數(shù)學(xué)史第二節(jié)課教材

中外數(shù)學(xué)發(fā)展史上海市市東中學(xué)楊鋒第二講古埃及、美索不達(dá)米亞1一、古埃及數(shù)學(xué)

埃及是世界上文化發(fā)達(dá)最早的幾個地區(qū)之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年左右，形成一個統(tǒng)一的國家。尼羅河定期泛濫，淹沒全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來的測地知識便逐漸發(fā)展成為幾何學(xué)。2公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳?zāi)?。從金字塔的結(jié)構(gòu)，可知當(dāng)時埃及人已懂得不少天文和幾何的知識。例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小；胡夫金子塔底周長與高之比為2等等。3研究埃及數(shù)學(xué)的依據(jù)古埃及人創(chuàng)造出了幾套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”這個詞源于希臘文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在紀(jì)念碑文和器皿上還刻有象形文字．自公元前2500年左右起，開始使用象形文字的縮寫，稱作僧侶文(hieraticwriting)．4

現(xiàn)今對古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識，主要根據(jù)兩卷用僧侶文寫成的紙草書（見上右彩圖）；一卷藏在倫敦，叫做蘭德紙草書，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后來演變成一種較簡單的書寫體，通常叫僧侶文。除了這兩卷紙草書外，還有一些寫在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。兩卷紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間，相當(dāng)于中國的夏代。51．蘭德紙草書埃及的數(shù)學(xué)原典就是由象形文字書寫而成，其中，對考察古埃及數(shù)學(xué)有重要價值的是“蘭德紙草書”，這部紙草書是在埃及古都---底比斯(Thebes)的廢墟中發(fā)現(xiàn)的．1858年由蘭德(A．H．Rhind)購買，爾后，遺贈給倫敦大英博物館．因此，叫做蘭德紙草書．這種紙草書長約550厘米、寬33厘米，摹本出版于1898年．這部紙草書是根據(jù)底比斯人統(tǒng)治埃及時(約公元前1800年以后)寫成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾寫道，此書是根據(jù)埃及王國時代(公元前2000---前1800)的材料寫成的．6這部紙草書的出現(xiàn)，對埃及的文化產(chǎn)生了重要影響，對數(shù)學(xué)的發(fā)展和傳播起到了一定的作用．全書分成三部分，一是算術(shù)；二是幾何；三是雜題．共有85題．記載著埃及人在生產(chǎn)、生活中遇到的實際問題．例如，對勞動者酬金的分配；面積和體積的計算；不同谷物量的換算等等．其中，也含有純數(shù)學(xué)知識問題．例如，分?jǐn)?shù)的難題計算等等．72．莫斯科紙草書記載著古埃及數(shù)學(xué)的另一部古典書籍是莫斯科紙草書，此書是由俄羅斯收藏者于1893年獲得，約20年后，即1912年轉(zhuǎn)藏于莫斯科圖書館．這部紙草書長約550厘米、寬8厘米，共記載著25個問題．由于卷首遺失，書名無法考證．總之，研究埃及數(shù)學(xué)主要是依據(jù)如上兩部書，當(dāng)然，也可能還有其它的有關(guān)資料，有待于進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)與考證．8埃及數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容

根據(jù)埃及紙草書的記載，古埃及人對算術(shù)、代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)知識已經(jīng)有了初步認(rèn)識，并能做簡單地應(yīng)用．現(xiàn)簡要介紹如下：9一、算術(shù)古埃及人所創(chuàng)建的數(shù)系與羅馬數(shù)系有很多相似之處，具有簡單而又純樸的風(fēng)格，并且使用了十進(jìn)位制．古埃及人是用象形文字來表示數(shù)的，例如10根據(jù)史料記載，上述象形文字似乎只限于表示107以前數(shù)．由于是用象形文字表示數(shù)，進(jìn)行相加運算是很麻煩的，必須要數(shù)“個位數(shù)”、“十位數(shù)”、“百位數(shù)”的個數(shù)．但在計算乘法時，埃及人采取了逐次擴(kuò)大2倍(duplication)的方法，運算過程比較簡便．11乘法：古埃及人采用反復(fù)擴(kuò)大倍數(shù)的方法，然后將對應(yīng)結(jié)果相加．例如蘭德紙草書(希特版)第32頁，記載著12×12的計算方法，是從右往左讀的．右邊用現(xiàn)代數(shù)字表示，這就是倍增法(duplatio)．12隨著分?jǐn)?shù)范圍的不斷擴(kuò)大，計算方法的不斷改進(jìn)，埃及人用“單位分?jǐn)?shù)”(分子是1的分?jǐn)?shù))來表示分?jǐn)?shù)：對一般分?jǐn)?shù)則拆成“單位分?jǐn)?shù)”表示①．例如，(用現(xiàn)代符號表示)13二、代數(shù)在蘭德紙草書中，因為求含一個未知量的方程解法在埃及語中發(fā)“哈喔”(hau)音，故稱其為“阿哈算法”．“阿哈算法”實際上是求解一元一次方程式的方法．蘭德紙草書第26題則是簡單一例．用現(xiàn)代語言表達(dá)為：

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埃及人對“級數(shù)”也有了簡單的認(rèn)識，在紙草書中，用象形文字寫出一列數(shù)7，49，343，2401，16807，并與之對應(yīng)一列詞：“圖畫”，“貓”，“老鼠”，“大麥”，“容器”，最后，給出和數(shù)為19607．實際上，這是公比為7的等比數(shù)列．對此，有的數(shù)學(xué)史家解釋為：“有7個人，每人有7只貓，每只貓能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麥，每穗大麥種植后可以長出7容器大麥．”從這個題目中，可以寫出怎樣的一列數(shù)，它們的和是多少？這種題目就涉及到求數(shù)列和的問題．15三、幾何埃及人創(chuàng)建的幾何以適用工具為特征，以求面積和體積為具體內(nèi)容．他們曾提出計算土地面積、倉庫容積、糧食堆的體積、建筑中所用石料和其它材料多寡等法則．埃及人能應(yīng)用正確的公式來計算三角形、長方形、梯形的面積．把三角形底邊二等分，乘以高；同樣，把梯形兩平行邊之和二等分，乘以高分別作為三角形和梯形的面積．另外，埃及人還能對不同的面積單位進(jìn)行互相換算．16在埃及埃特夫街的赫爾斯神殿的文書中，記載著很多關(guān)于三角形和四邊形面積計算問題，如圖1．1．但是，他們把四邊形二對邊之和的一半與另二對邊和的一半之積作為其面積，這顯然是不對的，只是長方形時，這才是正確的計算公式．17埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圓的面積、d是圓的直徑)來計算圓的面積．由此得到：能把π值精確到小數(shù)點后一位，在那個時代，應(yīng)該說是一件了不起的事，巴比倫人在數(shù)學(xué)高度發(fā)展時期，還常常取π＝3．18

在計算體積方面，經(jīng)考察蘭德等紙草書發(fā)現(xiàn)，埃及人已經(jīng)知道立方體、柱體等一些簡單圖形體積的計算方法，并指出立方體、直棱柱、圓柱的體積公式為“底面積乘以高”．

19有材料證實，在埃及幾何中，最突出的一項工作是發(fā)現(xiàn)截棱錐體的體積公式，(錐體的底是正方形)，此公式若用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號表示為：

其中h是高，a和b是下、上底的邊長．20埃及文明在歷史王朝更迭中表現(xiàn)出一種靜止的特征，這種靜止特征也反映在埃及數(shù)學(xué)上的發(fā)展上。蘭德紙草書和莫斯科紙草書中的數(shù)學(xué)，就像祖?zhèn)骷覍氁粯邮来鄠鳎跀?shù)千年漫長的歲月中很少變化。加法運算和單位分?jǐn)?shù)始終是埃及算數(shù)的磚塊，使古埃及人的計算顯得笨重繁復(fù)。古埃及人的面積、體積算法對精確公式與近似關(guān)系往往不作明確區(qū)分，這又使他們的實用幾何帶上了粗糙的色彩。這一切都阻礙埃及數(shù)學(xué)向更高的水平發(fā)展。公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及之后，這一古老的數(shù)學(xué)文化完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。21二、美索不達(dá)米亞數(shù)學(xué)

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西亞美索不達(dá)米亞地區(qū)（即底格里斯河與幼發(fā)拉底河流域）是人類早期文明發(fā)祥地之一。一般稱公元前19世紀(jì)至公元前6世紀(jì)間該地區(qū)的文化為巴比倫文化,相應(yīng)的數(shù)學(xué)屬巴比倫數(shù)學(xué)。這一地區(qū)的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)上溯至約公元前二千年的蘇美爾文化,后續(xù)至公元1世紀(jì)基督教創(chuàng)始時期。24

大約在公元前1800年前，在兩河流域建立了巴比倫王國Babylonia)，首都巴比倫(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格達(dá)南面約100公里．大約在公元前4000年左右，蘇默人(Sumerians)開始在兩河流域(古代稱美索波達(dá)米亞Mesopotamia)定居，大約在公元前3000年創(chuàng)造了自己的文化．到了公元前1700年左右，在漢穆拉比(Hammurabi)王統(tǒng)治期間國勢強(qiáng)盛，文化得到了高度發(fā)展，以制定一部法典而垂名后世．25

古代巴比倫人是用祖?zhèn)鞯哪喟鍟涊d數(shù)學(xué)內(nèi)容的，然而，保存下來的泥板書卻沒有埃及紙草書那樣多．可能是因為泥板書靠太陽或火燒烘干，遇到風(fēng)吹雨淋，難于保存原樣．另外，巴比倫人的書寫字跡也阻礙了長篇論著的編撰．26對巴比倫數(shù)學(xué)的了解，依據(jù)于19世紀(jì)初考古發(fā)掘出的楔形文字泥板,有約300塊是純數(shù)學(xué)內(nèi)容的，其中約200塊是各種數(shù)表,包括乘法表、倒數(shù)表、平方和立方表等。27在巴比倫泥板書中，引人注目的是普林頓322號．這是哥倫比亞大學(xué)普林頓(G．A．Plimpton)收集館的第322號收藏品．此泥板書是在公元前1900年至前1600年間用古巴比倫字體寫的．28普林頓322號是保存下來的一塊殘缺不全的泥板書，但仍然保存著大體形狀，只是左邊掉下一塊，靠右邊中間部分也有一個很深的洞，左上角也脫落了一片，但可以清楚地看到，有三列比較完整的數(shù)字，不妨用現(xiàn)代符號(10進(jìn)位)表出，如圖2.1．29經(jīng)過對圖表的認(rèn)真分析，就會發(fā)現(xiàn)：兩列中的對應(yīng)數(shù)字(除了4個例外)構(gòu)成一個邊長為整數(shù)的直角三角形的斜邊和一個直角邊．現(xiàn)在人們把象(3，4，5)這樣的，能組成直角三角形三條邊的一組正整數(shù)稱為畢氏三數(shù)(Pythagoreantriple)．在這樣一組數(shù)中，若除1以外，沒有其它因子，就稱它為素畢氏三數(shù)．30記數(shù)法與進(jìn)位制一百多年前，人們發(fā)現(xiàn)巴比倫人是用楔形文字(Cuneiform)來記數(shù)的．他們是用頭部呈三角形的木筆把字刻寫在軟泥板上，然后，用火燒或曬干使它堅如石，以便保存下來進(jìn)行數(shù)學(xué)知識交流．由于字的形狀象楔子，所以人們稱為楔形文字．31

大約在公元前1800～前1600年間，巴比倫人已使用較系統(tǒng)的以60為基數(shù)的數(shù)系（包括60進(jìn)制小數(shù)）。對小于60的整數(shù)，使用1(▼)和10(

)兩種記號表示，如25=2(10)+5=；對大于60的數(shù),用位置制記數(shù)法,如

524551=2(60)3+25(60)2+42(60)+31=

由于沒有表示零的記號，這種記數(shù)法是不完善的。

32巴比倫人的代數(shù)知識相當(dāng)豐富,主要用文字表達(dá),偶爾使用記號表示未知量。有一道最古老的問題是:已知正方形面積與邊長的差為14；30〔60進(jìn)位制數(shù),即14(60)+30=870〕,求正方形邊長。

這相當(dāng)于求解方程x2-px＝q（此時p＝1，q＝870）。巴比倫人的解法是依次計算

,得到解為30。

33這與現(xiàn)代用公式解這類方程的過程一致（但他們尚無負(fù)數(shù)概念，解方程只求正根）。在公元前1600年前的一塊泥板上,記錄了許多組畢達(dá)哥拉斯三元數(shù)組(即勾股數(shù)組，（見彩圖）。巴比倫人還討論了某些三次方程和可化為二次方程的四次方程。

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巴比倫的幾何屬于實用性質(zhì)的幾何，多采用代數(shù)方法求解。他們有三角形相似及對應(yīng)邊成比例的知識。用公式

(с為圓的周長)求圓面積,相當(dāng)于取π=3。在一塊約公元前1600年的泥板上,記有的近似值

1+24/60+51/602+10/603=1