新高考高中數(shù)學核心知識點全透視專題17.3離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征(精講精析篇)(原卷版+解析)_第1頁
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文檔簡介

專題17.3離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征(精講精析篇)一、核心素養(yǎng)1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,凸顯數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).2.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念,會求簡單的離散型隨機變量的均值、方差,凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3.能利用離散型隨機變量的均值、方差的概念解決一些簡單實際問題,凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng).二、考試要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,理解兩點分布,并能進行簡單的應用.2.理解隨機變量的均值、方差的概念,會計算取有限個值的簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決簡單的實際問題.三、主干知識梳理(一)離散型隨機變量的分布列1.離散型隨機變量的分布列(1)隨機變量如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量,隨機變量常用字母X,Y,ξ,η等表示.(2)離散型隨機變量對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.隨機變量的線性關系:若是隨機變量,,其中是常數(shù),則也是隨機變量.2.分布列的兩個性質①,;②.3.分布列性質的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.(2)隨機變量ξ所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的,利用這一點可以求相關事件的概率.3.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布:若隨機變量服從兩點分布,即其分布列為01其中,則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布.其中稱為成功概率.(2)設離散型隨機變量可能取得值為,,…,,…,取每一個值()的概率為,則稱表…………為隨機變量X的概率分布列,簡稱X的分布列.有時為了表達簡單,也用等式,表示的分布列.(二)離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征1.均值若離散型隨機變量X的分布列為…………稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平..若,其中為常數(shù),則也是隨機變量,且.若服從兩點分布,則;2.方差若離散型隨機變量X的分布列為…………則描述了()相對于均值的偏離程度,而為這些偏離程度的加權平均,刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度.稱為隨機變量的方差,其算術平方根為隨機變量的標準差.若,其中為常數(shù),則也是隨機變量,且.若服從兩點分布,則.3.六條性質(1)(為常數(shù))(2)(為常數(shù))(3)(4)如果相互獨立,則(5)(6)一、命題規(guī)律離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點題型,以解答題為主,以實際問題為背景考查離散型隨機變量的分布列求法、均值與方差在實際問題中的應用.考查分布列的性質、數(shù)學期望、方差的計算,及二者之間的關系.往往與函數(shù)的單調性、二次函數(shù)性質、不等式的應用、數(shù)列、導數(shù)等相結合.二、真題展示1.(2023·浙江·高考真題)袋中有4個紅球m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為,若取出的兩個球都是紅球的概率為,一紅一黃的概率為,則___________,___________.2.(2023·全國·高考真題)某學校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題,每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分,己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題,記為小明的累計得分,求的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答哪類問題?并說明理由.考點01離散型隨機變量分布列的性質【典例1】(2023·浙江·金華市曙光學校高二月考)設X是一個離散型隨機變量,其分布列為X01P則常數(shù)a的值為()A. B. C.或 D.或【典例2】(2023·全國·高二課時練習)已知隨機變量ξ只能取三個值x1,x2,x3,其概率依次成等差數(shù)列,則該等差數(shù)列公差的取值范圍是()A. B.C.[-3,3] D.[0,1]【規(guī)律方法】1.離散型隨機變量的分布列的性質的應用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值;(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根據(jù)性質判斷所得分布列結果是否正確.2.對于分布列易忽視其性質及,其作用可用于檢驗所求離散型隨機變量的分布列是否正確.3.確定離散型隨機變量的取值時,易忽視各個可能取值表示的事件是彼此互斥的.4.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗,以保證每個概率值均為非負數(shù).考點02離散型隨機變量分布列的求法【典例5】(2023·全國·高二課時練習)拋一枚均勻的硬幣2次,設正面朝上的次數(shù)為X.(1)說明表示的是什么事件,并求出;(2)求X的分布列.【典例6】(2023年高考北京卷理選)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:支付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列;(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.【總結提升】1.解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路(1)明確隨機變量可能取哪些值.(2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值.(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.【注意】解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律,以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題.2.求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列;(1)可設出隨機變量Y,并確定隨機變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù);(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù).由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義.(2)由古典概型求出離散型隨機變量的分布列;求離散型隨機變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率.而超幾何分布就是此類問題中的一種.(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列.3.離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值:明確隨機變量的可能取值有哪些,且每一個取值所表示的意義.(2)求概率:要弄清楚隨機變量的概率類型,利用相關公式求出變量所對應的概率.(3)畫表格:按規(guī)范要求形式寫出分布列.(4)做檢驗:利用分布列的性質檢驗分布列是否正確考點03離散型隨機變量的均值與方差【典例7】(2023·浙江高考真題)設,則隨機變量的分布列是:則當在內增大時()A.增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大【典例8】(2023·浙江省高考真題)盒子里有4個球,其中1個紅球,1個綠球,2個黃球,從盒中隨機取球,每次取1個,不放回,直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為,則_______;______.【總結提升】均值與方差性質的應用若是隨機變量,則一般仍是隨機變量,在求的期望和方差時,熟練應用期望和方差的性質,可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算.考點04離散型隨機變量的均值、方差的綜合問題【典例9】(2023年浙江省高考模擬)已知隨機變量的分布列如表所示:若,則()A.B.C.D.【典例10】(2023·浙江寧波·高三月考)已知離散型隨機變量的分布列如下表:-202Pab若隨機變量的期望值,則_______,_______.考點05實際問題中的科學決策【典例11】(2023·北京·高考真題)在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指:先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒,則檢測結果為陰性,得到每人的檢測結果都為陰性,檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒,則檢測結果為陽性,此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果,檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測,假設其中只有2人感染新冠病毒,并假設每次檢測結果準確.(I)將這100人隨機分成10組,每組10人,且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組,求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II)將這100人隨機分成20組,每組5人,且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù),試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)【典例12】(2023·江蘇高郵·高三月考)某商家以6元一件的價格購進某商品,然后以每件10元的價格出售.如果該商品當天賣不完,剩下的只能作垃圾處理.商家記錄了100天該商品的日需求量(單位:件),整理得下表:日需求量141516171819頻數(shù)102025201510以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(1)若商家一天購進該商品16件,表示當天的利潤(單位:元),求的分布列,數(shù)學期望;(2)若商家計劃一天購進該商品16件或17件,你認為應購進16件還是17件?請說明理由.【總結提升】1.解決與生產實際相關的概率問題時首先把實際問題概率模型化,然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相應的均值.2.均值與方差在決策中的應用注意點(1)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是實際生產中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.(2)兩種應用策略=1\*GB3①當均值不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分歧,可對問題作出判斷.=2\*GB3②若兩隨機變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,進而進行決策.3.幾種常用的解題方法(1)轉化法.將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學模型,將不熟悉的數(shù)學問題轉化為熟悉的數(shù)學問題,以求得解決途徑.(2)正難則反的解題策略.當所求問題正面求解過于煩瑣時,往往可以使用其對立事件簡化過程,一般當問題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時使用較多.鞏固提升1.(2023·浙江·高三專題練習)某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表:已知的數(shù)學期望,則的值為()789100.10.3A. B. C. D.2.(2023·浙江高考真題)設,隨機變量的分布列如圖,則當在內增大時,()A.減小 B.增大C.先減小后增大 D.先增大后減小3.(2023·廣東高二期末)設隨機變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1,2,3,4),a為常數(shù),則()A.a= B.P(X>)= C.P(X<4a)= D.E(X)=4.(2023·浙江高考真題)已知隨機變量滿足P(=1)=pi,P(=0)=1—pi,i=1,2.若0<p1<p2<,則()A.<,< B.<,>C.>,< D.>,>5.【多選題】(2023·全國·高二課時練習)(多選)已知隨機變量X的分布列如下表所示,其中a,b,c成等差數(shù)列,則()X-101PabcA.a= B.b=C.c= D.P(|X|=1)=6.【多選題】(2023·全國·高二課時練習)(多選題)離散型隨機變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,則()A.a=10 B.a=C. D.b=17.(2023·山東高二期末)已知X的分布列如圖所示,則X-101P0.20.3a(1),(2),(3),其中正確的個數(shù)為________.8.(2023·防城港市防城中學高二期中(理))袋中裝有一些大小相同的球,其中標號為號的球個,標號為號的球個,標號為號的球個,,標號為號的球個.現(xiàn)從袋中任取一球,所得號數(shù)為隨機變量,若,則______.10.(2023·山西大同一中高三期中(理))某烘焙店每天制作生日蛋糕若干個,每個生日蛋糕成本為60元,售價為100元.如果賣不完,則剩余的蛋糕在當日晚間集中銷毀,現(xiàn)收集并整理了該店100天生日蛋糕的日需求量(單位:個)如下表:需求量151617181920頻數(shù)10203020128將100天記錄的各需求量的頻率作為每天各需求量發(fā)生的概率.(1)若該烘焙店某一天制作生日蛋糕17個,設當天生日蛋糕的需求量為(單位:個),當天出售生日蛋糕獲得的利潤為(單位:元).①試寫出關于的表達式;②求的概率分布列,并計算.(2)以烘焙店一天出售生日蛋糕獲得利潤的平均值作為決策依據(jù),你認為烘焙店每天應該制作17個生日蛋糕還是18個?專題17.3離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征(精講精析篇)一、核心素養(yǎng)1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,凸顯數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).2.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念,會求簡單的離散型隨機變量的均值、方差,凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng).3.能利用離散型隨機變量的均值、方差的概念解決一些簡單實際問題,凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng).二、考試要求1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念,理解兩點分布,并能進行簡單的應用.2.理解隨機變量的均值、方差的概念,會計算取有限個值的簡單離散型隨機變量的均值、方差,并能解決簡單的實際問題.三、主干知識梳理(一)離散型隨機變量的分布列1.離散型隨機變量的分布列(1)隨機變量如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量,隨機變量常用字母X,Y,ξ,η等表示.(2)離散型隨機變量對于隨機變量可能取的值,可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.隨機變量的線性關系:若是隨機變量,,其中是常數(shù),則也是隨機變量.2.分布列的兩個性質①,;②.3.分布列性質的兩個作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.(2)隨機變量ξ所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的,利用這一點可以求相關事件的概率.3.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布:若隨機變量服從兩點分布,即其分布列為01其中,則稱離散型隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布.其中稱為成功概率.(2)設離散型隨機變量可能取得值為,,…,,…,取每一個值()的概率為,則稱表…………為隨機變量X的概率分布列,簡稱X的分布列.有時為了表達簡單,也用等式,表示的分布列.(二)離散型隨機變量分布列與數(shù)字特征1.均值若離散型隨機變量X的分布列為…………稱為隨機變量的均值或數(shù)學期望,它反映了離散型隨機變量取值的平均水平..若,其中為常數(shù),則也是隨機變量,且.若服從兩點分布,則;2.方差若離散型隨機變量X的分布列為…………則描述了()相對于均值的偏離程度,而為這些偏離程度的加權平均,刻畫了隨機變量與其均值的平均偏離程度.稱為隨機變量的方差,其算術平方根為隨機變量的標準差.若,其中為常數(shù),則也是隨機變量,且.若服從兩點分布,則.3.六條性質(1)(為常數(shù))(2)(為常數(shù))(3)(4)如果相互獨立,則(5)(6)一、命題規(guī)律離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點題型,以解答題為主,以實際問題為背景考查離散型隨機變量的分布列求法、均值與方差在實際問題中的應用.考查分布列的性質、數(shù)學期望、方差的計算,及二者之間的關系.往往與函數(shù)的單調性、二次函數(shù)性質、不等式的應用、數(shù)列、導數(shù)等相結合.二、真題展示1.(2023·浙江·高考真題)袋中有4個紅球m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為,若取出的兩個球都是紅球的概率為,一紅一黃的概率為,則___________,___________.答案:1分析:根據(jù)古典概型的概率公式即可列式求得的值,再根據(jù)隨機變量的分布列即可求出.【詳解】,所以,,所以,則.由于.故答案為:1;.2.(2023·全國·高考真題)某學校組織“一帶一路”知識競賽,有A,B兩類問題,每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答,若回答錯誤則該同學比賽結束;若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答,無論回答正確與否,該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分,否則得0分;B類問題中的每個問題回答正確得80分,否則得0分,己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題,記為小明的累計得分,求的分布列;(2)為使累計得分的期望最大,小明應選擇先回答哪類問題?并說明理由.答案:(1)見解析;(2)類.分析:(1)通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值,逐一求概率列分布列即可.(2)與(1)類似,找出先回答類問題的數(shù)學期望,比較兩個期望的大小即可.【詳解】(1)由題可知,的所有可能取值為,,.;;.所以的分布列為(2)由(1)知,.若小明先回答問題,記為小明的累計得分,則的所有可能取值為,,.;;.所以.因為,所以小明應選擇先回答類問題.考點01離散型隨機變量分布列的性質【典例1】(2023·浙江·金華市曙光學校高二月考)設X是一個離散型隨機變量,其分布列為X01P則常數(shù)a的值為()A. B. C.或 D.或答案:A分析:根據(jù)分布列的性質,列式求.【詳解】由分布列的性質可知,解得:.故選:A【典例2】(2023·全國·高二課時練習)已知隨機變量ξ只能取三個值x1,x2,x3,其概率依次成等差數(shù)列,則該等差數(shù)列公差的取值范圍是()A. B.C.[-3,3] D.[0,1]答案:B分析:根據(jù)等差數(shù)列的性質和分布列的性質可求解.【詳解】解:由題意得:設隨機變量ξ取x1,x2,x3的概率分別為a-d,a,a+d,則由分布列的性質得(a-d)+a+(a+d)=1,故,由,解得.所以公差的取值范圍是.故選:B【規(guī)律方法】1.離散型隨機變量的分布列的性質的應用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值;(2)利用“離散型隨機變量在一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根據(jù)性質判斷所得分布列結果是否正確.2.對于分布列易忽視其性質及,其作用可用于檢驗所求離散型隨機變量的分布列是否正確.3.確定離散型隨機變量的取值時,易忽視各個可能取值表示的事件是彼此互斥的.4.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗,以保證每個概率值均為非負數(shù).考點02離散型隨機變量分布列的求法【典例5】(2023·全國·高二課時練習)拋一枚均勻的硬幣2次,設正面朝上的次數(shù)為X.(1)說明表示的是什么事件,并求出;(2)求X的分布列.答案:(1)事件見解析,;(2)分布列見解析.分析:(1)根據(jù)表示的意義確定事件,并計算概率.(2)的可能值為0,1,2,求出各概率后得分布列.(1)表示正面向上的次數(shù)為1的事件,.(2)的可能值為0,1,2,則,,的分布列如下:012【典例6】(2023年高考北京卷理選)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學生中隨機抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:支付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學生中隨機抽取1人,估計該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率;(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù),求X的分布列;(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中,隨機抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結果,能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化?說明理由.答案:(1)0.4;(2)分布列見解析,E(X)=1;(3)見解析.【解析】(1)由題意知,樣本中僅使用A的學生有18+9+3=30人,僅使用B的學生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學生有100?30?25?5=40人.所以從全校學生中隨機抽取1人,該學生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率估計為.(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,該學生上個月的支付金額大于1000元”.由題設知,事件C,D相互獨立,且.所以,,.所以X的分布列為X012P0.240.520.24(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學生中隨機抽查3人,他們本月的支付金額都大于2000元”.假設樣本僅使用A的學生中,本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化,則由上個月的樣本數(shù)據(jù)得.答案示例1:可以認為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化,所以可以認為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化.【總結提升】1.解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路(1)明確隨機變量可能取哪些值.(2)結合事件特點選取恰當?shù)挠嬎惴椒ㄓ嬎氵@些可能取值的概率值.(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解.【注意】解題中要善于透過問題的實際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律,以便使用我們掌握的離散型隨機變量及其分布列的知識來解決實際問題.2.求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到離散型隨機變量的分布列;(1)可設出隨機變量Y,并確定隨機變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù);(2)由統(tǒng)計數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù).由統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義.(2)由古典概型求出離散型隨機變量的分布列;求離散型隨機變量的分布列,首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況,然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率.而超幾何分布就是此類問題中的一種.(3)由互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率及n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率求離散型隨機變量的分布列.3.離散型隨機變量分布列的求解步驟(1)明取值:明確隨機變量的可能取值有哪些,且每一個取值所表示的意義.(2)求概率:要弄清楚隨機變量的概率類型,利用相關公式求出變量所對應的概率.(3)畫表格:按規(guī)范要求形式寫出分布列.(4)做檢驗:利用分布列的性質檢驗分布列是否正確考點03離散型隨機變量的均值與方差【典例7】(2023·浙江高考真題)設,則隨機變量的分布列是:則當在內增大時()A.增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大答案:D【解析】方法1:由分布列得,則,則當在內增大時,先減小后增大.方法2:則故選D.【典例8】(2023·浙江省高考真題)盒子里有4個球,其中1個紅球,1個綠球,2個黃球,從盒中隨機取球,每次取1個,不放回,直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為,則_______;______.答案:【解析】因為對應事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球,第二次拿紅球,所以,隨機變量,,,所以.故答案為:.【總結提升】均值與方差性質的應用若是隨機變量,則一般仍是隨機變量,在求的期望和方差時,熟練應用期望和方差的性質,可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運算.考點04離散型隨機變量的均值、方差的綜合問題【典例9】(2023年浙江省高考模擬)已知隨機變量的分布列如表所示:若,則()A.B.C.D.答案:D【解析】由題意得.∵∴∵∴設,則在上單調遞減.∵∴故選D.【典例10】(2023·浙江寧波·高三月考)已知離散型隨機變量的分布列如下表:-202Pab若隨機變量的期望值,則_______,_______.答案:11分析:根據(jù),結合表中數(shù)據(jù)求得a,b,然后利用方差公式及方差性質求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)得:,解得,則,所以,所以,故答案為:;11考點05實際問題中的科學決策【典例11】(2023·北京·高考真題)在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指:先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒,則檢測結果為陰性,得到每人的檢測結果都為陰性,檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒,則檢測結果為陽性,此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果,檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測,假設其中只有2人感染新冠病毒,并假設每次檢測結果準確.(I)將這100人隨機分成10組,每組10人,且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組,求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù),求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II)將這100人隨機分成20組,每組5人,且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù),試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)答案:(1)①次;②分布列見解析;期望為;(2).分析:(1)①由題設條件還原情境,即可得解;②求出X的取值情況,求出各情況下的概率,進而可得分布列,再由期望的公式即可得解;(2)求出兩名感染者在一組的概率,進而求出,即可得解.【詳解】(1)①對每組進行檢測,需要10次;再對結果為陽性的組每個人進行檢測,需要10次;所以總檢測次數(shù)為20次;②由題意,可以取20,30,,,則的分布列:所以;(2)由題意,可以取25,30,兩名感染者在同一組的概率為,不在同一組的概率為,則.【典例12】(2023·江蘇高郵·高三月考)某商家以6元一件的價格購進某商品,然后以每件10元的價格出售.如果該商品當天賣不完,剩下的只能作垃圾處理.商家記錄了100天該商品的日需求量(單位:件),整理得下表:日需求量141516171819頻數(shù)102025201510以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(1)若商家一天購進該商品16件,表示當天的利潤(單位:元),求的分布列,數(shù)學期望;(2)若商家計劃一天購進該商品16件或17件,你認為應購進16件還是17件?請說明理由.答案:(1)分布列答案見解析,數(shù)學期望:;(2)購進16件更合理,理由見解析.分析:(1)根據(jù)題意可知的可能取值為44?54?64,并由表格分別計算出各自對應的概率,得到分布列,求出數(shù)學期望;(2)計算出購進17件時利潤的數(shù)學期望,與比較即可得出.【詳解】(1)的可能取值為44?54?64,,,,的分布列為:4454640.10.20.7.(2)若當天購進17件,則利潤為:,因為,所以購進16件更合理.【總結提升】1.解決與生產實際相關的概率問題時首先把實際問題概率模型化,然后利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相應的均值.2.均值與方差在決策中的應用注意點(1)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平,方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機變量,是實際生產中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定.(2)兩種應用策略=1\*GB3①當均值不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分歧,可對問題作出判斷.=2\*GB3②若兩隨機變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,進而進行決策.3.幾種常用的解題方法(1)轉化法.將現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學模型,將不熟悉的數(shù)學問題轉化為熟悉的數(shù)學問題,以求得解決途徑.(2)正難則反的解題策略.當所求問題正面求解過于煩瑣時,往往可以使用其對立事件簡化過程,一般當問題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時使用較多.鞏固提升1.(2023·浙江·高三專題練習)某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表:已知的數(shù)學期望,則的值為()789100.10.3A. B. C. D.答案:C分析:利用離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望列出方程組,能求出的值.【詳解】解:的數(shù)學期望,由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列,得,解得,.故選:.2.(2023·浙江高考真題)設,隨機變量的分布列如圖,則當在內增大時,()A.減小 B.增大C.先減小后增大 D.先增大后減小答案:D【解析】,,,∴先增后減,因此選D.3.(2023·廣東高二期末)設隨機變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1,2,3,4),a為常數(shù),則()A.a= B.P(X>)= C.P(X<4a)= D.E(X)=答案:B【解析】因為a(1+2+3+4)=1,所以a=,所以P(X>)=+,P(X<4a)=P(X<)=,E(X)=×+×+×+×.故選:B.4.(2023·浙江高考真題)已知隨機變量滿足P(=1)=pi,P(=0)=1—pi,i=1,2.若0

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