2024年中考數(shù)學【高分·突破】壓軸題培優(yōu)專題精練壓軸熱點考點09三角形的全等和相似(壓軸突破)(原卷版+解析)

壓軸熱點考點09三角形的全等和相似壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編一、單選題1．如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，，，若，則點C的坐標為（）A． B． C． D．2．如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（）

A． B． C． D．3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．連接，若平分，且正方形的面積為3，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．154．如圖，在矩形紙片中，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊，使點落在上的點處，折痕為．再次展平，連接，．有下列結論：①；②與相似；③的長為；④若，分別為線段，上的動點不包含端點，則的最小值是．其中正確結論的序號是（

）

A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①③5．如圖1，點E為矩形ABCD的邊AD上一點，點P從點B出發(fā)沿運動到點C停止，點Q從點B出發(fā)沿BC運動到點C停止，它們運動的速度都是1cm/s．若點P、Q同時開始運動，設運動時間為t（s），的面積為y（），已知y與t之間的函數(shù)圖象如圖2所示．給出下列結論：①當時，是等腰三角形；②；③時，；④在運動過程中，使得是等腰三角形的P點一共有3個；⑤當與相似時，．其中正確結論的序號是（

）A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤6．已知的一邊，另兩邊長分別是3，4，若是邊上異于，的一點，過點作直線截，截得的三角形與原相似，滿足這樣條件的直線有（

）條A．4 B．3 C．2 D．17．已知的三邊長分別為，，，過的某個頂點將該三角形剪成兩個小三角形，再將這兩個小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長可能為（

）A． B． C． D．8．如圖，以正方形的兩邊和為斜邊向外作兩個全等的直角三角形和，過點C作于點G，交于點H，過點B作于點I，過點D作，交延長線于點K，交于點L．若，，則的長為（

）A．6 B． C．7 D．二、填空題9．如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長為．10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為4的等邊的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動點，且滿足，，連接CD、CE，當點E坐標為時，與相似．11．如圖，中，，D，E分別是邊的中點，F(xiàn)為邊上一動點，于G，交于H．（1）；（2）當和相似時，．12．如圖，在邊長為4的等邊中，D、E、F分別是上的動點，且滿足，，連接．（1）的度數(shù)為；（2）當時，和相似．13．如圖，我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，若小正方形和大正方形的面積分別為49和289，則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為．14．如圖，中，，，，點D為的中點．如果點P在線段上以的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為，則當與全等時，v的值為．

15．如圖，，于A，于B，且，點P從B向A運動，每秒鐘走，Q點從B向D運動，每秒鐘走，點P，Q同時出發(fā)，運動秒后，與全等．

16．如圖，我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理．若，，則圖中正方形的邊長為．

三、解答題17．已知是矩形的邊上一點，連接交于點，過點作于點，交于點．(1)如圖1，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，設的延長線交于點，移動點，使得．①求證：；②若，求證：．18．如圖，在等腰中，，為邊上一點，為延長線上一點，且，連接，，，延長交于點，為的中點，為射線上一點，連接，交延長線于點，且．(1)求證：；(2)若為的中點，求的值；(3)在（2）的條件下，當時，求證：．19．如圖，已知正方形的邊長是4，點E是邊上一動點（點E不與點B、C重合），點F是射線上一點，且，交于點P，，垂足為O，交射線于點Q，設．

(1)若點E是的中點，求的值；(2)若點Q在邊上，求的長（用含有m的代數(shù)式表示）；(3)連接，若與相似，求的長．20．閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應的任務．規(guī)定：在一個三角形中，若一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱三角形為“n倍角三角形”．當時，稱為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當時，稱為“2倍角三角形”，小康通過探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關系．如圖，在中，所對的邊分別為，若，則．下面是小康對“2倍角三角形”的結論的兩種探索證明過程：證法1：如圖1，作的平分線，∴．

設，則．證法2：如圖2，延長到點，使得，連接，……

任務：(1)上述材料中的證法1是通過作輔助線，構造出__________三角形來加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請補全證法2剩余的部分．壓軸熱點考點09三角形的全等和相似壓軸突破——2024年【中考·沖刺】數(shù)學高頻熱點考點好題精編一、單選題1．如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，，，若，則點C的坐標為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用已知條件求出D點坐標，再證明為等腰直角三角形，連接BC，根據(jù)“三線合一”性質求出，進一步可求出C點坐標．【詳解】解：∵與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為1：2，且，∴，∵，，∴為等腰直角三角形，連接BC，根據(jù)“三線合一”性質可知，∴點C的坐標為：．故選：D.【點睛】此題考查位似變換的性質，正確理解位似與相似的關系，理解關于原點位似的兩個圖形對應點坐標之間的關系是解題的關鍵．2．如圖，已知，，若用判定和全等，則需要添加的條件是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖示可知為公共邊，若想用判定證明和全等，必須添加．【詳解】解：∵，，∴，.，符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；.，不符合兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；.，，不是兩直角三角形全等的判定定理，故該選項不符合題意；故選：．【點睛】此題考查了對全等三角形判定定理的理解和掌握，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．3．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．連接，若平分，且正方形的面積為3，則正方形的面積為（

）A． B． C． D．15【答案】A【分析】設直角三角形的長直角邊是，短直角邊是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解決問題．【詳解】解：設直角三角形的長直角邊是，短直角邊是，正方形的邊長是，正方形的面積為3，，，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，正方形的面積是．故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，關鍵是求出直角三角形的直角邊的長，由勾股定理即可解決問題．4．如圖，在矩形紙片中，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊，使點落在上的點處，折痕為．再次展平，連接，．有下列結論：①；②與相似；③的長為；④若，分別為線段，上的動點不包含端點，則的最小值是．其中正確結論的序號是（

）

A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①③【答案】C【分析】①如圖，連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到，根據(jù)折疊的性質得到，推理出為等邊三角形，得到，于是得到，即結論①正確；②根據(jù)折疊的性質，可得，，根據(jù)相似三角形的判定定理得到與相似，即結論②正確；③解直角三角形得到，即結論③錯誤；④過作于交于，則此時的值最小，且，解直角三角形得到的最小值是.即結論④正確．【詳解】解:①如圖，連接，

垂直平分，，根據(jù)折疊的性質，可得，．為等邊三角形，，，即結論①正確；②根據(jù)折疊的性質，可得，，，，，，，與相似，即結論②正確；③，，，，即結論③錯誤；④點和點關于對稱，過點作于交于，此時的值最小，且，，，，的最小值是即結論④正確；綜上分析可知，正確的是①②④，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質的應用以及矩形的性質和應用，還考查了折疊的性質和應用．5．如圖1，點E為矩形ABCD的邊AD上一點，點P從點B出發(fā)沿運動到點C停止，點Q從點B出發(fā)沿BC運動到點C停止，它們運動的速度都是1cm/s．若點P、Q同時開始運動，設運動時間為t（s），的面積為y（），已知y與t之間的函數(shù)圖象如圖2所示．給出下列結論：①當時，是等腰三角形；②；③時，；④在運動過程中，使得是等腰三角形的P點一共有3個；⑤當與相似時，．其中正確結論的序號是（

）A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③⑤【答案】D【分析】由圖2可知，整個運動過程分為段，故點到達時，點同時到達，由此可知，，，由勾股定理求得，由此分別分析各命題的正誤．【詳解】解：由圖可知，，，四邊形是矩形，，．，，．對于①，當時，點在上，點在上，且，是等腰三角形，①正確；對于②，，②錯誤；對于③，，，當時，點在上，點在處，，③正確；對于④，如圖，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于，當點位于處時，是等腰三角形；以點為圓心，長為半徑畫弧，交于，當點位于處時，是等腰三角形；作的垂直平分線，交于，交于，當點位于或處時，是等腰三角形．綜上，運動過程中，使得是等腰三角形的點一共有個，④錯誤；對于⑤，是直角三角形，當且僅當點在上時，與相似，此時，，且，或，即或，解得或（舍去）．當與相似時，，⑤正確．綜上可得，正確的有：①③⑤．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，函數(shù)圖象與動點問題，相似三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，一次函數(shù)的應用，勾股定理，熟練掌握相關性質是解題的關鍵．6．已知的一邊，另兩邊長分別是3，4，若是邊上異于，的一點，過點作直線截，截得的三角形與原相似，滿足這樣條件的直線有（

）條A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由，另兩邊長分別是3，4，可知△ABC是直角三角形，過點P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個公共角，只要再作一個直角就可以．【詳解】解：如圖，∵，另兩邊長分別是3，4，又∵，∴，即△ABC是直角三角形，∵過P點作直線截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，∴只要再作一個直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似，∴過點P可作AB的垂線、AC的垂線、BC的垂線，共3條直線．故選：B．【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其運用，解題時運用了兩角法（有兩組角對應相等的兩個三角形相似）來判定兩個三角形相似．7．已知的三邊長分別為，，，過的某個頂點將該三角形剪成兩個小三角形，再將這兩個小三角形拼成，若與不全等，則這條剪痕的長可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了折疊問題，勾股定理及其逆定理的應用；根據(jù)勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且．根據(jù)題意可得這條剪痕可能是或邊的中線．分別根據(jù)中線的性質以及勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖，中，，，，，是直角三角形，且．過的某個頂點將該三角形剪成兩個小三角形，再將這兩個小三角形拼成，與不全等，這條剪痕可能是或邊的中線．如果這條剪痕是邊的中線，那么，，，；如果這條剪痕是邊的中線，那么，，，；這條剪痕的長可能為．故選：C．8．如圖，以正方形的兩邊和為斜邊向外作兩個全等的直角三角形和，過點C作于點G，交于點H，過點B作于點I，過點D作，交延長線于點K，交于點L．若，，則的長為（

）A．6 B． C．7 D．【答案】D【分析】過點A作于點M，連接，，設，先證明四邊形是矩形，四邊形和均是矩形，可得，，再根據(jù)，可得四邊形是正方形，四邊形是正方形，從而得到，，，，再由，可得，再根據(jù)，可得，從而得到，，即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作于點M，連接，，根據(jù)題意得：，∴，，設，∵，，，∴，∴，∵四邊形是正方形，

∴，，，∴，，∴，，∴，同理，∴，∴，∴四邊形是矩形，同理四邊形和均是矩形，∴，∴，

∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，，同理四邊形是正方形，∴，∴，，，

∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，

∴，即，解得：或0（舍去），∴，∴．故選：D【點睛】本題主要考查了正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．二、填空題9．如果梯形的一條對角線把梯形分成的兩個三角形相似，那么我們稱該梯形為“優(yōu)美梯形”．如果一個直角梯形是“優(yōu)美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周長為．【答案】/【分析】根據(jù)“優(yōu)美梯形”的定義，得到，從而得到，，推出，算出，再根據(jù)勾股定理，得到、的長，即可得到該直角梯形的周長．【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下，為直角梯形，，，，，直角梯形是“優(yōu)美梯形”，，，，，，，，在中，，在中，，該梯形的周長，故答案為：．【點睛】本題考查了直角梯形的性質，相似三角形的性質，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質是解題關鍵．10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為4的等邊的邊OA在x軸上，C、D、E分別是AB、OB、OA上的動點，且滿足，，連接CD、CE，當點E坐標為時，與相似．【答案】或【分析】因為DE∥AB得到∠DEC＝∠ACE，所以△CDE與△ACE相似分兩種情況分類討論．【詳解】∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ACE，△ODE∽△OBA，∴△ODE也是等邊三角形，則OD＝OE＝DE，設E（a，0），則OE＝OD＝DE＝a，BD＝AE＝4?a，∵△CDE與△ACE相似，分兩種情況討論：①當△CDE∽△EAC時，則∠DCE＝∠CEA，∴CD∥AE，∴四邊形AEDC是平行四邊形，∴AC＝a，∵BD＝2AC，∴4?a＝2a，∴，∴；②當△CDE∽△AEC時，∠DCE＝∠EAC＝60°＝∠B，∴∠BCD＋∠ECA＝180°?60°＝120°，又∵∠BDC＋∠BCD＝180°?∠B＝120°，∴∠BCD＋∠ECA＝∠BDC＋∠BCD，∴∠ECA＝∠BDC，∴△BDC∽△ACE，∴，∴BC＝2AE＝2（4?a）＝8?2a，∴，∴，∴．綜上所述，點E的坐標為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查相似三角形，考慮分類討論是本題的關鍵．11．如圖，中，，D，E分別是邊的中點，F(xiàn)為邊上一動點，于G，交于H．（1）；（2）當和相似時，．【答案】或【分析】（1）過A作于M交于N，利用三角形相似和面積公式，結合矩形的判定和性質計算即可．（2）根據(jù)三角形相似的判定和性質，分類計算即可．【詳解】(1)過A作于M交于N，∵，∴，∵D，E分別是邊的中點，∴，∴，，∴，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．(2)∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當和相似時，①，∴，∴．②，∴，∴，∴，綜上所述，或，故答案為：或．【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質，勾股定理，三角形中位線定理，矩形的判定和性質，熟練掌握三角形相似的判定和性質是解題的關鍵．12．如圖，在邊長為4的等邊中，D、E、F分別是上的動點，且滿足，，連接．（1）的度數(shù)為；（2）當時，和相似．【答案】/30度或【分析】（1）找的中點G，連接，根據(jù)為等邊三角形和，可證為等邊三角形，即可求出答案．（2）分兩種情況討論：①若，則，可證出四邊形是平行四邊形，即可求出答案；②若，則，利用銳角函數(shù)值即可求解．【詳解】解：（1）找的中點G，連接，如圖所示，∵為等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；解：（2）由（1）知，∵是等邊三角形，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，①若，∴，則，∵，，∴四邊形是平行四邊形，是等邊三角形，∴，∵等邊的邊長是4，則，∴，∴；②若，∴，則，∵，∴，∵等邊邊長為4，則，∴，．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，解直角三角形，等邊三角形的性質，掌握分類討論思想是解題關鍵．13．如圖，我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，若小正方形和大正方形的面積分別為49和289，則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為．【答案】3【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓的性質，正方形的性質及勾股定理的應用，同時也利用了完全平方公式和一元二次方程，綜合性強，能力要求高．解決本題的關鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓的性質．設內(nèi)切圓的圓心為O，連接、，則四邊形為正方形，設直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r，然后利用內(nèi)切圓和直角三角形的性質得到，根據(jù)已知條件得，，接著利用完全平方公式進行代數(shù)變形，最后解關于r的一元二次方程即可．【詳解】解：如圖，設內(nèi)切圓的圓心為O，連接、，，則四邊形為正方形，設直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r，，，，，，而，①，小正方形和大正方形的面積分別為49和289，，，②，負值舍去，把代入①得，③，把③代入②中，得：，，負值舍去，直角三角形內(nèi)切圓的半徑為3，故答案為：14．如圖，中，，，，點D為的中點．如果點P在線段上以的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段上由C點向A點運動．若點Q的運動速度為，則當與全等時，v的值為．

【答案】或【分析】點P在線段上以的速度由B點向C點運動，點Q的運動速度為，運動時間為，則，，，因為，則再利用全等三角形的判定方法得到當，時，，即，；當，時，，即，，然后分別解方程即可．【詳解】解：運動時間為，由題意得，，，，因為，當時，則，，即，，解得，；當時，，，即，，解得，；故當與全等時，v的值為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問題的關鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．也考查了等腰三角形的性質．15．如圖，，于A，于B，且，點P從B向A運動，每秒鐘走，Q點從B向D運動，每秒鐘走，點P，Q同時出發(fā)，運動秒后，與全等．

【答案】6【分析】設運動x秒鐘后與全等；則，，則，分兩種情況：①若，則，此時，；②若，則，得出，，即可得出結果．【詳解】解：∵于A，于，∴，設運動x秒鐘后與全等；則，，則，分兩種情況：①若，則，∴，，∴，∴；②若，則，解得：，∴，此時與不全等；綜上所述：運動6秒鐘后與全等；故答案為：6．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法、解方程等知識；本題難度適中，需要進行分類討論．16．如圖，我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將直角三角形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理．若，，則圖中正方形的邊長為．

【答案】2【分析】根據(jù)題意可得，，則，設正方形的邊長為x，則，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：由題意可得：，，∴，設正方形的邊長為x，則，，在中，，即，解得：，（舍），∴正方形的邊長為2，故答案為：2．

【點睛】本題考查勾股定理的應用、解一元二次方程，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關鍵．三、解答題17．已知是矩形的邊上一點，連接交于點，過點作于點，交于點．(1)如圖1，若，求的值．（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，設的延長線交于點，移動點，使得．①求證：；②若，求證：．【答案】(1)(2)①見解析；②見解析【分析】（1）證明則．即可得到結論；（2）①證明及即可證明．②過點作，交的延長線于點．證明，則，進一步得到．根據(jù)角平分線的性質得到．證明四邊形是矩形，則，即可得到結論；此題主要考查相似三角形的判定和性質、矩形的判定和性質、角平分線的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）在矩形中，，，，．；（2）①，，由（1）知，，∴．②過點作，交的延長線于點，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，．18．如圖，在等腰中，，為邊上一點，為延長線上一點，且，連接，，，延長交于點，為的中點，為射線上一點，連接，交延長線于點，且．(1)求證：；(2)若為的中點，求的值；(3)在（2）的條件下，當時，求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）本題考查三角形全等的判定，根據(jù)等腰三角形的性質的到邊相等角相等，結合即可得到證明；（2）本題考查三角形相似的性質與判定，證明，結合三角形全等的性質得到即可得到答案；（3）本題考查三角形相似的性質與判定，延長至點，使得，連接，先證，再證，即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵在等腰中，，，，，，；（2）解：由（1）知，，，，，為的中點，垂直平分，，在中，，，，，；（3）證明：如圖，延長至點，使得，連接，，，，由（1）可知，∴，∴，，由（2）可知，，，，，，即．19．如圖，已知正方形的邊長是