高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊(cè) 向量的減法運(yùn)算

第6章6.2.2向量的減法運(yùn)算

姓名：班級(jí)：學(xué)號(hào)：

【導(dǎo)學(xué)聚焦】

考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)

相反向量理解相反向量的概念數(shù)學(xué)抽象

向量的減法掌握向量減法的運(yùn)算法則及其幾何意義數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

【自主預(yù)習(xí)】

［問題導(dǎo)學(xué)］

預(yù)習(xí)教材內(nèi)容，思考以下問題：

1.a的相反向量是什么？2.向量減法的幾何意義是什么？

［新知初探］

1.相反向量

(1)定義：與a長度—，方向—的向量，叫做a的相反向差，記作—，并且規(guī)定，零

向量的相反向量仍是.

(2)結(jié)論

①一(一a)=___,a+(—a)=(-a)+a=___；

②如果a與力互為相反向量，那么a=,b—,a+b—.

■名師點(diǎn)撥

相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進(jìn)行定義，相反向量必為平行向

2.向量的減法

(1)向量a加上b的相反向量，叫做a與力的差，即a—力=.求兩個(gè)向量差的運(yùn)

算叫做向量的減法.

(2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作湯=a,OB=b,則向量瓦=a-A,如圖所示.

(3)幾何意義：a—6可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.

■名師點(diǎn)撥

(1)減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量.

(2)在用三角形法則作向量減法時(shí)，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可.

⑶對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b,都有||a|一引㈤+

【自我檢測(cè)】

O判斷(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“義”)

(1)兩個(gè)相等向量之差等于0.()

(2)兩個(gè)相反向量之差等于0.()

⑶兩個(gè)向量的差仍是一個(gè)向量.()

(4)向量的減法實(shí)質(zhì)上是向量的加法的逆運(yùn)算.()

0在平行四邊形4四中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.AB~DC=QB.而一威=祀C.AB-AD=BbD.質(zhì)+宓=0

?設(shè)b是a的相反向量，則下列說法一定錯(cuò)誤的是()

A.a與力的長度相等B.a//b

C.a與，一定不相等D.a是b的相反向量

ci在平行四邊形力靦中，向量力幽相反向量為

【探究互動(dòng)】

探究點(diǎn)一向量的減法運(yùn)算

【例1】化簡下列各式：

⑴（血+麗+（一龐一麗;

^~AB-~AD-~DC.

【規(guī)律方法】

向量減法運(yùn)算的常用方法

〔

?！梢酝ㄟ^相反向量，把向量減法的'

用、運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，

方

法’運(yùn)用向量減法的三角形法則，此時(shí)'

〕要注意兩個(gè)向量要有共同的起點(diǎn)

<___—>

【跟蹤訓(xùn)練】

1.下列四個(gè)式子中可以化簡為誦的是（）

①赤十宓一物②衣一宓；③應(yīng)1+曲@OB-OA.

A.①④B.①②C.②③D.③④

2.化簡下列向量表達(dá)式:

⑴場一麗孫一麗

(2)(血一曲+{BC-MC).

探究點(diǎn)二向量的減法及其幾何意義

【例2】如圖，已知向量a,b,c不共線，求作向量a+，一c.

【規(guī)律方法】

求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路

(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a—6,可以先作一6,然后作a+(—⑹即可.

(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量

的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量.

【跟蹤訓(xùn)練】如圖，已知向量a,b,c,求作向量a—b—c.

探究點(diǎn)三用已知向量表示其他向量

【例3】如圖所示，四邊形力。應(yīng)是平行四邊形，點(diǎn)8是該平行四邊形外一點(diǎn)，且宓=a,AC

=b,~AE=c,試用向量a,b,c表示向量裁4擊~BD.

【規(guī)律方法】

用已知向量表示其他向量的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個(gè)向量之間的關(guān)系,

確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.

(2)注意綜合應(yīng)用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結(jié)合律、交換律來分析解決問

題.

(3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則.

例如，在四邊形/用刀中，AB+BC+CIHDA=Q.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.如圖，。為平行四邊形4%/內(nèi)一點(diǎn)，OA^a,OB=b,OC=c,則應(yīng)H.

二

BK------------

2.已知。是平行四邊形48切的對(duì)角線北與劭的交點(diǎn)，若初=a,BC=b,應(yīng)He.試證明:

a—2>+c—0B.

【達(dá)標(biāo)反饋】

1.在△/比'中，〃是8C邊上的一點(diǎn)，則崩一近等于()

A.CBB.BC

C.CDD.DC

2.化簡：AB-AC+Bb-Cb+AD=.

3.已知AB=10,\AC\=7,則|宓I的取值范圍為.

4.若。是△46。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|歷-應(yīng)1=|南一謨1+沆'—湯試判斷△相。的

形狀.

第6章6.2.2向量的減法運(yùn)算【參考答案】

【自主預(yù)習(xí)】

［新知初探］

1.(1)相等相反一a零向量

(2)①a0②一，-a02.(1)a+(—b)

【自我檢測(cè)】

O答案：(1)V(2)X(3)V(4)V

B答案：C

0答案：C

￡1答案：BA,cb

【探究互動(dòng)】

探究點(diǎn)一向量的減法運(yùn)算

【例1】

【解】⑴法一：原式=漉+礪+詼+H片(法+麗+(加■麗=布+應(yīng)=施

法二：原式=游+,礪+瓦葉南

=AB+(礪+的+Oil=AB+Mb+O\t=AB+Q=AB.

(2)法一：原式=龐一比=也

法二：原式=茯一(殺+應(yīng))=油一式=*

【跟蹤訓(xùn)練】

1.解析：選A.因?yàn)辇堉心艘坏Z=崩一瓦H四+場=宓，所以①正確，排除C,D；因?yàn)槭┮?/p>

OA=AB,所以④正確，排除B.故選A.

2.解：（1）畫一跳痂一筋=沏+法」法=沛一花1=宓

⑵（而-物+（反'-旃=AD+MB+BC+CM=AD+=AD+Q=AD.

探究點(diǎn)二向量的減法及其幾何意義

【例2】

【解】法一：如圖①，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，

作成l=a,0B=b,應(yīng)'=c,連接式1,則踮=Z>—c.

過點(diǎn)4作4〃觸6G連接"則"力一c,

所以赤=a+而=a+b—c.

法二：如圖②，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作游=a,藺=b,

連接0B,則a+4再作龐'=c,連接％,則CB=a+b-c.

法三：如圖③，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,

作湯=a,~AB=b,連接0B,則應(yīng)=a+8,

再作踮=c,連接0C,則沅'=a+b—c.

【跟蹤訓(xùn)練】

解：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作向量應(yīng)=a,0B=b,則向量夙=a-b,

c

再作向量反'=c,則向量1^=a—力一c.

探究點(diǎn)三用已知向量表示其他向量

【例3】

【解】因?yàn)樗倪呅?跡是平行四邊形，

所以宓=壺=<?,BC=AC-AiB=-b-a,

故直HBC+CD=b~a+c.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.解析：因?yàn)橛?力，BA=OA-OB,Cb=Ob-~OC,所以近一發(fā)=而一①，db=OA-OB+OC,

所以應(yīng)Ha—力+c.

答案：a—b+c

2.證明：如圖，

a+c=AB+Ob=DC+Ob=OC,

0B+b=OB+BC=dc,

所以a+c=0B-\-b,即a—b+c=OB.

【達(dá)標(biāo)反饋】

1.解析：選C.在△/阿中，〃是宛邊上一點(diǎn)，則由兩個(gè)向量的減法的幾何意義可得森一范

=cb.

2.解析：原式=2+應(yīng)+應(yīng)+應(yīng)=近+虎+而=0+應(yīng)=血

答案：AD

3.解析：因?yàn)榈?/一而所以I函=1荔一衣I.

又I