等差數(shù)列課時(shí)優(yōu)化訓(xùn)練 高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

4.2等差數(shù)列一、單選題1．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于A．18 B．36 C．45 D．722．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織七匹三丈（1匹尺，一丈尺），問日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長(zhǎng)織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了七匹一丈，問每天增加多少尺布？”若這一個(gè)月有29天，記該女子一個(gè)月中的第天所織布的尺數(shù)為，則的值為（

）A．15 B． C． D．4．“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏暑相連，秋處露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，這首二十四節(jié)氣歌，記錄了中國(guó)古代勞動(dòng)人民在田間耕作長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)的積累和智慧.“二十四節(jié)氣”已經(jīng)被列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.我國(guó)古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中有一個(gè)問題：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長(zhǎng)為一丈三尺五寸，夏至的晷長(zhǎng)為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸）則下列說法不正確的為（

）A．相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為一尺 B．立春和立秋兩個(gè)節(jié)氣的晷長(zhǎng)相同C．春分的晷長(zhǎng)為七尺五寸 D．立春的晷長(zhǎng)比秋分的晷長(zhǎng)長(zhǎng)5．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若，且它的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使得Sn>0的n的最大值為A．11 B．12 C．21 D．226．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．若等差數(shù)列的公差，前n項(xiàng)和為，若，都有，則（

）A． B． C． D．8．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則數(shù)列的前100項(xiàng)和等于（

）A． B． C． D．1二、多選題9．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列10．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A．是遞增數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值11．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）．A． B．C．，使得 D．是公差為的等差數(shù)列三、填空題12．等差數(shù)列共項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為319，偶數(shù)項(xiàng)和為290，則.13．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，記其前n項(xiàng)和為，那么當(dāng)時(shí)，取得最小值．14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和．若，則．15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則使的最大整數(shù)n的值為.四、解答題16．等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)已知，，，求及；(2)已知，，，求；(3)已知，求.17．三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù).18．已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，記數(shù)列的前99項(xiàng)和為，求.參考答案：1．C【解析】，選C2．B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可直接求解.【解析】是等差數(shù)列，，則.故選：B.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3．D【分析】根據(jù)給定的信息可得數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)的性質(zhì)求解作答.【解析】依題意，數(shù)列為遞增等差數(shù)列，且，所以.故選：D4．B【分析】設(shè)上半年的晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列,公差為d1,設(shè)下半年的晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列,公差為d2,求出通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的知識(shí)即可求解.【解析】先取上半年進(jìn)行研究,設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列,公差為d1,則a1=135,a13=15,∴，∴.再取下半年進(jìn)行研究,設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列,公差為d2,則b1=15,,∴.對(duì)于A：由上面可知，，，所以相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量為一尺，故A正確；對(duì)于B、D：立春對(duì)應(yīng)的是中的，所以，立秋對(duì)應(yīng)的是中的，所以.故B錯(cuò)誤，D正確；對(duì)于C：春分對(duì)應(yīng)的是中的，所以.故C正確.故選：B5．C【解析】由題意得，由前n項(xiàng)和Sn有最大值可知等差數(shù)列{an}為遞減，d<0.所以，所以，所以n=21,選C.6．A【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列方程即可得解.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，，所以，解?故選：A.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7．D【分析】由，都有，可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷.【解析】等差數(shù)列的公差，，都有，，.故選：.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8．A【分析】由題意可知，直線與直線垂直，且直線過圓心，可求得和的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】因?yàn)橹本€與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線經(jīng)過圓心，且直線與直線垂直，所以，，解得，，則，，以數(shù)列的前100項(xiàng)和為．故選：A.9．BCD【分析】利用等差數(shù)列求和公式分別判斷.【解析】由已知得，A選項(xiàng)，，，，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，，，，，，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，，，則，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10．CD【分析】利用求出可判斷ABC，對(duì)配方后，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以，對(duì)于A，由于，，所以不是遞增數(shù)列，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，由于，，，所以，所以不是等差數(shù)列，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，所以C正確，對(duì)于D，，因?yàn)椋援?dāng)或4時(shí)，取得最大值，所以D正確，故選：CD.11．ACD【分析】根據(jù)條件求出等差數(shù)列的公差、首項(xiàng)、前項(xiàng)和，再能過計(jì)算判斷各個(gè)選項(xiàng)的正誤.【解析】對(duì)于A，記數(shù)列的公差為d，，故，則，故，故A正確；對(duì)于B，，，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若成立，則，即，解得或（舍），故當(dāng)，成立，故C正確；對(duì)于D，，，故是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，故D正確．故選：ACD12．29【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列共項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為319，偶數(shù)項(xiàng)和為290，記奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則.故答案為：.【小結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.13．3【分析】由為遞增數(shù)列，，，可得結(jié)論.【解析】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，則為遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取得最小值．故答案為：314．16【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及下標(biāo)和定理得，結(jié)合求出，再由計(jì)算即可．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，即，解得，所以，故答案為：16．15．10【分析】由題可得，再結(jié)合條件及等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即得.【解析】，又∴，數(shù)列公差小于零，數(shù)列為遞減數(shù)列，∴，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：10.16．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式相關(guān)概念直接計(jì)算；（3）方法一：根據(jù)題意得到，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算；方法二：結(jié)合題意得到，利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.【解析】（1）因?yàn)?，所以整理得，解得或（?fù)值舍去），所以（2）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以?）方法一：由，即，所以方法二：由，得，所以17．4，3，2【分析】設(shè)這三個(gè)數(shù)依次為，根據(jù)題意列式求解即可.【解析】設(shè)