2024年藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義考點(diǎn)4函數(shù)的概念及表示

考點(diǎn)四函數(shù)的概念與表示學(xué)問梳理1．函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如依據(jù)某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，通常記為f：A→B，或y＝f(x)(x∈A)．(2)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．明顯，值域是集合B的子集．(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．(4)相等函數(shù)：假如兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是推斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．(5)函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法．2.分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析式，像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段上函數(shù)值集合的并集．3.映射的概念一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射．4．常見函數(shù)定義域的求法(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0．(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)镽．(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R．(5)y＝tanx的定義域?yàn)閧x|x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．5．基本初等函數(shù)的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：當(dāng)a＞0時(shí)，值域?yàn)椋划?dāng)a＜0時(shí)，值域?yàn)椋?3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是{y|y＞0}．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R．(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是[－1，1]．(7)y＝tanx的值域是R．典例剖析題型一函數(shù)的概念例1下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是________.(填序號(hào))f(x)＝|x|，g(x)＝eq\r(x2)②f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝(eq\r(x))2③f(x)＝eq\f(x2－1,x－1)，g(x)＝x＋1④f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)，g(x)＝eq\r(x2－1)答案①解析①中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．②中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x(x≥0)，∴兩函數(shù)的定義域不同．③中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)，∴兩函數(shù)的定義域不同．④中，f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(x－1)(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定義域?yàn)閧x|x≥1}；g(x)＝eq\r(x2－1)(x2－1≥0)，g(x)的定義域?yàn)閧x|x≥1或x≤－1}．∴兩函數(shù)的定義域不同．故選①.變式訓(xùn)練下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是________.(填序號(hào))答案①③④解析由每一個(gè)自變量x對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)f(x)可知②不是函數(shù)圖象，①③④是函數(shù)圖象．解題要點(diǎn)1．推斷是否是同一函數(shù)關(guān)鍵看兩點(diǎn)：①定義域相同；2對(duì)應(yīng)關(guān)系相同．2.推斷是否是函數(shù)圖象，要看定義域和值域是否在所指定范圍，同時(shí)每一個(gè)自變量應(yīng)只對(duì)應(yīng)一個(gè)因變量．題型二函數(shù)解析式求法例2(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，則f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，則f(x)＝________.(3)已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．答案(1)f(x)＝x2－1(x≥1)，(2)f(x)＝2x＋7，(3)f(x)＝x2－x＋1解析(1)(換元法)設(shè)eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，則eq\r(x)＝t－1.代入f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，得f(t)＝t2－1(t≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不論x為何值都成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＋5a＝17，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7，))∴f(x)＝2x＋7.(3)(待定系數(shù)法)∵f(x)是二次函數(shù)，∴設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝(ax2＋bx＋1)＋2x，整理，得(2a－2)x＋(a＋b)＝0，比較系數(shù)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2＝0，,a＋b＝0))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))∴f(x)＝x2－x＋1.變式訓(xùn)練定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，則當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)＝________.答案－eq\f(xx＋1,2)解析當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，0≤x＋1≤1，由已知f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝－eq\f(1,2)x(x＋1)．解題要點(diǎn)函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要留意新元的取值范圍；(3)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)方程組法：已知f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)之間的關(guān)系式，可依據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)．題型三函數(shù)的定義域例3求下列函數(shù)的定義域(1);(2)答案(1)，(2)(1，1)∪(1，＋)解析(1)使函數(shù)有意義，則且，得或，所以定義域?yàn)?2)使函數(shù)有意義，則，解得：且.所以定義域?yàn)?1，1)∪(1，＋)變式訓(xùn)練函數(shù)f()=的定義域?yàn)開_______.答案[0，1)(1，+∞)解析由題意知，所以函數(shù)定義域?yàn)閇0，1)(1，+∞)解題要點(diǎn)抓住常見函數(shù)有意義的約束條件是解題的關(guān)鍵，須要留意的是：函數(shù)定義域應(yīng)寫成集合或區(qū)間的形式．題型四函數(shù)的值域例4求下列函數(shù)的值域(1)y＝x2＋2x，x∈[0，3]；(2)(3)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5]；(4)f(x)＝x－eq\r(1－2x).解析(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵y＝(x＋1)2－1在[0，3]上為增函數(shù)，∴0≤y≤15，即函數(shù)y＝x2＋2x(x∈[0，3])的值域?yàn)閇0，15]．(2)(換元法)設(shè)eq\r(3x－2)＝t，t≥0，則y＝eq\f(1,3)(t2＋2)－t＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,2)))2－eq\f(1,12)，當(dāng)t＝eq\f(3,2)時(shí)，y有最小值－eq\f(1,12)，故所求函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,12)，＋∞)).(3)(分別常數(shù)法)由y＝eq\f(2x－1,x＋1)＝2－eq\f(3,x＋1)，結(jié)合圖象知，函數(shù)在[3，5]上是增函數(shù)，所以ymax＝eq\f(3,2)，ymin＝eq\f(5,4)，故所求函數(shù)的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).(4)(單調(diào)性法)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，簡(jiǎn)潔推斷f(x)為增函數(shù)，所以f(x)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，即函數(shù)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).題型五分段函數(shù)例5(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,2x，x≤0，))則f(f(eq\f(1,9)))＝________.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝________．答案(1)eq\f(1,4)(2)－2解析(1)f(f(eq\f(1,9)))＝f(log3eq\f(1,9))＝f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4).(2)∵eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)＝－1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，則實(shí)數(shù)a的值等于________．答案－3解析(1)由題意知f(1)＝21＝2.∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＋2＝0.①當(dāng)a>0時(shí)，f(a)＝2a,2a＋2＝0無解；②當(dāng)a≤0時(shí)，f(a)＝a＋1，∴a＋1＋2＝0，∴a＝－3.解題要點(diǎn)1.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，“分段求解”是解決分段函數(shù)的基本原則．2.在求分段函數(shù)值時(shí)，確定要留意自變量的值所在的區(qū)間，再代入相應(yīng)的解析式；自變量的值不確定時(shí)，要分類探討．當(dāng)堂練習(xí)1.函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域?yàn)開_______．答案{x|x≥－1且x≠2}2．函數(shù)y＝2－eq\r(－x2＋4x)的值域是________．答案[0，2]解析－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，0≤eq\r(－x2＋4x)≤2，－2≤－eq\r(－x2＋4x)≤0，0≤2－eq\r(－x2＋4x)≤2，所以0≤y≤2.3．若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是________．②③④答案②4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－b，x＜1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，則b等于________．答案eq\f(1,2)解析由題意，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝3×eq\f(5,6)－b＝eq\f(5,2)－b.若eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)時(shí)，2eq\f(5,2)－b＝4，解得b＝eq\f(1,2).若eq\f(5,2)－b＜1，即b＞eq\f(3,2)時(shí)，3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq\f(7,8)(舍去)．所以b＝eq\f(1,2).5．函數(shù)f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是_________________．答案(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析需滿足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定義域?yàn)?－∞，－3)∪(1，＋∞)．課后作業(yè)一、填空題1．汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是__________．①②③④答案①解析汽車加速行駛時(shí)，速度變更越來越快，而汽車勻速行駛時(shí)，速度保持不變，體現(xiàn)在s與t的函數(shù)圖象上是一條直線，減速行駛時(shí)，速度變更越來越慢，但路程仍是增加的．2．若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則的圖象可能是__________． ② ③ ④答案②解析依據(jù)函數(shù)的概念，隨意一個(gè)只能有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，故解除③；由定義域?yàn)榻獬?、?選②.3．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x＜0，))則f(f(－2))等于__________．答案eq\f(1,2)解析∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)＞0，則f(f(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).4．函數(shù)y＝eq\f(x2,\r(2－x))＋lg(2x＋1)的定義域是__________．答案(－eq\f(1,2)，2)解析x同時(shí)滿足不等式2－x>0,2x＋1>0，解得－eq\f(1,2)<x<2，故所求函數(shù)的定義域是(－eq\f(1,2)，2).5．設(shè)A＝{0,1,2,4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，1，2，6，8))，則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系能構(gòu)成A到B的映射的是__________．(填序號(hào))①f：x→x3－1②f：x→(x－1)2③f：x→2x－1④f：x→2x答案③解析對(duì)于選項(xiàng)①，由于集合A中x＝0時(shí)，x3－1＝－1?B，即A中元素0在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，所以選項(xiàng)①不符合；同理可知②、④兩選項(xiàng)均不能構(gòu)成①到②的映射，選項(xiàng)③符合.6．函數(shù)y＝eq\r(16－4x)的值域是__________．答案[0，4)解析∵4x＞0，∴0≤16－4x＜16，∴0≤y＜4.7．若f(2x+1)=6x+3，則f(x)的解析式為f(x)=__________．答案3x解析令t=2x+1，則x=，所以f(t)=6·+3=3t，故f(x)=3x.8．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,2x＋ax，x＞1，))若f(f(1))＝4a，則實(shí)數(shù)a等于__________．答案2解析∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝4＋2a＝4a，解得a＝2.9．函數(shù)y＝eq\f(lg（2－x）,\r(12＋x－x2))＋(x－1)0的定義域是__________．答案{x|－3<x<2且x≠1}解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x>0，,12＋x－x2>0,x－1≠0))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<2，,－3<x<4，,x≠1，))所以－3<x<2且x≠1，故所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|－3<x<2且x≠1}．10．已知f(x－eq\f(1,x))＝x2＋eq\f(1,x2)，則f(3)＝______.答案11解析∵f(x－eq\f(1,x))＝(x－eq\f(1,x))2＋2，∴f(x)＝x2＋2(x∈R)，∴f(3)＝32＋2＝11.二、解答題11．(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋3，求f(x)的解析式．(2)若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點(diǎn)，求g(x)的解析式．解析(1)設(shè)f(x)＝kx＋b(a≠0)，則f(x＋1)－2f(x－1)＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，即－kx＋3k－b＝2x＋3不論x為何值都成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,3k－b＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－9，))∴f(x)＝