2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題2.8一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系重難點(diǎn)題型含解析新版浙教版

Page1專題2.8一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系-重難點(diǎn)題型【學(xué)問(wèn)點(diǎn)1一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系】假如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，.留意它的運(yùn)用條件為a≠0，Δ≥0.也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.【題型1利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值】【例1】（普寧市期末）若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）＝．【分析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解答】解：由題意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式1-1】（龍馬潭區(qū)模擬）設(shè)x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x2x1【分析】欲求x2【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣3，x1?x2＝﹣3，∴x2故答案為﹣5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常運(yùn)用的解題方法．【變式1-2】（解放區(qū)校級(jí)月考）一元二次方程x2+4x+1＝0的兩個(gè)根是x1，x2，則x2x1-x1x2的值為【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，再通過(guò)通分和完全平方公式變形得到x2【解答】解：依據(jù)題意得x1+x2＝﹣4，x1x2＝1，所以x===＝﹣83．故答案為﹣83【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2【變式1-3】（淇濱區(qū)校級(jí)月考）已知a、b是方程2x2+5x+1＝0的兩實(shí)數(shù)根，則式子aab+b【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b=-52，a?b=12，進(jìn)而可得出a＜0，b＜0，再將a+b=-52，a【解答】解：∵a、b是方程2x2+5x+1＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴a+b=-52，a?b∴a＜0，b＜0，∴aa故答案為：-21【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，牢記“兩根之和等于-ba，兩根之積等于c【題型2利用根與系數(shù)的關(guān)系求系數(shù)字母的值】【例2】（成都模擬）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，則k的值．【分析】依據(jù)判別式的意義得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然后解不等式求得k的取值范圍，然后依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16變形為﹣（x1+x2）2+3x1?x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然后解方程后即可確定滿足條件的k的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤1由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，即﹣（x1+x2）2+3x1?x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，整理得k2﹣2k﹣15＝0，解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．∴k＝﹣3，故答案為﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2【變式2-1】（萍鄉(xiāng)期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根為x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，則m＝．【分析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得x1+x2＝2，x1?x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，然后將其代入已知等式列出關(guān)于m的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求m的值．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根為x1、x2，∴x1+x2＝2，x1?x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，∴x12﹣x1＝﹣m+x1，∵x12﹣x1+x2＝3x1x2，∴﹣m+x1+x2＝3x1x2，即﹣m+2＝3m，解得：m=1故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．解題時(shí)，借用了“一元二次方程的解的定義”這一學(xué)問(wèn)點(diǎn)．【變式2-2】（文登區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的兩根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，則k的值是．【分析】先由x12﹣2x1+2x2＝x1x2，得出x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0，再分兩種狀況進(jìn)行探討：①假如x1﹣2＝0，將x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，解方程求出k＝﹣2；②假如x1﹣x2＝0，那么△＝0，解方程即可求解．【解答】解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2，x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0，x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0，（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．①假如x1﹣2＝0，那么x1＝2，將x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，整理，得k2+4k+4＝0，解得k＝﹣2；②假如x1﹣x2＝0，則△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．解得：k=-9所以k的值為﹣2或-9故答案為：﹣2或-9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，留意在利用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，需用判別式進(jìn)行檢驗(yàn)．【變式2-3】（武侯區(qū)校級(jí)月考）已知二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α和β，若|α|+|β|＝4，求m【分析】先由根與系數(shù)的關(guān)系得到2m+1＝﹣（α+β），α?β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）2+12＞0，那么α和β同號(hào)，再由|α|+|β|＝4，分α+β＝﹣4或【解答】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α∴α+β＝﹣（2m+1），α?β＝m2﹣2m+3∴2m+1＝﹣（α+β），α?β＝m2﹣2m+32=（m﹣1）∴α?β＞0，即α和β同號(hào)，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．當(dāng)α+β＝﹣4時(shí)，2m+1＝4，解得m=3當(dāng)α+β＝4時(shí)，2m+1＝﹣4，解得m=-5∵△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2m+3＝4m2+4m+1﹣4m2+8m﹣6＝12m﹣5≥0，∴m≥5∴m=-5則m=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，利用兩根關(guān)系得出的結(jié)果必需滿足△≥0的條件．【題型3利用根與系數(shù)的關(guān)系及代根法綜合求值】【例3】（九龍坡區(qū)校級(jí)期末）假如方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根為α，β，那么α2+β﹣2αβ的值為（）A．7 B．6 C．﹣2 D．0【分析】依據(jù)方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根為α，β，得到α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，將α2+β﹣2αβ變形為α+β+2﹣2αβ后代入即可求值．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)根為α，β，∴α+β＝1，αβ＝﹣2，α2＝α+2，∴α2+β﹣2αβ＝α+2+β﹣2αβ＝1+2﹣2×（﹣2）＝7，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常運(yùn)用的解題方法．【變式3-1】（撫州期末）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x12+3x2+x1x2+1的值為（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出x1+x2＝3、x1?x2＝1，將x12+3x2+x1x2+1變形為3（x1+x2）+x1x2，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴x12﹣3x1+1＝0，x1+x2＝3，x1?x2＝1，∴x12＝3x1﹣1，則x12+3x2+x1x2+1＝3x1﹣1+3x2+x1x2+1＝3（x1+x2）+x1x2＝3×3+1＝10，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出x1+x2＝3、x1?x2＝1是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（宜賓期末）已知α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α4+3β的值是（）A．4 B．42 C．5 D．52【分析】依據(jù)方程根的定義得到α2＝a+1，即可得到α4＝α2+2α+1，然后依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得α4+3β的值．【解答】解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴α2﹣α﹣1＝0，α+β＝1，∴α2＝a+1，∴α4＝α2+2α+1，則α4+3β＝α2+2α+1+3β＝α2﹣α﹣1+3α+3β+2＝3×1+2＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用整體法代值計(jì)算，此題難度一般．【變式3-3】（雅安期末）設(shè)x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的兩個(gè)根，則x13+4x22+x1﹣1的值為．【分析】依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解答】解：由題意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，x12=4∴x13=4x∴原式＝4x12-x1+4x＝4（x1＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1＝4×16﹣8﹣1＝55，故答案為：55【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．【題型4構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】【例4】（柯橋區(qū)月考）假如m、n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代數(shù)式2n2﹣mn+2m+2024＝．【分析】由題意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．則依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它們可以化簡(jiǎn)2n2﹣mn+2m+2024＝2（n+3）﹣mn+2m+2024＝2n+6﹣mn+2m+2024＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代數(shù)式的值．【解答】解：由題意可知：m，n是兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且滿足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，則2n2﹣mn+2m+2024＝2（n+3）﹣mn+2m+2024＝2n+6﹣mn+2m+2024＝2（m+n）﹣mn+2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032．故答案為：2032．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是把所求代數(shù)式化成兩根之和、兩根之積的系數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系式求值．【變式4-1】（崇川區(qū)月考）實(shí)數(shù)x，y分別滿足99x2+2024x＝﹣1．y2+2024y＝﹣99，且xy≠1．則xy+10x+1y=【分析】把y2+2024y＝﹣99變形為99（1y）2+1y+1＝0，加上99x2+2024x+1＝0，則實(shí)數(shù)x、1y可看作方程99t2+2024t+1＝0，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x+1y=-202199【解答】解：∵y2+2024y＝﹣99，∴99（1y）2+1∵99x2+2024x＝﹣1，即99x2+2024x+1＝0，∴實(shí)數(shù)x、1y可看作方程99t2+2024t∴x+1y=-202199∴原式＝x+10?x=-202199=-2011故答案為-2011【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2【變式4-2】（郫都區(qū)校級(jí)模擬）已知a2﹣2a﹣1＝0，b2+2b﹣1＝0，且ab≠1，則ab+b+1b的值為【分析】先變形b2+2b﹣1＝0得到（1b）2﹣2?1b-1＝0，則a和1b可看作方程x2﹣2【解答】解：∵b2+2b﹣1＝0，∴b≠0，方程兩邊同時(shí)除以b2，再乘﹣1變形為（1b）2﹣2?1∵ab≠1，∴a和1b可看作方程x2﹣2x∴a+1∴ab+b+1b=a+1故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1?x2【變式4-3】（蘄春縣期中）已知實(shí)數(shù)α，β滿足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，則1α2+3β【分析】原方程變?yōu)椋?α2）﹣3（1α）﹣1＝0，得到1α、β是方程x2﹣3【解答】解：∵實(shí)數(shù)α，β滿足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，∴1α、β是方程x2﹣3x∴1α+β＝3，βα=-1，∴原式＝1+3α+3β＝1+3（故答案為10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系的理解和駕馭，能嫻熟地依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【題型5根與系數(shù)的關(guān)系與三角形綜合】【例5】（西工區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．（1）求證：無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值．【分析】（1）先計(jì)算出△＝4（k﹣2）2，然后依據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；（2）先利用因式分解法求出方程的解為x1＝﹣k+6，x2＝k+2，然后分類探討：當(dāng)AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC時(shí)△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．【解答】（1）證明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，∴無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，當(dāng)AB＝AC時(shí)，﹣k+6＝k+2，則k＝2；當(dāng)AB＝BC時(shí)，﹣k+6＝5，則k＝1；當(dāng)AC＝BC時(shí)，則k+2＝5，解得k＝3，綜合上述，k的值為2或1或3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．【變式5-1】（吉安期中）關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）m為何整數(shù)時(shí)，此方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)？（3）若△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求m的值．【分析】（1）先計(jì)算出△＝1，然后依據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；（2）先求出方程的解，依據(jù)此方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)列出關(guān)于m的不等式，解不等式即可求解；（3）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系得到關(guān)于m的方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）∵△＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，x1=m+1m-1，x∵此方程的兩個(gè)根都是正整數(shù)，∴m+1m-1當(dāng)m+1＞0，m﹣1＞0時(shí)，解得m＞1，當(dāng)m+1＜0，m﹣1＜0時(shí)，解得m＜﹣1，∴m＝2或m＝3；（3）∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解為x1=m+1m-1，x∵△ABC是等腰三角形，第三邊BC的長(zhǎng)為5，∴m+1m-1解得m＝1.5，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝1.5是原方程的解．故m的值是1.5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式△＝b2﹣4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．【變式5-2】（西湖區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+4）x+m2+4m＝0．（1）求證：無(wú)論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2；①求代數(shù)式x12+x22②若方程的一個(gè)根是6，x1和x2是一個(gè)等腰三角形的兩條邊，求等腰三角形的周長(zhǎng)．【分析】（1）通過(guò)判別式△求解．（2）①通過(guò)兩根之積與兩根之和的關(guān)系將x12+x22②把x＝6代入方程求出m，再將m代入原方程求出另外一個(gè)解，再依據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊確定x的值．【解答】解：（1）△＝（2m+4）2﹣4（m2+4m）＝16，16＞0，∴此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）①x12+x22-4x1x2＝（x1+x2）∵x1+x2=--(2m+4)1=2m+4，x1x2＝m2∴（x1+x2）2﹣6x1x2＝（2m+4）2﹣6（m2+4m）＝﹣2m2﹣8m+16＝﹣2（m+2）2+24，∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)x12+x22②把x＝6代入原方程可得m2﹣8m+12＝0，解得m＝2或m＝6，當(dāng)m＝2時(shí)，原方程化簡(jiǎn)為x2﹣8x+12＝0，解得x＝2或x＝6，三角形三邊長(zhǎng)為6，6，2時(shí)三角形周長(zhǎng)為14，三角形邊長(zhǎng)為2，2，6時(shí)不存在．當(dāng)m＝6時(shí)，原方程化簡(jiǎn)為x2﹣16x+60，解得x＝6或x＝10．三角形三邊長(zhǎng)為6，6，10時(shí)三角形周長(zhǎng)為22，三角形三邊長(zhǎng)為10，10，6時(shí)，三角形周長(zhǎng)為26．∴等腰三角形周長(zhǎng)為14或22或26．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是嫻熟駕馭一元二次方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系．【變式5-3】（永州模擬）已知關(guān)于x的方程x2-2mx+14n（1）說(shuō)明這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根的差的確定值是8，且等腰三角形的面積是16，求m，n的值．【分析】（1）依據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，進(jìn)而可證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系求出m2-14n2=【解答】解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底邊長(zhǎng)，∴2m＞n，又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×1∴4m2＞n2，∴△＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）由題意得|x1﹣x2|＝8，∴（x1﹣x2）2＝64，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，由韋達(dá)定理得：x1+x2＝2m，x1x2=1∴（2m）2﹣4×14n∵等腰三角形的面積是16，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD＝CD=n∴AD=A∴12∴n＝8，代入m2解得m＝42，∴m＝42，n＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式、等腰三角形的性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，得出m，n的關(guān)系式．【題型6根與系數(shù)關(guān)系中的新定義問(wèn)題】【例6】（武侯區(qū)校級(jí)期中）假如關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且滿足數(shù)軸上x(chóng)1，x2所表示的點(diǎn)到2所表示的點(diǎn)的距離相等，則稱這樣的方程為“關(guān)于2的等距方程”以下“關(guān)于2的等距方程”的說(shuō)法，正確的有．（填序號(hào)）①方程x2﹣4x＝0是關(guān)于2的等距方程；②當(dāng)5m＝﹣n時(shí)，關(guān)于x的方程（x+1）（mx+n）＝0確定是關(guān)于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是關(guān)于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；④當(dāng)兩根滿足x1＝3x2，關(guān)于x的方程px2﹣x+3【分析】①解得方程的解后即可利用關(guān)于2的等距方程的定義進(jìn)行推斷；②解得方程的解后即可利用關(guān)于2的等距方程的定義進(jìn)行推斷；③依據(jù)方程ax2+bx+c＝0是關(guān)于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，當(dāng)x1＝x2時(shí)，x1＝x2=-b2a，不能推斷a與b之間的關(guān)系，當(dāng)x1+x2＝4時(shí)，即-ba=4，得到b④依據(jù)韋達(dá)定理和x1＝3x2，得出3x22=34（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用關(guān)于2的等距方程的定義進(jìn)行【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，則|x2﹣2＝|x2﹣2|，①正確；②當(dāng)m≠0，n≠0時(shí)，（x+1）（mx+n）＝0，則x1＝﹣1，x2=n∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，滿足2的等距方程；當(dāng)m＝n＝0時(shí)，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②錯(cuò)誤；③對(duì)于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韋達(dá)定理得：x1+x2=-b∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，則x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，當(dāng)x1＝x2時(shí)，x1＝x2=-b2a，不能推斷a與當(dāng)x1+x2＝4時(shí)，即-b∴b＝﹣4a，故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程時(shí)，b不愿定等于﹣4a，故③錯(cuò)誤；④對(duì)于方程px2﹣x+34=0有兩根滿足x1＝3由韋達(dá)定理得：x1x2=34p，x1+x2∴x1x2=34×1p=3∴3x22=34（3x2+x2）＝3x∴x2＝1或x2＝0（舍去），∴x1＝3x2＝3，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，即px2﹣x+3故正確的有①④，故答案為①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，正確的理解“關(guān)于2的等距方程”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（崇川區(qū)校級(jí)月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．依據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問(wèn)題：（1）通過(guò)計(jì)算，推斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣23x+1＝0；（2）已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)骄縜與b之間的數(shù)量關(guān)系式．【分析】（1）據(jù)“差根方程”定義推斷即可；（2）依據(jù)x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±12（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到(-ba)2-4?1a=【解答】解：（1）①設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|=(∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；②設(shè)x1，x2是一元二次方程2x2﹣23x+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=3，x1?x2=∴|x1﹣x2|=(∴方程2x2﹣23x+1＝0是差根方程；（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，∵關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±12（3）設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2=-ba，x1?x2∵關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|=(x1∴b2＝a2+4a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正確的理解“差根方程”的定義是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（石獅市期中）假如關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，探討發(fā)覺(jué)了此類方程的一般性結(jié)論，設(shè)其中一根為t，則另一根為2t，因此ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a，所以有b2-92ac＝0；我們記“K＝b2-92ac”，即K＝0時(shí)，方程ax2+bx+（1）以下為倍根方程的是；（寫出序號(hào)）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x+8＝0；（2）若關(guān)于的x方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2+5mn+n2的值；（3）若A（m，n）在一次函數(shù)y＝3x﹣8的圖象上，且關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+【分析】(1)據(jù)倍根方程定義推斷即可；(2)依據(jù)（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根