備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)9.2橢圓(精講)(原卷版+解析)

9.2橢圓（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一橢圓定義及應(yīng)用【例1-1】（2022·日照模擬）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【例1-2】（2022·江陰模擬）設(shè)是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過的直接l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（）A．14 B．13 C．12 D．10【例1-3】（2021高三上·桂林月考）點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則△的周長是（）A．12 B．10 C．8 D．6【一隅三反】1．（2022·江西模擬）“”是“方程表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分雜件C．充要雜件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·江西模擬）“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2021高三上·珠海月考）已知點(diǎn)，且是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2021高三上·信陽開學(xué)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，焦距，過點(diǎn)的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的方程為()A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·內(nèi)江模擬）以橢圓的短軸的一個端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等邊三角形，且橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．2．（2021·全國高三專題練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．3．（2021·山西長治市·高三月考（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用周長為72的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓τ，且τ與矩形ABCD的四邊相切.設(shè)橢圓τ在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（）A． B．C． D．考點(diǎn)三橢圓的離心率【例3-1】（2022·秦皇島二模）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【例3-2】（2022·浙江模擬）已知橢圓以為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在橢圓上，且過右焦點(diǎn)，，若，則該橢圓離心率是（）A． B． C． D．【例3-3】（2022·南充模擬）已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在直線與上，且，，若為定值，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·湘潭三模）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2的周長為12，則E的離心率為（）A． B． C． D．2．（2022·安康模擬）以橢圓的左?右頂點(diǎn)作為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以的焦點(diǎn)作為的頂點(diǎn)，則的離心率為（）A． B． C．2 D．3．（2022·福建模擬）已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．4．（2021高三上·金臺月考）已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．5．（2021·蚌埠模擬）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若橢圓上存在一點(diǎn)使得是等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．考點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系【例4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【例4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2021·遼寧）已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線與橢圓有且只有一個交點(diǎn)，則的值是(

)A． B． C． D．3．（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值．考點(diǎn)五弦長及中點(diǎn)弦【例5-1】（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（

）A． B． C． D．【例5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【例5-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2022廣東）橢圓中，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，點(diǎn)在雙曲線C上，橢圓E的焦點(diǎn)與雙曲線C的焦點(diǎn)相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（

）A． B．C． D．3．（2022·安徽）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且直線的斜率為，則直線斜率為（

）A． B．3 C． D．9.2橢圓（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一橢圓定義及應(yīng)用【例1-1】（2022·日照模擬）已知曲線，則“”是“曲線C是橢圓”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若曲線表示橢圓，則，故“”是“曲線C是橢圓”的必要不充分條件．故答案為：C．【例1-2】（2022·江陰模擬）設(shè)是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過的直接l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為（）A．14 B．13 C．12 D．10【答案】A【解析】由橢圓的定義，知，，所以的周長為，所以當(dāng)最小時，最大.又當(dāng)時，最小，此時，所以的最大值為.故答案為：A.【例1-3】（2021高三上·桂林月考）點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則△的周長是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】B【解析】點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，其中由拋物線定義得：.△的周長為.故答案為：B.【一隅三反】1．（2022·江西模擬）“”是“方程表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分雜件C．充要雜件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由，可得，當(dāng)時，方程可化為，此時方程表示圓，所以充分性不成立；反之：方程表示橢圓，則滿足，即且，所以不成立，即必要性不成立，所以“”是“方程表示橢圓”的既不充分也不必要條件.故答案為：D.2．（2022·江西模擬）“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】[解法一]方程即方程，表示橢圓的充分必要條件是，顯然“，”是“”既不充分也不必要條件，故“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，[解法二]當(dāng)時，滿足“，”，此時題中方程可化為：，表示的曲線是圓而不是橢圓，當(dāng)時，不滿足“，”，只是題中方程可化為：，表示中心在原點(diǎn)，半長軸為1，半短軸為的橢圓，故：“，”是“方程表示的曲線為橢圓”的既不充分也不必要條件，故答案為：D3．（2021高三上·珠海月考）已知點(diǎn)，且是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，，當(dāng)在的正上方時，等號成立.故答案為：D考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2021高三上·信陽開學(xué)考）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，焦距，過點(diǎn)的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的方程為()A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，，則，

延長交橢圓C于點(diǎn)M，得，

設(shè)，則，據(jù)橢圓的定義有，在中，得，

又在中，得

故，則橢圓C的方程為.故答案為：A【一隅三反】1．（2022·內(nèi)江模擬）以橢圓的短軸的一個端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等邊三角形，且橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最大距離為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：短軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)形成等邊三角形，則，

橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)最大距離為6，即，則，，.則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：C.2．（2021·全國高三專題練習(xí)）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：A3．（2021·山西長治市·高三月考（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用周長為72的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓τ，且τ與矩形ABCD的四邊相切.設(shè)橢圓τ在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意橢圓方程是方程為，排除BD，矩形的四邊與橢圓相切，則矩形的周長為，．在橢圓中，，,不滿足題意，在橢圓中，,滿足題意．故選：C．考點(diǎn)三橢圓的離心率【例3-1】（2022·秦皇島二模）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，若的周長為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?因?yàn)榈闹荛L為，所以，所以，所以橢圓的離心率為，故答案為：B.【例3-2】（2022·浙江模擬）已知橢圓以為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在橢圓上，且過右焦點(diǎn)，，若，則該橢圓離心率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可得如圖橢圓，是直角三角形，，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋?，，所以離心率．故答案為：A．【例3-3】（2022·南充模擬）已知P為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在直線與上，且，，若為定值，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，，聯(lián)立方程組，解得，，，，在橢圓上，，為定值，，．．故答案為：D.【一隅三反】1．（2022·湘潭三模）橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2的周長為12，則E的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈闹荛L為12，根據(jù)橢圓的定義可得，解得，則，所以，則橢圓的離心率為.故答案為：A.2．（2022·安康模擬）以橢圓的左?右頂點(diǎn)作為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以的焦點(diǎn)作為的頂點(diǎn)，則的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】由題可知的焦距為4，實(shí)軸長為，所以的離心率為故答案為：C3．（2022·福建模擬）已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且滿足，，則該橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：設(shè)，則，因?yàn)?，則，由橢圓的定義可得，則，所以，，則，由勾股定理可得，則，則，因此，該橢圓的離心率為。故答案為：B.4．（2021高三上·金臺月考）已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】所以，又，所以，，故答案為：D．

5．（2021·蚌埠模擬）已知橢圓的右頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若橢圓上存在一點(diǎn)使得是等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知，可設(shè)點(diǎn)P，代入得，解得a2=3b2，

則c2=2b2，則離心率為故答案為：C考點(diǎn)四直線與橢圓的位置關(guān)系【例4-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與橢圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】，在橢圓內(nèi)，恒過點(diǎn)，直線與橢圓相交.故選：A.【例4-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為鈍角，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得，則.因?yàn)闉殁g角，所以.因?yàn)椋?因?yàn)楫?dāng)時，三點(diǎn)共線，不符合題意，所以.故答案為：D【一隅三反】1．（2021·遼寧）已知直線l：，曲線C：，則直線l與曲線C的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【解析】由直線l：，得直線l過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以該點(diǎn)在曲線C：內(nèi)部.所以直線l與曲線C相交.故選：C.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線與橢圓有且只有一個交點(diǎn)，則的值是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，，由題意知，解得，故選：C．3．（2022·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（理））已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值．【答案】(1)；(2).【解析】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，，所以，即或，則，故，點(diǎn)到直線的距離，則的面積，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即面積的最大值為．考點(diǎn)五弦長及中點(diǎn)弦【例5-1】（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)）已知斜率為1的直線l過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長為.故選：C.【例5-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓，則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)弦的兩個端點(diǎn)分別為，，則，①﹣②得：，即，所以．故以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為y，整理得：.故選：C.【例5-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓：右焦點(diǎn)的直線：交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且的斜率為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，焦點(diǎn)，