人教版高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義4.4對(duì)數(shù)函數(shù)(原卷版+解析)

4．4對(duì)數(shù)函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：對(duì)數(shù)函數(shù)定義的判斷題型二：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)題型三：求對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式題型四：對(duì)數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題題型六：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域題型七：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值題型八：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型九：比較指數(shù)冪的大小題型十：解對(duì)數(shù)型不等式題型十一：判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性題型十二：反函數(shù)題型十三：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1、函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?、判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）只有形如的函數(shù)才叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，像，，等函數(shù)，它們是由對(duì)數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)．（2）求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意：①對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對(duì)含有字母的式子要注意分類討論．知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，知識(shí)點(diǎn)詮釋：關(guān)于對(duì)數(shù)式的符號(hào)問(wèn)題，既受..的制約又受的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)．下面介紹一種簡(jiǎn)單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考．以1為分界點(diǎn)，當(dāng)，同側(cè)時(shí)，；當(dāng)，異側(cè)時(shí)，．知識(shí)點(diǎn)三、底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識(shí)點(diǎn)詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見(jiàn)下圖）知識(shí)點(diǎn)四、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個(gè)函數(shù)（即對(duì)任意的一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫(xiě)成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域都是B，對(duì)應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．知識(shí)點(diǎn)詮釋：并不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)，如．一般說(shuō)來(lái)，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．【典型例題】題型一：對(duì)數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．例2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥變式1．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量．題型二：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知對(duì)數(shù)函數(shù)，則______．例5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意義，x的取值范圍為A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞） D．（3，4）例6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B．2 C． D．變式2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】的系數(shù)為1題型三：求對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式例7．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)M(125，3)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（

）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x例8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（

）A． B．C．或 D．不確定例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B．2 C． D．變式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(16,4)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log4x B．y＝xC．y＝x D．y＝log2x變式4．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）函數(shù)y=f(x)滿足；函數(shù)g(x)滿足，且，，則函數(shù)F(x)的表達(dá)式可以是_____變式5．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）如果函數(shù)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，b，都有，則這樣的函數(shù)可以是______（寫(xiě)出一個(gè)即可）【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：對(duì)數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例10．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若且，則函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)（

）A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）例11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則M為（

）A． B．C． D．例12．（2022·浙江麗水·高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，正數(shù)、滿足，則（

）A． B． C． D．變式6．（2022·四川成都·高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)（，且）恒過(guò)定點(diǎn)（3，2），則（

）A．2 B．3 C．4 D．5變式7．（2022·天津·高一期末）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】令真數(shù)為1求解.題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題例13．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)（理））函數(shù)的圖像大致為（

）A． B． C． D．例14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（

）A． B．C． D．例15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．變式8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．變式9．（2022·四川省綿陽(yáng)第一中學(xué)高一期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，（且）的圖象可能是（

）A． B．C． D．變式10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．變式11．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．以上選項(xiàng)均有可能變式13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，已知a值取，，，，則相應(yīng)的，，，的a值依次是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，變式14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示，則它們之間的大小關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）.A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】“數(shù)”是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說(shuō)服力；而“形”則形象、直觀，能簡(jiǎn)化思維過(guò)程，降低題目的難度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，把它們的優(yōu)點(diǎn)集中在一起就是最佳組合．利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)形結(jié)合成為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題．在涉及方程與不等式的問(wèn)題時(shí)，往往構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)與，則=的實(shí)數(shù)解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而的的解等價(jià)于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．利用圖象的形象性、直觀性，可使問(wèn)題得到順利地解決，而且分散了問(wèn)題解決的難度、簡(jiǎn)化了思維過(guò)程．因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決方程與不等式的問(wèn)題．題型六：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域例16．（2022·廣東·東莞市石龍中學(xué)高一期中）函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．例17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．例18．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．變式15．（2022·河南安陽(yáng)·高一期末）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．變式16．（2022·湖南張家界·高一期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．變式17．（2022·湖北省通山縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問(wèn)題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義．一般地，判斷類似于的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證．題型七：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值例19．（2022·重慶·高一期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是_________例20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例21．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)椋?，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式18．（2022·新疆·石河子第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知的值域?yàn)镽，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．變式19．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]變式20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)于任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式21．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．變式22．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室高一期中）函數(shù)的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．變式23．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知函數(shù)，，對(duì)于任意，存在有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式24．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（，且）在上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．變式25．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式26．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)(且)，則在區(qū)間上的最大值為（

）A． B．或 C．1 D．，變式27．（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若(為自然對(duì)數(shù))，則函數(shù)的最小值為（

）A．-3 B．-2 C．0 D．6變式28．（2022·河南平頂山·高一期末）已知函數(shù)的最大值與最小值的差為2，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【方法技巧與總結(jié)】數(shù)形結(jié)合題型八：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例22．（2022·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高一期末）若函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．例23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．例24．（2022·陜西·漢中市龍崗學(xué)校高一期中），若，則的范圍是_____________.變式29．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，若，則a的取值范圍為_(kāi)_____.變式30．（2022·全國(guó)·高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________.變式31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．變式32．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）函數(shù)f（x）=log2（2-x2）的單調(diào)減區(qū)間是________.變式33．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)____變式34．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)___________________．變式35．（2022·江蘇南通·高一期末）若正數(shù)a，b滿足，則的最大值為_(kāi)_____.【方法技巧與總結(jié)】研究型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復(fù)合法來(lái)判定即可．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”．研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則．題型九：比較指數(shù)冪的大小例25．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．例26．（2022·湖北黃石·高一期末）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．例27．（2022·陜西咸陽(yáng)·高一期末）設(shè)，，，則三者大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式36．（2022·廣東廣州·高一期末）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式37．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一期末）若，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式38．（2022·四川·德陽(yáng)五中高一階段練習(xí)）若函數(shù)對(duì)任意的恒有，且任意的，均有.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．變式39．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．（2）比較同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對(duì)數(shù)換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大?。虎诶脤?duì)數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大?。?）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比較大小．題型十：解對(duì)數(shù)型不等式例28．（2022·重慶市青木關(guān)中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求，的值；(2)求不等式的解集：.例29．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，求不等式的解集．例30．（2022·天津天津·高一期末）已知函數(shù)，，且.(1)求的值；(2)求的定義域；(3)求不等式的解集.變式40．（2022·河北秦皇島·高一期末）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的定義域；(2)試討論關(guān)于x的不等式的解集．變式41．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知且，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1)求的取值范圍；(2)討論關(guān)于的不等式的解集．【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解題型十一：判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性例31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，寫(xiě)出一組符合題意的a，b，k的值___________.例32．（2022·遼寧·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校高一期中）設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)（，），則實(shí)數(shù)n取值范圍為_(kāi)_____．例33．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=____________．變式42．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的解析式；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.變式43．（2022·四川·攀枝花七中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)．(1)求的值，并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)求不等式的解集；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．變式44．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)求不等式的解集.變式45．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，且單調(diào)遞增.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式46．（2022·陜西省安康中學(xué)高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求a的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)求滿足的x的取值范圍．變式47．（2022·廣東·珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)證明：為偶函數(shù)；(2)若函數(shù)，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【方法技巧與總結(jié)】斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行（2），如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)。題型十二：反函數(shù)例34．（2022·遼寧·新民市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則________．例35．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，則的值為_(kāi)__________.例36．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)是函數(shù)且的反函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)，則_______.變式48．（2022·湖南·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，則________.變式49．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)為，則___________.變式50．（2022·山東德州·高一期末）已知且，且，函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)A，A在函數(shù)的圖象上，且函數(shù)的反函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則______.變式51．（2022·遼寧丹東·高一期末）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線______對(duì)稱．變式52．（2022·陜西安康·高一期中）若實(shí)數(shù)、滿足，，則____________．【方法技巧與總結(jié)】反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來(lái)確定的，特別是當(dāng)反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時(shí)，一定要注明反函數(shù)的定義域．題型十三：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例37．（2022·全國(guó)·高一期末）已知函數(shù)，則______．例38．（2022·河北省晉州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是________．例39．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，有以下四個(gè)命題：①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)的定義域?yàn)椋虎芎瘮?shù)的值域?yàn)?其中所有正確命題的序號(hào)是________.變式53．（2022·貴州·凱里一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若，求的取值范圍.變式54．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知，函數(shù).(1)若關(guān)于的方程的解集中恰有兩個(gè)元素，求的取值范圍；(2)設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.變式55．（2022·山東威海·高一期末）已知函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)．(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】如果函數(shù)的定義域?yàn)槟硞€(gè)區(qū)間，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的任何子集內(nèi)部都有意義；如果函數(shù)在區(qū)間上有意義，而的定義域?yàn)?，則必有．考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，提問(wèn)方式靈活．靈活掌握轉(zhuǎn)化的思想，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·四川·成都鐵路中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京·牛欄山一中高一期中）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．3．（2022·浙江·杭十四中高一期末）設(shè)實(shí)數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（且）在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知函數(shù)f（x）=m+log2x2的定義域是[1，2]，且f（x）≤4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（-，2] B．（-，2）C．[2，+） D．（2，+）二、多選題9．（2022·廣東·東莞市石龍中學(xué)高一期中）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為C．函數(shù)與互為反函數(shù)D．函數(shù)與函數(shù)為同一函數(shù)10．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若滿足對(duì)定義域內(nèi)任意的，都有，則稱為“好函數(shù)”，則下列函數(shù)是“好函數(shù)”的是（）A． B． C． D．11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且，若的反函數(shù)為，則（

）A． B．在定義域上是增函數(shù)C． D．在定義域上是減函數(shù)12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)為增函數(shù)C．若，則D．若，則三、填空題13．（2022·浙江·高一期中）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若函數(shù)在上的最大值為4，則a的取值范圍為_(kāi)_______．15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．16．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，，則________．四、解答題17．（2022·山東·德州市陵城區(qū)翔龍高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于對(duì)稱.(1)求的解析式(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)，不等式恒成立，若存在求出，若不存在，說(shuō)明理由.18．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(3)求不等式的解集.19．（2022·河南信陽(yáng)·高一期末）已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的定義域，并判斷的奇偶性；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（2022·上海市控江中學(xué)高一期中）已知常數(shù)，函數(shù)，設(shè)該函數(shù)的圖像為.(1)若圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值.(2)對(duì)于（1）中求得的，解方程;(3)是否存在整數(shù)，使得有最大值且該最大值也是整數(shù)?如果存在，求出的值;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（2022·湖南·株洲二中高一階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)m取值范圍．4．4對(duì)數(shù)函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：對(duì)數(shù)函數(shù)定義的判斷題型二：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)題型三：求對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式題型四：對(duì)數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題題型六：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域題型七：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值題型八：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用題型九：比較指數(shù)冪的大小題型十：解對(duì)數(shù)型不等式題型十一：判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性題型十二：反函數(shù)題型十三：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1、函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)．其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域?yàn)椋?、判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）只有形如的函數(shù)才叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，像，，等函數(shù)，它們是由對(duì)數(shù)函數(shù)變化得到的，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)．（2）求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意：①對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；②對(duì)含有字母的式子要注意分類討論．知識(shí)點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，知識(shí)點(diǎn)詮釋：關(guān)于對(duì)數(shù)式的符號(hào)問(wèn)題，既受..的制約又受的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)．下面介紹一種簡(jiǎn)單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考．以1為分界點(diǎn)，當(dāng)，同側(cè)時(shí)，；當(dāng)，異側(cè)時(shí)，．知識(shí)點(diǎn)三、底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識(shí)點(diǎn)詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見(jiàn)下圖）知識(shí)點(diǎn)四、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個(gè)函數(shù)（即對(duì)任意的一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫(xiě)成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域都是B，對(duì)應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．知識(shí)點(diǎn)詮釋：并不是每個(gè)函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)，如．一般說(shuō)來(lái)，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．【典型例題】題型一：對(duì)數(shù)函數(shù)定義的判斷例1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)為對(duì)數(shù)函數(shù)，所以ABC均為對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù).故選：D.例2．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列函數(shù)中，是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．y＝logxa(x>0且x≠1)B．y＝log2x－1C．D．y＝log5x【答案】D【解析】A、B、C都不符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，只有D滿足對(duì)數(shù)函數(shù)定義．故選：D.例3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，只有符合（且）形式的函數(shù)才是對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).易知，①是指數(shù)函數(shù)；②中的自變量在對(duì)數(shù)的底數(shù)的位置，不是對(duì)數(shù)函數(shù)；③中，是對(duì)數(shù)函數(shù)；④中，是對(duì)數(shù)函數(shù)；⑤⑥中函數(shù)顯然不是對(duì)數(shù)函數(shù)，由此可知只有③④是對(duì)數(shù)函數(shù).故選：C.變式1．（2022·上?！じ咭粏卧獪y(cè)試）給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】①②不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；③不是對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對(duì)數(shù)函數(shù)．故選:A.【方法技巧與總結(jié)】判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對(duì)數(shù)的真數(shù)僅有自變量．題型二：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義求參數(shù)例4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知對(duì)數(shù)函數(shù)，則______．【答案】2【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為．例5．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意義，x的取值范圍為A．（–∞，3] B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞） D．（3，4）【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式可得，解得3<x<4，或x>4．故選B．例6．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】由題,.故選：B變式2．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知：函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)所以或，又且所以故選：B【方法技巧與總結(jié)】的系數(shù)為1題型三：求對(duì)數(shù)函數(shù)的表達(dá)式例7．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)M(125，3)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（

）A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)解析式為y＝logax(a>0，且a≠1)．由于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log5x.故選：A.例8．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若某對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為（

）A． B．C．或 D．不確定【答案】A【解析】設(shè)函數(shù)為，依題可知，，解得，所以該對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為．故選：A．例9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若圖象過(guò)點(diǎn)，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，則，所以，，故選：B.變式3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(16,4)，則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為()A．y＝log4x B．y＝xC．y＝x D．y＝log2x【答案】D【解析】由于對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2所以對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log2x，故選D.變式4．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）函數(shù)y=f(x)滿足；函數(shù)g(x)滿足，且，，則函數(shù)F(x)的表達(dá)式可以是_____【答案】【解析】因?yàn)椴环寥。ㄇ遥┯?，所以，所以，所以；又，不妨取（且），又，所以，所以，所以，又因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋鹤兪?．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）如果函數(shù)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，b，都有，則這樣的函數(shù)可以是______（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】【解析】由題意，函數(shù)對(duì)任意的正實(shí)數(shù)a，b，都有，可考慮對(duì)數(shù)函數(shù)，滿足，故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法題型四：對(duì)數(shù)型函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例10．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若且，則函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)（

）A．（2，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（2，2）【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，則，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn).故選：D.例11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則M為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，令，解得，此時(shí)，所以函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)；故選：A例12．（2022·浙江麗水·高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)（且）的圖象過(guò)定點(diǎn)，正數(shù)、滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋ㄇ遥?，令，解得，所以，即函?shù)過(guò)定點(diǎn)，所以，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?、，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：D變式6．（2022·四川成都·高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)（，且）恒過(guò)定點(diǎn)（3，2），則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可得，即函數(shù)恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又因?yàn)楹憬?jīng)過(guò)點(diǎn)，可得，解得，所以.故選：C.變式7．（2022·天津·高一期末）函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若在直線上，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，即因?yàn)樵谥本€上，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即的最小值為故選：A【方法技巧與總結(jié)】令真數(shù)為1求解.題型五：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象問(wèn)題例13．（2022·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一階段練習(xí)（理））函數(shù)的圖像大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，在處取得最小值，排除C、D，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故選:A．例14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知（且，且），則函數(shù)與的圖像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，即為，即有ab＝1.當(dāng)a＞1時(shí)，0＜b＜1，函數(shù)與均為減函數(shù)，四個(gè)圖像均不滿足當(dāng)0＜a＜1時(shí)，b＞1，函數(shù)數(shù)與均為增函數(shù)，排除ACD在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是B，故選：B．例15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，所以的定義域是，又，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且.故選：C變式8．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除CD選項(xiàng).，排除B選項(xiàng).所以A選項(xiàng)正確.故選：A變式9．（2022·四川省綿陽(yáng)第一中學(xué)高一期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)，（且）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，C符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.故選：C.變式10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，其所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)為，由圖可知，，排除C,D，又，排除A.故選：B.變式11．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，故選：D變式12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．以上選項(xiàng)均有可能【答案】C【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖：由題意可知，，且由圖象可知，，所以即，所以，即，，即，故選：C變式13．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）如圖是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，已知a值取，，，，則相應(yīng)的，，，的a值依次是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】B【解析】∵當(dāng)時(shí)，圖象呈上升趨勢(shì)；當(dāng)時(shí)，圖象呈下降趨勢(shì)，又當(dāng)時(shí)，a越大，圖象向右越靠近x軸；時(shí)，a越小，圖象向右越靠近x軸，故，，，對(duì)應(yīng)的a值依次是，，，．故選：B．變式14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示，則它們之間的大小關(guān)系錯(cuò)誤的是（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A：要判斷的是冪函數(shù)的圖像，根據(jù)的圖像可以判斷，故A正確；對(duì)于B：要判斷的是指數(shù)函數(shù)的圖像，作出x=1，看交點(diǎn)，交點(diǎn)高，底數(shù)越大，所以，故B正確；對(duì)于C、D：要判斷的是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，作出y=1，看交點(diǎn)，交點(diǎn)越靠由，底數(shù)越大，所以，故D正確，C錯(cuò)誤；故選：C【方法技巧與總結(jié)】“數(shù)”是數(shù)學(xué)的特征，它精確、量化，最有說(shuō)服力；而“形”則形象、直觀，能簡(jiǎn)化思維過(guò)程，降低題目的難度，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，把它們的優(yōu)點(diǎn)集中在一起就是最佳組合．利用圖形的形象直觀快速地得到答案，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程．正因?yàn)槿绱耍瑪?shù)形結(jié)合成為中學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，因此我們必須熟練地掌握這一思想方法，并能靈活地運(yùn)用它來(lái)分析和解決問(wèn)題．在涉及方程與不等式的問(wèn)題時(shí)，往往構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)與，則=的實(shí)數(shù)解等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而的的解等價(jià)于函數(shù)的圖象在的圖象下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．利用圖象的形象性、直觀性，可使問(wèn)題得到順利地解決，而且分散了問(wèn)題解決的難度、簡(jiǎn)化了思維過(guò)程．因此，我們要善于用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決方程與不等式的問(wèn)題．題型六：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域例16．（2022·廣東·東莞市石龍中學(xué)高一期中）函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，解得，故選：B.例17．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以恒成立，所以，所以．故?shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：.例18．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___．【答案】【解析】∵函數(shù)的定義域是R，∴+ax＞0對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，即ax＞對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，當(dāng)x＝0時(shí)，上式化為0＞﹣1，此式對(duì)任意實(shí)數(shù)a都成立；當(dāng)x＞0時(shí)，則a＞＝，∵x＞0，∴，則≥，則≤，可得a＞；當(dāng)x＜0時(shí)，則a＜，∵x＜0，∴，則＞1，則＞1，可得a≤1．綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．故答案為：．變式15．（2022·河南安陽(yáng)·高一期末）若函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域是[1，3]，∴，解得．又，且，∴．故函數(shù)的定義域是．故選：C.變式16．（2022·湖南張家界·高一期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.變式17．（2022·湖北省通山縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，解得且，所以函?shù)的定義域?yàn)?；故選：C【方法技巧與總結(jié)】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域：求定義域時(shí)，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問(wèn)題時(shí)需要保證各個(gè)方面都有意義．一般地，判斷類似于的定義域時(shí)，應(yīng)首先保證．題型七：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值例19．（2022·重慶·高一期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】【解析】函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，得取遍所有大于1的數(shù)，故其指數(shù)得取遍所有大于0的數(shù).因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，其開(kāi)口向下，有最大值，無(wú)法去到正無(wú)窮，舍去；當(dāng)時(shí)，其開(kāi)口向上，對(duì)稱軸大于0，故需對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的值小于等于0，故有：且，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，又函數(shù)的值域?yàn)镽，則，解得．故選：C．例21．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意得，因?yàn)?，所以所以，由可得，則．故選：D．變式18．（2022·新疆·石河子第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知的值域?yàn)镽，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)镽，所以取得一切正數(shù)，即方程有實(shí)數(shù)解，得，解得或；又函數(shù)在上是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，且在上恒成立，則，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為或.故選：B變式19．（2022·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所?即函數(shù)的值域?yàn)閇3，＋∞).故選：C變式20．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)于任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，得在上的最小值大于等于在上的最小值，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值為，所以，即.故選:D.變式21．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以，故選：D變式22．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室高一期中）函數(shù)的最小值是（

）．A．10 B．1 C．11 D．【答案】B【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以的最小值?，故選：B變式23．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知函數(shù)，，對(duì)于任意，存在有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于任意，存在有等價(jià)于.由，函數(shù)單調(diào)遞增，可得，，對(duì)稱軸為，時(shí)，，，解得.故選：B變式24．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)（，且）在上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞增，則，又因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以，解得．故選：A．變式25．（2022·貴州畢節(jié)·高一期末）已知函數(shù)若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵函數(shù)∴當(dāng)時(shí)，的范圍是；當(dāng)時(shí)，，，由題意存在最小值，則，解得.故選：D．變式26．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)(且)，則在區(qū)間上的最大值為（

）A． B．或 C．1 D．，【答案】B【解析】因?yàn)?且)，即(且)，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；所以的最大值為或故選：B變式27．（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若(為自然對(duì)數(shù))，則函數(shù)的最小值為（

）A．-3 B．-2 C．0 D．6【答案】B【解析】由題意，所以，則，設(shè)，，又，而，所以時(shí)，，所以函數(shù)的最小值為．故選：B．變式28．（2022·河南平頂山·高一期末）已知函數(shù)的最大值與最小值的差為2，則（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【解析】由題意得在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，，所以，解得，又，所以.故選：C【方法技巧與總結(jié)】數(shù)形結(jié)合題型八：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用例22．（2022·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高一期末）若函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】因?yàn)樵谏鲜菄?yán)格減函數(shù)，所以要滿足：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：例23．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】【解析】任取且，則，因?yàn)?，所以，，即，所以在上單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間是，故答案為：.例24．（2022·陜西·漢中市龍崗學(xué)校高一期中），若，則的范圍是_____________.【答案】【解析】由題,的定義域?yàn)?設(shè),則,所以是奇函數(shù),因?yàn)?則,所以,即,因?yàn)閱握{(diào)遞增,單調(diào)遞增,所以單調(diào)遞增,則,即故答案為：變式29．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，若，則a的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】作出函數(shù)的圖像，如圖所示，由于，故結(jié)合圖像可知或.故答案為：變式30．（2022·全國(guó)·高一期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是____________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在在上單調(diào)遞減.故答案為.變式31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．【答案】【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．故答案為：.變式32．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）函數(shù)f（x）=log2（2-x2）的單調(diào)減區(qū)間是________.【答案】（0，）【解析】令，解得，又t在上遞減，在上遞增，所以函數(shù)f（x）=log2（2-x2）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），故答案為：（0，）變式33．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)____【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)橛质怯膳c復(fù)合而成，因?yàn)橥鈱雍瘮?shù)單調(diào)遞減，所以求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即是求內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間，而內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的減區(qū)間為故答案為：變式34．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)___________________．【答案】【解析】令，，有，所以是奇函數(shù)，所以，又因?yàn)楹途鶠樵龊瘮?shù)，所以為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，解得，故答案為?變式35．（2022·江蘇南通·高一期末）若正數(shù)a，b滿足，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】【解析】由得，設(shè)，則在上為增函數(shù)，則，等價(jià)為（a），則，則，，當(dāng)時(shí)，有最大值，故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】研究型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一般用復(fù)合法來(lái)判定即可．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性就是內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”．研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定要注意先研究函數(shù)的定義域，也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則．題型九：比較指數(shù)冪的大小例25．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以，即；因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，即；因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，即；所以.故選：D例26．（2022·湖北黃石·高一期末）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，.故選：C.例27．（2022·陜西咸陽(yáng)·高一期末）設(shè)，，，則三者大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，?故選：C變式36．（2022·廣東廣州·高一期末）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，即，，所以；故選：D變式37．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一期末）若，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，而：當(dāng)時(shí)不滿足；當(dāng)時(shí)不滿足，所以.綜上，.故選：A變式38．（2022·四川·德陽(yáng)五中高一階段練習(xí)）若函數(shù)對(duì)任意的恒有，且任意的，均有.設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，是的一條對(duì)稱軸，；對(duì)任意的，均有，在上單調(diào)遞增；，，，即；，即，，即；綜上所述：.故選：A.變式39．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小的基本方法是：（1）比較同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．（2）比較同真數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小，常有兩種方法：①先利用對(duì)數(shù)換底公式化為同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和倒數(shù)關(guān)系比較大??；②利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的互相位置關(guān)系比較大小．（3）若底數(shù)與真數(shù)都不同，則通過(guò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量來(lái)比較大?。}型十：解對(duì)數(shù)型不等式例28．（2022·重慶市青木關(guān)中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn).(1)求，的值；(2)求不等式的解集：.【解析】(1)因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，又因?yàn)樵摵瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)，所以有；(2)因?yàn)?，所以由，，解集?例29．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，求不等式的解集．【解析】，則不等式，即或，故或，所以不等式的解集為或．例30．（2022·天津天津·高一期末）已知函數(shù)，，且.(1)求的值；(2)求的定義域；(3)求不等式的解集.【解析】(1)由題可知，又因?yàn)?，即，所?(2)由知，，若使有意義，只須，

解得或，

所以函數(shù)的定義域?yàn)榛?(3)由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：由，解得或，

由，解得，

所以或，

不等式的解集為或.變式40．（2022·河北秦皇島·高一期末）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的定義域；(2)試討論關(guān)于x的不等式的解集．【解析】(1)由題意可得解得．故函數(shù)的定義域?yàn)椋?2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)．因?yàn)?，所以解得．?dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)．因?yàn)?，所以解得．綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為．變式41．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知且，函數(shù)的定義域?yàn)椋?1)求的取值范圍；(2)討論關(guān)于的不等式的解集．【解析】（1）因函數(shù)的定義域?yàn)?，則，成立，即有：，解得，又且，因此，或，所以的取值范圍是.（2）由(1)知，或，不等式，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是得，即，解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是得，即，且，解得或，所以，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.【方法技巧與總結(jié)】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解題型十一：判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性例31．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，寫(xiě)出一組符合題意的a，b，k的值___________.【答案】，，（答案不唯一）【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，可得.所以，所以，因?yàn)椋?，所以，即，即，所以，所以，故答案可以為a=1，，.故答案為：，，.例32．（2022·遼寧·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校高一期中）設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)（，），則實(shí)數(shù)n取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，解得，又，所以，此時(shí)，，由，解得，所以，又，所以實(shí)數(shù)n取值范圍為．故答案為：．例33．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高一階段練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則a=____________．【答案】2【解析】由，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，則，故，即函數(shù)為奇函數(shù)，故a=2.故答案為：2.變式42．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的解析式；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，可得，函數(shù).(2)∵，所以在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，由，得，所以，設(shè)，，則，又，所以，即，故實(shí)數(shù)m的取值范圍.變式43．（2022·四川·攀枝花七中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)．(1)求的值，并用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)求不等式的解集；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以得所以下面用定義法證明單調(diào)性：，且則因?yàn)椋运?，即所以函?shù)在R上單調(diào)遞增.(2)由（1）知在R上單調(diào)遞增，且為奇函數(shù)，故不等式即，整理得，即，解得，故不等式解集為(3)因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上，，，故當(dāng)時(shí)，，不存在符合題意的；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，要使對(duì)任意的，總存在，使得成立則需，即，解得，即變式44．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求函數(shù)在上的解析式；(2)求不等式的解集.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，.所以函數(shù)在上的解析式為.（2）當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù).由得，所以，所以，所以不等式的解集為.變式45．（2022·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，且時(shí)，且單調(diào)遞增.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，又為上的偶函數(shù)，；.（2）在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減；又，則由得：，解得：或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.變式46．（2022·陜西省安康中學(xué)高一期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求a的值，并證明在上單調(diào)遞增；(2)求滿足的x的取值范圍．【解析】（1）由題意函數(shù)為偶函數(shù)，∴，即∴對(duì)任意恒成立，解得．∴任取，則由，可得，∴，即，∴在上單調(diào)遞增．（2）由偶函數(shù)的對(duì)稱性可得在上單調(diào)遞減，∴，∴，解得，∴滿足的x的取值范圍是．變式47．（2022·廣東·珠海市斗門(mén)區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)證明：為偶函數(shù)；(2)若函數(shù)，，是否存在，使最小值為0.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）證明：定義域?yàn)椋?，即為，則為偶函數(shù)；（2），當(dāng)時(shí)，，令，則，，當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)即，時(shí)，，解得：不成立；當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，解得不成立．故存在滿足條件的．【方法技巧與總結(jié)】斷函數(shù)奇偶性的步驟是：（1）先求函數(shù)的定義域，如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行（2），如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。（2）求，如果，則函數(shù)是偶函數(shù)，如果，則函數(shù)是奇函數(shù)。題型十二：反函數(shù)例34．（2022·遼寧·新民市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則________．【答案】2【解析】因?yàn)橐阎瘮?shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以與互為反函數(shù)，所以.所以.故答案為：2例35．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，且在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，則的值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】因?yàn)闉楹瘮?shù)的反函數(shù)，所以，又，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，由題意，，所以，，解得或（舍去）.故答案為：2.例36．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)是函數(shù)且的反函數(shù)，且的圖象過(guò)點(diǎn)，則_______.【答案】【解析】因?yàn)榈姆春瘮?shù)為，又的圖象過(guò)點(diǎn)，所以，，即，故答案為：.變式48．（2022·湖南·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，則________.【答案】【解析】，則，得：；令，得：；所以，分別為和與的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示：因?yàn)楹突榉春瘮?shù)，所以和的圖像關(guān)于對(duì)稱，所以、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱.又、兩點(diǎn)均在的圖像上，所以，所以.故答案為：變式49．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)為，則___________.【答案】【解析】令，解得，.又，所以，所以.故答案為：.變式50．（2022·山東德州·高一期末）已知且，且，函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)A，A在函數(shù)的圖象上，且函數(shù)的反函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則______.【答案】8【解析】函數(shù)的圖象可以由的圖象向右平移2各單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故點(diǎn)A坐標(biāo)為，又的反函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以.故答案為：8變式51．（2022·遼寧丹東·高一期末）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線______對(duì)稱．【答案】【解析】因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.故答案為：.變式52．（2022·陜西安康·高一期中）若實(shí)數(shù)、滿足，，則____________．【答案】【解析】因?yàn)?，則可視為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)椋瑒t可視為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖所示：聯(lián)立，解得，則直線與直線交于點(diǎn)，易知直線與直線垂直，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，線段的中點(diǎn)為，所以，，解得.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】反函數(shù)的定義域都由原函數(shù)的值域來(lái)確定的，特別是當(dāng)反函數(shù)的定義域與由反函數(shù)解析式有意義所確定的自變量的取值范圍不一致時(shí)，一定要注明反函數(shù)的定義域．題型十三：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例37．（2022·全國(guó)·高一期末）已知函數(shù)，則______．【答案】2【解析】因?yàn)椋ǎ?，所以，所以，故答案為?例38．（2022·河北省晉州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，，，，則的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn)．畫(huà)出的大致圖象，如圖所示．由圖可知．不妨設(shè)，則，且，．因?yàn)?，所以，則，故．故答案為：例39．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，有以下四個(gè)命題：①函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)的定義域?yàn)椋虎芎瘮?shù)的值域?yàn)?其中所有正確命題的序號(hào)是________.【答案】①②④【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以①正確；函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以②正確；函數(shù)的定義域是，所以③不正確；函數(shù)，函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集，所以④正確.故答案為：①②④.變式53．（2022·貴州·凱里一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)解不等式；(2)若，求的取值范圍.【解析】(1)由，則，即，所以；(2)因?yàn)?，由知，，且，，故，?變式54．（2022·黑龍江·雙鴨山一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知，函數(shù).(1)若關(guān)于的方程的解集中恰有兩個(gè)元素，求的取值范圍；(2)設(shè)，若對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.【解析】（1），，，，，令，則，或，（時(shí)，等號(hào)成立）要使與在區(qū)間有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，所以函數(shù)在定義域內(nèi)遞減.所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為，，所以對(duì)恒成立，令，對(duì)恒成立，在上遞增，所以，解得，由于，所以，所以的取值范圍是.變式55．（2022·山東威?！じ咭黄谀┮阎瘮?shù)與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)．(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】(1)由題意可知，又是奇函數(shù)，所以對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，即，可得，所以，整理得，即，可得；(2)，設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，即，設(shè)，，因?yàn)?，所以，即，為的兩根，整理得，所以，，因?yàn)?，所以，即，由，可得，即，解得?3)由（2）可知，，設(shè)，且，所以，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)函數(shù)，所以或，因?yàn)?，所以，即，所以或，即?duì)任意，都有或，因?yàn)?，所以，所以，所以或，所以或．【方法技巧與總結(jié)】如果函數(shù)的定義域?yàn)槟硞€(gè)區(qū)間，則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的任何子集內(nèi)部都有意義；如果函數(shù)在區(qū)間上有意義，而的定義域?yàn)椋瑒t必有．考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，提問(wèn)方式靈活．靈活掌握轉(zhuǎn)化的思想，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·四川·成都鐵路中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由換底公式，有，解得，∴，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；函數(shù)為減函數(shù)，∴，B選項(xiàng)正確；，但不一定成立，不能得到，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B2．（2022·北京·牛欄山一中高一期中）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，排除A，所以，故函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于對(duì)稱，排除B，當(dāng)時(shí)，，排除D，故選：C3．（2022·浙江·杭十四中高一期末）設(shè)實(shí)數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，即，又，即，，所以；故選：C4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，令，則，在上遞增，在上遞減，因?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選：A5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)（且）在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，則在定義域上遞減，不滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，則在定義域上遞增，又在上是增函數(shù)，所以，可得，即.由，故在上遞增，所以的取值范圍是.故選：A6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使函數(shù)有意義，則,解得且，所以函