廣東省肇慶市高要區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023-2024學(xué)年廣東省肇慶市高要區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可求解，掌握最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、是最簡二次根式，符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；、中根號含有分?jǐn)?shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；、，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：．2.下列數(shù)據(jù)中能作為直角三角形三邊長的是（）A.、、 B.、、 C.、、 D.、、【答案】A【解析】【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．先求出兩小邊的平方和，再求出長邊的平方，看看是否相等即可．【詳解】解：A、，以、、為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；B、，以、、為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；C、，以、、邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；D、，以、、為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意．故選：．3.下列計算錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的加法運算對選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對B選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對C選項進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的性質(zhì)對D選項進(jìn)行判斷．詳解】解：．與不能合并，所以選項符合題意；B．，所以B選項不符合題意；C．，所以C選項不符合題意；D．，所以D選項不符合題意．故選：．4.如圖是嘉淇不完整的推理過程，為了使嘉淇的推理成立，需在四邊形中添加條件，下列添加的條件正確的是（）∵，∴，又∵（），∴四邊形是平行四邊形．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項判斷即可．【詳解】解：添加后可得，僅一組對邊平行，無法證明四邊形是平行四邊形．故A選項不合題意；添加后可得，，滿足一組對邊平行且相等，可證四邊形是平行四邊形．故B選項符合題意；添加后，，四邊形為等腰梯形，不是平行四邊形．故C選項不合題意；添加后，滿足一組對邊平行，另一組對邊相等，不能證明四邊形是平行四邊形．故D選項不合題意；故選B．【點睛】本題考查添加一個條件構(gòu)造平行四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定定理．5.如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，則∠B的度數(shù)是()A.130° B.120° C.100° D.90°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得：∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再根據(jù)∠A+∠C=160°計算出∠A的度數(shù)，進(jìn)而可算出∠B的度數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∠A+∠B=180，∵∠A+∠C=160，∴∠A=80，∴∠B=180?80=100.故選C.【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，對角相等，對邊平行.6.如圖，已知菱形的對角線AC；BD交于點O，E為CD的中點，若，則菱形的周長為（）．A.18 B.48 C.24 D.12【答案】B【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CD的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∴△COD為直角三角形，∵OE＝6，點E為線段CD的中點，∴CD＝2OE＝12，∴C菱形ABCD＝4CD＝4×12＝48，故選：B．【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出CD．7.如圖，以原點為圓心，為半徑畫弧與數(shù)軸交于點，且點表示的數(shù)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)勾股定理列式求出，再利用平方根的相反數(shù)定義解答，正確利用勾股定理求出的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖可知，，則，舍去，故選：．8.如圖所示，菱形的對角線交于點O，且，則菱形的面積為（）A.20 B.48 C.24 D.12【答案】C【解析】【分析】本題考查了菱形的面積公式，熟練掌握菱形的面積等于對角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形面積公式計算即可得答案．【詳解】解：在菱形中，，菱形的面積，故選：C．9.如圖，矩形中，，E是的中點，，則長為（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．由直角三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∵E是的中點，∴，∵，∴，∴∴，故選：C．10.如圖，在中，，分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”，當(dāng)，時，則陰影部分的面積為（）A. B. C. D.9【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)計算即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得∴故選：D．【點睛】此題考查的是求不規(guī)則圖形的面積，掌握用勾股定理解直角三角形、半圓的面積公式和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分．11.如果二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，對于二次根式，需滿足，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴故答案為：12.“如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等”的逆命題是：___________________________【答案】如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等【解析】【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題．【詳解】解：命題“如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等”的題設(shè)是“如果兩個實數(shù)相等”，結(jié)論是“那么它們的絕對值相等”，故其逆命題是“如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等”．故答案為：如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么這兩個實數(shù)相等.

13.如圖，在四邊形中，，請?zhí)砑右粋€條件：________，使四邊形成為平行四邊形．【答案】（答案不唯一）．【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】添加條件為：，理由如下：∵，，∴四邊形平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）．14.如圖，在中，，點D是的中點，，，則______．【答案】5【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半即可得到答案．【詳解】解：∵在中，∠，，，∴由勾股定理得，∵點D是的中點，∴，故答案為：5．15.如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，以A為圓心，為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點N，則的長是______．【答案】【解析】【分析】連接，則，在中，利用勾股定理求出即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，由題意知：，在中，由勾股定理得：，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，求出的長是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共8小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.計算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡各式，再合并同類二次根式；（2）先進(jìn)行乘除運算，再合并同類二次根式即可．【小問1詳解】解：原式=；【小問2詳解】原式．【點睛】本題考查二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．17.一個矩形的長為，寬為．（1）該矩形的面積______；（2）求的值．【答案】（1）1（2）6【解析】【分析】本題考查了二次根式的應(yīng)用，完全平方公式，平方差公式，熟練掌握矩形的面積公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)完全平方公式計算即可．【小問1詳解】解：∵矩形的長為，寬為，∴該矩形的面積，故答案為：；【小問2詳解】解：．18.如圖，在矩形中，點E、F分別在邊上且．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析【解析】【分析】先由矩形的性質(zhì)得到，則，，再證明，進(jìn)而證明，則，即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，熟知兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．19.在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝15，AC＝20，AD＝12．求證：AB⊥AC．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而可得，進(jìn)而勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可得證．【詳解】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ADB中，BD＝.在Rt△ADC中，CD＝.∴BC＝BD＋CD＝9＋16＝25.∵AB2＝152＝225，AC2＝202＝400，BC2＝252＝625.∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.【點睛】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．20.圖，ABCD的對角線，相交于點，是等邊三角形，．（1）求證：ABCD是矩形；（2）求點到線段的距離．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得OA=OB，再由平行四邊形的性質(zhì)得OB=OD=BD，OA=OC=AC，則BD=AC，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得∠BAD=90°，則∠ADB=30°，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵△AOB為等邊三角形，∴∠BAO=∠AOB=60°，OA=OB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD=BD，OA=OC=AC，∴BD=AC，∴?ABCD是矩形；（2）解：∵?ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠ABO=60°，∴∠ADB=90°-60°=30°，∴DB=2AB=8，∴AD===4，設(shè)點A到線段BD的距離為h，∵S△ABD=BD?h=AB?AD，∴×8h=×4×4，∴h=2，即點A到線段BD的距離為2．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H，（A，H，B在一條直線上），并修一條路．測得千米，千米，千米．（1）問是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．（2）求原來的路線的長．【答案】（1）是，見解析（2）千米【解析】【分析】（1）先根據(jù)勾股定理逆定理證得是直角三角形，然后根據(jù)點到直線的距離中，垂線段最短即可解答；（2）設(shè)，則AH=x-3，在中，利用勾股定理求解即可．【小問1詳解】∵，∴∴∴是從村莊C到河邊的最近路【小問2詳解】，則在中∴解得：∴原來的路線的長為千米【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，點到直線的最短距離，靈活應(yīng)用勾股定理的逆定理和定理是解題的關(guān)鍵．22.在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點．（1）求證：≌；（2）證明四邊形是菱形；（3）若，，求菱形的面積．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）10【解析】【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)及判定，利用全等三角形的性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵，注意菱形面積公式的應(yīng)用．（1）利用平行線的性質(zhì)及中點的定義，可利用證得結(jié)論；（2）由（1）可得，結(jié)合條件可求得，則可證明四邊形為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可證得，可證得四邊形為菱形；（3）連接，可證得四邊形為平行四邊形，則可求得的長，利用菱形的面積公式可求得答案．【小問1詳解】證明：∵，，是的中點，，在和中，；【小問2詳解】證明：由（1）知，，則．為邊上的中線，．∵，四邊形是平行四邊形，，是的中點，，四邊形是菱形；【小問3詳解】解：連接，∵，，四邊形是平行四邊形，，四邊形菱形，．23.已知：如圖，O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC為矩形，B（5，2），點D是OA中點，點P在BC上以每秒2個單位的速度由C向B運動，設(shè)動點P的運動時間為t秒．（1）t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？（2）在直線CB上是否存在一點Q，使得O、D、Q、P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）t=1.25；（2）存在；t=0.75，Q（4，2）；或t=0.5，Q（-1.5，2），或t=2，Q（1.5，2）．【解析】【分析】（1）先求出OA，進(jìn)而求出OD=2.5，再由運動知BP=5-2t，進(jìn)而由平行四邊形的性質(zhì)建立方程5-2t=2.5即可得出結(jié)論；

（2）分三種情況討論，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論；【詳解】（1）∵四邊形OABC為矩形，B（5，2），∴BC=OA=5，AB=OC=2，∵點D時OA的中點，∴OD=OA=2.5，由運動知，PC=2t，∴BP=BC-PC=5-2t，∵四邊形P