第六講方程（組）

第六講方程（組）

一.基礎(chǔ)知識

1.等式,等式的基本性質(zhì).

方程,方程的解（根），解方程.

二元一次方程及其解集.

方程組,方程組的解,解方程組.

2.一元一次方程及其解法.

解法:直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法.

,根的判別式b?-4ac,

性質(zhì)＜

根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）.

＜f二次三項式的因式分解（公式法）;

公式變形；

一元二次方程應(yīng)用可化為一元二次方程的方程；

解簡單的二元二次方程組;

解應(yīng)用題.

'可化為一元一次分式方程:增根,去分母或換元法其解,驗根

、一元二次方程的人無理方程:增根,兩邊平方或換元法求其解,驗根

分式方程和無理方程的換元法,具體的有均值代換、多元代換、常數(shù)代換、倒帶換、局部代換等.

3.一次方程組及其解法:

’代入消元法;

4.二元一次方程組解法＜

加減消元法.

5.二元二次方程.二元二次方程組.

解簡單的二元二次方程組（消元,降次）：

由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法；

由一個二元二次方程和一個可以分解為兩個二元一次方程的方程組成的方程組的解法.

6.列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟.

能夠找出簡單應(yīng)用題中的未知量和已知量,分析各量之間的關(guān)系，能夠找出等量關(guān)系列出方程或方程組,會

檢查求得的結(jié)果是否合理.

類型:行程問題,工程問題,百分比濃度問題,增長率問題,數(shù)字問題,數(shù)量間的差倍分問題,其他問題.

掌握各類型的基本關(guān)系式及特點.

二.例題.

L選擇題

—2

1）.（2003.昆明★）解分式方程一x一-x--+3=0時，設(shè)二x%則原方程變形為（D）

X2-2xX2-2

A.丁？+3y+1=0B.y2-3y+1=0C.y2-3y-1=0D.y2+3^-1=0

2x+y=2

2).(2003.南寧★)二元一次方程組,的解是(B)

「x+y=5

x-1x——1x——3

A.<B.<C.<

y=6[y=4[y=2

3)(2003.寧波★★)已知x-y=4,忖+可=7,那么x+y的值是(C)

3H

A.±—B.±—C.±7D.±11

22

4)(2004.黃岡★★)用換元法解方程\x--]-3x+』+2=0時,如果設(shè)x-，那么原方程可轉(zhuǎn)化為

\XJXX

(D)

A.y2+3y+2=0B.—3^y—2=0C.+3^y—2=0D.—3y+2=0

5).(2002.哈爾濱支)方程組I"町=4的解是(C)

5x=10

x—2\x—2fx=2\x—21x=01x=2

A.<B.<C.<或《D.《或v

y=o[y=4[y=。[y=4[y=21y=4

x+y=5k

6）（2002.濟(jì)寧★★）關(guān)于x,y的二元一次方程組＜的解也是二元一次方程2x+3y=6的解,則

x-y=9k

上的值是B)

A.-24

BcD.——

4-f-f3

7)(2002.北京★)用換元法解方程———8x2+12=0,下列換元過程中，原方程變形不正確的是

2X2-3

(D)

141

A.設(shè)^—=y，貝！|y——=0B.設(shè)2/一3=y，貝!|——4y=0

2x-3yy

,4

C.設(shè)8112=y,貝!)——y=QD.設(shè))0=y，貝！ly-《=0

2

y2x-34y

8)(2002.北京**)方程(二~]—---—2=0的解為

(C)

\x-l)x-1

3

A.-1,2B.1,-2C0,-D.0,3

2

9)(2004.蘇州★)已知A=4(1+加。(m,A,4均不為零)，則?=(D)

AA)—ARA—A)rA-l

A.------------D.------------L.

mAmAmA^mA^

10)(2003.麗水★)下列給出的四個方程中,其解是x=Q的方程是(B)

A.x+1=0B.y[x=0C.X?—1=0D.x2=1

cA+1X+8X+2犬+7心me

2.(第十八屆n.江蘇★★)方程-----1------=------1-----的解是?

x+2x+9x+3x+8

解:原方程可化為：1———+1———=1———+1———

x+2x+9x+3%+8

1]_L1

%+8x+9x+2x+3

x+9—x—8x+3—x—2

即art------------=-------------

(%+8)(%+9)(%+2)(%+3)

/.(x+8)(x+9)—(x+2)(%+3)x———

經(jīng)檢驗：X=-U是原方程的解.

2

13x—]3—x

3.(祖沖之杯競賽★★★)解方程------(x+-------)=42.

x+1x+1

13—x13x—13—x

解:設(shè)旦」=丁，則原方程可變形為：孫(x+y)=42,又町+%+y=----------+(--------+%)=13

x+1x+lX+1

二.孫,x+y應(yīng)是方程產(chǎn)一13/+42=0的兩個根.二6=6,與=7.

即,x+y=6或]兀+>=?解之得玉=],%=6,%3=3+&,4=3_&

xy=71xy-6

經(jīng)檢驗，玉,%2，%3，%4都是方程的解.

4.(2001.山東省淄博★★★★)解方程x2:+Y+1+2_x2++21Q

x+1x+x+16

Y+x+l(V+X+D+J+IL19x2+x+lx2+l_19

'x2+lx2+x+l6x2+lx2+x+l6

Y2+Y+11IQ73

設(shè)———二，則原方程可化為：y+l+—=J，解得％二』,%=乙

x+1y632

2x~+x+122tH—3+A/5—3—A/5

當(dāng)y時,——一二不；解z得西二---，招=―--

x"+l32-2

當(dāng)y=3時，廠…1=3解得馬=1.經(jīng)檢驗：％=-3+二,4=-3一小,馬=1都是原方程的根.

2x+1222

4rk-k21

5.（2002.河南★★★）已知方程-T+1=--+——沒有增根,求實數(shù)k的取值范圍.

4-%-x-2x+2

解:兩邊乘以（x+2）（%—2）,得（x+2）（左—左2）=f—5x—2.①

若產(chǎn)生增根,則必是九=2或x=—2.當(dāng)尤=—2時,方程①為0（左—左2）=12,無解.

當(dāng)尤=2時，方程①為4（左—%?）=一&,解之得匕=-1&=2

.?.當(dāng)％w—1且左，2時,方程沒有增根.

町+yz+zx=1(1)

yz+zt+ty=1⑵

6.（2002.江蘇★★★★）解方程組.《

zt+tx+xz=1⑶

tx+xy+yt=1(4)

解：①-②，得(x-/)(y+z)=0⑤

②-③，得(y-x)(z+t)=0⑥

③-④,得(z-y)(t+x)=0⑦.

若y+z=0,即z=-y,代入①，得一丁=1,無實數(shù)解故y+z#0,同理可得z+twOj+x/O

于是由⑤，⑥，⑦，得xT=0,y-x=0,z-y=0,即x=y=z=f,代入①，得3x?=1

.”=±東二原方程組的解為石=%=4=邛或々=—1

7.（山東★★★）解方程組

2x+y+—=6

y

解:設(shè)卜=a,Jx+y-3=ba-b=y/3(1)

則原方程可化為：＜

a2+b2=3⑵

由①得a=6+6代入②解得4=0,b2=一6.可得q=#),%=0.

"+1=°，此時方程組無解.

a=0

當(dāng)廠時,原方程組為《

b=-y[3

"二6時,原方程組為＜x,=2%=4

當(dāng)解得或＜

b=0[%=1〔一

x+y-3=0

X.=2%—4

經(jīng)檢驗，\或?2是原方程組的解.

〔弘=1[%=-1

8.(2000.山東★★★★)已知羽y為實數(shù),且滿足芍;+x+y=17,x2y+xy2=66,

求犬4+九3y+%2y2+孫3+,4的直

孫+X+/7得x+y=6x+y=11

解：由題意得＜7(舍去)或

xy(x+y)=66I孫=11孫二6

/.x2+y2=(尤+y)2-2xy=109,

經(jīng)檢驗’戶號叵是方程的解.

Xyfyz+yyfxz=39一孫

10.（2007.中考預(yù)測***）求方程組的正整數(shù)解<yy[xz+Zy/xy+=52-yz

zyJxy+x<y/yz+=78-xz

ac+ab-39-tz2(1)

解:設(shè)=JF=b,4xz=c,則原方程組變形為：＜ab+bc-52-b'⑵

ac+be=78-c2⑶

(1)+(2)+(3)并結(jié)合(a+b+c)2-a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)得:

(〃+。+=169(4),\a+b+c=±13(舍去負(fù)值)由⑴、(4)得。=3,同理〃=4,c=6.

9

即：w=9,yz=16,xz=36.故：%=于y=2,2=8.(負(fù)值舍去)

三、練習(xí)題

1.（2007.中考預(yù)測***）解方程^2+，二彳—J4-2x=孝

解：4—f20,4-2%20,二一2＜工＜2.將原方程移項平方得：2+7^?=4—2x+2^/^^+工

2

即4+2,4-犬=4（2-x）+4萬九+1配方得:2+九+2,4—『2+2—x=（2V^—1）?

即（j2+x+J2—=（2,2—x—I）?J2+X+J2—x=2、2—x—1解之得:五2=±g

7

經(jīng)檢驗，x=’是原方程的解.

2

2.（2001.廣東競賽★★★★）求證:當(dāng)時，+1+1=1

cX+1l8x—1cX+1l8x—1L_r.、r3cc

解:令A(yù)沅='XHJ-----FnXJ---則方程可變?yōu)椋篣=2%—2XU+W,

（y—1）（〃2+u+2x）=0,“2+〃+2xw0,「.〃=1

3.（2001.四川★★★★）求關(guān)于X、y、z方程組」=上=工=:+/+：3兒）0）非零解.

%+〃y-\-bz+ca+b+c

cihcci^+/?2+

解:在都不為零的情況下,可取倒數(shù)得：1+-=1+-=1+-=-―---

xyzx+y+z

.abc,a1b1c2+/?2+c2〃2+匕2+2

令一=—=—二%則F=F=3=〃2=F—5~~7（等比性質(zhì)）又1+公：[:

故得輔助方程r=1+%

.1±y/51-1土行

解之z得，=T」，-

2t2

A/5-145-1

---------a1x=------------a

1TA/5—1

從而得：sy=?；騖y=b

2--------------------2

A/5-1A/5-1

z=---------cz=-----------c

4.（2007.中考預(yù)測***）求下列方程組的一組實數(shù)解.

國元2%3%4_1_11

=1-+--------+---------=1(1)

$+%2+%3

x2x3x4x1x3x4x1x2x4

xxxx111_1

1234=2—(2)

玉+%2+xxx玉元3%4XXX2

解:取倒數(shù)后原方程變?yōu)?34123

x1x2x3x4111

=3+--------+---------⑶

%]+%3+%4

x2x3x4百工214再％2%33

國工2%3%4111

=6+--------+---------(4)

%+%+X4XyX3X4xrx2x4xrx2x36

(1)+(2)+(3)+(4)后兩邊同除以3再分別減去(1),(2),(3),(4)得：

11

次

玉元2%33,3

%1-

1_1百％2%3=-32

%々/6xxx=6x=—3A/J

即《1}2Q4A,容易得出解為：2

1_1元1%3%4=3次

%3="T

xrx3x43x2x3x4=2

1_1%=

x2x3x42

x+y+J(x+2)(y+3)=34

5.（2001.山西★★★★）解方程組

(x+2)2+(y+3)2=741-(x+2)(y+3)

u+v+4uv-39

解:設(shè)x+2=.y+3=v,則原方程變形為＜而此方程組是一個二元對稱方程組,可設(shè)

I+v2+uv=741

s+VF=39(1)

u+v=s,=/貝何變形為＜⑴+(2)得s-〃=19(1)

S27=741⑵

l/L,—4_,

s=29u+v=19ux—25x+2=25尤+2=4

由⑴，⑶得解之得：,或y從而有＜或＜

Z=1OOMV=100匕=4%=25y+3=47+3=25

x=23%2=2

解之，二原方程的解為：x

?二22

a；+a；=p。(1)

6.(1999.全國數(shù)學(xué)競賽★★)4力2都是不為零的實數(shù)，且：＜+生d=P7(2)

+b；=/(3)

求證：幺=幺=￡

仄b2q

2

證明：由⑴x/+(3)xp。+(2)x(-2pq)#{axq-bxp)+{a2q-b2pY=0

而p,q,ai，a”b〕b、均為非零實數(shù).二^“一偽。=a2q-b2p=0即幺="=1.

42q

張超月補(bǔ)充例題：

身左！①

例1解方程組［x+y=i°?②

分析本題是一個對稱方程組的形式，觀察知它可轉(zhuǎn)化為基本對稱方程組的形式.

將②代人③，得巧=4,所以xy=16.④

x+y=10,

由②，④可得基本對稱方程組1對二16?

于是可得方程組的解為L】=*卜2=2.

x2+2xy-10x=0,①

例2解方程組+2xyJOy=0,②

分析本題屬于二元輪換對稱方程組類型，通?？梢园褍蓚€方程相減，因為這樣總

能得到一個方程x-y=O,從而使方程降次化簡.

解①-②，再因式分解得(x-y)(x+y-10)=0,所以x-y-0或x+x-10=0.

x-y=0,x+y-10=0,

x2+2xy-10x=0；x2+2xy-lOx=0,

解下列兩個方程組

_10

Xj=0,叼一百，|x3=0,Jx4=10,