2023-2024學(xué)年山西省太原五中高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年山西省太原五中高一（下）段考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=1+2i1?i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z?A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知a，b，c是非零向量，則“a=b”是“a?cA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是(

)A.若a/?/α，b/?/a，則b/?/α

B.若a/?/α，b/?/α，a?β，b?β，則β/?/α

C.若α/?/β，b/?/α，則b/?/β

D.若α/?/β，a?α，則a/?/β4.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則(AB+ACA.10 B.12 C.?10 D.?125.在△ABC中，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=(

)A.π6 B.π4 C.π36.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S?ABCD，該四棱錐的體積為423，則該半球的體積為(

)A.23π

B.4297.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代人民智慧的結(jié)晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，譯文為“有一個(gè)圓臺(tái)形狀的建筑物，下底面周長(zhǎng)為三丈，上底面周長(zhǎng)為二丈，高為一丈”，則該圓臺(tái)的側(cè)面積(單位：平方丈)為(

)A.51+π24π B.58.在△ABC中，已知A=60°，BC=2，D為BC的中點(diǎn)，則線段AD長(zhǎng)度的最大值為(

)A.1 B.2 C.3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知向量a=(?4,3)，b=(7,1)，下列說(shuō)法正確的是(

)A.(a+b)⊥a B.|a?b|=55

C.與向量10.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的說(shuō)法中(其中i為虛數(shù)單位)，正確的是(

)A.i22=1

B.復(fù)數(shù)z=3?2i的共軛復(fù)數(shù)的虛部為2

C.若1?3i是關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一個(gè)根，則q=?8

D.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|z?i|=111.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1D1A.存在點(diǎn)G，使BG/?/EF

B.存在點(diǎn)G，使平面EFG/?/平面BDC1

C.三棱錐A1?EFG的體積為定值

D.平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z=(m2+m?2)+(m?1)i，其中i為虛數(shù)單位，若z為純虛數(shù)，則m=13.如圖，直角△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，O′對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)O，∠A′C′B′=90°，A′O′=B′C′=2，則AB=______．14.設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B=2A，則b+ca的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(2,x)，b=(1,2)．

(1)若x=32，求a在b上的投影向量的模；

(2)若a//b，向量c=(1,x?1)16.(本小題15分)

如圖，在梯形ABCD中，AB/?/CD，BC⊥CD，CD=2AB=23，∠ADC=45°，梯形繞著直線AB旋轉(zhuǎn)一周．

(1)求所形成的封閉幾何體的表面積；

(2)17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=(cosC+cosB,sinA)，b=(cosC?cosB,sinC?sinA)，且a⊥b．

(Ⅰ)求角B的值；

(Ⅱ)若△ABC中，a+c=9，b=18.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD，底面ABCD為平行四邊形，E、F分別為

PD、BC的中點(diǎn)，面PAB∩面PCD=l．

(1)證明：l/?/AB；

(2)證明：EF/?/平面PAB．

(3)在線段PD上是否存在一點(diǎn)G，使FG//面ABE？若存在，求出PGGD的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19.(本小題17分)

如圖，半圓O的直徑為2cm，A為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，OA=2cm，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC.設(shè)∠AOB=α．

(1)當(dāng)α=π3時(shí)，求四邊形OACB的周長(zhǎng)；

(2)克羅狄斯?托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求∠AOC．

(3)問(wèn)：B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值．

參考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.C

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.BD

11.AC

12.?2

13.314.(1+15.解：(1)當(dāng)x=32時(shí)，a=(2,32)，

因?yàn)閎=(1,2)，

所以a在b上的投影向量的模為|acosθ|=|a?b||b|=|2+3|12+22=5．

(2)因?yàn)橄蛄縜16.解：依題意旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體可以看作一個(gè)圓柱中挖去了一個(gè)圓錐后形成的，

(1)其表面積S=圓柱側(cè)面積+圓錐側(cè)面積+圓柱底面積=12π+32π+3π=(15+32)π．

(2)其體積V=圓柱體積17.解：(Ⅰ)由a⊥b，得a?b=(cosC+cosB)(cosC?cosB)+sinA(sinC?sinA)=0，

化簡(jiǎn)得cos2C?cos2B+sinAsinC?sin2A=0，

∴sin2B?sin2C=sin2A?sinAsinC

由正弦定理，得b2?c2=a2?ac，

∴cosB=a2+c18.證明：(1)∵ABCD為平行四邊形，

∴AB/?/CD，又AB?面PCD，CD?面PCD，

∴AB/?/面PCD，∵面PAB∩面PCD=l，∴l(xiāng)/?/AB．

(2)取PA中點(diǎn)M，連接BM，EM，則EM=?/?/12AD，又∵BF=?/?/12AD，

∴EM=?/?/BF，∴四邊形BFEM為平行四邊形，∴EF/?/BM，

∵EF?面PAB，BM?面PAB，∴EF/?/面PAB．

(3)取AD中點(diǎn)N，連接FN，NG，則FN/?/AB，F(xiàn)N?面ABE，AB?面ABE，

∴FN/?/面ABE，又∵FG/?/面ABE，F(xiàn)N?FG=F，F(xiàn)N，F(xiàn)G?面FNG，

∴面FNG/?/面ABE，且面PAD?面ABE=AE，面PAD?面FNG=NG，

∴AE/?/NG，又∵N為AD中點(diǎn)，19.解：(1)在△ABO中，

由余弦定理得AB2=OA2+OB2?2OA?OB?cosα=1+4?2×1×2×12=3，

即AB=3，于是四邊形OACB的周長(zhǎng)為OA+OB+2AB=3+23；

(2)因?yàn)镺B?AC+OA?BC≥AB?OC，