相交線與平行線（學(xué)案含解析）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案

18相交線與平行線

中考命題說明

考點(diǎn)課標(biāo)要求考查角度

常以選擇題、填空題的形

①通過豐富的實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識點(diǎn)、線、面、角；②會

式考查點(diǎn)、線、面、角、

點(diǎn)、線、比較角的大小，會計(jì)算角度的和與差，會進(jìn)行簡單的角

1余角、補(bǔ)角的概念和等角

面、角度換算；③了解補(bǔ)角、余角的概念，知道等角的余角相

的余角相等、等角的補(bǔ)角

等、等角的補(bǔ)角相等.

相等的性質(zhì).

①了解對頂角的概念，知道對頂角相等；②了解垂線、

垂線段、點(diǎn)到直線的距離等概念，了解垂線段最短的性常以選擇題、填空題的形

相交線與質(zhì)；知道過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線；③式考查對頂角、垂線的概

2

平行線知道過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線，念、性質(zhì)以及平行線的性

會過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線；④理解平行質(zhì)和判定.

線的性質(zhì)定理和判定定理，并能進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算與論證.

知識點(diǎn)1：點(diǎn)、統(tǒng)、面、角

知識點(diǎn)梳理

i.點(diǎn)動成線、線動成面、面動成體.

2.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.角也可以看作由一條射線繞著

它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.

3.度分秒的換算：1周角=2平角=4_直角=360。.1°=60',\'=60

4.量角器的使用：量角器的中心和角的頂點(diǎn)對齊，量角器的零刻度線和角的一條邊對齊，

做到兩對齊后看角的另一邊與刻度線對應(yīng)的度數(shù).

5.兩角間的關(guān)系：

（1）余角：如果兩個角的和等于90。，就說這兩個角互為余角.同角或等角的

余角相等.

（2）補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180。，就說這兩個角互為補(bǔ)角.同角或等角的

補(bǔ)角相等.

6.角平分線：一般地，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個

角的平分線.

f-------------------------------------------------------\

要型囪勉

一

【例1】（2022?柳州）如圖，將矩形繞著它的一邊所在的直線/旋轉(zhuǎn)一周，可以得到的立體

圖形是（）

【分析】根據(jù)“面動成體”進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：將矩形繞著它的一邊所在的直線/旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圓柱體,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查認(rèn)識立體圖形，理解“面動成體”是正確判斷的前提.

【例2】（2022?北京）下面幾何體中，是圓錐的為（)

A.B.

【考點(diǎn)】認(rèn)識立體圖形

【分析】簡單幾何體的識別.

【解答】解：A是圓柱；

B是圓錐；

C是三棱錐，也叫四面體；

D是球體，簡稱球；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查簡單兒何體的識別，正確區(qū)分兒何體是解題的關(guān)鍵.

【例3】（2022?鹽城）正方體的每個面上都有一個漢字，如圖是它的一種平面展開圖，那么

在原正方體中，與“鹽”字所在面相對的面上的漢字是（）

【考點(diǎn)】幾何體的展開圖

【分析】正方體的表面展開圖相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)進(jìn)行作答.

【解答】解：正方體的表面展開圖相對的面之間??定相隔一個正方形，

“鹽”與”高”是相對面，

"城"與"富"是相對面，

“強(qiáng)”與“美”是相對面，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，關(guān)鍵在于要注意正方體的空間圖形,

從相對面入手解答問題.

【例4】（3分）（2021?呼倫貝爾?興安盟14/26）74。19'30"=

【考點(diǎn)】度分秒的換算

【分析】先將30"化成“分”，再將195化成“度”即可.

【解答】解：30x（—y=0.5,,

60

19'+0.5'=19.5',

19.5x（—）°=0.325°,

60

740+0.325°=74.325°,

故答案為：.

【點(diǎn)評】本題考查度、分、秒的換算，掌握度、分、秒的換算進(jìn)率和換算方法是得出正確答

案的前提.

【例5】（2022?北京）如圖，利用工具測量角，則N1的大小為（）

【考點(diǎn)】對頂角、鄰補(bǔ)角

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)，可得：Nl=30。，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了對頂角，熟練掌握對頂角相等是解答本題關(guān)鍵.

【例6】（2022?益陽）如圖，PA,P2表示以P為起點(diǎn)的兩條公路，其中公路外的走向是

南偏西34°,公路PB的走向是南偏東56°,則這兩條公路的夾角AAPB=

【分析】根據(jù)題意可得NAPC=34。，NBPC=56。,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：

北

N"C=34。，ZBPC=56°,

/APB=NAPC+/BPC=90°,

故答案為：90.

【點(diǎn)評】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵.

【例7】（2022?甘肅）若NA=40。，則NA的余角的大小是（）

A.50°B.60°C.140°D.160°

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角

【分析】根據(jù)互余兩角之和為90。計(jì)算即可.

【解答】解：,??NA=40。，

的余角為：900-40°=50°,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是余角的定義，如果兩個角的和等于90。，就說這兩個角互為余角.

【例8】（2022?連云港）已知NA的補(bǔ)角為60。，則/A=°.

【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角

【分析】根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得出答案.

【解答】解：的補(bǔ)角為60。,

NA=180°—60°=120°,

故答案為：120.

【點(diǎn)評】本題考查了余角和補(bǔ)角，掌握如果兩個角的和等于180。（平角），就說這兩個角互

為補(bǔ)角，即其中一個角是另一個角的補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵.

知雙點(diǎn)2：直線、射^和線成

知浜點(diǎn)虢理

1.直線的概念：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方

無限延伸的.

2.射線的概念：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.這個點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn).

3.線段的概念：直線上兩個點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段.這兩個點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).

4.線段的和差：如下圖，在線段AC上取一點(diǎn)B,則有：AB+BC=AC：

AB=AC-BC-BC=AC-AB.

I」1

ABC

5,線段的中點(diǎn)：如下圖，點(diǎn)M把線段A5分成相等的兩條線段AM與M3,點(diǎn)M叫做線段

AB的中點(diǎn).幾何語言：AM=MB=-AB.

2

AMB

6.直線的性質(zhì)：

（1）直線公理：經(jīng)過兩個點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.它可以簡單地說成：過兩點(diǎn)

有且只有一條直線（兩點(diǎn)確定一條直線）.

（2）過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條.

（3）直線是是向兩方面無限延伸的，無端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小.

（4）直線上有無窮多個點(diǎn).

（5）兩條不同的直線至多有一個公共點(diǎn).

7.線段的性質(zhì)：

（1）線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短.也可簡單說成：兩點(diǎn)之間線段最短.

（2）連接兩點(diǎn)的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離.

（3）線段的中點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等.

（4）線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的.

ZX

聘型用題

\__________________________z

【例9】（3分）（2021?河北1/26）如圖，己知四條線段a,b,c,d中的一條與擋板另一

側(cè)的線段機(jī)在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（）

m

【考點(diǎn)】直線、射線、線段.

【分析】利用直尺畫出遮擋的部分即可得出結(jié)論.

【解答】解：利用直尺畫出圖形如下：

可以看出線段。與m在一條直線上.

故答案為：a.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了線段，射線，直線，利用直尺動手畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

【例101（2022?柳州）如圖，從學(xué)校4到書店B有①、②、③、④四條路線，其中最短的

路線是（）

【考點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短

【分析】應(yīng)用兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的

線中，線段最短.進(jìn)行判定即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意可得，

從學(xué)校A到書店8有①、②、③、④四條路線，其中最短的路線是②.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了線段的性質(zhì)，熟練掌握線段的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

【例11】（2022?桂林）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，若AC=2cm,則48=cm.

I______________I1

ACB

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離

【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義可得AB=24C=4cm.

【解答】解：根據(jù)中點(diǎn)的定義可得：AB=2AC=2X2=4cm,

故答案為：4.

【點(diǎn)評】本題主要考查中點(diǎn)的定義，熟知中點(diǎn)的定義是解題關(guān)鍵.

【例12］（3分）（2021?包頭3/26）已知線段AB=4,在直線AB上作線段8C,使得BC=2,

若。是線段AC的中點(diǎn)，則線段AO的長為（）

A.1B.3C.1或3D.2或3

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離

【分析】根據(jù)題意可分為兩種情況，①點(diǎn)C在線段A8上，可計(jì)算出AC的長，再由。是線

段4c的中點(diǎn)，即可得出答案；②BC在線段A8的延長線上，可計(jì)算出4c的長，再由。是

線段AC的中點(diǎn)，即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意分兩種情況，

①如圖1：

illI

ADCB

圖1

；AB=4,BC=2,

：.AC=AB-BC=2,

是線段AC的中點(diǎn)，

AD=—AC=—x2=1；

22

②如圖2：

|II|

ADBC

圖2

?n,BC=2,

：.AC=AB^BC=6f

???。是線段AC的中點(diǎn)，

，AD=-AC=-x6=3.

22

工線段AO的長為1或3.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，正確理解題目并進(jìn)行分情況進(jìn)行計(jì)算是解決本題

的關(guān)鍵.

?*s

知雙點(diǎn)3:相交線

1.相交線中的角：

(1)兩條直線相交，可以得到四個角，我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂

點(diǎn)但沒有公共邊的兩個角叫做對頂角.我們把兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點(diǎn)

且有一條公共邊的兩個角叫做鄰補(bǔ)角.

(2)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，對頂角相等.

(3)直線A8,C。與E尸相交(或者說兩條直線A8,CO被第三條直線￡尸所截)，構(gòu)成八

個角(三線八角).其中N1與N5這兩個角分別在A8,CQ的上方，并且在EF的同側(cè)，像

這樣位置相同的一對角叫做同位角；/3與/5這兩個角都在A8,8之間，并且在EF的

異側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做內(nèi)錯角；N3與/6在直線AB,CO之間，并且在EF的同

側(cè)，像這樣位置的兩個角叫做同旁內(nèi)角.

2.垂線：

(1)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直.其中

一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

直線AB,CD互相垂直，記作“A8_LCO"（或“CD_LA8”），讀作“AB垂直于CO”（或

“CD垂直于AB"）.

（2）垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.

3.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的的長度，叫做點(diǎn)到直線的距

離.如下圖，點(diǎn)P與直線/上各點(diǎn)連接的所有線段中，PB最短，點(diǎn)P到直線/的距離是

PB的長度.

4.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理：

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.

線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.如下

圖，若OA=OB,則AP=3P.

逆定理：和一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

5.角平分線的性質(zhì)定理及逆定理：

角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.幾何語言：如下圖,

Z1=Z2

=PE=PF

PE1OA,PF1OB

逆定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.幾何語言：如下圖,

PE1OA,PFL0B

nNl=/2

PE=PF

oB

福型再典

【例13】（2022?桂林）如圖，直線/i，6相交于點(diǎn)O，Nl=70。，則N2='

【考點(diǎn)】對頂角、鄰補(bǔ)角

【分析】根據(jù)對頂角的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：和N2是一對頂角，

AZ2=Z1=7O°.

故答案為：70.

【點(diǎn)評】本題主要考查了對頂角，熟練掌握對頂角相等是解答本題的關(guān)鍵.

【例14】（2022?蘇州）如圖，直線A8與CD相交于點(diǎn)O,ZAOC=75°,Zl=25°,則N

【考點(diǎn)】對頂角、鄰補(bǔ)角

【分析】先求出/8OO的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系得結(jié)論.

【解答】解：；/AOC=75。，

乙40c=/8?！?gt;=75。.

VZ1=25°,Z1+Z2=ZBOD,

N2=NBOD-Z1=75°-25°=50°.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了角的和差關(guān)系，掌握“對頂角相等”是解決本題的關(guān)鍵.

【例15]（2022?威海）圖1是光的反射規(guī)律示意圖.其中，PO是入射光線，0。是反射光

線，法線KOLMN,NPOK是入射角，NKOQ是反射角，ZKOQ=NPOK.圖2中，光

線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（）

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.。點(diǎn)

【考點(diǎn)】垂線；角的計(jì)算

【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可.

【解答】解：根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全圖2并作出法線OK,如下圖所示：

根據(jù)圖形可以看出08是反射光線，

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查直線的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)直線的性質(zhì)補(bǔ)全光線是解題的關(guān)鍵.

【例16】（2022?河南）如圖，直線A2,8相交于點(diǎn)O,EO±CD,垂足為O.若Nl=

54。，則/2的度數(shù)為（）

E

c

A.26°B.36°C.44°D.54°

【考點(diǎn)】對頂角、鄰補(bǔ)角：垂線

【分析】首先利用垂直的定義得到NCOE=90。，然后利用平角的定義即可求解.

【解答】解：；EOLC。，

；./COE=90。，

VZ1+ZCOE+Z2=180°,

Z2=180°-Zl-ZCOE=180°-54°-90°=36°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查了垂直的定義和平角的性質(zhì)計(jì)算，要注意領(lǐng)會由垂直得直角這一要點(diǎn).

【例17】（2022?青海）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩

大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角B.同位角、內(nèi)錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內(nèi)角D.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

【考點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

【分析】兩條線人被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩宜線的同一方，把這種

位置關(guān)系的角稱為同位角；

兩個角分別在截線的異側(cè)，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為內(nèi)錯角；

兩個角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對角互為同旁內(nèi)

角.據(jù)此作答即可.

【解答】解：根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念，可知

第一個圖是同位角，第二個圖是內(nèi)錯角，第三個圖是同旁內(nèi)角.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁

內(nèi)角，并能區(qū)別它們.

【例18】（2022?賀州）如圖，直線a,。被直線c所截，下列各組角是同位角的是（）

B.Z1與/3C./2與/3D./3與N4

【考點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

【分析】同位角就是:兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角.

【解答】解：根據(jù)同位角、鄰補(bǔ)角、對頂角的定義進(jìn)行判斷，

A、N1和/2是對頂角，故A錯誤；

B、N1和N3是同位角，故B正確；

C、N2和/3是內(nèi)錯角，故C錯誤；

D、/3和/4是鄰補(bǔ)角，故D錯誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手.對平面幾何中概念的理解,

一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理

解它們所包含的意義.

【例19】（2022?常州）如圖，斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路.小麗覺得行

人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

B.兩點(diǎn)確定一條直線

C.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

D.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【考點(diǎn)】直線的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線；垂線段最短；平行公理及推論；平行線的性質(zhì)

【分析】根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)結(jié)合數(shù)學(xué)原理解答即可.

【解答】解：小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依

據(jù)是垂線段最短，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線段最短的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)學(xué)和生活密不可分的關(guān)系是解答本

題的關(guān)鍵.

【例20］（2分）（2021?河北12/26）如圖，直線/,，"相交于點(diǎn)。.尸為這兩直線外一點(diǎn),

且OP=.若點(diǎn)P關(guān)于直線I,m的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)Pi,P2,則Pl,P2之間的距離可能是

（）

A.0B.5C.6D.7

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】由對稱得OPi=OP=,。尸=0尸2=,再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，即

可得出結(jié)果.

【解答】解:連接。Pl,OP2,P\P1,

?.?點(diǎn)戶關(guān)于直線/,〃?的對稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P,P2,

：.OP\=OP=,OP=OP2=,

OP\+OP2>P\Pl,

P\P2<,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵熟練掌握對稱性和三角形邊長的關(guān)

系.

【例21］（3分）（2021?青海5/25）如圖，在四邊形A8CC中，/A=90°,AD=3,BC

=5,對角線8。平分NABC,則△8C￡>的面積為（）

D

---------------------------------

A.8B.C.15D.無法確定

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】過。點(diǎn)作OE，8c于E,如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=D4=3,然后根據(jù)

三角形面積公式計(jì)算.

【解答】解：過。點(diǎn)作OEJ_BC于E,如圖，

平分NA8C,DELBC,DALAB,

：.DE=DA^3,

/XBCD的面積=—x5x3=7.5.

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

【例22】（10分）（2021?赤峰20/26）如圖，在RtAABC中,NACB=90°,點(diǎn)。是斜邊A8

上一點(diǎn)，且AC=AD

（1）作N8AC的平分線，交8c于點(diǎn)E；（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，連接力E,求證：DE1.AB.

B

【考點(diǎn)】作圖一基本作圖

【分析】（1）利用基本作圖作N8AC的平分線；

（2）證明△ACE絲/XACE得到N4QE=NC=90°,從而得至UOE_LA8.

【解答】（1）解：如圖，AE為所作；

(2)證明：平分N8AC,

：.ZCAE=ZDAE,

在△ACE和△AOE中，

AC=AD

-ZCAE=ZDAE,

AE=AE

A/\ACE^/\ADE（SAS）,

ZADE=ZC=W°,

：.DE1AB.

【點(diǎn)評】本題考查了作圖一基本作圖：熟練掌握基本作圖（作已知角的角平分線）.也考查

了全等三角形的判定與性質(zhì).

Z\

知紫點(diǎn)4：平行統(tǒng)

知猊就梳理

1.平行線的概念：

在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“〃”表示，如“AB〃CZT,

讀作“AB平行于C7T.

同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.

2.平行線公理及其推論：

平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

3.平行線的判定：

平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行.簡稱：

同位角相等，兩直線平行.

平行線的兩條判定定理：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么兩直線平行.簡稱：內(nèi)錯角相等，

兩直線平行.

（2）兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，兩直線平行.

4.平行線的性質(zhì)：

（1）兩直線平行，同位角相等.

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

5.兩平行線間的距離：

（1）定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平

行線之間的距離.（2）性質(zhì)：兩條平行線之間的距離處處」

Z....................................X

聘更印題

【例23】（2022?吉林）如圖，如果Nl=/2,那么AB〃CQ,其依據(jù)可以簡單說成（）

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

【考點(diǎn)】平行線的判定

【分析】由平行的判定求解.

【解答】解：=

.??AB〃CO（同位角相等，兩直線平行），

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定，解題關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法.

【例24】（2022?六盤水）如圖，a//h,Zl=43°,則N2的度數(shù)是（)

C.47°D.43°

【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得N2=N1=43。.

【解答】解：〃兒21=43。，

；./2=Nl=43°.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【例25】（2022?瀘州）如圖，直線?！ń本€c分別交“，人于點(diǎn)A,C,點(diǎn)B在直線b上,

ABYAC,若/1=130。，則/2的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.70°

【考點(diǎn)】垂線；平行線的性質(zhì)

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得到N1=ND4C,然后利用4c得到N8AC=90。，最

后利用角的和差關(guān)系求解.

【解答】解：如圖所示，

*?直線。〃4

：.Z]=ZDAC,

?21=130°,

.,.ND4C=130°,

X'.'AB±AC,

：.ZBAC^90°,

：.N2=ADAC-/84C=130°—90°=40°.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行線的性質(zhì)，求出/ZMC的度

數(shù).

【例26】（2022?郴州）如圖，直線?！◤那抑本€a,6被直線c,d所截，則下列條件不能

判定直線c〃1的是（）

A.Z3=Z4B.Zl+Z5=180°C.Z1=Z2D.Z1=Z4

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)

【分析】根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行一一分析.

【解答】解：A、若N3=N4時，由“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可以判定?！?,不符合題

忌；

B、若/1+/5=180。時，由''同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可以判定c〃d,不符合題意；

C、若N1=N2時，由''內(nèi)錯角相等，兩直線平行”可以判定?！?,不能判定。〃d,符合

題意；

D、由。〃6推知N4+N5=180。.若/1=/4時-，則Nl+N5=180。，由“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，

兩宜線平行”可以判定c〃乩不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線

的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

【例27】（2022?武漢）如圖，在四邊形ABCQ中，AD//BC,ZZ?=80°.

（1）求NBA。的度數(shù)；

（2）AE平分/BAD交8C于點(diǎn)E,NBC￡）=50。.求證：AE//DC.

AD

【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出NBA。；

(2)根據(jù)角平分線的定義求出ND4E,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NAE8,得至ljNAE8=N8CO,

根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論.

【解答】(1)解：???AZ)〃8C,

:.ZB+ZBAD=\SO09

VZB=80°,

：.ZBAD=\OO°；

(2)證明：?.?AE平分N8AQ,

；?NDAE=50。,

":AD〃BC,

：.NAEB=NDAE=50。,

VZ^C￡>=50°,

J/AEB=/BCD,

：.AE//DC,

【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

Z............................................................

知識點(diǎn)5：命題、定理、證明

知識點(diǎn)梳理

S.___________________________?

1.命題的概念：判斷一件事情的語句，叫做命題.

2.命題的分類：按正確、錯誤與否分為：真命題和假命題.

所謂正確的命題就是：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題.

所謂錯誤的命題就是：如果題設(shè)成立，不能證明結(jié)論總是成立的命題.

3.互逆命題：一個命題的條件和結(jié)論分別為另一個命題的結(jié)論和條件的兩個命題，稱為互

逆命題，如果我們把其中一個命題稱為原命題，那么另一個命題就是這個原命題

的逆命題.

4.公理：人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的得到人們公認(rèn)的真命題，叫做公理.

5.定理：用推理的方法判斷為正確的命題叫做定理.

6.互逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么這個逆命題也可以稱為原定

理的逆定理，一個定理和它的逆定理是互逆定理.

7.證明：判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明.

/\

爵型用甄

【例28】（2022?上海）下列說法正確的是（）

A.命題一定有逆命題

B.所有的定理一定有逆定理

C.真命題的逆命題一定是真命題

D.假命題的逆命題一定是假命題

【考點(diǎn)】命題與定理

【分析】根據(jù)逆命題的概念、真假命題的概念判斷即可.

【解答】解：A、命題一定有逆命題，本選項(xiàng)說法正確，符合題意，

B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的對應(yīng)角相等，沒有逆定理，故本選項(xiàng)

說法錯誤，不符合題意；

C、真命題的逆命題不一定是真命題，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；

D、假命題的逆命題不一定是假命題，例如假命題對應(yīng)角相等的三角形全等，其逆命題是真

命題，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意：

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，兩個命題中，如果第一個命題的條

件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做

互逆命題.其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.

【例29】（2022?盤錦）下列命題不正確的是（）

A.經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

B.負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.五邊形的外角和是360。

【考點(diǎn)】命題與定理

【分析】由平行公理、立方根的定義、菱形的判定定理、多邊形的外角和，分別進(jìn)行判斷,

即可得到答案.

【解答】解：A、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；故A正確；

B、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；故B正確；

C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；

D、五邊形的外角和是360。，故D正確；

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了判斷命題的真假，以及考查了平行公理、立方根的定義、菱形的判定定

理、多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識，正確的進(jìn)行判斷.

【例30】（2022?湖州）命題''如果同=|川那么〃=兒”的逆命題是.

【考點(diǎn)】命題與定理

【分析】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題.

【解答】解：命題“如果同=依，那么〃=江”的逆命題是如果。=從那么同=|例，

故答案為：如果a=6,那么⑷=|此

【點(diǎn)評】本題考查的是逆命題的概念，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的

結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題.其中一

個命題稱為另一個命題的逆命題.

r-----------------------------------------------------------------x

鞏固別殊

X_______________________________________/

1.（2022?河北）①?④是由相同的小正方體粘在一起的幾何體，若組合其中的兩個，恰是

由6個小正方體構(gòu)成的長方體，則應(yīng)選擇（）

2.（2022?自貢）如圖，將矩形紙片AB8繞邊8所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的立體圖形是

()

3.（2022?廣州）如圖是一個幾何體的側(cè)面展開圖，這個幾何體可以是（)

C.棱錐D.棱柱

4.（2022?常州）下列圖形中，為圓柱的側(cè)面展開圖的是（）

5.（2022?臨沂）如圖所示的三棱柱的展開圖不可能是（）

A.B.

6.（2022?綏化）下列圖形中，正方體展開圖錯誤的是（）

正方體

—

A._______B.

口

C.1___1___D.

7.（2022?泰州）如圖為一個幾何體的表面展開圖,則該幾何體是（）

A.三棱錐B.四棱錐C.四棱柱D.圓錐

8.（2022?岳陽）某個立體圖形的側(cè)面展開圖如圖所示，它的底面是正三角形，那么這個立

體圖形是（）

A.圓柱B.圓錐C.三棱柱D.四棱柱

9.（2022?宿遷）下列展開圖中，是正方體展開圖的是（）

10.（2022?臺灣）如圖為一個長方體的展開圖，且長方體的底面為正方形.根據(jù)圖中標(biāo)示的

長度，求此長方體的體積為何？（）

卜

F

A.144B.224C.264D.300

11.（2022?廣元）如圖是某幾何體的展開圖，該幾何體是（）

B.圓柱C.圓錐D.三棱柱

12.（2022?新疆）如圖是某幾何體的展開圖,該幾何體是（)

A.長方體B.正方體C.圓錐D.圓柱

13.（2022?六盤水）如圖，裁掉一個正方形后能折疊成正方體，但不能裁掉的是（）

14.（2022?淄博）經(jīng)過折疊可以圍成正方體，且在正方體側(cè)面上的字恰好環(huán)繞組成一個四字

15.（2022?徐州）如圖，已知骰子相對兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,下列圖形為該骰子表面展開圖

的是（）

16.（2022?恩施州）如圖是一個正方體紙盒的展開圖，將其折疊成一個正方體后，有“振”

字一面的相對面上的字是（）

I振I

恩I施鄉(xiāng)I斤

圖

A.“恩”B.“鄉(xiāng)”C.“村”D.“興”

17.（2022?河南）2022年北京冬奧會的獎牌“同心”表達(dá)了“天地合?人心同”的中華文化

內(nèi)涵.將這六個漢字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種展開圖，則在原正方體中,

與“地”字所在面相對的面上的漢字是（）

18.（2022?貴陽）如圖，用一個平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面的形狀是（）

19.（2022?煙臺）如圖，某海域中有A,B,C三個小島，其中A在3的南偏西40。方向,

C在3的南偏東35。方向，且3,C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（)

C.南偏西70。D.南偏西20。

20.（2022?自貢）如圖，直線43、CD相交于點(diǎn)O,若4=30。，則N2的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.60°D.150°

21.（2022?臺州）如圖，已知N1=9O。，為保證兩條鐵軌平行，添加的下列條件中，正確的

是（）

羊用……一..心...

鐵軌II□□I□|?門I□II1

鐵軌I□□III□IY1□□□I

Ir

枕木枕木

A.Z2=90°B.z3=90°C.Z4=90°D.Z5=90°

22.（2022?內(nèi)蒙古）如圖，直線a/",截線c,d相交成30。角，Z1=146°33z,則N2的度

C.64。33'D.63。33'

23.（2022?東營）如圖，直線a//人，一個三角板的直角頂點(diǎn)在直線。上，兩直角邊均與直線

匕相交，Zl=40°,則N2=()

C.60°D.65°

24.（2022?資陽）將直尺和三角板按如圖所示的位置放置.若4=40。，則N2度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

25.（2022?襄陽）已知直線mlIn，將一塊含30。角的直角三角板

43。（/48。=30。,/847=60。）按如圖方式放置，點(diǎn)A,3分別落在直線機(jī)，"上.若

Zl=70°.則N2的度數(shù)為（）

C.60°D.70°

26.（2022?菊澤）如圖所示，將一矩形紙片沿43折疊，已知NABC=36。，則）

C.72°D.78°

27.（2022?錦州）如圖，直線a/〃,將含30。角的直角三角板ABC（NABC=30。）按圖中位

置擺放，若Nl=I10。，則N2的度數(shù)為（）

1A

a

A.30°B.36°C.40°D.50°

28.（2022?濟(jì)南）如圖,AB//CD,點(diǎn)E在45上，EC平分NATO,若Nl=65。，則N2的

C.57.5°D.65°

29.（2022?丹東）如圖，直線/J4，直線4與4，4分別交于A，8兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC,心

D.52°

30.（2022?南通）如圖，a!lb,Z3=8O°,Z1-Z2=2O°則N1的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C.50°D.80°

31.（2022?西藏）如圖，/,///2,Nl=38。，Z2=46°,則N3的度數(shù)為（）

A.46°B.90°C.96°D.134°

32.（2022?蘭州）如圖，直線a//6,直線c與直線a,6分別相交于點(diǎn)A,B,AC±b,

垂足為C.若Nl=52。，則/2=（）

A.52°B.45°C.38°D.26°

33.（2022?鹽城）小明將一塊直角三角板擺放在直尺上，如圖所示，則NABC與4）所的關(guān)

系是（）

F

A.互余B.互補(bǔ)C.同位角D.同旁內(nèi)角

34.（2022?新疆）如圖，與CD相交于點(diǎn)O,若NA=NB=30。，NC=50。，則/。=（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

35.(2022?通遼)下列命題：

①(加?"2月=根3/

②數(shù)據(jù)1,3,3,5的方差為2

③因式分解*3-4x=x(x+2)(x-2)

④平分弦的直徑垂直于弦

⑤若使代數(shù)式^/^萬在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x..i

其中假命題的個數(shù)是（）

A.1B.3C.2D.4

36.（2022?呼和浩特）以下命題：①面包店某種面包售價。元/個，因原材料漲價，面包價

格上漲10%,會員優(yōu)惠從打八五折調(diào)整為打九折，則會員購買一個面包比漲價前多花了

0.14。元；②等邊三角形ABC中，。是3c邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，若=則

ABAD=3NEDC;③兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④一列自然數(shù)0,

1,2,3,55,依次將該列數(shù)中的每一個數(shù)平方后除以100,得到一列新數(shù)，則原數(shù)與

對應(yīng)新數(shù)的差，隨著原數(shù)的增大而增大.其中真命題的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

37.（2022?綏化）下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.如果兩個角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個角一定相等

C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩

條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

38.（2022?梧州）下列命題中，假命題是（）

A.-2的絕對值是-2

B.對頂角相等

C.平行四邊形是中心對稱圖形

D.如果直線a〃c,bile,那么直線a//〃

39.（2022?無錫）F列命題中，是真命題的有（）

①對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

②對角線互相垂直的四邊形是菱形

③四邊相等的四邊形是正方形

④四邊相等的四邊形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

40.（2022?岳陽）下列命題是真命題的是（）

A.對頂角相等

B.平行四邊形的對角線互相垂直

C.三角形的內(nèi)心是它的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)

D.三角分別相等的兩個三角形是全等三角形

41.（2022?臺州）如圖，點(diǎn)。在AABC的邊上，點(diǎn)P在射線AZ）上（不與點(diǎn)A,。重合）,

連接P8,PC.下列命題中，假命題是（）

A.若AB=AC,ADLBC，則P8=PCB.若PB=PC,AD1BC,則/W=AC

C.若A8=AC,Z1=Z2,則必=PCD.若PB=PC,Z1=N2,則AB=AC

42.（2022?衡陽）下列命題為假命題的是（)

A.對角線相等的平行四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

C.有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形

D.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

43.（2022?常德）如圖是一個正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“神”字對面的字是

神

十|四同

五國

44.（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么

ABAC的大小為°.

45.（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡。8、反射后，沿&'方向

46.（2022?玉林）已知：a=60。，則a的余角是°.

47.（2022?西藏）如圖，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡：

（1）分別以點(diǎn)A,3為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于E,尸兩點(diǎn)，作直線

2

EF；

（2）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AB,AC于點(diǎn)G,H,再分別以點(diǎn)G,

“為圓心，大于1G4的長為半徑畫弧，兩弧在N3AC的內(nèi)部相交于點(diǎn)O,畫射線AO,交

2

直線EF于點(diǎn)V.已知線段AB=6,44c=60。，則點(diǎn)〃到射線AC的距離為.

48.（2022?阜新）一副三角板如圖擺放，直