函數(shù)定義域-值域求法以及分段函數(shù)

(一）函數(shù)得概念1.函數(shù)得概念：設(shè)A、B就是非空得數(shù)集，如果按照某個(gè)確定得對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合Ａ中得任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定得數(shù)f（x)與它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合Ｂ得一個(gè)函數(shù)(ｆunction)．記作： ? ｙ=f(x)，x∈A．其中，ｘ叫做自變量,x得取值范圍A叫做函數(shù)得定義域(ｄomａin);與ｘ得值相對(duì)應(yīng)得y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值得集合｛f（x）|x∈A｝叫做函數(shù)得值域(range）．注意:eq\ｏ\ac（○，1)“ｙ=ｆ（x）”就是函數(shù)符號(hào),可以用任意得字母表示,如“y＝g(x)”；eq\o\ac（○,2）函數(shù)符號(hào)“ｙ＝f(x）”中得f（ｘ）表示與x對(duì)應(yīng)得函數(shù)值，一個(gè)數(shù)，而不就是f乘x.構(gòu)成函數(shù)得三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系與值域3．區(qū)間得概念?(1)區(qū)間得分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;?(2)無(wú)窮區(qū)間;?（3）區(qū)間得數(shù)軸表示.4．一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)得定義域與值域討論（二）映射一般地,設(shè)A、B就是兩個(gè)非空得集合，如果按某一個(gè)確定得對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中得任意一個(gè)元素ｘ,在集合B中都有唯一確定得元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f：AＢ為從集合A到集合B得一個(gè)映射（ｍappiｎg）。記作“f:ＡＢ”說(shuō)明：(1)這兩個(gè)集合有先后順序，Ａ到B得射與B到A得映射就是截然不同得.其中f表示具體得對(duì)應(yīng)法則,可以用漢字?jǐn)⑹?(2)“都有唯一"什么意思?包含兩層意思：一就是必有一個(gè)；二就是只有一個(gè),也就就是說(shuō)有且只有一個(gè)得意思.例題分析：下列哪些對(duì)應(yīng)就是從集合A到集合B得映射？（１)A={P｜P就是數(shù)軸上得點(diǎn)},B=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上得點(diǎn)與它所代表得實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)；(2)A＝{P|P就是平面直角體系中得點(diǎn)｝，B=｛（x，ｙ)|x∈R,ｙ∈Ｒ}，對(duì)應(yīng)關(guān)系ｆ:平面直角體系中得點(diǎn)與它得坐標(biāo)對(duì)應(yīng);(3）A＝｛三角形｝,Ｂ＝｛x|x就是圓},對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每一個(gè)三角形都對(duì)應(yīng)它得內(nèi)切圓;(4)A＝｛x｜x就是新華中學(xué)得班級(jí)｝,Ｂ={x｜x就是新華中學(xué)得學(xué)生｝，對(duì)應(yīng)關(guān)系ｆ：每一個(gè)班級(jí)都對(duì)應(yīng)班里得學(xué)生.思考:將（3）中得對(duì)應(yīng)關(guān)系f改為：每一個(gè)圓都對(duì)應(yīng)它得內(nèi)接三角形；(4）中得對(duì)應(yīng)關(guān)系ｆ改為:每一個(gè)學(xué)生都對(duì)應(yīng)她得班級(jí)，那么對(duì)應(yīng)f：BA就是從集合B到集合A得映射嗎?（三)函數(shù)得表示法常用得函數(shù)表示法：(1）解析法；（2）圖象法；(3)列表法。三、典例解析1、定義域問(wèn)題例１求下列函數(shù)得定義域:①;②；③解:①∵x—2=0，即x=2時(shí),分式無(wú)意義,而時(shí),分式有意義，∴這個(gè)函數(shù)得定義域就是、②∵３x+２＜0,即x＜-時(shí),根式無(wú)意義,而，即時(shí),根式才有意義，∴這個(gè)函數(shù)得定義域就是｛|}、③∵當(dāng)，即且時(shí)，根式與分式同時(shí)有意義，∴這個(gè)函數(shù)得定義域就是{|且｝另解:要使函數(shù)有意義,必須：例２求下列函數(shù)得定義域：①②③④⑤解：①要使函數(shù)有意義，必須:即：∴函數(shù)得定義域?yàn)?[］②要使函數(shù)有意義，必須：∴定義域?yàn)椋海鹸|}③要使函數(shù)有意義,必須:∴函數(shù)得定義域?yàn)?④要使函數(shù)有意義，必須：∴定義域?yàn)椋孩菀购瘮?shù)有意義，必須：即ｘ〈或ｘ〉∴定義域?yàn)椋豪?若函數(shù)得定義域就是R,求實(shí)數(shù)a得取值范圍解：∵定義域就是Ｒ,∴∴例4若函數(shù)得定義域?yàn)椋?,1］，求函數(shù)得定義域解:要使函數(shù)有意義,必須:∴函數(shù)得定義域?yàn)椋豪狄阎妫▁)得定義域?yàn)椋邸?，1]，求f（2x－1)得定義域。分析:法則f要求自變量在［－1，1]內(nèi)取值,則法則作用在２x-1上必也要求2x-1在[－１,1]內(nèi)取值，即-1≤２ｘ—1≤1，解出x得取值范圍就就是復(fù)合函數(shù)得定義域；或者從位置上思考f(2x－1）中2x-1與f（x）中得x位置相同，范圍也應(yīng)一樣,∴－1≤2ｘ－１≤1，解出x得取值范圍就就是復(fù)合函數(shù)得定義域。（注意：f(ｘ）中得x與f（2x-1）中得ｘ不就是同一個(gè)x，即它們意義不同。)解：∵f(ｘ)得定義域?yàn)椋邸?,1］,∴－１≤2x—1≤1，解之0≤x≤1,∴f(2x—1）得定義域?yàn)椋?，１].例6已知已知ｆ(ｘ）得定義域?yàn)椋邸?,1］,求f（ｘ2)得定義域。答案:－1≤ｘ2≤1x2≤1—1≤x≤1練習(xí):設(shè)得定義域就是［３，]，求函數(shù)得定義域解:要使函數(shù)有意義，必須:得:∵≥０∴∴函數(shù)得定域義為:例7已知f（2x－1）得定義域?yàn)閇0,1］，求f（x）得定義域因?yàn)?x—1就是R上得單調(diào)遞增函數(shù)，因此由2ｘ-１，x∈［０，１］求得得值域[－1，１］就是f(x)得定義域。已知f（3x—１)得定義域?yàn)閇－１，２),求f（2ｘ+1)得定義域。）（提示:定義域就是自變量ｘ得取值范圍)練習(xí):已知ｆ(ｘ2)得定義域?yàn)閇－1,1］，求ｆ（ｘ)得定義域若得定義域就是，則函數(shù)得定義域就是?(）Ａ。 ?B C. ??Ｄ。已知函數(shù)得定義域?yàn)锳,函數(shù)得定義域?yàn)椋?，則 ??(）Ａ。 B。B Ｃ。 ??Ｄ。2、值域問(wèn)題利用常見函數(shù)得值域來(lái)求(直接法）一次函數(shù)y=aｘ+b（a0）得定義域?yàn)椋?值域?yàn)椋?反比例函數(shù)得定義域?yàn)椋鹸|ｘ0｝,值域?yàn)閧ｙ｜y0｝;二次函數(shù)得定義域?yàn)椋?，?dāng)a〉0時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)a＜0時(shí),值域?yàn)椋?、例１求下列函?shù)得值域①y=3ｘ＋２（-1x1）②③(記住圖像）解:①∵—1x１，∴-33x3，∴—1３x+25，即—1ｙ5,∴值域就是[-1,5］②略③當(dāng)ｘ〉０，∴=,當(dāng)ｘ<0時(shí),＝－∴值域就是[2,+）、（此法也稱為配方法）函數(shù)得圖像為：二次函數(shù)在區(qū)間上得值域(最值）：例2求下列函數(shù)得最大值、最小值與值域:①；②；③;④;解:∵,∴頂點(diǎn)為（２，－３），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2、①∵拋物線得開口向上，函數(shù)得定義域R,∴x＝２時(shí)，ymｉｎ=—3，無(wú)最大值；函數(shù)得值域就是{y｜y-3}、②∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[３，4］,當(dāng)x=3時(shí),ｙ＝—2;x=4時(shí),ｙ＝1;∴在[３，4］上，=－2,=１;值域?yàn)閇－2,1］、③∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2［0，1]，當(dāng)x＝0時(shí)，y=1;x＝1時(shí),y=－２，∴在［0，１］上,=—2，=1；值域?yàn)閇—２，1］、④∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[0,5］，當(dāng)x=０時(shí)，ｙ=1；x＝２時(shí),y=-3，ｘ=5時(shí)，y=6，∴在［0，1］上,=－3，=6;值域?yàn)椋?3，6]、注:對(duì)于二次函數(shù),⑴若定義域?yàn)镽時(shí)，①當(dāng)a＞0時(shí)，則當(dāng)時(shí)，其最小值;②當(dāng)a〈0時(shí),則當(dāng)時(shí)，其最大值、⑵若定義域?yàn)閤[a，b］，則應(yīng)首先判定其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x0就是否屬于區(qū)間［a,b]、①若［a，b],則就是函數(shù)得最小值（ａ>0)時(shí)或最大值（a＜０)時(shí)，再比較得大小決定函數(shù)得最大(?。┲?、②若[a,b]，則［a,b]就是在得單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較得大小即可決定函數(shù)得最大（小)值、注:①若給定區(qū)間不就是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲担虎诋?dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)就是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別就是區(qū)間兩端點(diǎn)得位置關(guān)系進(jìn)行討論、練習(xí):1、求函數(shù)ｙ＝3+√(2—3ｘ)得值域解：由算術(shù)平方根得性質(zhì),知√（2－3x）≥0，故３+√（2—３x)≥３?！嗪瘮?shù)得值域?yàn)椤?、求函數(shù)得值域解：對(duì)稱軸例3求函數(shù)y＝4x—√1－3x(ｘ≤１/3)得值域。解:法一:（單調(diào)性法）設(shè)f（x)=4x,g(x）＝—√1－3x，(x≤1/3),易知它們?cè)诙x域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(ｘ)＋g(x）=4x－√１—3ｘ在定義域?yàn)椋?／3上也為增函數(shù)，而且y≤f（1/3）+g（1/３）=4/３,因此，所求得函數(shù)值域?yàn)椋鹹｜ｙ≤４／3｝。小結(jié):利用單調(diào)性求函數(shù)得值域，就是在函數(shù)給定得區(qū)間上,或求出函數(shù)隱含得區(qū)間，結(jié)合函數(shù)得增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)得函數(shù)值，進(jìn)而可確定函數(shù)得值域.練習(xí):求函數(shù)y=3+√４—x得值域。（答案：{y|y≥3｝）法二：換元法例4求函數(shù)得值域解：（換元法)設(shè)，則點(diǎn)評(píng)：將無(wú)理函數(shù)或二次型得函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),通過(guò)求出二次函數(shù)得最值，從而確定出原函數(shù)得值域。這種解題得方法體現(xiàn)換元、化歸得思想方法。它得應(yīng)用十分廣泛.練習(xí):求函數(shù)y=√x-1–x得值域。(答案：｛y|y≤-3/4｝例６求得值域解法一：(圖象法）可化為如圖，觀察得值域解法二：（零點(diǎn)法）畫數(shù)軸利用可得。-1-103練習(xí):得值域呢?（）（三種方法均可)例7求函數(shù)得值域解：（換元法）設(shè),則原函數(shù)可化為1010xy例8求函數(shù)得值域解：(換元法)令,則由指數(shù)函數(shù)得單調(diào)性知,原函數(shù)得值域?yàn)槔?求函數(shù)得值域解:(圖象法）如圖,值域?yàn)槔?0求函數(shù)得值域解法一：（逆求法）解法二：（分離常數(shù)法)由,可得值域小結(jié):已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量得要求）內(nèi),值域?yàn)?如果就是條件定義域(對(duì)自變量有附加條件)，采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來(lái)求值域。例11求函數(shù)得值域011解法一:(逆求011小結(jié)：如果自變量或含有自變量得整體有確定得范圍，可采用逆求法.解法二:(換元法）設(shè)，則01練習(xí):ｙ=；（y∈(-1，1)）、01例13函數(shù)得值域解法一:(逆求法)2解法二：（換元法）設(shè),則2例13求函數(shù)得值域解令，則所以，值域練習(xí):１、；解：∵x0，,∴y11、另外，此題利用基本不等式解更簡(jiǎn)捷：（或利用對(duì)勾函數(shù)圖像法）2、0〈y5、3、求函數(shù)得值域①;②解：①令0,則,原式可化為，∵ｕ0，∴y，∴函數(shù)得值域就是(—，］、②解:令ｔ＝4x0得0x4在此區(qū)間內(nèi)（４x)=４，（4x）=0∴函數(shù)得值域就是｛y|0ｙ2}4、求函數(shù)ｙ=|ｘ+1|＋｜ｘ-2｜得值域、解法１：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式:,畫出它得圖象(下圖)，由圖象可知，函數(shù)得值域就是{y|y3}、解法2：∵函數(shù)y=｜x+1|+｜x-2｜表示數(shù)軸上得動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-１，2得距離之與,∴易見y得最小值就是3，∴函數(shù)得值域就是[3，＋]、如圖５、求函數(shù)得值域解:設(shè)則t０x=1代入得∵t0∴y43、分段函數(shù)分段函數(shù)就是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同得范圍內(nèi)，有不同得對(duì)應(yīng)法則得函數(shù),它就是一個(gè)函數(shù)，卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為就是幾個(gè)函數(shù)；它得定義域就是各段函數(shù)定義域得并集,其值域也就是各段函數(shù)值域得并集、由于它在理解與掌握函數(shù)得定義、函數(shù)得性質(zhì)等知識(shí)得程度得考察上有較好得作用，時(shí)常在高考試題中“閃亮"登場(chǎng)。1.求分段函數(shù)得定義域與值域例1。求函數(shù)得定義域、值域、【解析】作圖,利用“數(shù)形結(jié)合”易知得定義域?yàn)?，值域?yàn)椤?.求分段函數(shù)得函數(shù)值例2。已知函數(shù)求、【解析】因?yàn)?所以、3。求分段函數(shù)得最值例3．求函數(shù)得最大值、【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),，綜上有、4．求分段函數(shù)得解析式例4．在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與得圖象關(guān)于直線對(duì)稱，現(xiàn)將得圖象沿軸向左平移２個(gè)單位,再沿軸向上平移1個(gè)單位，所得得圖象就是由兩條線段組成得折線(如圖所示）,則函數(shù)得表達(dá)式為（）【解析】當(dāng)時(shí)，，將其圖象沿軸向右平移2個(gè)單位，再沿軸向下平移１個(gè)單位，得解析式為，所以，當(dāng)時(shí)，，將其圖象沿軸向右平移２個(gè)單位，再沿軸向下平移1個(gè)單位，得解析式,所以，綜上可得，故選A、9。解分段函數(shù)得不等式例１１．設(shè)函數(shù),若，則得取值范圍就是(）【解析1】首先畫出與得大致圖像,易知時(shí)，所對(duì)應(yīng)得得取值范圍就是、【解析2】因?yàn)?當(dāng)時(shí)，，解得,當(dāng)時(shí),,