高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊第二冊綜合拔高試卷1

高中數(shù)學(xué)人教A版必修第一冊第二冊綜合拔高試卷1

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.已知三棱錐P—ABC三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直，且％=尸8=?。=6,

M、N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點，則線段MN的長度的最小值為

（）

A.26-3B.4G-6C.6-2石D.2也

2.已知正六棱錐V-ABCDEF,尸是側(cè)棱VC上一點（不含端點），記直線P3與直線DE

所成角為a,直線總與平面ABC所成角為夕，二面角'的平面角為則

（）

A./3<y,?</B.P<a,/3<y

C.J3<a,Y<aD.a</3,

3.設(shè)集合5,T,SUN*,TUN*,S,T中至少有兩個元素，且S,T滿足：

①對于任意x,yeS,若加，都有xyeT

②對于任意x,y^T,若x<y,則上小；

X

下列命題正確的是（）

A.若S有4個元素，則SU7有7個元素

B.若S有4個元素，則SUT有6個元素

C.若S有3個元素，則SU7有5個元素

D.若S有3個元素，則SU7有4個元素

4.如圖，已知P,。分別是正四面體A8C。的側(cè)面A8C與側(cè)面的上動點（不包含側(cè)

面邊界），則異面直線CP,BQ所成角不可能的是

A.45°B.65°C.75°D.90°

5.如圖所示，在平面四邊形ABCO中，已知兀皿=|AO「+忸

NBAD+NBCD=%,ZABC=ZBCD,記8。的中垂線與AC的中垂線交于一點尸，恰

好CP為N4CB的角平分線，則|墨『=（）

28+2>/17

17

6.關(guān)于x的不等式2cos2x>a-46sinx在區(qū)間（〃,⑼上恒成立，的最大值為丁,

則實數(shù)”的取值范圍（）

A.a<-2-j3+\B.a=-2y/3+lC.a<-7D.a=-l

二、多選題

7.已知菱形A88的邊長為2,NABC=120。，沿對角線AC折疊成三棱錐4-AC。，

使得二面角S-AC-。為直二面角，設(shè)E為CO的中點，尸為三棱錐用-AC。表面上的

動點，則（）

A.四面體用-ACQ的外接球的半徑為百

B.BC與AE所成的角的

C.線段所的最大值是不

D.若ACLEF,則點尸軌跡的長度為1+立

2

8.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，點E是AB的中點，點尸是BC的中點，點M

是AD上的動點.將△/也。,△。6分別沿。目。尸折起，使AC兩點重合于尸，連接

下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.PDA.EF

B.若把AEB/沿著E尸繼續(xù)折起，B與尸恰好重合

C.無論M在哪里，尸B不可能與平面EFM平行

D.三棱錐P-Z)EF的外接球表面積為67r

第H卷(非選擇題)

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三、填空題

9.已知關(guān)于x的方程折fi=x+a有兩個不同的解，則實數(shù)。的取值范圍是

10.在AABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，。為AABC的外心，且有

AB+BC=,sinC(COSA-G)+COSAsinA=0,AO=xAB+yAC,x,yER,貝I」

x-2y=.

ii.已知九萬均為單位向量，與九分共面的向量向滿足即+相215|,(c-a)-g=o,

則力二的最大值是.

12.設(shè)印表示不超過x的最大整數(shù)，若[)]=3,[-1.2]=-2.給出下列命題：

①對任意的實數(shù)x,都有x-

②對任意的實數(shù)x、兒都有[x+y]N[幻+[)]

③[lg1]+[lg2]+[lg3]+L+[lg2014]+Pg2015]=4940.

④若函數(shù)/(幻=卜1幻],當xe[0,〃)(〃eN*)時，令/*)的值域為A,記集合A中元素個

數(shù)為巴，則生土勺的最小值為程，

n2

其中所有真命題的序號為.

四、解答題

13.已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足：y=/(x)在區(qū)間[L3)上是嚴格增函數(shù)，且

其在區(qū)間［1,3)上的圖像關(guān)于直線y=x成軸對稱.

(1)求證:當xw［l,3)時,f(x)=Xi

(2)若對任意給定的實數(shù)x,總有〃x+2)=〃x),解不等式〃力之/；

(3)若y=/(x)是R上的奇函數(shù)，且對任意給定的實數(shù)x,總有〃3x)=3/(x),求f(x)

的表達式.

14.已知函數(shù)=-勿|+l(xeR).

(1)當”=1時，求函數(shù)y=〃x)的零點.

(2)當求函數(shù)y"(x)在xe［l,2］上的最大值；

(3)對于給定的正數(shù)。，有一個最大的正數(shù)T(n),使xe［O,T(”)］時，都有|f(x)|vi,

試求出這個正數(shù)T(a)的表達式.

15.對于集合A={4，%,…=

A+B={x+y\xGA,y^B}.集合A中的元素個數(shù)記為同.規(guī)定：若集合A滿足

|A+A|=嗎W,則稱集合A具有性質(zhì)T.

(1)已知集合4={1,3,5,7},8=［；,|,*皆，寫出A+AB+B,并求出此時

H+H，忸+用的值；

(2)已知均有性質(zhì)7，且w=，〃，求|A+B|的最小值.

16.已知一元二次方程如2+法+。=0有兩個大于0,小于I的相異實根，其中“是正整

數(shù)，6、c是整數(shù)，求a的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案

1.B

【分析】

采用補形法得正方體，作出圖形，找出內(nèi)切球，外接球球心，由幾何關(guān)系知：兩點間

距離的最小值為PG-2r，易求外接圓半徑R,結(jié)合等體積法可求出內(nèi)切圓半徑『和PG,進

而得解.

【詳解】

由已知將該三棱錐補成正方體，如圖所示.

設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為。-外接球球心為。2，內(nèi)切球與平面45c的切點為G,

易知1：0,02，G三點均在上，且尸。,平面A8C,

設(shè)內(nèi)切球的半徑為「，外接球的半徑為R,則R=；xj62+6+62=35

由等體積法：+Sjjcp+S4ABp+SiABc)r=§5㈤50,PC,得r=3-6,

由等體積法：15ABCPG=1\ABPPC,得PG=2jL

將幾何體沿截面PCDC切開，得到如下截面圖：大圓為外接球最大截面，小圓為內(nèi)切球最

大截面，

答案第1頁，共20頁

.??加,代兩點間距離的最小值為27?-002-代—，=/>6-2廠=30-6—（6-25/5）=4百-6.

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題設(shè)將三棱錐補成正方體，進而確定內(nèi)切球，外接球球心，結(jié)合等體積法

求內(nèi)切圓半徑及PG,即可得MN的長度的最小值.

2.B

【分析】

通過明確異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，應(yīng)用三角函數(shù)知識求解，而后

比較大小.

【詳解】

解：如圖，設(shè)點V在底面上的射影為。點，連接OC,PB,

作尸G//V。，則PGJ■平面ABC,所以P8與平面ABC所成的角為/PBG,

即/=NPBG,

根據(jù)線面角最小定理知a,作GMLCD,則二面角-F的平面角為NPMG,即

答案第2頁，共20頁

Y=Z.PMG,根據(jù)tany=--->——=tana，所以y>尸.

GMGB

故選B

【點睛】

本題考查立體幾何中異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角

的計算，考查空間想象能力，數(shù)形結(jié)合思想，分析問題能力，屬于難題.

3.A

【分析】

分別給出具體的集合S和集合T,利用排除法排除錯誤選項，然后證明剩余選項的正確性即

可.

【詳解】

首先利用排除法：

若取S={1,2,4},則7={2,4,8},此時SUT={1,2,4,8},包含4個元素，排除選項C；

若取S={2,4,8},則7={8,16,32},此時SUT={2,4,8,16,32},包含5個元素，排除選項D-,

若取S={2,4,8,16},則7={8,16,32,64,128},此時S|JT={2,4,816,32,64,128},包含7個

元素，排除選項應(yīng)

下面來說明選項A的正確性：

設(shè)集合5={月，。2，必，0}，且Pl<P2Vp3Vp4，?！薄?，死，。4eN",

則P1P2<P2PA，且PR，P2P4eT，則a€S,

Pl

同理區(qū)wS,aS,ds,ds,三sS,

P2〃3PiP\PT

若Pl=l，則。222,則上<〃3，故。2即〃3=P；，

P2P2

又P4>乙>乙>1,故包="=%,所以=

PlP3〃3P2

故5={l,P2，p；,p",此時近￡?；「2￡丁，故矛盾，舍.

若P|N2,則上<區(qū)<凸，故'i=，2，'1=Pl即Pa=〃；，

P\PiPiPT

X/^4>—>—>—故區(qū)二冬二化，所以P4=P：，

P\P2〃3P3Pl

故S={0,p",p"，此時{〃：,P；,P：,P；,P；}￡T.

答案第3頁，共20頁

若qeT,則與wS,故與=p：,i=1,2,3,4,故q=p-j=1,234,

PlP\

即4€｛p：,p：,P；,浦,p：｝,故｛p：,p：,p；,p6,p；｝=T,

此時SuT=｛p“p；,pt，p；,p：,p：｝即SUT中有7個元素.

故A正確.

故選：A.

【點睛】

“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新

定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理

解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”,

掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

4.A

【分析】

取8。的中點N,根據(jù)線面垂直判定定理可得CNL平面ACN,進一步可得CM,平面加

然后計算直線8與平面的所成角，最后進行判斷即可.

【詳解】

另設(shè)正四面體的邊長為2,

取3。的中點N,連接4V,CN,并作CM_L4V,連接0M

如圖

在該正四面體中，有A8=A3BC=CD

所以8￡>_1。2,8￡>_1_42,CNcAN=N,CN,ANu平面ACN

所以BD_L平面ACN,又CMu平面ACN

所以比由8￡>c4V=N,BD,4Vu平面45。

所以CN_L平面4BD,則8與平面4步所成的角為NC7W

答案第4頁，共20頁

又CN=AN=2xsin6()=道，則cosZACN=期+0。一二**二=—

2CNAC3

所以sinZACN=—,

3

則LAN-CMJcN'ACsinNACNnCM=馮^

223

所以sinNCOM=也=">巫，所以/COM>45

CO32

所以若點尸為點。，CP與平面曲所成的角要大于45

則當Q在平面ACD內(nèi)運動時，CP與BQ所成角要大于45。

所以P,Q在側(cè)面ABC與側(cè)面運動，CP與BQ所成角要大于45

故選：A

【點睛】

本題考查異面直線所成角，通過等價轉(zhuǎn)化，線線角轉(zhuǎn)化為線面角，便于計算與判斷，考查分

析能力與邏輯推理能力，屬難題.

5.B

【分析】

由題意可知四邊形A8C3是以戶為圓心的圓內(nèi)接四邊形，由NAfiC=ZBCO可得BO=AC,

CP=AP=6P=Z)P,則筆=，由50利=|仞『+|30|2-|筋|2可得$皿/408=^^,

從而得cosN/WB=遮=cosNAC8,再利用cos24”=匕5學(xué)"結(jié)合余弦定理可得結(jié)

172

果

【詳解】

由題意可知四邊形ABCO是以P為圓心的圓內(nèi)接四邊形，因為NABC=/BC。，

所以8￡>=AC,CP=AP=BP=DP,

BD'_AC2

所以

~AP~~PC

又由題目條件可知，

S,ABD=IAD|2+1BD|2-1AB|2=IAD|?IBD\sinZADB=2\AD\-\BD\COSZADB,

所以sinN4OB=^^,cosZADB=—=cosZACB,

1717

答案第5頁，共20頁

17+舊_(|PC|2+|AC2-PApy_|7C「

14-cosZAC^

所以COS2/ACP=

234-12|PC|-AC川PC|

BD234+2V17

所以

AP——Vl~

故選：B

【點睛】

關(guān)鍵點點睛:此題考查余弦定理的綜合應(yīng)用，考查降某公式，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，

考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由NB4O+NBC0="得四邊形ABC。是以

產(chǎn)為圓心的圓內(nèi)接四邊形，從而有CP=AP=BP=DP,由/48。=/88可得8。=4^,

再結(jié)合已知條件和余弦定理可得結(jié)果，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計算能力，屬于中檔題

6.D

【分析】

根據(jù)題中條件，得至ij(2sinx-6y<5-〃，求出K-j5-a<2sinx<^+j5-a,根據(jù)特殊

值驗證，分別取〃=-26+1,?=-11,a=-7,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由2cos2x>a-4\/3sinxW2-4sin2x>?-4>/3sinx,

2

即4sinx-4gsinx—2+Q<0,則(2sinx-\/J)<5-a9

為使不等式有解，必有。<5；

所以-15-a<2sinx->/3<15-ci,即6-邪-a<2sinx<\/3+\/5-a,

若a=-26+1，則上-"+2。<2sinxvg+14+26,即

6-(6+l)<2sinx<g+(G+l),則-g<sinx<G+g,

又sinx41<g+,顯然恒成立，所以-'<sinx41,

22

TT

解得---1~2kjr<x<-----F2k冗,左￡Z；

66

由題意可得，(*，㈤是(一7+2ym+2br}eZ的子集，此時時”的最大值為

不滿足題意,故排除AB選項：

答案第6頁，共20頁

若〃=一11,則6—4v2sinx<百+4,W--2<sinx<—+2，顯然對任意XER恒成立，

22

此時m-幾無最大值；故C錯；

若a=—7,則百一v2sin尤<6+V12，BP<sinx<,

22

因為sinx4l<t8顯然恒成立，所以-且〈sinxWl,

22

7744

解得---2女乃<x<------F2k兀,kwZ；

33

由題意可得，（〃,〃?）是,?+2版■號+2可標Z的子集，此時，…的最大值為

y-（-f^=y,滿足題意，故D正確；

故選：D.

【點睛】

本題主要考查由三角不等式恒成立求參數(shù)的問題，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，二倍角公式的應(yīng)用

等，屬于?？碱}型.

7.ABD

【分析】

對A,找到兩個面的外接圓心，進而找到球心，最后通過勾股定理得出答案；

對B,建立空間直角坐標系即可求得；

對C,容易判斷；

對D,找到AE的垂面（過點E）即可求出.

【詳解】

對A,對如圖1,延長80至。1,使得0。|=。3,由題意可知0i是AACBi的外心，同理

作出AAOC的外心。2,過0i作面ABC的垂線，同理作面4OC的垂線，兩條垂線交于O',

容易判斷O'四面體的外心.易得。。2=2,。'。2=1,由勾股定理可得外接球半徑0'。=后,

A正確;

答案第7頁，共20頁

對B,如圖建立空間直角坐標系，易得危=[,相,0）,辰=僅,鳳1）,二

IcosvAk,耳">|=2近>:，所以B正確；

282

容易判斷c錯誤:

對D,

若4CJ_￡F,分別取8。，OC的中點“，/,連接EH,HI,IE,則點尸軌跡的長度為

EH+HI+IE=1+—,D正確.

2

故選：ABD.

【點睛】

對于外接球問題我們一定要找到外接球球心，先選擇兩個比較特殊的面（等腰三角形、直接

三角形、等邊三角形等等）找到外接圓心，通過外接圓心作面的垂線，兩條垂線的交點即是

外接球心；最后計算軌跡問題，根據(jù)ACLEF,找到AC的垂面（過點E）,垂面與三棱錐的

答案第8頁，共20頁

交線就是軌跡.

8.ABD

【分析】

A選項，線面垂直得到線線垂直；B選項，利用邊長相等，得到B與尸恰好重合；C選項,

找到M點使得尸8〃平面EFM，D選項，求出外接球半徑，進而得到三棱錐的外接球表面

積.

【詳解】

連接8。，與EF相交于G,連接尸G,因為正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是8c

的中點，所以A故CE=￡>F,所以8。是EF的垂直平分線，所以

G是EF的中點，因為PE=P凡所以PG_LE凡因為PGD8G=G,所以E7U平面P8G,

因為叨u平面P8G,所以P￡>_L￡F,A正確；

因為BE=BF=PF=PE,故把AEB尸沿著E尸繼續(xù)折起，8與尸恰好重合；B正確；連接

AC交BD于點。，則80=。0,因為E是A8的中點，點尸是BC的中點，所以E尸〃AC,

且8G=GO,當M位于靠近P的三等分點時，端=囁=三,可得：MG〃PB,因為PB

<2平面MEF,MGu平面MEF,可得：尸3〃平面ER0,故C錯誤；

/-FD2+DF2-FF25+5-?4

由DE=DF=SEF=6,由余弦定理得：COSNEDF=「八芯一=,

2.LD-Dr27575〉

答案第9頁，共20頁

所以sinNEDF=Jl-cos?NEDF=：,設(shè)△OEF的外接圓半徑為R,由正弦定理得：

EF&5&萬

而7而下一于一亍，如圖，。。=/?=亡絲，過點P作于點“，則

56

平面DEF,又因為PE=PF=1,EF=^，所以PELPF,且PG=^,設(shè)HG=m,則HD=半-m,

由勾股定理得：PG"G—?,即(+-病=22一心RY,解得:友

m=—

6

所以=所以PH=：,設(shè)球心為/,則/Q,底面BFDE,過1作INSH于點

1oy。

N,連接/￡>,則小=”。="。-。。=土叵-述=立，設(shè)IQ=HN=h,則

362

PN=P〃—HN=上—〃，設(shè)外接球半徑為九則〃>/P=r，即/+土=\--h\+—

3613J2

解得：h=-；,所以Tn半=*,

三棱錐P-DEF的外接球表面積為

4兀產(chǎn)=4兀x3=6兀，D選項正確.

2

故選：ABD

【點睛】

三棱錐外接球題目，要先找到球心在其中一個平面三角形的投影，然后利用正弦定理或其他

知識求出這個三角形的外接圓半徑，找到頂點在次三角形上的投影,利用勾股定理列出方程,

求出外接球半徑，進而求出外接球的表面積或體積.

9.(-l,0)U{l}U{V2}

【分析】

令y=x+a,則原方程化為|1-》2|=y，當1-/40即一14x41時，原方程化為

答案第10頁，共20頁

x2+y2=l（y>0）,表示單位圓的上半部分；當1-*2<。即x<—1,或時，則原方程化

為/-丁=1（丫>0）,表示等軸雙曲線的上半部分（不含與坐標軸的交點）；再結(jié)合圖象借助

直線與圓和雙曲線的位置關(guān)系分類討論即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：：方程=？l=x+a有兩個不同的解，令丫=犬+。，則y20,

則原方程化為11--|=丁，

當1—V20即twxwi時，原方程化為幺+9=1&20）,表示單位圓的上半部分，

當1-V<0即x<-l,或x>l時，則原方程化為，-/=1（>>0）,表示等軸雙曲線的上半部

分（不含與坐標軸的交點），

作出圖象得，

?.?等軸雙曲線漸近線為y=±x,

...直線y=x+a與雙曲線/-y2=］最多有一個交點，

.?.直線尸工+。與半圓9+9=1（”0）至少有一個交點，

*41，得-&<a<41>

（1）當〃=應(yīng)時，直線與半圓相切，有1個交點，與雙曲線有1個交點，則原方程有兩個

不同的解；

（2）當1<“<血時，直線與半圓相交，有2個交點，與雙曲線有1個交點，則原方程有三

個不同的解，不合題意；

（3）當。=1時，直線與半圓有2個交點（-1,0）和（0,1）,與雙曲線沒有交點，故原方程有兩

個不同的解;

答案第11頁，共20頁

（4）當0＜。＜1時，直線與半圓有1個交點，與雙曲線沒有交點，故原方程只有1個解，不

合題意；

（5）當時，直線與半圓有1個交點，與雙曲線有1個交點，故原方程有兩個不同

的解；

（6）當a=-1時，直線與半圓有1個交點（1,0）,與雙曲線沒有交點，故原方程只有1個解，

不合題意；

（7）當時，直線與半圓沒有交點，與雙曲線也沒有交點，故原方程沒有解，不

合題意；

綜上，實數(shù)。的取值范圍是（TO）U{1}U{&},

故答案為：（-1,O）U{1}U{@.

【點睛】

本題主要考查方程的解的個數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分類討論思想，屬于難題.

八43

10.-3或---

33

【分析】

由邊角互化可得c+4=2,"c（cosA-石）+〃cosA=0,所以2Z?cosA=3c,

即/=a2+2c2,聯(lián)立解得a=c,b=J5c,或。=5＜7,/?=3百0.分兩種情況將近=%南+丁代

兩邊分別同乘以向量得方程組，解得結(jié)果.

【詳解】

由正弦定理得c（cosA—G）+QCOSA=0,所以2/?cosA=3c，即。？=a2+2c2，

由條件得c+。=，聯(lián)立角畢得〃=,或。=5C,〃=3GC.

3

當〃=c,Z?=V3c時，AB-AC=hccosA=—c2

2

由=6+y/，得芯?礪=恁?通，

1Q

叩—/=工P2+y二。2,所以2x+3y=l.------------------------------①

2.2

同理，由=得加?前=不通.部+y前）

即萬1從=XjQ/+y/2,即1//=片1^^+y/,

答案第12頁，共20頁

所以x+2y=l.?②

聯(lián)立①②解得x=T,y=l.故x_2y=_3.

當a=5c,8=3石c時，同理可得2x+3y=l---(3),x+18y=9----(4)

解得x-2y=-瞪43.

33

43

故答案為：-3或-

33

【點睛】

(1)三角形中的邊角關(guān)系為條件時，常用正余弦定理統(tǒng)一化邊或化角；

(2)若。為AABC的外心，則有而?通-AB2=-C2,X02AC-AC2=-h2；

2222

(3)此題的關(guān)鍵是找出三邊關(guān)系和將向量轉(zhuǎn)化為邊長，得乂》的關(guān)系式.

11.2

3

【分析】

由已知，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律可得3僅+砌=0,作礪=心，麗=￡，AC=c，則

OCLAC,即C的軌跡是以O(shè)A為直徑的圓上，其半徑為2,圓心為由伍-3)出=0,

得48八CN且=記ZNAB=B,則ZH=COS(9，當CN與圓M相切時，。最小，即

可求力」的最大值.

【詳解】

將匹+0=忸一4兩邊平方，得2.伍+甸=0,

如圖，作麗=42，AN=a<AC=c>則OC_LAC,

；.C的軌跡是以O(shè)A為直徑的圓上，其半徑為2,圓心為M,再以A為圓心作單位圓，

由伍一￡"=0,得4B-C7V且

.??當。在圓M上運動時，區(qū)在圓A上的軌跡是8Q、EP,

要使最大，記/NAB=9,則Z4=cos。，當CN與圓Af相切時。最小，

此時ZWC=e,gpcos0=—=~,

MN3

??工；的最大值是g.

答案第13頁，共20頁

2

故答案為：j

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：根據(jù)向量的幾何性質(zhì)，作3=4￡,AN=a>*="，C的軌跡是以O(shè)A為直

徑的圓上，其半徑為2,圓心為再以A為圓心作單位圓，C在圓〃上運動時，8的在

圓A上軌跡是8￡)、EF'記=9,則2/=H=cose，當CN與圓M相切時。最小,

即此時力二的最大.

12.①②④

【分析】

直接利用定義判斷①②;利用新定義分類求出各式的值,作和后加以判斷③；由題意先求k]，

再求x[x],然后再求得到。“，進而得到&L詈，用基本不等式求解生詈的最小

值判斷④，得到答案.

【詳解】

對于①，由[可表示不超過X的最大整數(shù)，則對任意的實數(shù)X,都有x-l<[x]4x,命題①正

確；

對于②，記X=[x]+{x}(0<{%}<1),y=[y]+{?

則[x+y]=[[小{x}+[y]+{用2[x]+[y],故②正確；

對于③，Qlgl=O,lglO=l,lgl00=2,lglOOO=3.

.?.[lgl]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=L=[lg9]=0,[lglO]=[lgll]=L=[lg99]=l,

[lgl(X)]=[lglO2]=L=[lg999]=2,[lg!000]=[lgl001]=L=[lg2015]=3,

答案第14頁，共20頁

.?.[lgl]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+...+[lg2015]=90+900x2+1016x3=4938,命題③錯誤;

0,xe[0,l)0,XG0,1)

Ue[l,2)x,xe12)

對于④，根據(jù)題意：?］=?/.x[x]='

(n-l)x,xG[/?-!,?)

.［在各區(qū)間中的元素個數(shù)是：U23,L，〃-1.

n(n-l).a+49n501

1則二n一=-+——->

2n2n2

1Q

當〃=10時，最小值為三，命題④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查命題的真假的判斷，對新定義的理解應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，通過取整函數(shù)來建立新函

數(shù)，進而研究其定義域和值域，該題是中檔題.

13.

(1)證明見解析；

⑵［三叵,1］；

2

(3)f(x)=x.

【分析】

(1)在函數(shù)y=/(x)(xe［l,3))的圖像任取點，推導(dǎo)可得/(f(x))=x,再結(jié)合嚴格遞增推理作

答.

(2)根據(jù)給定條件結(jié)合(1)可得y=/(x)的值域［1,3),在/<3的條件下分段求解作答.

(3)求出函數(shù)f(x)區(qū)間(0,1)、［3,一)上表達式，再借助奇函數(shù)性質(zhì)計算作答.

(1)

依題意，Vxe［l,3),函數(shù)y=〃x)的圖象上任意點(”)關(guān)于直線y=x對稱點(孫龍)在函數(shù)

y=的圖象上，

答案第15頁，共20頁

則有:x=F(y),且14y<3,于是得：/(/?)=%,顯然f(x)=x滿足旦/(x))=x,

當/(x)#x時,若/(x)>x,而”F(x)<3,又y=/(x)在區(qū)間［1,3)上是嚴格增函數(shù),

則f(f(x))>/(x),即x>f(x),與y(x)>x矛盾，

若f(x)<x,而14f(x)<3,又y=〃x)在區(qū)間［1,3)上是嚴格增函數(shù)，則f(/(x))</(x),

即x<f(x),與/(x)<x矛盾，

所以當xw［l,3)時,/(x)=x.

(2)

由(1)知，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,3)上的值域為［1,3),函數(shù)y=/(x+2)的圖象可由y=/(x)

的圖象向左平移2個單位而得，

因?qū)θ我饨o定的實數(shù)x,總有/(x+2)=/(x),

則函數(shù)y=/(x)在R上的圖象可由數(shù)y=〃x)(x叩,3))的圖像向左向右每2個單位平移而

得，

于是得函數(shù)y=在R上的值域為［1,3),由是<3得:-43<X<43,

當-34X<-1時,1<%+4<3,則/'(x)=/(x+2)=f(x+4)=x+4,由/(x)Nx2得:

x2<x+4,解得喑I則有上當

2

當-14x<l時，1<%+2<3,則f(x)=/(x+2)=x+2,由〃力2f得：x<x+2,解得

-l<x<2,則有一14x<l,

當14x<3時，，由〃力2/得：x2<x,解得04x41,則有x=l,

綜上得：-■~<%<1,

2

所以不等式/(x)Nf的解集是［上空』］.

(3)

因?qū)θ我饨o定的實數(shù)x,總有f(3x)=3/(x),

X

neN',當3"4X<3"M時，有14三<3,貝U

f(x)=/(3.令=3/(3.袁=32/(言=..=3"(q)=3"*=x,

答案第16頁，共20頁

”wN*,當3-”x<3-"i時,Wl<3"-x<3,則

/W=?(3x)="/(32x)=...=l/(3"x)=J3"x=x,

顯然VxNl,函數(shù))，=3"的值域是[3,+8),函數(shù)y=3-川的值域是(0,1],

則〃取盡一切正整數(shù)，*|3-"4'<3-相｝。*|13<3｝5月3"3<3川｝=(0,+8),

因此，當xe(0,"H?)時，f(x)=x,

而y=/(x)是R上的奇函數(shù)，則當xe(F，0)時，-xe(0,+8),/(x)=-/(-x)=-(-x)=x,

又/(0)=0,

所以，xeR,/(x)=x,即函數(shù)〃x)的表達式是〃x)=x.

【點睛】

思路點睛：涉及分段函數(shù)解不等式問題，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集

即可.

2a,0<。

i1?ci—\)cT—2、ciN5/2

14.(1)零點為1+0和l；(2)/(x)1,一<Q<1,(3)r(a)=<

11m2a+\Ja2+2,0<(7<5/2

u一3

5-4iz,l<6z<—,

2

【分析】

(1)將。=1代入，令/(司=0,去掉絕對值直接求解即可得出零點;

(2)依題意，最大值在/(l),/(2)J(2a)中取得，然后分類討論即可得出答案；

(3)問題可轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間內(nèi)/(x)N-1恒成立，分-a2+1?-1及-a2+1>-1討論得出答案.

【詳解】

(1)當。=1時，/(x)=-x|x-2l+l=<:+2x+l,x_2,

x-2x+i,x<2

令-犬+2工+1=0,解得：工=1+血或1-a(舍)；

令f—2x+l=0,解得：x=1；

函數(shù)y=/(x)的零點為1+啦和1；

(2)由題意得：/(力=卜儲產(chǎn),工2一其中f(o)=/Q)=i,

x~-2ax+\,x<2a

答案第17頁，共20頁

e(°，|)，；?最大值在/(l),/(2),/(2?)中取.

當0<2〃41,即0<0弓時，/(x)在口，2］上單調(diào)遞減，.■J(x)3=;■⑴=2”；

當a<l<2a<2,即g<a<l時，在［1,2句上單調(diào)遞增，［2a,2］上單調(diào)遞減,

???“力耐=/(〃)=1；

當14"2<勿，即14"2時，/(x)在［1,可上單調(diào)遞減，［a,2］上單調(diào)遞增，

?.J(x)g=max{〃l),〃2)}；

■.-/(l)-/(2)=(2-2a)-(5-4?)=2?-3<0,=/(2)=5-4a;

綜上所述：/(x),l,—<a<1

2

3

5-4a,l<a<—

2

(3)???xw(0,+oo)時，一x<0,w一2^之。，.,./(x)nm=1,

「?問題轉(zhuǎn)化為在