高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第三冊 全概率公式

全概率公式同步練習(xí)

1.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙

廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為二,士?，三，現(xiàn)從這10盒中

101520

任取一盒,再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（）

A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2

2.如果在上題中已知取得的X光片是次品，則該次品是由甲廠生產(chǎn)的概率為（）

A.0.085B.0.226C.0.625D.0.815

3.設(shè)有5個袋子中放有白球,黑球,其中1號袋中白球占需另外2,3,4,5號4個袋子中白球都

3

占士今從中隨機(jī)取1個袋子,從所取的袋子中隨機(jī)取1個球,結(jié)果是白球,則這個球是來自1號

4

袋子中的概率為（）

11cl2

A.—B.-C.-D.—

4323

4.（多選題）在某一季節(jié),疾病D.的發(fā)病率為2乳病人中40%表現(xiàn)出癥狀S,疾病D2的發(fā)病率為

5猊其中18%表現(xiàn)出癥狀S,疾病Ds的發(fā)病率為0.5覽癥狀S在病人中占60虬則（）

A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02

B.病人有癥狀S時患疾病D,的概率為0.4

C.病人有癥狀S時患疾病D?的概率為0.45

D.病人有癥狀S時患疾病D：；的概率為0.25

5.5張彩票中僅有1張中獎彩票,5個人依次摸獎,則第二個人摸到中獎彩票的概率為;

第三個人摸到中獎彩票的概率為.

6.甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球,先從甲

罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以川,A2和A：；表示由甲罐中取出的球是紅球、白球和黑球的

事件;再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.則

P（B）=.

7.某藥廠用從甲、乙、丙三地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥,三地的供貨量分別占

40%>35%和25%,且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.65、0.70和0.85,求從該

廠產(chǎn)品中任意取出一件成品是優(yōu)等品的概率.

8.某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為之第一次落下未打破,第二次落下打

2

79

破的概率為一,若前兩次未打破,第三次落下時打破的概率為一,求透鏡落下三次未打破的概

1010

率.

擴(kuò)展練習(xí)

1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4件,且具有如

A.0.814B.0.809C.0.727D.0.652

2.某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占全廠的45%35%20%且各車間

的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中檢查出1個次品，則該次品由_____車間生產(chǎn)的可

能性最大（）

A.甲B.乙

C.丙D.無法確定

3.盒中有a個紅球,b個黑球,今隨機(jī)地從中取出一個,觀察其顏色后放回，并加上同色球c個,

再從盒中第二次抽取一球,則第二次抽出的是黑球的概率為.

4.設(shè)盒中有m只紅球,n只白球,每次從盒中任取一只球,看后放回,再放入k只與所取顏色相

同的球.若在盒中連取四次,則第一次，第二次取到紅球,第三次,第四次取到白球的概率為

5.假定患有疾?。╠?d2,d：J中的某一個的人可能出現(xiàn)癥狀S={SQS2,S3,S4}中一個或多個,

其中：

5尸食欲不振S?=胸痛

$3=呼吸急促S,=發(fā)熱

現(xiàn)從20000份患有疾病d?d2ld3的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)據(jù)：

疾病人數(shù)出現(xiàn)S中一個或幾個癥狀人數(shù)

di77507500

^252504200

由70003500

試問當(dāng)一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時,在沒有別的可依據(jù)的診斷手段情況下,推測

該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？

6.袋中有n個球,其中n-1個紅球，1個白球.n個人依次從袋中各取一球,每人取一球后不再放

回袋中,求第i(i=l,2,…，n)人取到白球的概率.

參考答案

1.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙

廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為▲?，三，三,現(xiàn)從這10盒中

101520

任取一盒,再從這盒中任取一張X光片,則取得的X光片是次品的概率為()

A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2

分析：選A.以A2,A：,分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,B表示取得

的X光片為次品，

,P(42)二二P(i43)=~?

v1010"10

P(B4片，P(B4)*P(B旬點

則由全概率公式，所求概率為

P(B)=P(AI)P(B4)+P(42)P(BP2)+P(A3)P(B旬

=-X—+—X—+—X^-=0.08.

101010151020

2.如果在上題中已知取得的X光片是次品，則該次品是由甲廠生產(chǎn)的概率為()

A.0.085B.0.226C.0.625D.0.815

分析：選C.以AI,A2,A：,分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,B表示取得

的X光片為次品，

P(71)=—,P(^2)=~JP(i4)=~~,

v1io"io"3io

P(B&W，P(B&W，P(BA)高

P(A?P(Ai)P(BlAi)Ax2.

所以p(B)=o.O8,P(41B)■烏0.625.

P(,B)p⑻0.08

3.設(shè)有5個袋子中放有白球,黑球,其中1號袋中白球占另外2,3,4,5號4個袋子中白球都

3

占之今從中隨機(jī)取1個袋子,從所取的袋子中隨機(jī)取1個球,結(jié)果是白球,則這個球是來自1號

4

袋子中的概率為()

、八

A.—1Bc.l-C.-1nD.一2

4323

分析:選A.設(shè)取到第i號袋子，i=l,2,3,4,5.

B:取到白球,

11

由貝葉斯公式得P(AJB)=3p(4)p(Bi4)M+FlFFFiT4

4.(多選題)在某一季節(jié),疾病D)的發(fā)病率為2%,病人中40%表現(xiàn)出癥狀S,疾病Dz的發(fā)病率為

5%,其中18%表現(xiàn)出癥狀S,疾病D：,的發(fā)病率為0.5覽癥狀S在病人中占60%則()

A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02

B.病人有癥狀S時患疾病工的概率為0.4

C.病人有癥狀S時患疾病D2的概率為0.45

D.病人有癥狀S時患疾病D：；的概率為0.25

分析：選ABC.P(DJ=O.02,P@)=0.05,

P(D3)=0.005,P(S|Dl)=0.4,

P(S|D2)=0.18,P(S|D:i)=0.6,

3

由全概率公式得P(S)=EP(Di)P(S|Di)=0.02X0.4+0.05X0.18+0.005X0.6=0.02.

i=l

由貝葉斯公式得：

P(D)P(S|D)O.02X0.4

P(D||S)=11=0.4,

P⑸0.02

-5

P(D)P(S|D)_O.OO5XO.6

P(D|S)33=0.15.

3P(S)0.02

5.5張彩票中僅有1張中獎彩票,5個人依次摸獎,則第二個人摸到中獎彩票的概率為―

第三個人摸到中獎彩票的概率為.

分析：記“第i個人抽中中獎彩票”為事件4，

j-

顯然p(AJ=g,而p(A2)=P[A2n(A,u41)]

=P(A2nA,)+P(A2n4)=P(AzA)+P(A?4)

1411

=P(A.)P(A2|A,)+P(2)P(A2sP=-x0+-XV-,

p(A3)—p[A3n(A1A2+A1A2+A1A2+A1A2)〕

=P(A1A2A3)+P(A,A3)+P(^41A,A3)+P(4彳2A3)=0+0+0+P(A4%2)

————4311

=P(241)P(X2I/11)P(A3|A1242)=-X-X-=".

合萊?一-

55

6.甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球,先從甲

罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐,分別以4,A?和A.,表示由甲罐中取出的球是紅球、白球和黑球的

事件;再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件.則

P(B)=.

分析：由題意AhA?,A3是兩兩互斥的事件，

且A)UA2UAj=。,

所以P(B)=P[Bn(AIUA2UA3)]=P(BA,)+

P(BA2)+P(BA3)=P(AI)P(B|A,)+

P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=

5524349

—X—I—X—I—x——.

10111011101122

9

答案:一

22

7.某藥廠用從甲、乙、丙三地收購而來的藥材加工生產(chǎn)出一種中成藥,三地的供貨量分別占

40%,35%和25%,且用這三地的藥材能生產(chǎn)出優(yōu)等品的概率分別為0.65、0.70和0.85,求從該

廠產(chǎn)品中任意取出一件成品是優(yōu)等品的概率.

分析：設(shè)川:藥材來自甲地，A?:藥材來自乙地，

A3：藥材來自丙地，B:抽到優(yōu)等品；

P(41)=0.4,P(i42)=0.35,P(i43)=0.25,

P(B41)=0.65,P(5i42)=0.7,

P(B4)=0.85,p(3)=p(34)P(A1)+P(B

A2)P(A2)+P(B43)P(Y13)

=0.65X0.4+0.7X0.35+0.85X0.25=0.7175.

1

8.某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時打破的概率為一,第一次落下未打破,第二次落下打

2

79、

破的概率為一,若前兩次未打破,第三次落下時打破的概率為一,求透鏡落下三次未打破的概

1010

率.

分析：以A、,i=l,2,3表示事件“透鏡落下第i次時打破”，以B表示事件“透鏡落下三次未

打破”，因為B=A】A?A3,所以P(8)=P(%i“24)

=p(否)P(不瓦)P(瓦瓦石)

=(1-3(1-￡)(1-9)二總

擴(kuò)展練習(xí)

1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4件,且具有如

下的概率：

一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234

概率0.10.20.40.20.1

現(xiàn)進(jìn)行抽樣檢驗,從每批中隨機(jī)取出10件來檢驗,若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格,

則一批產(chǎn)品通過檢驗的概率為()

A.0.814B.0.809C.0.727D.0.652

分析：選A.以A表示一批產(chǎn)品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表示通過檢驗,則由題意得，

Ci。

P(Ao)=O.1,P(B|A())=l,P(A,)=0.2,P(B|A,)=湍=0.9,P(A2)=0.4,

Goo

cio

P(B|A2)=^0.809,

C100

Q10QIO

P(A3)=0.2,P(B|A3)=舟^0.727,P(A4)=0.1,P(B|A4)=號七0.652.

C100C100

由全概率公式，得

4

P(B)=./P(ADP(B|Aj)=O.1X1+0.2X0.9+0.4X0.809+0.2X0.727+0.1X0.65220.814.

2.某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%20%，且各車間

的次品率分別為4%2%,5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中檢查出1個次品，則該次品由_____車間生產(chǎn)的可

能性最大()

A.甲B.乙

C.丙D.無法確定

分析：選A.設(shè)Ah&A：,表示產(chǎn)品來自甲、乙、丙車間,B表示產(chǎn)品為次品的事件，易知&A?,A：，

是樣本空間。中的事件,且有P(AJ=O.45,P本)=0.35,

P(A3)=0.2,

P(B|A)=0.04,P(B|A?)=0.02,P(B|A3)=0.05.

由全概率公式得P(B)=P(Al)P(B|Al)+

P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)=0.45X0.04+0.35X0.02+0.2X0.05=0.035.

由貝葉斯公式得P(AdB)=-45X-°^0.514,

0.035

0.35X0.02_______

P(A21B)=---------=0.200,

0.035

c/、0.20X0.05cccc

P(A31B)=---------^0.286,

0.035

所以，該次品由甲車間生產(chǎn)的可能性最大.

3.盒中有a個紅球,b個黑球,今隨機(jī)地從中取出一個,觀察其顏色后放回，并加上同色球c個,

再從盒中第二次抽取一球,則第二次抽出的是黑球的概率為.

分析：設(shè)A:第一次抽出的是黑球,B:第二次抽出的是黑球，

則B=AB+AB,由全概率公式,

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A),由題意,

/、b/?、b+c

P(A),P⑻止而

Pa捻P⑻心募,

LL-/Xb(b+c)abb

所以P(B)二---------

(a+b)(a+b+c)(a+b)(a+b+c)a+b

答案:接

4.設(shè)盒中有m只紅球,n只白球,每次從盒中任取一只球,看后放回，再放入k只與所取顏色相

同的球.若在盒中連取四次,則第一次,第二次取到紅球，第三次,第四次取到白球的概率為

分析:設(shè)R(i=l,2,3,4)表示第i次取到紅球的事件,Ri(i=l,2,3,4)表示第i次取到白球的事

件則有

P(RR瑪R^)

?)

=P(R1)P(R2|R1)P(R^|R1R2)P虱R版3

—m?..m+k?---n---?___n_+_k_

m+nm+n+km+n+2km+n+3k

_.mm+knn+k

口m+nm+n+km+n+2km+n+3k

5.假定患有疾病｛d?d2,dj中的某一個的人可能出現(xiàn)癥狀s=｛Si，S2,S3,S4｝中一個或多個,

其中：

$|=食欲不振$2=胸痛

S尸呼吸急促S,=發(fā)熱

現(xiàn)從20000份患有疾病&,d21d3的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)據(jù)：

疾病人數(shù)出現(xiàn)S中一個或幾個癥狀人數(shù)

&77507500

52504200

d2

d；(70003500

試問當(dāng)一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時,在沒有別的可依據(jù)的診斷手段情況下,推測

該病人患有這三種疾病中哪一種較合適？

分析：以A表示事件“患者出現(xiàn)S中的某些癥狀”，上表示事件“患者患有疾病&”（i=l,2,3）,

由于該問題數(shù)據(jù)很多,用事件的頻率近似作為概率，由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，

P（Di）J75。=0.