高中數(shù)學(xué)第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題 (13)(含答案解析)

第八章《立體幾何初步》提高訓(xùn)練題（13）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共6小題，共30.0分）

1.在棱長(zhǎng)為2的正方體力BCO-41%的￡>1中，點(diǎn)E,尸分別是樓8C、CQ的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)

誤的是（）

A.AXDLAF

B.三棱錐4-BCF外接球的表面積為9兀

C.點(diǎn)C到平面AEF的距離為|

D.平面AEF截正方體所得的截面面積為［

2.如圖，點(diǎn)E是正方體力BCD-&B1C1D1的棱。必的中點(diǎn)，點(diǎn)凡M分別在線段AC,BZ）i（不包含

端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，貝！1（）

A.在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在EF〃BG

B.在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不存在B1M14E

C.四面體EMAC的體積為定值

D.四面體凡41GB的體積不為定值

3.對(duì)于直線加，〃和平面a,下列命題中正確的是（）

A.如果mua,幾Ua,"〃是異面直線，那么n〃a

B.如果mua,nUa,m，〃是異面直線，那么〃與a相交

C.如果mua,n//a,m,〃共面，那么m〃九

D.如果m//a,n//a,m,〃共面，那么m〃九

4.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體/BCD—4B1GD1中，若點(diǎn)M,N分別為線段

BDLCB］上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為底面A3CQ上的動(dòng)點(diǎn)，則MN+MP的最小

值為（）

B.在

2

C.四

3

D.1

5.某幾何體是由一個(gè)半球挖去一個(gè)圓柱形成的，其三視圖如圖所示.已知半球的半徑為通，則當(dāng)

此幾何體體積最小時(shí)，它的表面積等于

A.247rB.(18+3次)兀C.217rD.(18+4A/2)TT

6.已知正方體4BCD的棱長(zhǎng)為4,E為BBi的中點(diǎn)，尸為線段。。1上靠近劣的四等分點(diǎn),

平面&EF交CQ于點(diǎn)G,則四邊形為EGF的面積為（）

A.2V65B.10V3C.4V21D.2y/21

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，共40.0分）

7.如圖，以等腰直角△ABC的斜邊上的高4力為折痕，把4ABD和4ACD折成相互垂直的兩個(gè)平面,

下列結(jié)論正確的是（）

A

B.zBAC=60°

C.若AD=1,則三棱錐內(nèi)切球的半徑為上巡

（i

D.二面角B-AC-0的平面角的正切值為立

2

8.如圖,矩形ABCD中,M為8c的中點(diǎn)，將△力BM沿直線AM翻折成△,連結(jié)&D,N為的

中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法中所有正確的是

A.存在某個(gè)位置，使得CNJ.4B1

B.翻折過(guò)程中，CN的長(zhǎng)是定值

C.若AB=BM,則4M1BrD

D.若AB=BM=1,當(dāng)三棱錐Bi-AMD的體積最大時(shí)，三棱錐為一AMD的外接球的表面積是

47r

9.如圖直角梯形ABCD,AB//CD,AB1BC,BC=CD=^AB=2,E

為4B中點(diǎn)，以O(shè)E為折痕把4ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)尸的位置，

且尸。=2百，則（）J--

A.平面PDE_L平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P-DC-B的大小為3

4

D.PC與平面PED所成角的正切值為企

10.如圖直角梯形ABCD,4B〃CD,4B_LBC,BC=CO=148=2.E為48中點(diǎn)，以。E為折痕把

△2DE折起，使點(diǎn)4到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC=2g.則（）

P

A.平面PDE，平面EBCD

B.PC1ED

C.二面角P—DC-B的大小為彳

D.PC與平面PEZ）所成角的正切值為心

11.如下圖，在三棱錐S-ABC中，S41平面ABC,SA=AB=2,以AB為直徑

的圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,Z40C=60。，則下列結(jié)論正確的是

A.平面S4C1平面SBC

B.三棱錐0-SBC的體積為更

2

C.二面角S-OC—B的正切值為一延

3

D.三棱錐S-ABC外接球的表面積為8兀

12.如圖，在四棱錐P—4BC0中，PCIJSffiABCD,四邊形488是直角梯形，AB//CD.AB1

AD,AB=2AD=2CD=2,尸是AB的中點(diǎn)，E是尸8上的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若PB=2PE,則￡7:7/平面PAC

B.若PB=2PE,則四棱錐P-ABC。的體積是三棱錐E-4cB體積的6倍

C.三棱錐P-HOC中有且只有三個(gè)面是直角三角形

D.平面BCP平面ACE

13.如圖，矩形ABCD中，歷為BC的中點(diǎn)，將△4BM沿直線AM翻折成△4&M,連

結(jié)N為當(dāng)。的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法中所有正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CN1ABi

B.翻折過(guò)程中，CN的長(zhǎng)是定值

C,若AB=BM,則4M1B]D

D.若AB=BM=1,當(dāng)三棱錐&-AM。的體積最大時(shí)，三棱錐&一AMD的外接球的表面積是

47r

14.如圖，已知矩形ABCD,"為BC的中點(diǎn)，將AABM沿直線AM翻

折成AABiM,連接Bi。，N為8。的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下

列說(shuō)法中正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使得CN1幽

B.翻折過(guò)程中，CN的長(zhǎng)是定值

C.若AB=BM,貝UM1B]D

D.若4B=BM=1,則當(dāng)三棱錐當(dāng)一AMD的體積最大時(shí)，三棱錐當(dāng)一AMD的外接球的表面積

是47r

15.如圖，已知正方體ABCD-A/iGDi的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E為BBi上一點(diǎn)，設(shè)BE=%,x€（0,1）.給出

以下四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A.平面AGE，平面4BD

B.存在xe(0,1),使得AE1EC1

C.當(dāng)彳=泄，AAEG的周長(zhǎng)取得最小值

D.4也1AE

16.《九章算術(shù)?商功》記載：斜解立方，得兩塹堵.如圖所示

ADF—BCE為一塹堵，而斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉席.陽(yáng)

馬居二，鱉腌居一，即F-ABCD為陽(yáng)馬，E-BCF為鱉腌.其中

四邊形ABCZ）和ABEF均為矩形，且平面ABCD1平面ABEF,

AB=4,AD=AF=2.則對(duì)有關(guān)幾何體的描述，正確的是（）

A.陽(yáng)馬中四個(gè)側(cè)面都是直角三角形

B.陽(yáng)馬中最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)與鱉席最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)相等且為2連

C.塹堵外接球的體積為2遍兀

D.陽(yáng)馬與鱉腌重合面的面積為4

三、填空題（本大題共5小題，共25.0分）

17.如圖，在正方體4BC0-418也1。1中，E,F分別為棱8%，小名的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

.（填序號(hào)）

①異面直線EF與BO1所成角的余弦值為手;

②BQ1平面ABQ

③直線4E與平面所成角的正弦值為

④二面角當(dāng)一AC—。的余弦值為

18.已知正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E是AZ）的中點(diǎn)，點(diǎn)下在線段BC上，則下面四個(gè)命題中:

GBC,EF//AC

②VF6BC,EF<>/3

（3）BFeBC,EF與AO不垂直

④VF6BC,直線E尸與平面BCD夾角正弦的最大值為4

所有不正確的命題序號(hào)為.

19.將正方形ABCZ）沿對(duì)角線8。折成直二面角力-BD-C.

①與平面BC。所成角的大小為60。；②△4CD是等邊三角形；

③AB與CD所成的角為60。；@AC1BD-,⑤二面角B-AC-。為120。.

則上面結(jié)論正確的為

20.己知各棱長(zhǎng)都相等的直三棱柱所有頂點(diǎn)都在球。的表面上.若球。的表面積為28兀，則該三棱

柱的側(cè)面積為.

21.已知正方體力BCD-48傳1。1的棱長(zhǎng)為1,E,F,G分別是棱AB,BC,CC1的中點(diǎn)，過(guò)E,F,

G三點(diǎn)作該正方體的截面,點(diǎn)M為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).若MD】與該截面平行，則直線"5與CG

所成角的余弦值的最大值為.

四、解答題（本大題共9小題，共108.0分）

22.如圖，在四面體A8CD中，E,尸分別是線段AD,BD的中點(diǎn)，EC=奩，AB=BD=2,

乙ABD=乙BCD=90",直線EC與平面A8C所成的角等于30°.

D

B

C

(1)證明：平面EFCJ■平面BCD；

(2)求二面角A-CE-B的余弦值.

23.如圖，三棱柱ABC-4B'C'中，BC=BB'=B'C=4,AB=夕，ACLAA',二面角B是

直二面角，E,F分別是A'B',CC'的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面4B'C；

(2)求EF與平面ABB'A'所成角的正弦值.

24.如圖,三棱柱ABC-AB'C'中，BC=BB'=B'C=4,AB=y/7,AC1AA',二面角B-AB'-C是直

二面角，E,F分別是ABICC'的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面4B'C；

(2)求EF與平面ABB'A所成角的正弦值.

25.如圖，四棱錐S—45CD中，LAB,SA1DC,SBLAC,CD=2ABy/2AD=2-

(1)證明：SD〃平面AEG

(2)求點(diǎn)A到平面BEC的距離.

26.如圖所示，直三棱柱ABC-A/G，4a4B=NCBA=45。.點(diǎn)M,N分別是&Bi，BC的中點(diǎn).

A

(1)求證：BM〃平面4C1N；

(2)若CG=BC,探究：在線段CG上是否存在一點(diǎn)P,使得平面&MP工平面4GN,若存在,

請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.在三棱錐ABC-A/iCi中，底面△ABC是等腰三角形，S.￡ABC=90°,側(cè)面4BB14是菱形,

Z.BAAi=60°,平面488遇1_1_平面BAC,點(diǎn)、M是的中點(diǎn).

(I)求證：BBi1CM;

(n)求直線8例與平面CaM所成角的正弦值.

28.如圖，在等腰梯形ABC。中，4。=2,BC=4,^ABC=60°,E,F分別為BC,AB邊的中點(diǎn).現(xiàn)

將4CDE沿著CE折疊到△PDE的位置，使得平面PDE，平面ABED.

P

(1)證明：平面PEF1平面PEO；

(2)求點(diǎn)B到平面PE尸的距離.

29.已知四棱錐P—ABCD,底面ABC。為菱形，PD=PB,，為PC上的點(diǎn)，過(guò)AH的平面分別交

PB,PZ）于點(diǎn)M,N,且BD〃平面AM/W.

(1)證明：MN1PC；

(2)當(dāng)”為PC的中點(diǎn)，PA=PC=V5AB，PA與平面ABC。所成的角為60。,求與平面

所成角的正弦值.

30.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱P4平面A8CQ,底面ABCQ是直角梯形,BC〃4D,4B14D,

PA=AB=2,AD=3BC=3,E在棱A力上，且AE=1,若平面CEF與棱PD相交于點(diǎn)凡

且平面CEF〃平面PAB.

D

⑴求除的值；

(2)求點(diǎn)F到平面PBC的距離.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查了簡(jiǎn)單多面體及其結(jié)構(gòu)和球的表面積和線面垂直以及棱錐體積等知識(shí)，屬于較難題.

取DDi中點(diǎn)G,連接GF,G4可證4D1平面AFG,則但正方形4DD14中，G是DD1中

點(diǎn)，不可能有4014G,A錯(cuò)；

求出三棱錐4-BCF外接球的半徑可判斷，B正確;利用等體枳法求C到平面AEF的距離可判斷C

正確；由平面AEF截正方體所得的截面即為等腰梯形4D/E,求出面積即可判斷。正確.

解：如圖，取DDi中點(diǎn)G,連接GF,G4由于尸是CG中點(diǎn)，

GF//DC,

而。C_L平面40。出，

???GF1平面4叫&,

乂&Du平面ADD141，

**?GF-LA^D,

若41。1力凡由于AFCGF=F,

ArD_L平面AFG,

乂4Gu平面AFG,

A^DJ.AGt

但正方形40。送1中，G是。名中點(diǎn)，

不可能有LAG,A錯(cuò)；

AB

設(shè)4c與8。交于點(diǎn)M,

則M是△4BC的外心，取AF中點(diǎn)N,連接NM,

則NM〃CF,

NM1平面ABCD,

???N是三棱錐A-BCF外接球的球心，

NA=川=；卜+（2&）2=|,

球表面積為S=4兀x0=9兀，8正確；

C.S^AEC=|xECxAB=1x2xl=l,

VF-AEC=既4EC?FC=[X1X1=/

在△人￡1尸中，AE=V22+l2=x/5，EF=近,AF=3,

AE?+EF2-4F2

則cosZ,1￡F=

2AE-EF

5+2-9Vio.3V10

，smZ.AEF=，

2X%X魚io----------io

SZUEF=-AE-EFsinZAEF=1義娓x?x.

22in2

設(shè)C到平面AEF的距離為近

則/TEC=匕;-AEF得,X2=3,九=3'C正確;

DiG

D連接FDi，D14易證得力Di〃BG〃EF,

平面AEF截正方體所得的截面即為等腰梯形4D/E,

ADy=2y/2<EF-V2,AE-DrF-V5,

梯形的高為〃=J（㈣2_（穿=當(dāng),

即S=gx（&+2魚）x￥=￡。正確.

故選：A.

2.答案：C

解析：

【試題解析】

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，棱錐的體積問(wèn)題，涉及立體幾何中的存在性和定值

問(wèn)題，屬于中檔題.

對(duì)于4,先假若存在，可以得出EFu平面4。。送1，這與尸金面矛盾；對(duì)于8,過(guò)M作力出的

平行線，交AD】于N,可以證明只要4N14E,即可有ZE1平面為B1MN,從而判定8錯(cuò)誤；對(duì)于

C,D,利用線面平行的判定和性質(zhì)可得到M到平面ACE的距離為定值，F(xiàn)到平面41GB的距離是定

值，從而判定C正確，。錯(cuò)誤.

解：若EF〃BC1，而EF0平面BCC1B1，

Bqu平面BCCiB],貝IJEF〃平面BCCjBi，

又?.?平面力。。送1〃平面BCQBi，E是棱CD1的中點(diǎn)，u平面4CD14,

EFu平面4叫41，這與F任面4。。出矛盾，

故A錯(cuò)誤；

過(guò)M作必當(dāng)?shù)钠叫芯€，交于N,

因?yàn)?出1?平面4叫&,AEu平面4。取1，

???A1B11AE,

???只要4N1AE（這是顯然可能的），

而&NClA/1=4,&N、4出u平面&B1MN,

即可有AE，平面A/iMN,BiMu平面為B1MN,

從而BiMlAE,故8錯(cuò)誤；

連接AC,8。交于0,

???E,0分別為和8。的中點(diǎn)，

OE//BDX,OEu平面ACE,映C平面ACE,

映〃平面ACE,

M到平面ACE的距離為定值，

???四面體EMAC的體積為定值，

故C正確；

由于力C〃&G，乂4GU平面4C1B,4CU平面4GB,

???AC〃平面&C1B,

???尸到平面&C/的距離是定值，

.?.四面體凡41GB的體積為定值，

故。錯(cuò)誤.

故選C.

3.答案：C

解析：

此題是一道立體幾何題，主要考查直線與直線之間的位置關(guān)系，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，

屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間中直線與平面之間的位置關(guān)系及其性質(zhì)對(duì)A、B、C、

。四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷，從而進(jìn)行求解.

解：A、「mua,nCa,〃八"是異面直線，"和平面a可平行可相交，故A錯(cuò)誤；

B、,：mua,nCa,機(jī)、〃是異面直線，可知〃與a也可以平行，故B錯(cuò)誤；

C、n//a,相、"共面，=?m//n,故C正確；

D.n〃a,相、”共面，可知〃，與"也可以相交，故。錯(cuò)誤；

故選C

4.答案：A

解析：

【試題解析】

本題考查空間距離和的最值問(wèn)題，屬中高檔題，先固定M,使川W,最小，則易知產(chǎn)應(yīng)是何在

8。上的射影,N應(yīng)是M在BiC上的射影;利用線面垂直判定定理易知BGJ?平面N應(yīng)為BC1，

的交點(diǎn)0；將和展開放到一個(gè)平面上，可得當(dāng)P、M、0共線，且垂直于3。，

時(shí)PM+MN最小時(shí)，利用正弦的二倍角公式求得sin/DBCi的值，進(jìn)而計(jì)算可得.

解：首先當(dāng)固定用時(shí)，P點(diǎn)應(yīng)為M在平面A8CD中的射影，在BO上，且MP1BD于P,

為使最小，MN應(yīng)當(dāng)垂直與B]C,垂足為M

連接8G，設(shè)BGCB1C=0,則BGJLB1C,

由DiG_L平面BCqCi得AG1BC

又???。道1CBQ=G，:BiC_L平面BC15，

由MNIBiC,M€平面3。1。1，；.MNu平面BCiA，

:.N成為BQ,&C的交點(diǎn)O,

將48。久和4BGDi展開放到一個(gè)平面上，如圖所示:

轉(zhuǎn)化為求折線PM。的最小值，顯然最小時(shí)尸、M,。共線，且垂直于5,

如圖所示Mo，Po,No，為使PM+MN最小時(shí)，M,P,N的位置.

顯然△BDD1m4BgD],：.乙DBD]=/.C^BDI,

：.sin乙DBCi=sin2乙DBDi=2sin^DBD1cos^DBD1=2x，x^=竽，

PoNo=yxsin/DBCi=曰x"=|,

故選：A.

5.答案：D

解析：

本題主要考查了空間幾何體的三視圖及其表面積的計(jì)算，球體的體積和面積公式，圓柱的體積和面

積公式，函數(shù)模型的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)閉區(qū)間上的最值，考查了綜合分析能力和計(jì)算能力，

屬于中檔題.

如圖，設(shè)幾何體的體積為匕挖去的圓柱的體積為匕，圓柱的高4B=x(x>0),利用球體的體積公

式和圓柱的體積公式，表示出幾何體的體積匕求V的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)V在閉區(qū)間上的最

值，進(jìn)而得出幾何體體積最小時(shí)的x的值，進(jìn)而得出圓柱的底面半徑，再利用球體的表面積公式，

圓的面積公式，圓柱的表面積公式，求出該幾何體的表面積.

解：設(shè)幾何體的體積為匕挖去的圓柱的體積為匕，

???半球的半徑為6，

14

-X-

所以半球的體積為:237r

則幾何體的體積VIvbTT-VI，

如下圖，A為半球的圓心，C為圓柱上底面圓上的一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作圓柱底面的垂線，垂足為B,

A

設(shè)圓柱的高AB=x(x>0)

在中，由勾股定理得：BC2=AC2-AB2=(V6)2-x2=6-x2.

則V=4V/6TT—V\=4v^7r—7r-BC2-AB=4V/6TT—?r(6—x2)?x—JTX3—Girx+Ay/Gir(x>0),

則「—6?r,令V7=0,解得％=或或%=—企(舍去)，

當(dāng)％=魚，此幾何體體積V最小，

此時(shí)圓柱底面半徑為：BC=J(V6)2-(V2)2=2，

則幾何體的表面積為：

-x4?r-卜缶)+Jrx卜石)—7T-BC2+IT-BC2+27r-BC-AB

=；x4?r?(4)+Jrx(+2?r■2xv^2

=127T+6”+4\/27T

=(18+40.

故選。.

6.答案：C

解析：

本題主要考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系等知識(shí)，考查考生的空間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是邏

輯推理，屬于較難題.

首先確定點(diǎn)G的位置，然后判斷出四邊形4EG尸的形狀，最后求解.

解：如圖，在上取一點(diǎn)T,使得87=1.因?yàn)镕為線段上靠近劣的四等分點(diǎn)，所以D]F=1,

連接CT,則&F=CT="VI=g,

22

因?yàn)镋為BBi的中點(diǎn)，所以B7=rE=l,ArE=<4+2=2V5.

連接FC,由平面平行的性質(zhì)定理可知四邊形&FC7為平行四邊形,

故CT〃A/,同理在CG上取一點(diǎn)G',使得CG'=1,

連接EG',FG',則有CT〃G'E〃4F,EG'=CT=ArF=/17.

故EG'與4F共面，即G'與G重合，且四邊形&EGF為平行四邊形.

取。%的中點(diǎn)K,連接EK,則EK=BD=WP+4?=4位,

在RtAFEK中，EF=J(4A/2)2+1=V33>

*“l(fā).廠20+17-3341

在AAiEF中，85血/=2、2國(guó)履=福=武

2同

sinZ-EAF

1V85

故四邊形&EGF的面積為2xix2V5xV17x^=4舊,

故選C.

7.答案:ABC

解析：

本題考查空間中直線的位置關(guān)系，考查三棱錐的內(nèi)切球的半徑問(wèn)題及二面角的作法與運(yùn)算，屬于中

檔題.

設(shè)等腰直角三角形△ABC的腰為a,則斜邊BC=&a，再結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.

解：設(shè)等腰直角三角形△力BC的腰為小則斜邊BC=/a,

對(duì)于A項(xiàng)，:0為BC的中點(diǎn)，??.401BC,

又平面4B0JL平面ACZ),平面48。CI平面4CD=4。，BD1AD,BDu平面A8。，

BD平面ADC,5LACu平面ADC,

BD1AC,故A正確；

對(duì)于3項(xiàng)，由A知，8。1平面4。0COu平面AOC,

???BDLCD,又BD=CD=—a，

2

BC=V2x—a=a<又SB=AC=a,

2

.?.△ABC是等邊三角形，故8正確；

對(duì)于C項(xiàng)，若AD=1,則BC=CD=1,AB=AC=BC=&，

設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為r,

因?yàn)橐?BCD=：SMBO-R+[SABCD,R+[SA4co-r+15A4BC-r,

所以gxFxlxlxl=Y；xlxl+Jxlxl+2xlxl+4xV^x@r

323\2224/

解得,.，上Y&故c正確；

6

對(duì)于。項(xiàng)，???△ADC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點(diǎn)尸，

則0F14C,又AABC為等邊三角形，連接3F,則BF14C,

二NBFD為二面角B-AC-。的平面角,

而。尸=弓=號(hào),BD=4,

222

則tan乙BFD=—==V2?故。錯(cuò)誤.

DFf

故選ABC.

8.答案：BD

解析：

本題主要考查了立體幾何中的翻折問(wèn)題，考查了空間中的線線、線面之間的位置關(guān)系，同時(shí)考查了

三棱錐的外接球、對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，屬于難題.

逐項(xiàng)判斷即可.

解：對(duì)于A,取A。的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)F,如圖1

貝ljNE〃4Bi，NF"MB\

如果CNIABi，貝ijENJ.CN,

由于ABilMBi，則EN_LNF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對(duì)于B,如圖1,由4NEC=/MABI，

且NE="BI，AM=EC,

.,.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對(duì)于C,如圖2

取AM中點(diǎn)為0,???4B=BM,即4當(dāng)=81",則4"JL占0

若AM-LB1。，由于B1。n=B],

且BOB/u平面ODBi，

???AMJ_平面。岫，ODu平面。g,

OD1AM,則4。=MD,

由于AD,MD,故AMIBi。不成立，故不正確;

對(duì)于。，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面當(dāng)力M，平面AM。時(shí)，

三棱錐&-4MD的體積最大，取AQ的中點(diǎn)為E,

連接OE,B]E,ME,如圖2

???4B=BM=1,則AB】=BXM=1,

且Aa1B1M,平面/AMC平面AMD=AM

???Br01AM,Bi。u平面BiAM

???BQ1平面AMD,OEu平面AMD

???BQ1OE,

則AM=痘，BiO="M=?，

OE=?M="M=1,

從而叫=佰『+囹=],

易知￡;4=ED=EM=1,

??.AD的中點(diǎn)E就是三棱錐Bi-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故。正確；

故選2D

9.答案：AC

解析：

【試題解析】

本題考查了空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，線面角，面面角求解，屬于較難題目.

利用面面垂直判定定理證明A選項(xiàng)；假設(shè)PC_LE￡>可推出線面垂直，然后可得=

顯然不成立；確定二面角的平面角為然后可判斷C；NCP。為直線PC與平面PAD所成

角，在RtZXPCD中，tanZCF￡>=-1即可判斷。.

PD2

解：A中，PD=AD=JAE2+DE2=722+22=242'

在APDC中，PD2+CD2=PC2^

所以POJLC。，

又CD工DE,PDCDE=D,PD,DEu平面尸KO,

可得CD1平面PKQ，

又CDu平面EBCD，

所以平面PEDJL平面EBCD，

故A選項(xiàng)正確；

B中，若PC工ED,

又EDLCD,PCQCD=C,PC,PDu平面尸。C,

可得“D_L平面PDC,

則磯）_LP￡），

而NEDP=NED小顯然矛盾，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C中，二面角「一。。一8的平面角為NPQK，

根據(jù)折前折后角度不變知/PDE=乙4DE=45。，

故C選項(xiàng)正確；

。中，由上面分析可知，NCED為直線PC與平面PA'O所成角,

在RtZkPCO中，tanZCPD=—=—,

PD2

故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.答案：AC

解析：

本題考查了空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，線面角，面面角求解，屬于較難題目.

利用面面垂直判定定理證明A選項(xiàng)；假設(shè)PCI磯）可推出線面垂直，然后可得N￡OQ=NE￡U，

顯然不成立；確定二面角的平面角為/9K，然后可判斷C；NCPO為直線PC與平面PKO所成

角，在RtZkPCO中，tanZCPD=—=—>即可判斷D

PD2

2222

解：A中，PD=AD=y]AE+DE=X/2+2=2y[2'

在APDC中，PD2+CD2=PC2>

所以PD1CD，

又CDIDE,PDCDE=D,PD,DEu平面PAO，

可得C￡>1平面PA'。，

又CDu平面EBCD,

所以平面PEDJ■平面EBCD，

故A選項(xiàng)正確；

B中，若PC工ED，

又ED1CD，PCeCD=C,PC,「。€：平面/）。0

可得平面PDC,

則《￡>J_P￡>，

而/EDP=NEDA，顯然矛盾，故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C中，二面角P—OC—5的平面角為

根據(jù)折前折后角度不變知NPOE=44￡>￡=45°，

故C選項(xiàng)正確；

。中，由上面分析可知，NCPD為直線PC與平面尸AO所成角，

在RtaPCO中，tanZCPD--=—.

PD2

故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.答案：ACD

解析：

本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，二面角，錐體的體積公式，球的表面積公式，屬于較

難題.

得出BC1平面SAC即可分析A選項(xiàng)，運(yùn)用三棱錐的等積法即可分析B選項(xiàng)，計(jì)算二面角S-0C-4的

正切值即可分析C選項(xiàng)，得出三棱錐S-4BC外接球球心為SB的中點(diǎn)即可分析。選項(xiàng).

解：由題意，SA_L平面ABC,BCu平面ABC,SA1BC,

???點(diǎn)C在以AB為直徑的圓。上，BC1AC,

又$4f\AC=A,SA,ACu平面SAC,BC_L平面SAC,

又BCu平面ABC,.?.平面SAC1平面SBC,故A正確；

在△ABC中，48=2且AB為圓。的直徑，二OB=OC=1,

vZ.AOC=60°,Z.BOC=120°,

???SAOBC=|xlxlxsinl20°=爭(zhēng)

"^O-SBC=^S-OBC=§X2Xf故B錯(cuò)t天；

取0c的中點(diǎn)為M,連接SM,AM,

在ZMOC中，/-AOC=60°,。4=OC,.?.△40C為等邊三角形，

OC1AM,OC=AC=OA=1,

.-.SO=SC=V5，OCISM,

???二面角S-OC-4為ZSM4,可知AM=gtan4sM4=專=祟

2T

???二面角s-oc-a和二面角s-oc-B互為補(bǔ)角，二二面角s-oc-B的正切值為一速，故c正確；

3

取SB的中點(diǎn)為E,連接OE,

???△SAB為直角三角形，.?.ES=EA=EB,

又O為AB的中點(diǎn)，二0E〃S4,?.?S4J?平面ABC,.?.OE_L平面A8C,

可知。為△力BC的外心，；.。力=OB=OC,EA=EB=EC=ES,即E為三棱錐S-ABC外接球

球心，

故三棱錐S—4BC外接球半徑為=[x、22+22=魚,表面積為S—（用了”，故。

正確；

故選ACD.

12.答案：AD

解析：

本題考查了棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積、表面積和體積，線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)，面面

垂直的判定和線面垂直的判定，屬于較難題.

根據(jù)線面平行的判定對(duì)A進(jìn)行判斷，利用棱錐的體積公式通過(guò)計(jì)算對(duì)B進(jìn)行判斷，利用線面垂直的

性質(zhì)，結(jié)合空間直線與直線的位置關(guān)系對(duì)C進(jìn)行判斷，利用線面垂直的判定和面面垂直的判定對(duì)D

進(jìn)行判斷，從而得結(jié)論.

解：對(duì)于選項(xiàng)A、因?yàn)镻B=2PE,所以E是PB的中點(diǎn).

又因?yàn)槭茿8的中點(diǎn)，所以EF〃P4.

因?yàn)镻Au平面PAC,EFC平面PAC,所以EF〃平面PAC,因此A正確；

對(duì)于選項(xiàng)8、因?yàn)镻B=2PE,所以/_4BCD=2/_ABCD-

又因?yàn)锳B〃CDA3LAD-2.ID2CD2,

所以梯形ABCD的面積為“CO+AB)?4。=1x(1+2)x1=|,

S&4BU=-.4D=Ix2x1=1,

o

所以/-48co=2^E-ABC'

所以Up_4BCD=^E-ABC因此B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C、因?yàn)镻C,底面A5CQ,

AC,CDc5??ABCD,

所以PCL4C，PCLCD.因此aPAC，APC＞。為直角三角形.

又因?yàn)?B〃CD,AB1AD,所以40J.CD,即A.AUD為直角三角形，

所以PA?=pc2+AC2=PC2+AD2+CD2,PD2=CD2+PC2,

則PTP=2。2+人。2,所以△pa。是直角三角形，

即三棱錐P-ADC的四個(gè)面都是直角三角形，因此C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)。、由選項(xiàng)C知：PC1AC，

在RtAAC'。中，AC=y/AD2+CD2=V2.

在直角梯形ABCD中，BC=yjAD2+{AB-CD}2=V2,

所以AC?+BC2=AB2,因此.AOXBC.

因?yàn)锽CnPC=C,BC,PCu平面BCP,所以AC_L平面8CP,

而ACu平面ACE,因此平面BC'P_L平面ACE,因此。正確.

故選AD.

13.答案：BD

解析：

本題主要考查了立體幾何中的翻折問(wèn)題，考查了空間中的線線、線面之間的位置關(guān)系，同時(shí)考查了

三棱錐的外接球、對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，屬于難題.

逐項(xiàng)判斷即可.

解：對(duì)于4,取4。的中點(diǎn)為E,連接CE交M。于點(diǎn)尸，如圖1

圖】

則NE〃ABrNF“MB\

如果CNJ.4B1，則ENJLCN,

由于ABilMBi，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對(duì)于B,如圖1,由z_NEC=zMABi,

且NE=^AB^AM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對(duì)于C,如圖2

取AM中點(diǎn)為O,TAB=BM,即貝iL4Ml.B1。

若/MJLBi。，由于Bi。Cl當(dāng)。=Bi，

且u平面。

AM1平面。ODu平面。OB1，

???001AM,則AD=MD,

由于4。KM。，故4MlBi。不成立，故不正確；

對(duì)于。，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面平面AMD時(shí)、

三棱錐a-4MD的體積最大，取4力的中點(diǎn)為E,

連接。E,B】E,ME,如圖2

AB=BM=1,貝必Bi=BrM=1,

且AB】1BiM,平面&AMC平面AMD=AM

Bi。1AM,Bi。u平面&4M

J。1平面AMD,OEu平面AMD

：.B101OE,

則4M=夜，BiO=：4M=當(dāng)，

OE=-2D2M=-AM2

從而%=廊百=1'

易知EA=ED=EM=1,

.?.4D的中點(diǎn)E就是三棱錐當(dāng)一AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4萬(wàn)，故。正確；

故選8D

14.答案:BD

解析：

本題主要考查幾何體的翻折問(wèn)題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計(jì)算，考查空間

想象能力，屬于較難題，

對(duì)選項(xiàng)逐一判斷其正確性即可.

解：對(duì)于4,取A。的中點(diǎn)為E,連接CE交何。于點(diǎn)尸，如圖1,

圖1

則NE〃4BrNF//MB1

如果CN14B],則ENJ.CN,

由于則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對(duì)于B,如圖1,由=

且NE=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC-cosz.NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

圖2

取AM中點(diǎn)為0,???48=BM,即則AMJL占0

若AM±BrD,由于B】。nBtD=Br,

且BQBiDu平面ODBi，

???AM_L平面。DBi，ODu平面。

OD1AM,貝1〃。=MD,

由于ADAMD,故AMIBi。不成立，故不正確；

對(duì)于。，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面B/M，平面AM。時(shí)，

三棱錐S-AMD的體積最大，取4。的中點(diǎn)為E,

連接OE,B]E,ME,如圖2

???AB=BM=1,貝IjAB]=BrM=1,

且ABilBi”,平面&AMC平面AMD=AM,

Bx0LAM,B10u平面B/M,

Bi。1平面AMD,OEu平面AMD,

■■■Br01OE,

則4M=伍B]O="M=￥，

OE=-2D2M=-A2M=

從而EBL后F=】,

易知EA=ED=EM=1,

.?.2D的中點(diǎn)E就是三棱錐&-AMD的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4兀，故O正確.

故答案為：BD.

15.答案：ACD

解析：

本題考查空間中直線和直線的位置關(guān)系，考查面面垂直的判定，線面垂直的判定和性質(zhì)，屬于中檔

題.

易證4GJL平面48D,可以得到平面AGE1平面&BD,故選項(xiàng)A中結(jié)論正確；

假設(shè)存在，證明矛盾可判斷B;

面8CQB1與面488通1沿展開到同一個(gè)平面可以判斷C；

易知1平面4BB14,即可判斷。選項(xiàng).

解：易證AG1平面&BD,又4clu平面4GE,

所以平面4QE1平面4B0,故選項(xiàng)A中結(jié)論正確；

假設(shè)存在xe(0,1),使得4E1ER,

由&C11平面2BB14，得B1GJ.AE,

又BiGnEC】=Q,所以4E，平面&GE,所以4E1EB1,

又當(dāng)xe(0,1)時(shí)，AE與BB1顯然不垂直，與假設(shè)矛盾，故選項(xiàng)8中結(jié)論錯(cuò)誤；

把面BCGB1與面ABB14沿BBi展開到同一個(gè)平面，

則E為BBi的中點(diǎn)時(shí)，AE+EG取得最小值，故選項(xiàng)C中結(jié)論正確；

易知&DiJL平面力BBi&,4Eu平面4BB14,所以&D1J.4E,故選項(xiàng)。中結(jié)論正確.

故選ACD.

16.答案：AB

解析：

本題考查直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征及線面垂直的判定與性質(zhì)，同時(shí)考查面面垂直的性質(zhì)及球的體積的求

解，結(jié)合已知和面面垂直的性質(zhì)，逐一分析求解即可.

解：對(duì)于4,因?yàn)樗倪呅蜛BC。和AB￡F均為矩形，所以A8JL4D,AB1AF,AFnAD=A,AF,

4。＜=平面￡4。，所以AB_L平面FAO,

因?yàn)槠矫鍭BC。_L平面A2EF,平面ABC。n平面4BEF=4B,BCLAB,所以BC_L平面FAB,故四

個(gè)側(cè)面都是直角三角形；即A正確；

對(duì)于8,鱉席幾何體為F-BCE,且8c=2,BE=2,BF=2乖,FC=2顯,同理在陽(yáng)馬可求得

FC=V4+16+4=2V6,即它們重合的一條最長(zhǎng)且為2乃，所以B正確；

對(duì)于C,可知塹堵外接球的直徑為FC=2瓜所以半徑為r=V6,從而體積為V==)(述尸=

兀，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，陽(yáng)馬與鱉席重合面為直角三角形FBC,且S=^BFXBC=3X2V^X2=2V?,所以。錯(cuò)

誤.

故選AB.

17.答案：①②③

解析：

本題主要考查了線面垂直的判定，利用空間向量求線線角，線面角，二面角，屬于較難題,建立空間

直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入夾角公式可得線線角，線面角，二面角，利用線面垂直的判定可

得結(jié)果.

解：以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DC,DDi所在直線為x軸，y軸，z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則E(2,2,1),F(O,1,2),B(2,2,0),。式0,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),8式2,2,2),

￡>(0,0,0),所以前=(一2,-1,1),西=(一2,-2,2).

設(shè)異面直線EF與85所成的角為a,則cosa=翳翻=發(fā)需=等，故①正確；

福=(0,2,2)>南=(2,0,2)，因?yàn)檎?麗=-2x2+2x2=0，

西?西=-2x2+2x2=0，所以BDi_LABi，BD11CBr,

因?yàn)锳B】nCBi=AB】，CBiC平面ABiC,所以_1_平面48也，故②正確；

荏=(0,2,1)，設(shè)直線AE與平面ABiC所成的角為￡,

則sin"gs港西心需翻=咋等!=曾，故③正確；

n=(0,0,1)是平面AC。的法向量，所以cos5，西>==之=4，

因?yàn)槎娼钱?dāng)-4C一。是鈍角，所以二面角當(dāng)一4c-0的余弦值為一手，故④錯(cuò)誤.

故選①②③.

18.答案：①③

解析：

【試題解析】

本題考查直線與直線的位置關(guān)系，線面垂直的判定和性質(zhì)，直線與平面所成角，屬于中檔題.

①觀察圖形可判斷正誤，②分析EF最大時(shí)F點(diǎn)的位置即可求解③分析AQ與平面BEC的關(guān)系即可

判斷④線面角的正弦值可表示sin。=急，轉(zhuǎn)化為E尸取得最小值時(shí)有最大值.

解：如圖,

A

當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí);研為異面直線AD和BC的公垂線段，此時(shí)跖取得最小值，

當(dāng)尸與重合時(shí)，EF取得最大值舊，故②正確；

^^)AD1BE,AD1CE,BECCE=E,所以401平面BEC,故4D1EF,故③錯(cuò)誤;

因?yàn)镋到平面BC。的距離為定值d,設(shè)直線EF與平面BCQ夾角為。，則sin。=島，

當(dāng)尸為8c中點(diǎn)時(shí)，易知EF為異面直線AD和BC的公垂線段，

此時(shí)EF取得最小值，sin。=焉有最大值，此時(shí)。5=?DE=1，故EF=73^1=魚，

由直角三角形EFD可知，EF-DE=DF-d,解得d=量,

3

所以sin?=^=￥，故④正確.

故答案為：①③

19.答案：②③④

解析：

本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、法向量的應(yīng)用、夾角公式、數(shù)形結(jié)合方法，

考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

將正方形ABCQ沿對(duì)角線8。折成直二面角4-B0-C,設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)為。.以。為原點(diǎn)，0C為x

軸，。。為y軸，OA為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨取0C=l.

①48與平面BC。所成角為乙4B。，即可判斷出正誤.

②由4。=CD=AC=yf2,可得△4CD是等邊三角形，即可判斷出正誤.

③瓦？=(0,1，1)，CD=(-1,1.0),利用向量夾角公式可得cos〈而，CD>>可得AB與CQ所成

的角，即可判斷出正誤.

④由已知可得：BD_L平面04C,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)