2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

第1講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.已知f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）（x－6），則f'（3）＝－12.解析易得f'（x）＝（x－3）'[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]＋（x－3）·[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]'，則f'（3）＝2×1×（－1）×（－2）×（－3）＝－12.2.[2021新高考卷Ⅰ]若過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則（D）A.eb＜a B.ea＜b C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea解析解法一（數(shù)形結(jié)合法）設(shè)切點(diǎn)為（x0，ex0），則切線方程為y－ex0＝ex0（x－x0），因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)（a，b），所以b－ex0＝ex0（a－x0），ex0（1－x0＋a）＝b，則由題意知關(guān)于x0的方程ex0（1－x0＋a）＝b有兩個(gè)不同的解.設(shè)f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a）.由f'（x）＝0得x＝a，當(dāng)x＜a時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea.當(dāng)x＜a時(shí)，a－x＞0，所以f（x）＞0，當(dāng)x→－∞時(shí)，f（x）→0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f（x）→－∞，（提示：判斷函數(shù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)的圖象特征很重要，需掌握用極限思想判斷函數(shù)圖象的趨勢(shì)，從而能準(zhǔn)確作出草圖）則函數(shù)f（x）＝ex（1－x＋a）的大致圖象如圖1所示.因?yàn)閒（x）的圖象與直線y＝b有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0＜b＜ea.故選D. 圖1 圖2解法二（用圖估算法）作出曲線y＝ex，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)（a，b）可以作曲線y＝ex的兩條切線，則點(diǎn)（a，b）在曲線y＝ex的下方且在x軸的上方，得0＜b＜ea.故選D.3.[命題點(diǎn)2角度2]若點(diǎn)P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的圖象上，且過(guò)點(diǎn)P僅能作一條直線與f（x）的圖象相切，則a的取值范圍為（－∞，0）∪（12，＋∞）解析點(diǎn)P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的圖象上，則f（1）＝1－a≠a，即a≠12.P（1，a）的直線與f（x）＝x3－ax的圖象切于點(diǎn)Q（t，t3－at），f'（x）＝3x2－a，則切線的斜率k＝f'（t）＝t3－at－at－1，即3t2－a＝t3－at－atg（t）＝2t3－3t2＋2a僅有1個(gè)零點(diǎn).g'（t）＝6t2－6t，令g'（t）＝0，得t＝0或t＝1，所以g（0）·g（1）＞0，（數(shù)形結(jié)合可得）即2a（2a－1）＞0，所以a＞12或a＜4.已知函數(shù)f（x）＝｜ex－1｜，x1＜0，x2＞0，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（x1，f（x1））和點(diǎn)B（x2，f（x2））處的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則｜AM｜｜BN｜的取值范圍是（解析解法一（構(gòu)造函數(shù)法）f（x）＝｜ex－1｜＝ex－1，x≥0f'（x）＝ex，f'（x2）＝ex2；當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＝－ex，f'（x1）＝－ex1.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的兩條切線互相垂直，所以－ex1ex2＝－1，即ex1＋x2＝1，所以x1＋x2＝0.因?yàn)锳（x1，1－ex1），B（x2，ex2－1），所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線方程分別為y－（1－ex1）＝－ex1（x－x1），y－（ex2－1）＝ex2（x－x2），分別令x＝0，得M（0，x1ex1＋1－ex1），N（0，－x12＋（x1ex1）2（－x1）2＋（－x1e－x解法二（不等式性質(zhì)法）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex－1，f'（x）＝ex，所以kBN＝ex同理可得kAM＝－ex1所以ex2（－ex1）＝－1，所以x1＋x2＝所以｜AM｜｜BN｜＝1+因?yàn)閤2＞0，所以0＜1ex2＜1，即｜AM｜｜5.[2023河南省部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考]已知函數(shù)f（x）＝lnx的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線也是函數(shù)g（x）＝aex的圖象的一條切線，則a＝e－2.解析由f（x）＝lnx，得f（1）＝0，f'（x）＝1x，所以切線的斜率k＝f'（1）＝1，切線方程為y－0＝1·（x－1），即y＝x－1.設(shè)