2025屆新教材高中數學第1章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算素養(yǎng)作業(yè)新人教A屆選擇性必修第一冊

第一章1.11.1.1A組·基礎自測一、選擇題1．空間任意四個點A，B，C，D，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于(D)A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))[解析]eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).2．有下列四個命題：①已知A，B，C，D是空間任意四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0；②若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))；③若表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量；④對于空間的任意一點O和不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點共面．其中正確命題的個數是(B)A．3 B．2C．1 D．0[解析]根據向量加法的三角形法則，可得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，故①正確；若兩個非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))滿足eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))互為相反向量，則eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，故②正確；空間任意兩個向量均為共面向量，故③錯誤；對于空間的任意一點O和不共線的三點A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，當且僅當x＋y＋z＝1時，P，A，B，C四點共面，故④錯誤．故正確的命題共有2個，故選B.3．已知三棱錐O－ABC，點M，N分別為AB，OC的中點，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于(D)A.eq\f(1,2)(b＋c－a) B．eq\f(1,2)(a＋b＋c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c) D．eq\f(1,2)(c－a－b)[解析]∵點M為AB的中點，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，∵點N為OC的中點，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)(c－a－b)．故選D.4．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設M，G分別是BC，CD的中點，則eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))等于(B)A.eq\f(3,2)eq\o(DB,\s\up6(→)) B．3eq\o(MG,\s\up6(→))C．3eq\o(GM,\s\up6(→)) D．2eq\o(MG,\s\up6(→))[解析]eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(MG,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(MG,\s\up6(→))＋2eq\o(MG,\s\up6(→))＝3eq\o(MG,\s\up6(→)).5．在下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是(C)A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0[解析]在C項中，由eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))為共面向量，即M，A，B，C四點共面；對于A項，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，得1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四點共面；對于B項，由eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)≠1，所以M，A，B，C四點不共面；對于D項，由eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OM,\s\up6(→))＝－(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，其系數和不為1，所以M，A，B，C四點不共面，故選C.二、填空題6．空間任意四個點A，B，C，D，則eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).[解析]eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).7．設e1，e2是空間中兩個不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，且A，B，D三點共線，則k的值為_－8__.[解析]因為eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2e1－e2，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.因為A，B，D三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，所以2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.因為e1，e2是空間中兩個不共線的向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,k＝－4λ，))所以k＝－8.8．如圖，在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，則x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4).[解析]如題圖，在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4).三、解答題9．已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，點E在AC′上，且AEEC′＝12，點F、G分別是B′D′和BD′的中點，求下列各式中的x、y、z的值．(1)eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AD,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))＝xeq\o(BB′,\s\up6(→))＋yeq\o(BA,\s\up6(→))＋zeq\o(BC,\s\up6(→)).[解析](1)∵AEEC′＝12，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3)，z＝eq\f(1,3).(2)∵F為B′D′的中點，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BD′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(2eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴x＝1，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2).(3)∵G、F分別為BD′、B′D′的中點，∴eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝0，z＝0.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)下列命題正確的是(AC)A．若p＝xa＋yb，則p與a，b共面B．若p與a，b共面，則p＝xa＋ybC．若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，則M，N，A，B四點共面D．若M，N，A，B四點共面，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))[解析]在A中，若p＝xa＋yb，則由平面向量基本定理得p與a，b一定在同一平面內，故A正確；在B中，p與a，b共面，但如果a，b共線，p就不一定能用a，b來表示，故B錯誤；在C中，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))三向量在同一平面內，所以M，N，A，B四點共面，故C正確；在D中，若M，N，A，B四點共面，其中M，A，B共線，N與M，A，B不共線，則不存在x，y使eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))定成立，故D錯誤，故選AC.2．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，則eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(A)A.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c B．a＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D.eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c[解析]eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c，故選A.3．如圖，M是三棱錐P－ABC的底面△ABC的重心，若eq\o(PM,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，則x＋y＋z的值為(A)A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．1[解析]如圖，連接AM，∵M是三棱錐P－ABC的底面△ABC的重心，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(PM,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))＋yeq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y，z∈R)，∴x＋y＋z＝－1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).故選A.二、填空題4．已知a，b，c是空間三個不共面的向量，下列各組向量中不共面的是_①③__.①la，mb，nc(lmn≠0)；②a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a；③a＋2b，b＋2c，c＋2a.[解析]對于①，∵a，b，c是空間三個不共面的向量，∴l(xiāng)a，mb，nc(lmn≠0)是不共面的向量，故①正確；對于②，a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a，假設存在實數s，t，使得－9c＋3a＝s(a＋2b)＋t(2b＋3c)＝sa＋(2s＋2t)b＋3tc，則s＝3,2s＋2t＝0,3t＝－9，解得：s＝3，t＝－3，∴假設成立，因此a＋2b,2b＋3c，－9c＋3a共面，故②不正確．對于③，假設存在實數s，t，使得a＋2b＝s(b＋2c)＋t(c＋2a)＝2ta＋sb＋(2s＋t)c，則2t＝1，s＝2,2s＋t＝0，無解，∴假設不成立，因此a＋2b，b＋2c，c＋2a不共面，故③正確．故答案為①③.5．如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且PMMC＝21，N為PD中點，則滿足eq\o(MN,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AP,\s\up6(→))的實數x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).[解析]在PD上取一點F，使PFFD＝21，連接MF，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MF,\s\up6(→))＋eq\o(FN,\s\up6(→))，∵eq\o(FN,\s\up6(→))＝eq\o(DN,\s\up6(→))－eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，eq\o(MF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up6(→))，∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).三、解答題6．如圖，點M，N分別是四面體ABCD的棱AB和CD的中點，求證：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．[證明]由題意可得，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))，①eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))，②因為M，N分別為棱AB和CD的中點，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(DN,\s\up6(→))＝－eq\o(CN,\s\up6(→))，①＋②得2eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(