面A產(chǎn)。的距離.

(1)證明:連接4B1交AiB于點(diǎn)瓦連接DE.

DE||&C,)

DEu平面4/。卜3?！ㄆ矫?山"

(2)解:因?yàn)锽C〃平面ABD,所以8C到平面A8。的距離就等于點(diǎn)

1111

B到平面ABD的距離.

11

如圖建立坐標(biāo)系廁晶(0,2金,3)網(wǎng)0,22,0)4(-1,0,3),

砥=(0,2魚,3),OB=(0,2V2,0),西=(-1,0,3).

0)通過典例解析，進(jìn)一

設(shè)平面48。的法向量為n=(x,y/),所以/曄，n所以n=(3,0,l).

i-x+3z=0,

步讓學(xué)生體會空間

所求距離為普=察.

向量坐標(biāo)運(yùn)算在解

決立體幾何中的應(yīng)

用，提升推理論證能

力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)

運(yùn)算及邏輯推理的

核心素養(yǎng)。

x

金題典例如圖，在直三棱柱ABC-ABC中,/

111

ABC=90°,BC=2,CC=4,點(diǎn)E在棱23±,￡B=1Q,RG分別為

111

CC,BCAC的中點(diǎn),EF與BD相交于點(diǎn)H.

iiiii1

⑴求證：8產(chǎn)，平面ABD;

(2)求證:平面EGP〃平面ABD-

(3)求平面EGF與平面ABD的距離.

BC

思路分析：根據(jù)兩個平行平面間距離的定義，可將平面與平面間的距

離轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)一點(diǎn)到另一個平面的距離，即點(diǎn)面距.

(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AB=a廁

Ai(a,0,0),Bi(0,0,0),Ci(0,2,0),F(0,l,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),

￡)(0,2,2),Gg,l,0).

所以刑=(0,2,2),荏=(也,0,0),麗=(0,2,-2).

所以布?AB=0+0+0=0^D-BD=0+4-4=0.

所以瓦方1AB.B^D1BD,

所以3D±AB,BD±BD.

11

又ABCIBZ”氏所以BQ_L平面ABD.

i

⑵證明：由⑴可得四=(-a,0,0),BD=(0,2,-2),GF=

(30,0),麗=(0,1,-1),所以南=2就,而=2而,所以而WAB.EF||

~BD.

所以GF//AB,EF//BD.

又GFClEFuFABnBOuB,所以平面EGF〃平面A8￡).

(3)解:由⑴⑵知，瓦方是平面EGF和平面ABD的法向量.

因?yàn)槠矫鍱G/〃平面所以點(diǎn)E到平面ABD的距離就是兩平面

的距離，設(shè)為d.

因?yàn)辂?(0,0,3),瓦方=(0,2,2),

所以"=嚼金=卷聲=乎?即兩平面間的距離為竽.

總結(jié)：求兩個平行平面的距離，先在其中一個平面上找到一點(diǎn),然后轉(zhuǎn)

化為該點(diǎn)到另一個平面的距離求解.注意:這個點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便

求解為主.

三、達(dá)標(biāo)檢測

L兩平行平面a$分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0和點(diǎn)A(2,1,1),且兩平面的一個

通過練習(xí)鞏固本

法向量n=(-l,0,l),則兩平面間的距離是()

節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)

A.|B.yC.V3D.3V2

生解決問題，發(fā)展學(xué)

答案:B

生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯

解析：：?兩平行平面a/分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)/(2,1,1),

推理、數(shù)學(xué)建模的核

力?=(2,1,1),且兩平面的一個法向量n=(-l,0,l),

心素養(yǎng)。

?:兩平面間的距離“中=修羅=及故選B.

\n\V22

2.若三棱錐尸48c的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足尸A=PB=PC=1,則點(diǎn)尸

到平面4BC的距離是()

A.漁B.漁C.更D.出

6363

答案:D

解析:分別以尸4尸8尸C所在的直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)

系(圖略)，則4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1).可以求得平面A2C的一個

法向量為n=(l,l,l),則4=等=當(dāng)

3.如圖，正方體A3CD-A8C。的棱長為1,0是平面A5CO的中心，

iiiiiiii

則0到平面ABCD的距離是()

11

AB

答案:B

解析健立坐標(biāo)系如圖，則4(1,0,0),5(1,1,0)0(0,0,1)0?，,1)

.:屈=(0,1,0),苑=(-1,0,1).

設(shè)n=(l,y/)是平面ABCiDi的一個法向量，

貝仙絲i=y=0,解得y=o,z=l,.：n=(l,O,l).

iAD^n=-1+z=0,

.:點(diǎn)。到平面N2C1A的距離為等=[=￥?

\n\V24

B

4.RtA4BC的兩條直角邊8C=3〃C=4,PC，平面/8C,PC。則點(diǎn)尸到

斜邊48的距離是.

答案：3

解析:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),C4,CB,CP所在直線分別為x軸j軸,z軸建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則4(4,0,0),8(0,3,0),P(0,0,

所以說=(-4,3,0),AP=(-4,0,

所以點(diǎn)P到AB的距離d=\\AP\2-(嚕￥=+翼=3.

I\|/NZbZ5

5.棱長為1的正方體A5C0-ABCD中,M,N分別是線段BB乃C的