高中數(shù)學(xué)校本教材《數(shù)學(xué)史選講》

高中數(shù)學(xué)校本教材

《數(shù)學(xué)史選講》

主講人：沈玉川

目錄

導(dǎo)言：為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史

第一講：數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展；

第二講：古代希臘數(shù)學(xué)；

第三講：中國(guó)古代的數(shù)學(xué)；

第四講：印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)；

第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)；

第六講：解析幾何與微積分的創(chuàng)立；

第七講：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)；

第八講：19世紀(jì)的代數(shù)；

第九講：19世紀(jì)的幾何；

第十講：19世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)；

第十一講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（一）；

第十二講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（二）；

第十三講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀（三）；

授課形式：講解與自學(xué)相結(jié)合。

導(dǎo)言：為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史

1.為了更全面、更深刻地了解數(shù)學(xué)

每一門學(xué)科都有它的歷史，文學(xué)有文學(xué)史，哲學(xué)有哲學(xué)史，天文學(xué)有天文學(xué)史等等。數(shù)學(xué)

有它自己的發(fā)展過(guò)程，有它的歷史。它是活生生的、有血有肉的。無(wú)論是概念還是體系，無(wú)論

是內(nèi)容還是方法，都只有在與其發(fā)展過(guò)程相聯(lián)系時(shí)，才容易被理解。數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)

學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，對(duì)于深

刻認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，及全面了解整個(gè)人類文明的發(fā)展都具有重要的意義。

可以說(shuō)，不懂得數(shù)學(xué)史，就不能真心地理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)課本上的數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)多次加工，已

經(jīng)不是原來(lái)的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見(jiàn)。數(shù)學(xué)教師要把課本上的內(nèi)容放到歷史的背景上考

察，才能求得自己的理解；然后，才有可能幫助學(xué)生理解。

2.為了總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，探索發(fā)展規(guī)律

我國(guó)自古以來(lái)就非常重視歷史、"前事之不忘，后事之師"（《戰(zhàn)國(guó)策?趙策一》）早已成為人

們的共識(shí)。英國(guó)哲學(xué)家培根（FrancisBacon,1561-1626）的名言"歷史使人明智"（Historiesmake

menwise）也是盡人皆知的成語(yǔ)。數(shù)學(xué)有悠久的歷史，它的成長(zhǎng)道路是相當(dāng)曲折的。有時(shí)興旺

發(fā)達(dá)，有時(shí)衰敗凋殘。探索它的發(fā)展規(guī)律，可以指導(dǎo)當(dāng)前的工作，使我們少走或不走彎路，更

好地做出正確的判斷，制定合理的政策。

3.為了教育的目的

（1）激發(fā)興趣，開(kāi)闊眼界，啟發(fā)思維，

經(jīng)驗(yàn)證明，在數(shù)學(xué)課中加入數(shù)學(xué)史的講授會(huì)使學(xué)生興趣盎然。任何一個(gè)靜止的事物，如果

和它的歷史聯(lián)系起來(lái)，就會(huì)對(duì)它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導(dǎo)和證

明，還指出它的思考路線，以及學(xué)者研究和發(fā)現(xiàn)定理的經(jīng)過(guò)，課堂空氣會(huì)立刻活躍起來(lái)。教師

也可以適當(dāng)介紹和本定理有關(guān)的典故和趣事。學(xué)生開(kāi)闊了眼界.知道一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程竟如

此曲折，印象會(huì)非常深刻。講述定理的來(lái)龍去脈，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，使他們從多個(gè)方面去

思考問(wèn)題。（如果不是專門的數(shù)學(xué)史課，史料的加入宜適而止，否則會(huì)喧賓奪主，沖淡了主題）

（2）表彰前賢，鼓勵(lì)后進(jìn)。

數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶，是全世界人民寶貴的精神財(cái)富。今天數(shù)學(xué)的繁榮昌盛，實(shí)得力于

千百年來(lái)數(shù)學(xué)工作者的辛勤勞動(dòng)。飲水必須思源，數(shù)典不可忘祖，他們的豐功偉績(jī)，理應(yīng)載人

史冊(cè)。數(shù)學(xué)史的主要內(nèi)容之一，就是記述他們的生平事跡和重要貢獻(xiàn)，以供后人參考借鑒。其

目的在于總結(jié)先輩的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，學(xué)習(xí)他們不畏艱苦的創(chuàng)業(yè)精神。表彰前賢，足以鼓勵(lì)后進(jìn)。

4.文化的目的

數(shù)學(xué)是文明的一個(gè)組成部分。數(shù)學(xué)不僅僅是形式化、演繹化的思維訓(xùn)練，也不僅僅是一門

嚴(yán)肅的、抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)其實(shí)是豐富多彩的文化的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)中的幾乎每一步進(jìn)展都反映了

推進(jìn)者的個(gè)人背景、時(shí)間和地點(diǎn)的影響，也受到當(dāng)時(shí)流行的價(jià)值觀、社會(huì)思想和當(dāng)時(shí)所有的資

源的影響。所以，數(shù)學(xué)不僅是一種單純的知識(shí)活動(dòng)，它也擁有豐富的歷史文化向度，人類豐富

多彩的文化為它染上了濃重眩目的文化色彩。幾乎任何一門數(shù)學(xué)分支的發(fā)展都反映了一定時(shí)代

和地域所流行的價(jià)值觀和各種因素的影響，這些因素包括游戲娛樂(lè)、美學(xué)欣賞、宗教信仰、哲

學(xué)思考和實(shí)用價(jià)值探索等，在數(shù)學(xué)中它們是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除其中的任

何一個(gè)方面都將給數(shù)學(xué)帶不可估量的損失。

為了探索及揭露數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，也為了敘述的方便，常常將整個(gè)發(fā)展史劃分為若干個(gè)階

段，這就是數(shù)學(xué)史的分期。分期的標(biāo)準(zhǔn)主要有兩種，一種是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)（通常叫做"內(nèi)

史"，另一種是根據(jù)社會(huì)的歷史背景（"外史"），三是根據(jù)所接受的對(duì)象。本課程綜合上述看法,

采取下面的分期。1.早期文明中的數(shù)學(xué)，2.初等數(shù)學(xué)的發(fā)展，4.近代數(shù)學(xué)的興起，5.近現(xiàn)

代數(shù)學(xué)發(fā)展，6.現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展概述。

思考題

1、舉例說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展首先起源于人類生活的需要。

2、舉例：數(shù)學(xué)家的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和獻(xiàn)身精神？

第一講數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展

主要內(nèi)容：數(shù)與形概念的產(chǎn)生、河谷文明與早期數(shù)學(xué)、西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)。

數(shù)學(xué)最早起源于適合人類生存的大河流域，例如尼羅河流域的埃及、兩河流域的巴比倫、

黃河長(zhǎng)江流域的中國(guó)等。伴隨著這些早期文明的發(fā)展，數(shù)學(xué)也開(kāi)始了它的萌芽和進(jìn)程。

1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生

從原始的"數(shù)"到抽象的"數(shù)"概念的形成，是一個(gè)緩慢、漸進(jìn)的過(guò)程。人從生產(chǎn)活動(dòng)中認(rèn)識(shí)到

了具體的數(shù)，導(dǎo)致了記數(shù)法。"屈指可數(shù)"表明人類記數(shù)最原始、最方便的工具是手指。

（1）最早可能是手算，即用手指計(jì)數(shù)。一只手上的5個(gè)指頭可以被現(xiàn)成的用來(lái)表示5個(gè)以

內(nèi)事物的集合。兩只手上的指頭合在一起，可以數(shù)到10,再和腳趾聯(lián)合在一起，可以數(shù)到20。

有人認(rèn)為，現(xiàn)在的羅馬數(shù)字I、II、III、IV就分別是1一一4個(gè)手指的形象，V是四指并攏拇指

張開(kāi)形象，10則畫成VV,表示雙手，后來(lái)又畫成X,是VV的對(duì)頂形式。古代俄國(guó)把1叫做"手

指頭"，10則稱為"全部"。這些都是古代手指計(jì)數(shù)的痕跡。亞里士多德曾經(jīng)指出，今天10進(jìn)制

的廣泛采用，只不過(guò)是人類絕大多數(shù)人生來(lái)就具有10個(gè)手指這樣一個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果。

（2）結(jié)繩記數(shù).手算能表示出的數(shù)目畢竟有限，即使再借助于腳趾，也不過(guò)數(shù)到20。當(dāng)指

頭不敷用時(shí)，數(shù)到10時(shí)，擺一塊小石頭，雙手就解放了，還可以繼續(xù)數(shù)更大的數(shù)目。自然地人

們會(huì)想到，可以不用手，直接用石頭記數(shù)。但記數(shù)的石子堆很難長(zhǎng)久保存信息，于是又有結(jié)繩

記數(shù)。我國(guó)有“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契"的說(shuō)法。"結(jié)繩而治"一般解釋為“結(jié)繩記

事"或"結(jié)繩記數(shù)"。"書契"就是在物體上刻痕，以后逐漸發(fā)展成為文字。

結(jié)繩記事、記數(shù)，并不限于中國(guó)，世界各地都有，有些地方甚至到19世紀(jì)還保留這種方法,

有些結(jié)繩事物甚至保存下來(lái)。例如，美國(guó)自然史博物館就藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩

結(jié)，當(dāng)時(shí)人們稱之為基普：在一根較粗的繩子上拴系涂有顏色的細(xì)繩，再在細(xì)繩上打各種各樣

的結(jié)，不同的顏色和結(jié)的位置、形狀表示不同的事物和數(shù)目。

結(jié)繩畢竟不甚方便，以后在實(shí)物（石、木、骨等）上刻痕以代替結(jié)繩。從現(xiàn)在的考古資料

看，幾乎所有的文明古國(guó)都經(jīng)歷過(guò)一個(gè)刻痕記數(shù)的階段，只是各自的形式不同而已。如，手指

計(jì)數(shù)（伊朗，1966）,結(jié)繩計(jì)數(shù)（秘魯，1972）（美國(guó)自然史博物館藏有古代南美印加部落用來(lái)

記事的繩結(jié)，當(dāng)時(shí)人稱之為基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形數(shù)字），西安半坡遺址

出土的陶器殘片。

早期幾種記數(shù)系統(tǒng)，如古埃及、古巴比倫、中國(guó)甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅（瑪雅文

明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個(gè)地區(qū)、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半

島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部）等。

世界上不同年代出現(xiàn)了五花八門的進(jìn)位制和眼花繚亂的記數(shù)符號(hào)體系，足以證明數(shù)學(xué)起源

的多元性和數(shù)學(xué)符號(hào)的多樣性。

2、河谷文明與早期數(shù)學(xué)

2.1古代埃及的數(shù)學(xué)

背景：古代埃及簡(jiǎn)況

埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開(kāi)始出現(xiàn)一些小國(guó)家，公元前3000

年左右開(kāi)始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國(guó)家。

埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，建立了國(guó)家，有了相當(dāng)發(fā)達(dá)的農(nóng)業(yè)和手工業(yè)，發(fā)

明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識(shí)，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。

吉薩金字塔（公元前2600年）（剛果，1978）,它顯示了埃及人極其精確的測(cè)量能力，其中

它的邊長(zhǎng)和高度的比例約為圓周率的一半。

古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：紙草書，來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題集。

萊茵德紙草書（1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購(gòu)得，現(xiàn)藏倫敦大英博物館，主體部分由

84個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題組成，其中還有歷史上第一個(gè)嘗試"化圓為方"的公式）。

莫斯科紙草書（1893年由俄國(guó)貴族戈列尼雪夫購(gòu)得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館，

包含了25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題）。

埃及紙草書（民主德國(guó)，1981）。

數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)：記數(shù)制，基本的算術(shù)運(yùn)算，分?jǐn)?shù)運(yùn)算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等

圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。

公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及以后，這一古老的數(shù)學(xué)完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。

2.2古代巴比倫的數(shù)學(xué)

背景：古代巴比倫簡(jiǎn)況

兩河流域（美索不達(dá)米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時(shí)發(fā)明了文字"楔

形文字”。

了解古代美索不達(dá)米亞文明的主要文獻(xiàn)是泥版，迄今已有約50萬(wàn)塊泥版出土。蘇美爾計(jì)數(shù)

泥版（文達(dá)，1982）o

現(xiàn)在泥版文書中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：以60進(jìn)制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，長(zhǎng)于計(jì)算,

發(fā)展程序化算法的熟練技巧（開(kāi)方根），能處理三項(xiàng)二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯

形的面積公式，棱柱、方錐的體積公式。

泥版楔形文，普林頓322（現(xiàn)在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書館，年代在公元前1600年以前，數(shù)

論意義：整勾股數(shù)）。

巴比倫泥板和彗星（不丹，1986

思考題

1、您對(duì)《數(shù)學(xué)史》課程的期望。

2、談?wù)勀睦斫猓簲?shù)學(xué)是什么？

3、數(shù)學(xué)崇拜與數(shù)學(xué)忌諱。

4、從數(shù)學(xué)的起源簡(jiǎn)述人類活動(dòng)對(duì)文化發(fā)展的貢獻(xiàn)。

5、數(shù)的概念的發(fā)展給我們的啟示。

6、探討古代埃及和古代巴比倫的數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義。

第二講古代希臘數(shù)學(xué)

主要內(nèi)容：論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，亞歷山大學(xué)派，古希臘數(shù)學(xué)的衰落家，簡(jiǎn)述11位哲學(xué)家或科

學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。

1、古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)

公元前600—前300年。

1.1愛(ài)奧尼亞學(xué)派（米利都學(xué)派）：泰勒斯（公元前625—前547年），出生于愛(ài)奧尼亞的米

利都城，早年經(jīng)商，被稱為“希臘哲學(xué)、科學(xué)之父"。

哲學(xué)：萬(wàn)物源于水，即“水生萬(wàn)物，萬(wàn)物復(fù)歸于水"。其思想的影響是巨大的，在他的帶動(dòng)

下，人們開(kāi)始擺脫神的束縛，去探索宇宙的奧秘，經(jīng)過(guò)數(shù)百年的努力，出現(xiàn)了希臘科學(xué)的繁榮。

泰勒斯首創(chuàng)之功，不可磨滅。

數(shù)學(xué)：創(chuàng)數(shù)學(xué)命題邏輯證明之先河，希臘幾何學(xué)的鼻祖，最早留名于世的數(shù)學(xué)家，證明了

一些幾何命題，如“圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分"，"等腰三角形兩底角相等"，"兩相交直

線形成的對(duì)頂角相等"，“如果一個(gè)三角形有兩角、一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等,

那么這兩個(gè)三角形全等"，"半圓上的圓周角是直角”（泰勒斯定理），測(cè)量過(guò)金字塔的高度。

預(yù)報(bào)了公元前585年的一次日食。

1.2畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯（約公元前560—前480年），出生于小亞細(xì)亞的薩摩斯

島，與中國(guó)的孔子（公元前551—前479年）同時(shí)，曾師從愛(ài)奧尼亞學(xué)派，年青時(shí)曾游歷埃及和

巴比倫，在薩摩斯島建立了具有宗教、哲學(xué)、科學(xué)性質(zhì)的學(xué)派，致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究，繁

榮興旺達(dá)一個(gè)世紀(jì)以上。

哲學(xué)（（piobocpm,智力愛(ài)好）：萬(wàn)物皆為數(shù)。沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)、也不可能理解任何

事物，宣稱宇宙萬(wàn)物的主宰者用數(shù)來(lái)統(tǒng)御宇宙，試圖通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙永恒的真理。

數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)研究抽象概念的認(rèn)識(shí)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，"nae*cmxa"（可學(xué)到的知識(shí)），"畢

達(dá)哥拉斯定理"（希臘，1955）,完全數(shù)（等于除它本身以外的全部因子之和，如6,28,496,…）、

親和數(shù)（一對(duì)數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)除它本身以外的所有因子之和是另一個(gè)數(shù)，如220,284）,正

五角星作圖與"黃金分割"（正五角星是該學(xué)派的標(biāo)志，正五角星相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的距離與其邊長(zhǎng)

之比，或簡(jiǎn)單說(shuō)正五邊形邊長(zhǎng)與其對(duì)角線之比，正好是黃金比），發(fā)現(xiàn)了"不可公度量"，困惑古

希臘的數(shù)學(xué)家，出現(xiàn)的邏輯困難史稱"第一次數(shù)學(xué)危機(jī)"。

畢氏學(xué)派將抽象的數(shù)作為萬(wàn)物的本源，“萬(wàn)物皆數(shù)”是他們的信條之一。但是，研究數(shù)的目

的不是為了實(shí)際應(yīng)用，而是通過(guò)揭露數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙的永恒真理。他們將學(xué)問(wèn)分為四類，

即算術(shù)、音樂(lè)（數(shù)的應(yīng)用）、幾何（靜止的量）、天文（運(yùn)動(dòng)的量）；根據(jù)"簡(jiǎn)單整數(shù)比"原理

創(chuàng)造一套音樂(lè)理論；對(duì)數(shù)作過(guò)深入研究，并得到很多結(jié)果，將自然數(shù)進(jìn)行分類，如奇數(shù)、偶數(shù)、

完全數(shù)、親合數(shù)、三角數(shù)、平方數(shù)、五角數(shù)、六角數(shù)等等；發(fā)理勾股定理（西方稱為畢達(dá)哥拉

斯定理）和勾股數(shù)（西方稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)）；發(fā)現(xiàn)五種正多面體；發(fā)現(xiàn)不可通約量，甚至于音

樂(lè)上也可目睹到他所遺留的許多事跡。

雅典時(shí)期：開(kāi)創(chuàng)演繹數(shù)學(xué)。

1.3伊利亞學(xué)派：芝諾（約公元前490—前430年），出生于意大利南部半島的伊利亞城邦,

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員的學(xué)生。

芝諾悖論：兩分法，運(yùn)動(dòng)不存在。再就是：位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處,

即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，所以，如果它起動(dòng)了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者，

它根本起動(dòng)不了。

阿基里斯（荷馬史詩(shī)《依里亞特》中的希臘名將，善跑）、飛矢不動(dòng)。

芝諾的功績(jī)?cè)谟诎褎?dòng)和靜的關(guān)系、無(wú)限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系以非數(shù)學(xué)的形態(tài)

提出，并進(jìn)行了辯證的考察。

1.4詭辯學(xué)派（智人學(xué)派）：活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱,

詭辯的希臘原詞含智慧之意，故亦稱智人學(xué)派。

古典幾何三大作圖問(wèn)題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。

安蒂豐（約公元前480—前411年），有關(guān)他的生平至今沒(méi)有確切的定論，只知他在雅典從

事學(xué)術(shù)活動(dòng)，是智人學(xué)派的代表人物，在數(shù)學(xué)方面的突出成就是用"窮竭法”討論化圓為方問(wèn)題。

他從一個(gè)圓內(nèi)接正方形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、…、持續(xù)重復(fù)這一過(guò)程,

隨著圓面積的逐漸窮竭，將得到一個(gè)邊長(zhǎng)極微小的圓內(nèi)接正多邊形。安蒂豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多

邊形將與圓重合，既然通常能夠作出一個(gè)等于任何已知多邊形的正方形，那么就能作出等于一

個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題，但安蒂豐卻因此成為古希臘"窮竭法"

的始祖。

希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。1855年，法國(guó)科學(xué)院

拒絕再審查化圓為方問(wèn)題的解。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題

實(shí)際上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852—1939年）證明了數(shù)兀的超越性，從而確立了

尺規(guī)化圓為方的不可能性。

1.5柏拉圖學(xué)派：柏拉圖（約公元前427—前347年），出生于雅典的顯貴世家，曾師從畢

達(dá)哥拉斯學(xué)派，哲學(xué)家蘇格拉底（公元前469—前399年）的學(xué)生。作為一名哲學(xué)家，柏拉圖

對(duì)于歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化的發(fā)展，有著深遠(yuǎn)的影響，特別是他的認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)

教育思想，后人將分析法和歸謬法歸的使用歸功于柏拉圖，在古代希臘社會(huì)條件下，對(duì)于科學(xué)

的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不可磨滅的推進(jìn)作用。代表作《理想國(guó)》。

從柏拉圖的著作中，可以看到數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域的最初的探究。柏拉圖的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想是同他

的認(rèn)識(shí)論，特別是理念論分不開(kāi)的。他認(rèn)為數(shù)學(xué)所研究的應(yīng)是可知的理念世界中的永恒不變的

關(guān)系，而不是可感的物質(zhì)世界中的變動(dòng)無(wú)常的關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象應(yīng)是抽象的數(shù)和理

想的圖形。他在《理想國(guó)》中說(shuō)：“我所說(shuō)的意思是算術(shù)有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂

就抽象的數(shù)進(jìn)行推理，而反對(duì)在論證中引入可見(jiàn)的和可捉摸的對(duì)象。"他在另一處談到幾何時(shí)說(shuō):

“你豈不知道，他們雖然利用各種可見(jiàn)的圖形，并借此進(jìn)行推理，但是他們實(shí)際思考的并不是這

些圖形，而是類似于這些圖形的理想形象?！麄兞η罂吹降氖悄切┲挥杏眯撵`之日才能看到

的實(shí)在?！?/p>

柏拉圖說(shuō)："上帝按幾何原理行事"，"不懂幾何者免進(jìn)"，認(rèn)為打開(kāi)宇宙之謎的鑰匙是數(shù)與幾

何圖形，發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識(shí)的思想。

柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，卻贏得了“數(shù)學(xué)家的締造者”的美稱，公元前387年以萬(wàn)貫家財(cái)在雅典

創(chuàng)辦學(xué)院，講授哲學(xué)與數(shù)學(xué)，直到529年?yáng)|羅馬君王查士丁尼下令關(guān)閉所有的希臘學(xué)校才告終

止。意大利文藝復(fù)興三杰之一拉斐爾?桑蒂（1483—1520年）的壁畫：雅典學(xué)院（創(chuàng)作于1509

一1510年）。

古希臘最著名的哲學(xué)家、科學(xué)家：亞里士多德（公元前384—前322年）（烏拉圭，1996）,

柏拉圖的學(xué)生。

1.6亞里士多德學(xué)派（呂園學(xué)派）：出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮(zhèn)，公元前335年建立了自己

的學(xué)派，講學(xué)于雅典的呂園，又稱"呂園學(xué)派"，相傳亞里士多德還做過(guò)亞歷山大大帝的老師。"吾

愛(ài)吾師，吾尤愛(ài)真理”。

集古希臘哲學(xué)之大成，把古希臘哲學(xué)推向最高峰，將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系

統(tǒng)化，創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué)，堪稱"邏輯學(xué)之父"，"矛盾律"、"排中律”成為數(shù)學(xué)中間接證明的核

心，努力把形式邏輯的方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)的推理上，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法

論的基礎(chǔ)，被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)。

1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯?阿奎那（意，1225-1274

年）建立了經(jīng)院哲學(xué)，對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義，試圖從哲學(xué)上以理性

的名義來(lái)論證上帝的存在。

2、亞歷山大學(xué)派時(shí)期

公元前300—前30年，進(jìn)入了亞歷山大時(shí)期：希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代，先后出現(xiàn)了歐幾里得、

阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。

2.1歐幾里得（公元前325—前265年）

早年學(xué)習(xí)于雅典，公元前300年應(yīng)托勒密一世之請(qǐng)來(lái)到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠

基人。用邏輯方法把幾何知識(shí)建成一座巍峨的大廈，他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千

古，成為后人難以跨躍的高峰。"幾何無(wú)王者之道”，后推廣為："求知無(wú)坦途"。

《原本》（ZTOixsra,意指：學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理）。13卷：

第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達(dá)哥拉斯定理（世界最早、完整、嚴(yán)格的證明）、初

等作圖法等;

第二卷：幾何方法解代數(shù)問(wèn)題，求面積、體積等；

第三、四卷：圓、弦、切線、圓的內(nèi)接、外切；

第五、六卷：比例論與相似形；

第七、八、九、十卷：數(shù)論；

第十一、十二、十三卷：立體幾何，包括窮竭法，是微積分思想的來(lái)源。

采用了亞里士多德對(duì)公理、公設(shè)的區(qū)分，由5條公理，5條公設(shè)，119條定義和465條命題

組成，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。

5條公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差

相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。

5條公設(shè)：（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長(zhǎng)；（3）

以任意中心和直徑可以畫圓；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同

旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們都在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。

《原本》是數(shù)學(xué)史上第一座理論豐碑，確立了數(shù)學(xué)的演繹范式，正如英國(guó)著名哲學(xué)與數(shù)學(xué)

家羅素（1872—1970年）說(shuō)過(guò)：“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一，

是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一”。它也成為科學(xué)史上流傳最廣的著作之一，僅從1482年第一

個(gè)拉丁文印刷本在威尼斯問(wèn)世以來(lái)，已出了各種文字的版本1000多個(gè)。存在缺陷，定義借助直

觀，公理系統(tǒng)不完備。

2.2數(shù)學(xué)之神：阿基米德（公元前287—前212年）與牛頓（英，1642-1727年）、高斯（德，

1777—1855年）并列有史以來(lái)最偉大的三大數(shù)學(xué)家之一，出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷

山大城師從歐幾里得的門生。

“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就可以移動(dòng)地球"。最為杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是，在《圓的度量》中，發(fā)展了

200年前安蒂豐的窮竭法，用于計(jì)算周長(zhǎng)、面積或體積，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接和外切正96邊形的周

長(zhǎng)，求得圓周率介于3?10/71和3?1/7之間（約為3.14）,這是數(shù)學(xué)史上第一次給出科學(xué)求圓周

率的方法，把希臘幾何學(xué)幾乎提高到西方17世紀(jì)后才得以超越的高峰。阿基米德螺線，一位應(yīng)

用數(shù)學(xué)家，阿基米德之死（在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中被羅馬士兵所殺）。墓碑上是阿基米德最引以

為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形：球及其外切圓柱。

2.3阿波羅尼奧斯（約公元前262—前190年），出生于小亞細(xì)亞的珀?duì)柤樱昵鄷r(shí)曾在亞

歷山大城跟隨歐幾里得的門生學(xué)習(xí)，貢獻(xiàn)涉及幾何學(xué)和天文學(xué)，最重要的數(shù)學(xué)成就是在前人工

作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線論，以歐幾里得嚴(yán)謹(jǐn)風(fēng)格寫成的傳世之作《圓錐曲線》，

是希臘演繹幾何的最高成就，用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，確實(shí)令人

驚嘆，對(duì)圓錐曲線研究所達(dá)到的高度，直到17世紀(jì)笛卡兒、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無(wú)人能夠超

越?！秷A錐曲線》全書共8卷，含487個(gè)命題。

克萊因（美，1908-1992年）：它是這樣一座巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)者至少?gòu)膸缀?/p>

上幾乎不能再對(duì)這個(gè)問(wèn)題有新的發(fā)言權(quán)。這確實(shí)可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作。

貝爾納（英，1901-1971年）：他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開(kāi)普勒和牛頓

可以原封不動(dòng)地搬用，來(lái)推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。

3、希臘數(shù)學(xué)的衰落

由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對(duì)自由研究的寬松態(tài)度，在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)亞

歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位，產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年一公

元600年常稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。

3.1托勒密（埃及，90—165年），在亞歷山大城工作，最重要的著作是《天文學(xué)大成》（《至

大論》）13卷

第一、二卷：地心體系的基本輪廓；

第三卷：太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)；

第四卷：月亮運(yùn)動(dòng)；

第五卷：計(jì)算月地距離和日地距離；

第六卷：日食和月食的計(jì)算；

第七、八卷：恒星和歲差現(xiàn)象；

第九一十三卷：分別討論五大行星的運(yùn)動(dòng)，本輪和均輪的組合在這里得到運(yùn)用。

提出地心說(shuō)而成為整個(gè)中世紀(jì)西方天文學(xué)的經(jīng)典。《大成》中總結(jié)了在他之前的古代三角學(xué)

知識(shí)，其中最有意義的貢獻(xiàn)是包含有一張正弦三角函數(shù)表，這是歷史上第一個(gè)有明確的構(gòu)造原

理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。三角學(xué)的貢獻(xiàn)是亞歷山大后期幾何學(xué)最富創(chuàng)造性的成就。

3.2丟番圖（公元200—284年）《算術(shù)》

亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代

數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標(biāo)志是丟番圖的《算術(shù)》，這是一部具有東方色

彩、對(duì)古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的算術(shù)與代數(shù)著作，其中最有名的一個(gè)不定方程：將一個(gè)

已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》時(shí)對(duì)該問(wèn)題給出一個(gè)邊

注，引出了后來(lái)舉世矚目的"費(fèi)馬大定理"。另一重要貢獻(xiàn)是創(chuàng)用了一套縮寫符號(hào)，一種"簡(jiǎn)寫代

數(shù)"，是真正的符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)之前的一個(gè)重要階段。

古希臘數(shù)學(xué)的落幕。

基督教在羅馬被奉為國(guó)教后，將希臘學(xué)術(shù)視為異端邪說(shuō)，對(duì)異教學(xué)者橫加迫害。公元415

年，亞歷山大女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭（公元370—415年）被一群聽(tīng)命于主教的基督暴徒殘酷殺害。

希帕蒂婭曾注釋過(guò)阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作，是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。

希帕蒂婭的被害預(yù)示了在基督教的陰影籠罩下整個(gè)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的厄運(yùn)。

柏拉圖學(xué)園被封閉。公元529年?yáng)|羅馬皇帝查士丁尼（527—565年）下令封閉了雅典的所

有學(xué)校，包括柏拉圖公元前387年創(chuàng)立的雅典學(xué)院。

亞歷山大圖書館（當(dāng)時(shí)世界上藏書最多的圖書館）三劫，希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。

第1次劫難：前47年，羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊(duì)，大火殃及亞歷山大圖書館，70

萬(wàn)卷圖書付之一炬。

第2次劫難：公元392年羅馬狄?jiàn)W多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟，30多萬(wàn)件希臘文手稿

被毀。

第3次劫難：公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書籍予以焚毀。

思考題

1、歐幾里得《原本》對(duì)數(shù)學(xué)以及整個(gè)科學(xué)的發(fā)展有什么意義？

2、以“化圓為方"問(wèn)題為例，說(shuō)明未解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的重要性。

3、體驗(yàn)阿基米德方法：通過(guò)計(jì)算半徑為1的圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算圓周率

的近似值，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后3位數(shù)。

4、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是怎樣引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的？

第三講：中國(guó)古代的數(shù)學(xué)

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀(jì)至公元14世紀(jì)。分成三個(gè)階段：《周髀算經(jīng)》

與《九章算術(shù)》、劉徽與祖沖之、宋元數(shù)學(xué)，這反映了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次高峰，簡(jiǎn)述9位

中國(guó)科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。

1、中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的第一次高峰（漢以前）：數(shù)學(xué)體系的形成

秦始皇陵兵馬俑（中國(guó)，1983）,秦漢時(shí)期形成中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。

我們通過(guò)一些古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)說(shuō)明數(shù)學(xué)體系的形成。1983-1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張

家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡(jiǎn)，共千余支。

經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻(xiàn)，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫在一支竹簡(jiǎn)

背面的字跡辨認(rèn)，這部竹簡(jiǎn)算書的書名叫《算數(shù)書》，它是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著。經(jīng)研究，

它和《九章算術(shù)》（公元1世紀(jì)）有許多相同之處，體例也是"問(wèn)題集”形式，大多數(shù)題都由問(wèn)、

答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語(yǔ)也與《九章算術(shù)》的一樣。

《周髀算經(jīng)》（髀：量日影的標(biāo)桿）編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學(xué)

著作（“蓋天說(shuō)"一天圓地方；中國(guó)古代正統(tǒng)的宇宙觀是“渾天說(shuō)"一大地是懸浮于宇宙空間的圓球,

“天體如彈丸，地如卵中黃”），涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)有的可以追溯到公元前11世紀(jì)（西周），其中包

括兩項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)成就：勾股定理的普遍形式（中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書面記載），數(shù)學(xué)在天

文測(cè)量中的應(yīng)用（測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的"陳子測(cè)日法"，陳子約公元前6、7世紀(jì)人，相似形方法）。

勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之,

得邪至日。

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作是《九章算術(shù)》（東漢，公元100年）。它不是出自一個(gè)人之手,

是經(jīng)過(guò)歷代多人修訂、增補(bǔ)而成，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。中國(guó)儒家的重要

經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程"六藝〃（禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)）中有

一門是"九數(shù)"?！毒耪滤阈g(shù)》是由“九數(shù)"發(fā)展而來(lái)。在秦焚書（公元前213年）之前，至少已有

原始的本子。經(jīng)過(guò)西漢張蒼（約公元前256—152年，約公元前200年，西漢陽(yáng)武（今河南原陽(yáng)）

人）、耿壽昌（公元前73—49年，約公元前50年）等人刪補(bǔ)，大約成書于東漢時(shí)期，至遲在公

元100年。

全書246個(gè)問(wèn)題，分成九章：（1）方田（土地測(cè)量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、

圓形、環(huán)形、弓形、截球體的表面積計(jì)算，另有約分、通分、四則運(yùn)算，求最大公約數(shù)等運(yùn)算

法則；（2）粟米（糧食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介紹依等級(jí)分配物資

或按等級(jí)攤派稅收的比例分配算法；（4）少?gòu)V（開(kāi)平方和開(kāi)立方法）；（5）商功（立體形求體

積法）；（6）均輸（征稅），處理行程和合理解決征稅問(wèn)題，包括復(fù)比例和連比例等比較復(fù)雜的

比例分配問(wèn)題；（7）盈不足（盈虧類問(wèn)題解法及其應(yīng)用）；（8）方程（一次方程組解法和正負(fù)數(shù)）;

（9）勾股（直角三角形），介紹利用構(gòu)股定理測(cè)量計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)的問(wèn)題。所包含的數(shù)學(xué)

成就是豐富和多方面的，主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)

量的計(jì)算等，既有算術(shù)方面的，也有代數(shù)與幾何方面的內(nèi)容。

總之，《九章算術(shù)》有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式；算式都是從籌

算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。

它完整地?cái)⑹隽水?dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)成就，對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，如同《原本》對(duì)西方

數(shù)學(xué)發(fā)展的影響一樣深遠(yuǎn)，在長(zhǎng)達(dá)一千多年間，一直作為中國(guó)的數(shù)學(xué)教科書，并被公認(rèn)為世界

數(shù)學(xué)古典名著之一?！毒耪滤阈g(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正式形成。

2、中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的第二次高峰：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展

三國(guó)演義（中國(guó)，1998）o

從公元220年?yáng)|漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)

蕩時(shí)期，也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也

興起了論證的趨勢(shì)。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是尋求這兩

部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)

學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時(shí)期。

《九章算術(shù)》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。

2.1劉徽（魏晉，公元3世紀(jì)）（中國(guó)，2002）,淄鄉(xiāng)（今山東鄒平縣）人，布衣數(shù)學(xué)家，

于263年撰《九章算術(shù)注》，不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，

而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造，奠定了這位數(shù)學(xué)家在

中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位，成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。

劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)"（圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積）。在劉徽之前,

通常認(rèn)為"周三徑一"，即圓周率取為3o劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)："割之彌細(xì)，所

失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣"，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接正3072邊形

的面積，求出圓周率為392m250（=3.1416）（阿基米德計(jì)算了圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)）。

為方便計(jì)算，劉徽主張利用圓內(nèi)接正192邊形的面積求出15於0（=3.14）作為圓周率，后人常

把這個(gè)值稱為"徽率"。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家，并

享有國(guó)際聲譽(yù)。

讓我們來(lái)體會(huì)劉徽的“割圓術(shù)"。

劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現(xiàn)存中國(guó)古算著作看，在清代李善蘭

及西方微積分學(xué)傳入中國(guó)之前，再?zèng)]有人超過(guò)甚至達(dá)到劉徽的水平。2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)

獎(jiǎng)得主吳文俊院士指出："從對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的角度來(lái)衡量，劉徽應(yīng)該與歐幾里得、阿基米德相提并

論”。

劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之推進(jìn)和發(fā)展。

2.2祖沖之（429—500年），范陽(yáng)遒縣（今河北流源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做

過(guò)一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。

祖沖之："遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推。"

祖沖之的著作《綴術(shù)》，取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于

圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑

率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南

徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）從事史祖沖之，更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一

分五厘九毫二秒七忽，胭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈胭二限之間。密率,

圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！奔矗鏇_之算出圓周率在

3.1415926與3.1415927之間,并以355/113（=3.1415929...）為密率，2加（=3.1428...）為約率。

1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫（1875—1950年）在《中國(guó)和日本的數(shù)學(xué)之發(fā)展》里主張稱

35S/H3為祖率。

祖沖之如何算出如此精密結(jié)果，《隋書?律歷志》寫道：“所著之書，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能

究其深?yuàn)W，是故廢而不理”?！毒Y術(shù)》失傳了，沒(méi)有任何史料流傳下來(lái)。史學(xué)家認(rèn)為，祖沖之除

開(kāi)繼續(xù)使用劉徽的“割圓術(shù)""割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼

續(xù)算至圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間。

《綴術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理：幕勢(shì)既同則積不容異，在西方文獻(xiàn)中稱為卡瓦列里原理,

或不可分量原理，因?yàn)?635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598—1647年）獨(dú)立提出，對(duì)微積分

的建立有重要影響。

在數(shù)學(xué)成就方面，整個(gè)唐代卻沒(méi)有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲

美的數(shù)學(xué)大家，主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)（604

—672年）等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書》（約656年），即《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算

經(jīng)》（劉徽）、《孫子算經(jīng)》（約成書于公元400年，內(nèi)有“物不知數(shù)”問(wèn)題）、《夏候陽(yáng)算經(jīng)》（成書

于公元6、7世紀(jì)，內(nèi)有"百雞問(wèn)題"：今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。

凡百錢，買雞翁、母、雛各幾何）、《張邱建算經(jīng)》（張邱建，北魏清河（今邢臺(tái)市清河縣）人，

約成書于公元466—485年間）、《綴術(shù)》（祖沖之）、《五曹算經(jīng)》（北周甄鸞（字叔遵，河北無(wú)極

人）著）、《五經(jīng)算經(jīng)》（北周甄鸞著）和《緝古算經(jīng)》（約成書于626年前后，唐王孝通，內(nèi)有

三次方程及其根，但沒(méi)有解題方法）。十部算經(jīng)對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典有積極的意義，顯示了漢唐

千余年間中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平，是當(dāng)時(shí)科舉考試的必讀書（公元587年隋文帝開(kāi)創(chuàng)中國(guó)的科舉

考試制度，1905年清朝廢止科舉制度）。

3、中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的第三次高峰：數(shù)學(xué)全盛時(shí)期

北宋著名科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》，給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上，

整個(gè)宋元時(shí)期（960—1368年），重新統(tǒng)一了的中國(guó)封建社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變

化，以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到了鼎盛時(shí)期。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。

這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進(jìn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技術(shù)，其印刷出版、記載著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最

高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產(chǎn)。

下面介紹宋元時(shí)期的一些計(jì)算技術(shù)。

3.1賈憲三角

賈憲（約公元11世紀(jì)）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章

算術(shù)細(xì)草》的著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈

憲發(fā)明了"增乘開(kāi)方法"，是中算史上第一個(gè)完整、可推廣到任意次方的開(kāi)方程序，一種非常有

效和高度機(jī)械化的算法。在此基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了“開(kāi)方作法本源圖"（即"古法七乘方圖"或賈憲

三角），西方人叫"帕斯卡三角"或"算術(shù)三角形”，因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623—1662年）于1654

年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類似的小問(wèn)題》。

3.2隙積術(shù)

沈括（1030—1094年），北宋錢塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州

（今陜西延安市）知州，因1082年的"永樂(lè)城（今寧夏銀川附近）之戰(zhàn)”敗于西夏（1032—1227

年）而結(jié)束政治生涯，經(jīng)過(guò)6年的軟禁之苦后，開(kāi)始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中

以《夢(mèng)溪筆談》（1093年）影響最大，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域,

被英國(guó)著名科學(xué)史家李約瑟譽(yù)為“中國(guó)科學(xué)史的里程碑"。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要成就有兩項(xiàng)，會(huì)圓術(shù)

（解決由弦求孤的問(wèn)題）和隙積術(shù)（開(kāi)創(chuàng)研究高階等差級(jí)數(shù)之先河）。

3.3天元術(shù)

李冶（金、元，1192—1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時(shí)候，金朝（1115

一1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于

封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問(wèn)。1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》，該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)"（一

元高次方程）的著作，“天元術(shù)〃與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，稱未知數(shù)為天元，“立天元一

為某某"，相當(dāng)于"設(shè)x為某某"，可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽

注釋《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)"中云："正算赤，負(fù)算黑"，李冶感到用筆記錄時(shí)換色的不便，便在《測(cè)

圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù)。

“積財(cái)千萬(wàn)，不如薄技在身"。

李冶的天元術(shù)列方程：xA3+336xA2+4184x+2488320=0o

3.4大衍術(shù)

秦九韶（約1202-1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）

守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數(shù)

學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》，內(nèi)容分為九類：大衍類、天時(shí)類、田域類、測(cè)望類、

賦役類、錢谷類、營(yíng)建類、軍旅類、市易類，其中有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)

史上占有突出的地位。

《數(shù)書九章》是我國(guó)古算中最早用圓圈。表示。號(hào)的著作。

一是發(fā)展了一次同余組解法，創(chuàng)立了"大衍求一術(shù)"（一種解一次同余式的一般性算法程序,

現(xiàn)稱中國(guó)剩余定理，所謂“求一”，通俗他說(shuō)，就是求“一個(gè)數(shù)的多少倍除以另一個(gè)數(shù)，所得的余

數(shù)為一"）的一般解法。中算家對(duì)于一次同余式問(wèn)題解法最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》（約公元400年）

中的"物不知數(shù)問(wèn)題"（亦稱"孫子問(wèn)題”）：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七

七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？?！秾O子算經(jīng)》給出的答案是23,但其算法很簡(jiǎn)略，未說(shuō)明其理論根據(jù)。

秦九韶在《數(shù)書九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方，最早接觸一次同余式

的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170—1250年）于1202年在《算盤書》中給出了兩個(gè)一次同余

問(wèn)題，但沒(méi)有一般算法，1743年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783年）和1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯

（1777—1855年）才對(duì)一次同余組進(jìn)行了深入研究，重新獲得與中國(guó)剩余定理相同的結(jié)果。

二是總結(jié)了高次方程數(shù)值解法，將賈憲的"增乘開(kāi)方法"推廣到了高次方程的一般情形，提

出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)"（現(xiàn)稱秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼（1765

-1822年）才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無(wú)理根的近似值問(wèn)題，而1819年英國(guó)

數(shù)學(xué)家霍納（1786—1837年）才提出與“增乘開(kāi)方法"演算步驟相同的算法，西方稱霍納法。

3.5垛積術(shù)

楊輝（公元13世紀(jì)），南宋錢塘（今浙江杭州）人，曾做過(guò)地方官，足跡遍及錢塘、臺(tái)州、

蘇州等地，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》

（1261年）是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識(shí)而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇

了80道有代表性的題目，進(jìn)行詳解，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是“垛積術(shù)"，這是在沈括"隙積術(shù)"的

基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻(xiàn)是所謂的“楊輝三角”,

其實(shí)是記載了賈憲的工作。

3.6四元術(shù)

朱世杰（約1260—1320年），寓居燕山（今北京附近），當(dāng)時(shí)的北方，正處于天元術(shù)逐漸發(fā)

展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時(shí)期，朱世杰在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期游學(xué)、講學(xué)之后，終于在1299年和1303

年在揚(yáng)州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。

中國(guó)數(shù)學(xué)自晚唐以來(lái)不斷發(fā)展的簡(jiǎn)化籌算的趨勢(shì)有了進(jìn)一步的加強(qiáng)，日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)

更加普及，南宋時(shí)期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承?！端銓W(xué)啟蒙》

是一部通俗數(shù)學(xué)名著，出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學(xué)術(shù)成就而論，《四元玉鑒》遠(yuǎn)超《算

學(xué)啟蒙》，它是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，主要貢獻(xiàn)有四元術(shù)和招差術(shù)（高次內(nèi)插公式）。

四元術(shù)是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數(shù)最多可達(dá)四個(gè)，即天元、地元、人

元和物元。如《四元玉鑒》卷首"假令四草"之"四象會(huì)元"，其中四元布列意為即元?dú)猓ǔ?shù)項(xiàng)）

居中，天元（未知數(shù)X）于下，地元（未知數(shù)y）于左，人元（未知數(shù)Z）于右，物元（未知數(shù)

u）于上，所以上述方程指“1-^

朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說(shuō)道：《四元玉鑒》，其法以元?dú)饩又校⑻煸?/p>

一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰陽(yáng)升降，進(jìn)退左右，互通變化，錯(cuò)綜無(wú)窮。

清代數(shù)學(xué)家羅士琳（1774—1853年）在《疇人傳?續(xù)編?朱世杰條》中說(shuō)：漢卿在宋元間，與

秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱鼎足而三。道古正負(fù)開(kāi)方，仁卿天元如積，皆足上下千古，

漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上。

美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓（1884—1956年）說(shuō)：朱世杰是漢民族，他所生存時(shí)代的，同時(shí)也

是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家。

3.7內(nèi)插法

郭守敬（1231—1316年），順德邢臺(tái)（今河北邢臺(tái)）人，元代大天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、水利專

家和儀器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水監(jiān)事和昭文館大學(xué)士等官職。與太史令王恂（1235

一1281年，中山府（今河北定州）唐縣（今唐縣人），至元十八年（1281年），王恂喪父，去官

守孝。守孝期間，因悲傷過(guò)度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲），一同吸收了前代歷法

的精華，運(yùn)用宋金兩朝的數(shù)學(xué)成就（包括沈括的會(huì)圓術(shù)），使用了三次內(nèi)插公式，在1280年完

成了中國(guó)古代最精密的歷法《授時(shí)歷》。設(shè)定一年為365.2425天，比地球繞太陽(yáng)一周的實(shí)際運(yùn)

行時(shí)間只差26秒，早于歐洲1582年開(kāi)始使用的"格里歷"300年，使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)363年（1281

-1643年），中國(guó)古代的歷法也發(fā)展到了高峰。

此外，1276年，郭守敬根據(jù)鏡成象原理發(fā)明了"景符"測(cè)影器，制造了世界聞名的簡(jiǎn)儀、高

表、窺（kuD幾、仰儀、日唇（gui）、渾天象等12種天文儀器，元至元十三年（1276年）建造

的河南登封觀星臺(tái)留存至今。

古希臘數(shù)學(xué)以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以計(jì)算為中

心、具有程序性和機(jī)械性的算法化模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。這一時(shí)期創(chuàng)造的宋

元算法，如隙積術(shù)、大衍術(shù)、開(kāi)方術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)、天元術(shù)等在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的

地位。

4、中算的衰落

朱世杰可以被看作是中國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)性人物，是中國(guó)以籌算為主要計(jì)算工具

的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元（960—1368年）數(shù)學(xué)的絕唱。14世紀(jì)

中、后葉，明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，1370年明太祖朱元璋（1328

—1398年）規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，在國(guó)家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容，明初

起300余年內(nèi)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)全面衰退，致使明代大數(shù)學(xué)家看不懂宋元重要數(shù)學(xué)成就。

明清兩朝（1368—1911年）共543年，不僅未能產(chǎn)生出與《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》相媲美的

數(shù)學(xué)杰作，而且在18世紀(jì)中葉“乾嘉學(xué)派”重新發(fā)掘研究以前，像“四元術(shù)"這樣一些宋元數(shù)學(xué)的

精粹長(zhǎng)期失傳、無(wú)人通曉。

中國(guó)與西方科學(xué)發(fā)展示意圖。

思考題

1、簡(jiǎn)述劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。

2、用數(shù)列極限證明：圓內(nèi)楂正6?2yn｝邊形的周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)。

3、《九章算術(shù)》在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和意義如何？

4、試比較阿基米德證明體積計(jì)算公式的方法與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的球體積計(jì)算公式的推導(dǎo)方

法的異同。

5、更精確地計(jì)算圓周率是否有意義？談?wù)勀睦碛伞?/p>

6、分析宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)興盛的社會(huì)條件。

第四講.印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)

主要內(nèi)容：印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)述了10位科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。

1、印度數(shù)學(xué)（公元5—12世紀(jì)）

印度數(shù)學(xué)分為河谷文化時(shí)期（約公元前3000—前1400年）、吠陀時(shí)期（約公元前10—前3

世紀(jì)）、悉檀多時(shí)期（公元5-12世紀(jì)）。

1.1吠陀時(shí)期（公元前10—前3世紀(jì)）

《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）,《吠陀》（梵文，意為知識(shí)、光明）是印度雅利安人的作

品，成書于公元前15—前5世紀(jì)，歷時(shí)1000年左右，婆羅門教的經(jīng)典，其中的《繩法經(jīng)》（前

8—前2世紀(jì)）是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分（釋迦牟尼（公元前565—公

元前486年）傳揚(yáng)佛教時(shí)期，佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國(guó)（今尼泊爾境內(nèi)）王子喬達(dá)摩?悉達(dá)多

所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門徒稱他為佛）,

包含幾何、代數(shù)知識(shí)，如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近似值等。

阿育王（在位年代約為公元前268—前232年）是印度第一個(gè)信奉佛教的君主，阿育王石

柱（尼泊爾，1996）記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)字的最早形態(tài)。

公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可參考的資料主要是1881年發(fā)現(xiàn)的書寫在樺樹(shù)

皮上的"巴克沙利手稿〃（巴克沙利當(dāng)時(shí)和古代大部分時(shí)間屬于印度，今天位于巴基斯坦西北部

距離白沙瓦約80公里處的一座村莊），其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收

支與利潤(rùn)計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼，其中有"?"（點(diǎn)）

表示0,后來(lái)逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)在通用的"0",這一過(guò)程至遲于公元9世紀(jì)已完成，有公元876年的“瓜

廖爾石碑"為證，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明。

印度頭等重要的天文學(xué)著作，無(wú)名氏著的《蘇利耶歷數(shù)全書》（梵文，意思是太陽(yáng)的知識(shí)，

相傳為太陽(yáng)神蘇利耶所著）大約是公元5