高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義(人教A版必修第二冊(cè))第一次月考押題卷(考試范圍：第六-七章)(原卷版+解析)

第一次月考押題卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．(2023·四川·高三階段練習(xí)（文））已知向量，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．2．(2023·黑龍江·哈爾濱三中一模（文））已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．(2023·四川·三模（理））已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（

）．A． B． C． D．4．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且的虛部為2，則z的實(shí)部為（

）A．-1 B．1 C．-2 D．25．(2023·山東聊城一中高三期末）已知單位向量，滿足，則（

）A．2 B． C． D．36．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））圣索菲亞大教堂，位于土耳其伊斯坦布爾，有著近一千五百年的歷史，因巨大的圓頂而聞名于世，是一幢拜占庭式建筑.圣索菲亞大教堂主體建筑集中了數(shù)學(xué)的幾何圖形之美，使世界各地的游客前往參觀.現(xiàn)在游客想估算它的高度CD，借助于旁邊高為24米的一幢建筑房屋AB作為參考點(diǎn)，在大教堂與建筑房屋的底部水平線上選取了點(diǎn)P（如圖所示），從點(diǎn)P處測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°，測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，從A處測(cè)得C處的仰角為30°，則該游客估算圣索菲亞大教堂的高度大約為（

）參考數(shù)據(jù)：，，.A．48.68米 B．53.50米 C．56.79米 D．60.24米7．(2023·河南洛陽·高二期末（理））在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B．1 C． D．28．(2023·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））在平行四邊形中，，點(diǎn)P為平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.）9．(2023·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方形，M為邊CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．10．(2023·遼寧丹東·高一期末）已知，，，，，那么（

）A．B．若，則，C．若A是BD中點(diǎn)，則B，C兩點(diǎn)重合D．若點(diǎn)B，C，D共線，則11．(2023·山東威海·高二期末）已知復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限12．(2023·云南玉溪·高二期末）在中，已知為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)M，下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)M為的重心 B． C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．(2023·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)高一期末）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則的取值范圍是__．14．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）萊昂哈德·歐拉是近代著名的數(shù)學(xué)家，歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究非常廣泛.復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式(，其中是虛數(shù)單位)可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)式和復(fù)數(shù)式的互化，那么把化成指數(shù)式為___________.15．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）菱形ABCD中，，，，，則______.16．(2023·河南·沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______．四、解答題17．（10分）(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．(1)求；(2)若，在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，求．18．（12分）(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，.（1）用，表示，，；（2）若，且，求的大小.19．（12分）(2023·四川瀘州·高一期末）如圖，在中，為中線上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，.(1)用向量，表示；(2)設(shè)向量，，求的值.20．（12分）(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.21．（12分）(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知銳角三角形ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，.(1)求B；(2)若，求c的取值范圍.22．（12分）(2023·山東聊城一中高三期末）已知在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足.(1)求B；(2)如圖，若，在外取點(diǎn)D.且，.求四邊形ABCD面積的最大值.第一次月考押題卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．(2023·四川·高三階段練習(xí)（文））已知向量，，，若A，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)三點(diǎn)共線的向量表示即可求解.【詳解】，因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以與共線，所以，解得．故選：D.2．(2023·黑龍江·哈爾濱三中一模（文））已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)得除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.【詳解】解：，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3．(2023·四川·三模（理））已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（

）．A． B． C． D．答案：A【解析】分析：可設(shè)，且，根據(jù)，求得，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由題意，非零向量，滿足，可設(shè)，且因?yàn)?，可得，解得，則，又因?yàn)?，所以，所以與的夾角為.故選：A.4．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且的虛部為2，則z的實(shí)部為（

）A．-1 B．1 C．-2 D．2答案：B【解析】分析：設(shè)（m，R），根據(jù)題意和復(fù)數(shù)的虛部的概念即可求解.【詳解】設(shè)（m，R），則，所以由條件得，所以，所以，所以z的實(shí)部為1.故選：B.5．(2023·山東聊城一中高三期末）已知單位向量，滿足，則（

）A．2 B． C． D．3答案：C【解析】分析：根據(jù)模的運(yùn)算先求出，進(jìn)而解出.【詳解】由題意，，由，所以.故選：C.6．(2023·河南·民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））圣索菲亞大教堂，位于土耳其伊斯坦布爾，有著近一千五百年的歷史，因巨大的圓頂而聞名于世，是一幢拜占庭式建筑.圣索菲亞大教堂主體建筑集中了數(shù)學(xué)的幾何圖形之美，使世界各地的游客前往參觀.現(xiàn)在游客想估算它的高度CD，借助于旁邊高為24米的一幢建筑房屋AB作為參考點(diǎn)，在大教堂與建筑房屋的底部水平線上選取了點(diǎn)P（如圖所示），從點(diǎn)P處測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°，測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，從A處測(cè)得C處的仰角為30°，則該游客估算圣索菲亞大教堂的高度大約為（

）參考數(shù)據(jù)：，，.A．48.68米 B．53.50米 C．56.79米 D．60.24米答案：C【解析】分析：過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，根據(jù)題意得到且，設(shè)，在直角中，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則，由題意得，所以，又由，所以，，所以，可得，設(shè)，則，在直角中，可得，即，解得，所以（米）.故選:C.7．(2023·河南洛陽·高二期末（理））在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B．1 C． D．2答案：C【解析】分析：由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)椋?，所以；故選：C8．(2023·黑龍江·嫩江市第一中學(xué)校高三期末（理））在平行四邊形中，，點(diǎn)P為平行四邊形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：建立如圖所示坐標(biāo)系設(shè)，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)公式即可求解最值．【詳解】建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，故，所以時(shí)，取得最小值．故選：A．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有錯(cuò)選的得0分.）9．(2023·廣東深圳·一模）四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為1的正方形，M為邊CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．答案：BD【解析】分析：如圖，根據(jù)向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義計(jì)算，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】如圖，A：，故A錯(cuò)誤；B：，故B正確；C：，故C錯(cuò)誤；D：，由，得，所以，故D正確.故選：BD10．(2023·遼寧丹東·高一期末）已知，，，，，那么（

）A．B．若，則，C．若A是BD中點(diǎn)，則B，C兩點(diǎn)重合D．若點(diǎn)B，C，D共線，則答案：AC【解析】分析：根據(jù)向量運(yùn)算、向量平行（共線）等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，則，故可取，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若是的中點(diǎn)，則，即，所以，所以兩點(diǎn)重合，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于三點(diǎn)共線，所以，，，則或，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11．(2023·山東威?！じ叨谀┮阎獜?fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（

）A． B．C．為純虛數(shù) D．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限答案：AC【解析】分析：先求出，再由其為實(shí)數(shù)可求出的值，然后逐個(gè)分析判斷即可【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得，所以A正確，，所以，所以B錯(cuò)誤，為純虛數(shù)，所以C正確，，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以D錯(cuò)誤，故選：AC12．(2023·云南玉溪·高二期末）在中，已知為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)M，下列結(jié)論中正確的是（

）A．點(diǎn)M為的重心 B． C． D．答案：ABD【解析】分析：根據(jù)重心的概念及性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A，B；由余弦定理可判斷C，D.【詳解】對(duì)于A，由重心的概念，三角形中線的交點(diǎn)為三角形的重心，故A正確；對(duì)于B，中，已知，E為的中點(diǎn)，可得,,根據(jù)選項(xiàng)A，由重心的性質(zhì)可知,從而可知，故B正確；對(duì)于C，在中，由余弦定理，有，故C不正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C，在中，由余弦定理，.故選：ABD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．(2023·上海市崇明區(qū)橫沙中學(xué)高一期末）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則的取值范圍是__．答案：【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限有，即可得m的范圍.【詳解】由題設(shè)，，可得.故答案為：.14．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）萊昂哈德·歐拉是近代著名的數(shù)學(xué)家，歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究非常廣泛.復(fù)變函數(shù)中的歐拉公式(，其中是虛數(shù)單位)可以實(shí)現(xiàn)指數(shù)式和復(fù)數(shù)式的互化，那么把化成指數(shù)式為___________.答案：(答案不唯一)【解析】分析：根據(jù)歐拉公式，由化成指數(shù)式需滿足求解.【詳解】因?yàn)榘鸦芍笖?shù)式需滿足，又,如當(dāng)時(shí)，，故答案為：(答案不唯一)15．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）菱形ABCD中，，，，，則______.答案：##【解析】分析：以為基底，利用平面向量的線性表示及數(shù)量積的運(yùn)算即求.【詳解】∵，∴，∵，∴，∴.故答案為：.16．(2023·河南·沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______．答案：【解析】分析：應(yīng)用余弦定理有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)及同角三角函數(shù)平方關(guān)系求，根據(jù)基本不等式求得，注意等號(hào)成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：四、解答題17．（10分）(2023·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)數(shù)滿足，的虛部為2，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限．(1)求；(2)若，在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，求．答案：(1)；(2).【解析】分析：(1)設(shè)出復(fù)數(shù)的幅角主值，再根據(jù)已知計(jì)算求解作答.，(2)由(1)求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，再借助向量數(shù)量積計(jì)算作答.(1)因在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，設(shè)，則，有，因的虛部為2，即，解得，，所以.(2)由(1)知，，，，則點(diǎn)，，，因此，，所以.18．（12分）(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在梯形中，.（1）用，表示，，；（2）若，且，求的大小.答案：（1），，；（2）.【解析】分析：（1）利用向量的線性運(yùn)算直接求解即可；（2）根據(jù)，結(jié)合向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可構(gòu)造方程求得，由此求得.【詳解】（1），，；（2），，.，且，，解得：，，.19．（12分）(2023·四川瀘州·高一期末）如圖，在中，為中線上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，.(1)用向量，表示；(2)設(shè)向量，，求的值.答案：(1)；(2).【解析】分析：（1）由題可得，即得；（2）由題可得，則，即求.(1)∵為中線上一點(diǎn)，且，∴；(2)∵，，，∴，又，，三點(diǎn)共線，∴，解得,故的值為.20．（12分）(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.答案：(1)證明見解析(2)【解析】分析：（1）選擇①，由正弦定理及角度關(guān)系推出及，結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式，進(jìn)行證明；選擇②，利用正弦定理推導(dǎo)出，直接利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式即可推出結(jié)論；選擇③，由正弦定理，面積公式及面積的倍數(shù)關(guān)系得到，，使用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明；（2）在證明出第一問的基礎(chǔ)上，設(shè)出邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出的長(zhǎng)及角的正弦值，進(jìn)而利用面積公式進(jìn)行求解.(1)方案一：選條件①.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，即，所以，所?方案二：選條件②.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，，，所以?/p>