河南省平頂山市汝州市2021-2022學(xué)年八下期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021~2022學(xué)年下學(xué)期期中考試試卷八年級數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷分試題卷和答題卡兩部分，試題卷共4頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．2．試題卷上不要答題，請用0.5毫米黑色簽字水筆直接把答案寫在答題卡上，答在試題卷上的答案無效．3．答題前，考生務(wù)必將本人姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡第一面的指定位置．一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個答案，其中只有一個是正確的．1.下列圖形中，既是中心對稱又是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中心對稱圖與軸對稱圖形定義對每個選項進行判斷即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、既是中心對稱圖又是軸對稱圖形，故本選項正確；故選：D．【點睛】本題考查中心對稱圖與軸對稱圖形定義，熟練掌握中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．2.若，則下列不等式一定成立的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行運算辨別即可．【詳解】解：A、∵x＜y，∴-2x＞-2y，故A不符合題意；B、∵x＜y，∴x-2＜y-2，故B符合題意；C、∵x＜y，當(dāng)m＞0時，mx＜my，故C不符合題意；D、∵x＜y，∴，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，能靈活運用不等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵，注意：①不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；②不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．3.如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB與AC，當(dāng)固定點B，C到桿腳E的距離相等，且B、E、C在同一直線上時，電線桿DE就垂直于BC工程人員這種操作方法的依據(jù)是（）A.等邊對等角 B.等角對等邊C.垂線段最短 D.等腰三角形“三線合一”【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人員這種操作方法的依據(jù)是等腰三角形“三線合一”，故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一”是解題的關(guān)鍵．4.下列各圖中，由圖形①到圖形②既可經(jīng)過平移，又可經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】此題是一組復(fù)合圖形，根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答．【詳解】觀察四個圖形可知，選項D中圖形①向左平移，再向下平移可得到圖形②；圖形①繞正六邊形中心順時針方向旋轉(zhuǎn)120°可得到圖形②，符合題意．故選D．【點睛】本題考查平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①平移不改變圖形的形狀和大??；經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．

②旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對應(yīng)點連線的交點是旋轉(zhuǎn)中心．5.如圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（）A.三邊垂直平分線的交點 B.三邊中線的交點C.三條角平分線的交點 D.三邊上高的交點【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵中轉(zhuǎn)倉到A、B兩地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AB的垂直平分線上，同理，中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在邊AC、BC的垂直平分線上，∵中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在三邊垂直平分線的交點上，故選：A．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．6.將不等式組，的解集表示在數(shù)軸上正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出不等式組的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】不等式組的解集是﹣1＜x≤2，在數(shù)軸上表示為：，故選：C．【點評】本題考查了解不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能正確在數(shù)軸上表示出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，平分交于點D，，若點P是上的動點，則線段的最小值是（）A.2.4 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】過點D作DE⊥BC于點E，由垂線段最短可知當(dāng)P與E重合時DP最短，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到DE=DA=3．【詳解】解：如圖所示，過點D作DE⊥BC于點E，∵垂線段最短，∴當(dāng)P與E重合時DP最短，∴線段的最小值即DE的長度，∵BD平分交于點D，AD⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DA=3．故選：B．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．8.若方程組的解滿足，則的取值中負(fù)整數(shù)的個數(shù)是（）A1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】先把方程組化簡成用含m的式子表示x-y，再解不等式，結(jié)合題意在解集中找到符合題意的數(shù)字就可以解決本題．【詳解】解：得：∵∴∴∴的取值中負(fù)整數(shù)有兩個，分別為：-2、-1．故選：B．【點睛】本題考查了含參數(shù)二元一次方程組的解法、解不等式、負(fù)整數(shù)的定義等知識．用含m的式子表示出x-y和正確解不等式是解決本題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，，；在上任取一點，延長到，使；在上任取一點，延長到，使；按此做法繼續(xù)下去，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形外角定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，找到角度規(guī)律，即可進行求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，同理可知：，即：，由此可知：，故選：C．【點睛】本題主要考查的是三角形外角定理，以及等腰三角形的性質(zhì)，依次找到相鄰三角形底角的角度關(guān)系，并進行延伸是解題的關(guān)鍵．10.運行程序如圖所示，從“輸入整數(shù)x”到“結(jié)果是否＞18”為一次程序操作，若輸入整數(shù)x后程序操作僅進行了兩次就停止，則x的最小值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)運行程序，第一次運算結(jié)果小于等于18，第二次運算結(jié)果大于18列出不等式組，然后求解即可．【詳解】解：由題意得，解不等式①得，解不等式②得．則的取值范圍是，是整數(shù)，的最小值是5．故選：．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解運行程序并列出不等式組是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若商品原價為5元，如果降價x%后，仍不低于4元，那么x的取值為________

.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意表示出降價后價格，進而得出不等關(guān)系求出即可．【詳解】解：由題意可得：5（1-x%）≥4，

解得：x≤20．

故答案為x≤20．【點睛】本題考查一元一次不等式的應(yīng)用，得出正確不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．12.如圖，是邊長為2的等邊三角形，將沿直線平移到的位置，連接．則的長為________．【答案】【解析】【分析】由平移的性質(zhì)以及邊長關(guān)系，可判定∠BAE=90°，然后利用勾股定理即可解答．【詳解】解：∵△DCE由△ABC平移而成∴BE=2BC=4，DC=AB=CE=DE=2∵等邊△ABC∴∠ACB=60°∴∠CEA=∠CAE=30°∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+30°=90°∴AE==故答案為．【點睛】本題主要考查等邊三角形、平移的性質(zhì)以及勾股定理的等知識點，掌握平移的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．13.如圖，在四邊形中，，，，．則四邊形的面積為________．【答案】【解析】【分析】延長DA和CB交于點E，求出∠E=30°，在利用30°的直角三角形的性質(zhì)求出AE，BE，DE，DC，的長，再求出與的值，最后求出四邊形的面積即可．【詳解】解：如圖：延長DA和CB交于點E，∵∠C=60°，∠D=90°，∴∠E=30°，在Rt中AE=2AB=10，BE=，∴DE=AE+AD=12，在Rt中EC=2DC,∴即化簡得：，解得：，∴，，∴四邊形的面積=，故答案為：．【點睛】本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積等知識；熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．14.如果2m，m，1﹣m這三個實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點從左到右依次排列，那么m的取值范圍是________．【答案】m＜0【解析】【分析】如果2m，m，1-m這三個實數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點從左到右依次排列，即已知2m＜m，m＜1-m，2m＜1-m，即可解得m的范圍．【詳解】根據(jù)題意得：2m＜m，m＜1-m，2m＜1-m，解得：m＜0，m＜，m＜，∴m的取值范圍是m＜0．故答案為m＜0．15.如圖，把繞頂點順時針旋轉(zhuǎn)得到，若直線垂直平分，垂足為點，連接，，，且，．下面四個結(jié)論：①；②；③；④的面積為，其中正確的結(jié)論有________．【答案】①②④【解析】【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，則可得△CBF為等腰直角三角形，于是可對①②進行判斷；由于直線DF垂直平分AB，則FA＝FB，BE＝AE，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可計算出∠ECA＝∠A＝22.5°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可計算出∠CEF，從而可對③進行判斷；利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，則利用三角形面積公式計算即可對④進行判斷．【詳解】∵把Rt△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DFC，∴CF＝CB＝2，∠BCF＝90°，∴△CBF為等腰直角三角形，∴BF＝BC＝，∠CBF＝45°，故①②正確；∵直線DF垂直平分AB，∴FA＝FB=，BE＝AE，∴∠BAF＝∠ABF．∵∠BFC＝∠BAF+∠ABF＝45°，∴∠BAF＝22.5°，∵CE為Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴EC＝EA，∴∠ECA＝∠BAF＝22.5°，∴，故③錯誤；∵把Rt△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DFC，∴．∴，故④正確．故答案為：①②④．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識．掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16.（1）解不等式：（2）解不等式組：（要求：利用數(shù)軸解不等式組）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)解不等式的步驟求解即可；（2）先求出來個不等式的解集，在在數(shù)軸表示出來，找出公共部分即為不等式組的解集．【詳解】（1）解：去分母得：去括號得：移項得：合并得：得：（2）解：解不等式①得解不等式②得在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集因此原不等式組的解集為：【點睛】本題考查了解一元一次不等式（組），熟練掌握解一元一次不等式（組）的方法和步驟是解題的關(guān)鍵．17.在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為，，（每個方格的邊長均為1個單位長度）．（1）請畫出關(guān)于原點對稱的圖形，并直接寫出點的坐標(biāo)；（2）將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的．并直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】（1）圖見解析，點坐標(biāo)為．（2）圖見解析，點坐標(biāo)為．【解析】【分析】（1）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特征寫出的坐標(biāo)，然后描點即可．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出對應(yīng)點的位置即可．【小問1詳解】如圖所示：即為所求，【小問2詳解】如圖所示：即為所求，【點睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊．上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．18.某單位要制作一批宣傳材料.甲公司提出：每份材料收費1元，另收取制版費600元；乙公司提出：每份材料收費1.2元，不收取制版費.(1)設(shè)制作份宣傳材料，甲公司收費元，乙公司收費元，請分別寫出，與的關(guān)系式；(2)該單位要制作宣傳材料1000～4500(含1000和4500)份，選擇哪家公司比較合算？【答案】(1)y1＝x＋600；y2＝1.2x；(2)當(dāng)1000≤x＜3000時，選擇乙公司較合算；當(dāng)x＝3000時，甲、乙兩公司一樣合算；當(dāng)3000＜x≤4500時，選擇甲公司較合算【解析】【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩個公司的收費方法分別列式即可；（2）分別算出y1＞y2，y1＝y(tǒng)2，y1＜y2時x的取值范圍即可得出結(jié)論.【詳解】解：(1)根據(jù)題意得，y1＝x＋600；y2＝1.2x.(2)由題意，當(dāng)y1＞y2時，x＋600＞1.2x，得x＜3000；當(dāng)y1＝y(tǒng)2時，x＋600＝1.2x，得x＝3000；當(dāng)y1＜y2時，x＋600＜1.2x，得x＞3000；∴當(dāng)1000≤x＜3000時，選擇乙公司較合算；當(dāng)x＝3000時，甲、乙兩公司一樣合算；當(dāng)3000＜x≤4500時，選擇甲公司較合算.【點睛】此題考查一元一次不等式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，找到所求的量的等量關(guān)系．19.如圖，在中，點在的垂直平分線上，連接，作于點，交的延長線于點，且．（1）求證：；（2）如果，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）44°【解析】【分析】（1）由點在的垂直平分線上，得到CB=CD，即可證明，得到，等量代換得到，即可得出結(jié)論；（2）由,得到，再由，解得∠CBD，得出∠ABC和∠A的度數(shù)．【小問1詳解】證明：，，∴和均是直角三角形，∵點在的垂直平分線上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和、外角和的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是找到全等三角形，利用其性質(zhì)解題．20.某大型超市從生產(chǎn)基地購進一批水果，運輸過程中質(zhì)量損失10%，假設(shè)超市購進這批水果總量為m千克，每千克進價為n元（不計超市其它費用）．（1）如果超市在進價的基礎(chǔ)上提高10%作為售價，此時：①超市最終的銷售額為_________元（用含m、n的代數(shù)式表示）；②在這一次銷售中，超市_______（填：盈利或虧本）．（2）如果超市至少要獲得17%的利潤，請通過計算說明這種水果的售價最低應(yīng)提高百分之幾？【答案】（1）①；②虧本；（2）這種水果的售價最低應(yīng)提高30%．【解析】【分析】（1）①根據(jù)總價=單價×數(shù)量，即可求出超市最終的銷售額；

②將最終的銷售額與進貨成本比較后即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)這種水果的售價最低應(yīng)提高x%，根據(jù)利潤=銷售收入-進貨成本，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①超市最終的銷售額為（1+10%）n×（1-10%）m=0.99mn（元）．

②∵0.99mn＜mn，

∴在這一次銷售中，超市虧本．

故答案為：①0.99mn；②虧本．

（2）設(shè)這種水果的售價最低應(yīng)提高x%，

依題意，得：（1+x%）n×（1-10%）m-mn≥17%mn，

解得：x≥30．

答：這種水果的售價最低應(yīng)提高30%．【點睛】此題考查列代數(shù)式以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含m、n的代數(shù)式表示出銷售額；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．21.（1）閱讀理解：我們知道，只用直尺和圓規(guī)不能解決的三個經(jīng)典的希臘問題之一是三等分任意角，但是這個任務(wù)可以借助如圖所示的一邊上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角頂點為，“寬臂”的寬度，（這個條件很重要哦！）勾尺的一邊滿足，，三點在同一直線上且．如圖所示，下面以三等分為例說明利用勾尺三等分銳角的過程：第一步：畫直線使，且這兩條平行線之間的距離等于（說明：兩條平行線中的一條直線上任意一點，到另一條直線的距離，就是這兩條平行線之間的距離）；第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點落在上，使勾尺的邊經(jīng)過點，同時讓點落在的邊上；第三步：標(biāo)記此時點和點所在位置，作射線和射線．請完成第三步操作，圖中的三等分線是射線________、________．（2）在（1）的圖中，過點作于點，根據(jù)（1）中第一步的操作可知，請你證明．【答案】（1）；；（2）見解析【解析】【分析】（1）作射線BQ和射線BP，射線BQ和射線BP就是∠ABC的三等分線；（2）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的三線合一，角平分線的判定定理，即可證明．【小問1詳解】解：作射線BQ和射線BP，如圖所示：射線BQ和射線BP就是∠ABC的三等分線．故答案為：BQ；BP．【小問2詳解】∵，，∴，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查三角形綜合題，垂直平分線性質(zhì)定理，角平分線的判定定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會利用軸對稱構(gòu)造角相等，屬于中考常考題型．22.如圖，長方形各頂點的坐標(biāo)分別為，，，，長方形各頂點的坐標(biāo)分別為，，，．平移長方形得到長方形，且點的坐標(biāo)為．（1）畫出長方形，并指出這一平移的平移方向和平移距離；（2）如果長方形沿的方向平移，至與重合停止，設(shè)平移過程中平移的距離為，長方形與長方形重疊的面積為，請指出在平移過程中是如何變化的，并直接寫出平移過程中的最大值．【答案】（1）圖見解析，平移方向是點到點的方向，平移距離為，（2）在平移過程中，的變化情況是：先變大，再保持不變，再變小．平移過程中，的最大值為4【解析】【分析】（1）根據(jù)點B′的坐標(biāo)，就知道了平移方向和平移距離，得、、，連接、、、，即可得長方形A′B′C′D′；（2）需要分段考慮，當(dāng)兩個長方形只有部分重疊時，由圖像可知當(dāng)d增（減）相同數(shù)量時，對應(yīng)的S也增（減）相同數(shù)量，求出S與d之間的關(guān)系式，當(dāng)大長方形包含小長方形時，S是一個常量，分別求出S的值，即可得答案．【小問1詳解】解：長方形A′B′C′D′，如圖所示：∵B(3，4)到B′(7，8)，∴點B向右移動4個單位距離，再向上移動4個單位距離，得到點，同理可得、、，連接、、、，即可得長方形A′B′C′D′，平移的方向是點B(3，4)到點B′(7，8)的方向，平移距離為個單位長度（即一個小方格對角線的4倍）；【小問2詳解】當(dāng)兩個長方形只有部分重疊時，由圖像可知當(dāng)d增（減）相同數(shù)量時，對應(yīng)的S也（減）相同數(shù)量，當(dāng)大長方形包含小長方形時，S是一個常量，所以在平移過程中，S的變化情況是：先變大，再保持不變，再變小，∵，，，，，∴S最大值為4．【點睛】本題主要考查平移與坐標(biāo)，同時還要綜合運用一次函數(shù)解決問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移與坐標(biāo)，一次函數(shù)相關(guān)知識點．23.（1）如圖1，等邊內(nèi)有一點，若點到頂點、、的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點旋轉(zhuǎn)到處，此時，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出________；（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：如圖2，中，，，，為上的點，且，判斷，，之間的