高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) (39)(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（39）

一、單項選擇題（本大題共5小題，共25.0分）

1.如圖所示，在三棱錐P-48c中，AB1BC,AB=3,BC=2,點尸在

平面ABC內(nèi)的投影。恰好落在AB上，且4。=1,PD=2,則三棱錐

P-4BC外接球的表面積為（）

A.97r

B.107T

C.127r

D.147r

如圖，銳二面角a-的棱上有A,B兩點，直線AC,分別

在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.己知AB=4,

AC=BD=6,CD=8,則銳二面角a一1一0的平面角的余弦值是（）

A."B.|C.|D.

3

4

3.已知球的直徑SC=6,A、8是該球球面上的兩點，且4B=S/=SB=3,則棱錐S—ABC的體

積為（）

A「巫B*C/D*

4422

4.從長方體48。。一4/1的。1的頂點4發(fā)出的一束光線,依次經(jīng)平面8/6（7,。6。1。和。。送14反

射后到達(dá)頂點名.記光線與三個平面的交點依次為M,N,Q.若AB=五，AD=3,AA,=3vL

點尸在側(cè)棱CCi上，且不=2抽，則三棱錐P-MNQ的外接球的半徑為

A.立B.IC.在D.西

222

5.在長方體4BCD-AiBiG/中，AAt=AD=1,AB=2,P,Q分別為A。，CO的中點，過P,

Q的平面與底面AiBiGA交于R,S兩點，R,S分別在邑C「上，=%與棱441交于

點T,則直線TS與側(cè)面久久。4所成角的正切值為

A.1B.2C.V3D.在

，2

二、填空題（本大題共12小題，共60.0分）

6.空間四邊形A8C。中，AB=CD,且異面直線AB與CO所成的角為40。，E、尸分別為BC和AO

的中點，則異面直線EF和AB所成角的大小是.

7.如圖所示，正方體4BC。一41勺6。1的棱48=2,點E,F分別為棱BB[,CCi上的動點，記

a=4E+EF+D/.當(dāng)a取最大值時，三棱錐久-AEF的體積為匕，當(dāng)a取最小值時，三棱錐

C]_4EF的體積為瞑，則匕=：7=.

8.已知直線/和m是兩條不同的直線,它們都在平面a外.給出下列三個論斷:①，1m；@m//a；

③，la.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：

9.傳說中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來的.這定海神針在變形時永遠(yuǎn)保持

為圓柱體，其底面半徑原為12c”?且以每秒1c優(yōu)等速率縮短，初始高度不為零，且以每秒20a”

等速率增長.已知神針的底面半徑只能從12cm縮到4cm為止，且知在這段變形過程中，當(dāng)?shù)酌?/p>

半徑為10cm時其體積最大.假設(shè)孫悟空將神針體積最大時定形成金箍棒，則此時金箍棒的體積

為cm3.

10.有一根高為30cm,底面半徑為5c機(jī)的圓柱體原木（圖1）.某工藝廠欲37MA

將該原木加工成一工藝品，該工藝品由兩部分組成，其上部分為一歸

個球體，下部分為一個正四棱柱（圖2）.問該工藝品體積的最大值是

——--h

3O,

圖1圖2

11.在棱長為1的正方體4BCD-41B1C15中，P、。分別為棱BQ和BBi上的動點，則周長

的最小值為.

12.正方體力BCD-aBiaDi中，瓦F分別是BBi，CG的中點，則力瓦BF所成的角的余弦值是

13.如圖，正方體ABCD-的棱長為1,有下列四個命題:

①與平面BCO^i所成的角為45。；

②三棱錐A-aBD與三棱錐6-4BD的體積比為1：2；

③存在唯一平面a,使得平面a〃平面4BD且a截此正方體所得截面為正六邊形；

④過點A作平面a,使得棱AB,AD,A4在平面a上的正投影的長度相等，則這樣的平面a有且

只有一個；

上述四個命題中，正確命題的序號為

14.已知等邊三角形ABC的三個頂點都在以點。為球心、2為半徑的球面上，若三棱錐。-力BC的

高為1,則三棱錐。一ABC的體積為.

15.己知點F是拋物線C：/=丫的焦點，直線y=kx+；與拋物線C交于點A,與x軸交于點B.若

A為8尸的中點，則以線段F8為半徑的球的體積為.

16.動點尸從正方體ABCD-A/iGDi的頂點4出發(fā)，沿著棱運動到頂點好后再到A,若運動中恰

好經(jīng)過6條不同的棱，稱該路線為“最佳路線”，則“最佳路線”的條數(shù)為（用數(shù)字作答

）.

17.已知球的表面積為20兀，球面上有A、B、C三點.如果4B=4C=2,BC=2班,則球心到平

面48c的距離為.

三、解答題（本大題共12小題，共144.0分）

18.如圖，在四棱錐P—4BC0中，底面是邊長為2的正方形，PA=PD=EE為PA中點，點F

在上且EF_L平面PCD,M在。C延長線上，F(xiàn)H//DM,交PM于H,且FH=1.

⑴證明：EF〃平面PBM；

(2)求點M到平而ABP的距離.

19.如圖,是一塊半徑為4米的圓形鐵皮，現(xiàn)打算利用這塊鐵皮做一個圓柱形油桶.具體做法是從。。

中剪裁出兩塊全等的圓形鐵皮OP與OQ做圓柱的底面，剪裁出一個矩形A8C。做圓柱的側(cè)面(

接縫忽略不計),A8為圓柱的一條母線，點A,8在。。上，點P,Q在。。的一條直徑上,4B〃PQ,

OP，OQ分別與直線8C、AD相切，都與。。內(nèi)切.

P

(1)求圓形鐵皮。P半徑的取值范圍；

(2)請確定圓形鐵皮0P與。Q半徑的值，使得油桶的體積最大.(不取近似值)

20.如圖，在四面體A8CD中，平面ABC_L平面ACD,BC1CD,AB=BC.

(1)求證：AB1CD.

(2)若BC=CO=2,AC=2V3,求二面角C一AB—0的正弦值.

21.如圖，四邊形A8CD為矩形，4PDA=ZPDC=90°,PD=DC=2,BC=魚，E是PC的中點.

(1)證明：PA〃平面EDB；

(2)求異面直線AO與8E所成角的大小.

22.如圖所示，四面體A-BCD被一個平面所截，截面是一個矩形.

(1)求證：C。〃平面EFG”；

(2)求異面直線AB、CO所成的角.

23.將2張邊長均為1分米的正方形紙片分別按甲、乙兩種方式剪裁并廢棄陰影部分.

(1)在圖甲的方式下，剩余部分恰能完全覆蓋某圓錐的表面，求該圓錐的母線長及底面半徑；

(2)在圖乙的方式下，剩余部分能完全覆蓋一個長方體的表面，設(shè)該長方體底面一邊長為x分米

(如圖)，求該長方體的體積V(x)及V(x)的最大值.

24.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC力是正方形.點E是棱PC的中點，平面4BE與棱

交于點F.

(1)求證：AB//EF-,

(2)若PA=4。，且平面PAD1平面ABC。，求證：AF1平面PCO.

25.四棱錐P-ABCD的底面ABC。是直角梯形=^ABC=90°,

PAABCD,PA=AD=2,BC=AB=1,E為P￡>的中點.

(1)求證：CE〃平面PAB；

(2)求PA與平面ACE所成角的正弦值.

26.在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面△PAD為正三角形，底面4BCO為棱長AB=2,乙4BC=60。的菱

形，平面48co_L平面PAD.M,N分別是AZ)與尸。的中點，E在AP上且荏=工而.

4

(1)證明ME1平面MNC；

(2)若F為PA上一點，當(dāng)二面角尸—CN—M為直二面角時，求直線B尸與平面ABCD所成角的

正弦值.

27.如圖，在底面為菱形的四棱錐P-4BCD中，乙4BC=60°,PA=AC=

PB=PD=V2.點E在尸。上，且PE：ED=2：1.

(I)求證：P41平面A8CD；

(D)求二面角E-AC-D的正弦值；

(IE)在棱尸C上是否存在一點F,使得BF〃平面EAC?若存在，試求

出PF的值：若不存在，請說明理由.

28.如圖，在正三棱錐S-4BC中，M,P,。分別為棱SC,SA,A8的中點，R為棱BC上一點，且

BC=4BR.

(1)證明：4M〃平面尸。R；

(2)若4s=AB=4,求三棱錐P-QRB的體積.

29.已知四邊形SBCD,點A為線段的中點，且4S4B=乙SDC=90°,AD=2DC=2,

AB=SD=4,現(xiàn)將△S4B沿AB進(jìn)行翻折，使得Z54D=90°,得到圖形如圖所示，連接SC,AC.

(1)若點尸在線段SC上，證明：BDLAF-.

(2)若E點為SB的中點，求點B到平面AEC的距離.

【答案與解析】

1.答案：。

解析：

結(jié)合已知構(gòu)造直三棱柱PAB-MNC,則直三棱柱P4B-MNC的外接球即為所求，球心。為直三棱

柱上下底面三角形外接圓圓心連線的中點，結(jié)合球的性質(zhì)及勾股定理可求.

本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

解：由題意可知，PDABC,POu平面PAB,

所以平面P4BJ_平面ABC,

又因為AB1BC,平面P4B0平面ABC=AB,

所以BC1平面PAB,

構(gòu)造直三棱柱248-MNC,如圖，

則直三棱柱P4B-MNC的外接球即為三棱錐P-ABC的外接球,

球心。為直三棱柱上下底面三角形外接圓圓心連線的中點，

因為PDJ.AB,PD=2,AD=1,BD=2,

則PA=y/PD2+AD2=V5.乙PBD=彳，

△/MB中，由正弦定理可得外接圓半徑為焉=零，

2

2sin4-

???外接球半徑為J1+嚕2="，

???三棱錐P-ABC外接球表面積為47rx（手）2=147n

故選：D.

2.答案:B

解析：

本題主要考查二面角和余弦定理，屬于中檔題.

首先過B點作BE〃4C,且BE=4C可得出4DBE是二面角a—1-夕的平面角，RABiffiDUE,然后

根據(jù)題意計算出QE的長，利用余弦定理進(jìn)行計算即可.

解：過B點作BE〃/IC,S.BE=AC,

vAC1AB,

:.BE1AB,

vBD1ABfBDC\BE=B,

???408E是二面角a—I-夕的平面角，且481面DBE,

???AB1DE,

??CE1DE,

vAB=4,CD=8,

DE=y/CD2-CE2=V82-42=4%，

，八BE2+BD2-DE236+36-481

JCOS乙DBE=-------------------------=------------------=

2BEBD2X6X63

故選B.

3.答案：D

解析：

本題考查棱錐體積的求法，設(shè)球心為例，三角形ABC截面小圓的圓心為01，根據(jù)條件作出對應(yīng)的直

觀圖，求出棱錐的高和底面邊長，計算出錐體的體積即可.

解：設(shè)經(jīng)過A、B和SC垂直的截面小圓的圓心為。1，

因為SC為直徑，所以z54c=90。，所以A。=/SC2-S>P=匹,

又SC，OH，所以。|八=絲20=包竺=善，同理QB=或，

SC622

所以三角形AO1B為等腰三角形，設(shè)高為力，則仁J（亨）2_鏟=竽,其面積

013g...9\/2

=5XF-X3=-p'

^S-AHC=^S-OiAB+=彳（SAQ.ABXO|S+-S&cx

JJ

4.答案：C

解析：

本題考查幾何作圖以及三棱錐的外接球，屬于較難題.解題關(guān)鍵在于運用光線的反射原理，根據(jù)對稱

性確定光線在三個平面的反射點，然后根據(jù)條件可以發(fā)現(xiàn)三棱錐N-MPQ的三條側(cè)棱NQ,NM,NP

兩兩垂直，故可將三棱錐N=MPQ補(bǔ)形成長方體計算外接球的半徑.

解：把長方體4BCD-48傳1。1左右兩側(cè)拼接與長方體4BC。一&B1GD1相同的長方體ADGH-

A1D1G1H1^BEFC-B1E1F1Cl,

則四邊形與F&GiG的邊長都為3夜的正方形，

點A與E關(guān)于平面BBiGC對稱，點名與當(dāng)關(guān)于平面4415。對稱，分別取E/與FG1的中點/與

則四邊形G/i〃i與EF/J的邊長都為3的正方形，〃1，平面F&G1G,“山與E/】關(guān)于直線〃1對稱，

所以根據(jù)光線反射原理，點N與。重合，HJi與平面4DD14,Eh與平面BCC$i的交點分別為Q,

M,

且MQ=2,MN=NQ=或，4MNQ=90°.

因為#=2PC.由平面幾何知識可得PN=1,連接&G,則點P為尸忑與CCi的交點，在正方形FFiGiG

中，

&G1G1F,又&GJ_EF,所以&G_L平面EFGi"i，即FGL平面MNQ,

PN1平面MNQ,故三棱錐N-MPQ的三條側(cè)棱NQ,NM,NP兩兩垂直,

將之補(bǔ)形為棱長企,也,1的長方體，可計算其外接球半徑R=等亙=亨,

故選C.

5.答案：A

解析：

本題考查線面角的解法，難度適中.首先完成截面尸。?5,利用平行得比例，解得BiS=g

L4

4j=|,可得解.

解:如圖，延長PT交54的延長線于點E,連接ES,則E,S,R三點共線,且直線75與側(cè)面所成

的角為NST4.連接&G,因為PQ〃&G,PQ〃RS,所以RS〃&G,所以修=誓■，因為AB=2,

B.S=p所以黑=；，因為AD=1，所以//?=：.因為&R〃/1住，所以氏=震，所以&E=

同理得，A1T=l，所以tan/SMi=等=1

5I/

故選A.

6.答案：70?；?0。

解析：

本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,

考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.

取4c的中點G,連接GE與GF,根據(jù)題意求出NFGE的大小，然后根據(jù)AB=CD則GEGF，可

求出E尸與AB所成的角.

解：取AC的中點G,

連接GE與GF,則AB與CD(異面直線)所成角為30。,

?.EG//AB,FG//CD,

.?.NEGF=40或NEGF14(),

而ABCD.

則GE—GF，

.-.ZCEF=7()或NCEF=20.

.-.EF與48所成的角是7()或2().

故答案為70或20.

7.答案：|;3

解析：

本題考查了三棱錐的體積和組合體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

第一空根據(jù)V|V[E『；WBLABC的出答案；第二空：根據(jù)等體積法求出/，然后可以求出機(jī)

解：（1）顯然，當(dāng)E與當(dāng)重合，尸與C重合時，a取最大值，此時V|V正方曲一4VB「ABC..

O

(2)

如圖，當(dāng)E,尸為三等分點時，。取最小值，取棱的三等分點G,

易得GF//力E,GFC面。遇E,AEu面

所以GF〃面DiAE,

所以匕=^F-D1AE-^G-DiAE~^E-D^AG

=-x(-x2x-)x2=-,

3、23,9

所以a=3.

V2

故答案為I；3

8.答案：若/_La,11m,則m〃a

解析：解：由/,機(jī)是平面a外的兩條不同直線，知：

若，_La,/1m,則?n〃a.

故答案為：若［1a,，1?n,則m〃a.

由/,根是平面a外的兩條不同直線，利用線面平行的判定定理得若，_La,，_Lm,則m//a.

本題考查滿足條件的真命題的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查

推理能力與計算能力，屬于中檔題.

9.答案：1(了萬

解析：

設(shè)原來定海神針的長度為acm,?秒時神針體積為V(t),則V(t)=n(12-t)2?(a+20t),0<t<8,

求導(dǎo)，求出a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的最值在實際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題.

解：設(shè)原來神針的長度為a。"，f秒時神針體積為V(t),則l/(t)=兀(12-t)2.(a+20t),其中

0<t<8.

所以v[t)=[-2(12-t)(a+2(R)+2<)(12-t)2]^.

因為當(dāng)?shù)酌姘霃綖閘Ocro時其體積最大，所以10=12-3解得t=2,此時，'(2)=0,

解得Q=60,

所以V(t)=7T(12-t)\(60+23),其中0<t<8,

V(2)=1()47T,

故答案為10%

10.答案：1000+等兀

解析:

本題考查了幾何體的體積和導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

設(shè)球的半徑為r,(0<r<5),v(r)=蜉+(50產(chǎn)(302r)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可.

解：設(shè)球的半徑為r,(0<r<5),正四棱柱的高為30-2r,

由底面半徑為5cm的圓柱可得正四棱柱底面邊長為5VL

則該工藝品體積為v(r)=與-+(5\/2)2(3()2r)

M

4仃3

=——l(M)r+1500，(0<r<5),

v(r)=4?rr2一KM),

5

令i/(r)=。得r=萬€(0耳

J)時，vz(r)<0；

當(dāng)rW(0,當(dāng)rW(行，5)時,v\r)>0,

所以貝r)在(().上單調(diào)遞減，在(合?5)上單調(diào)遞增,

v(0)=1500,v(5)=1000+深7T>1500,

所以當(dāng)r=5時，該工藝品體積的最大值是1000+拳江,

故答案為1000+

11.答案：74+2V2-

解析:

本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，以及對稱點的運用.由對稱點，求出最短距離，得到三角形周長的最小

值.

解：將三角形D1C/繞軸旋轉(zhuǎn)到平面OiOB,由三角形全等易知，C]P=DP；

同理將平面BCG/繞軸BBi旋轉(zhuǎn)到與對角平面DiDBBi所處同一平面上，則三角形C】PQ的周長的最

小值轉(zhuǎn)化為對角平面矩形的對角線長，

由勾股定理計算得J（或+1）2+/=V4+2V2.

故答案為J4+2a-

12.答案：1

解析：

本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線找出異面直線所成的角，再選擇合適的三角形，

利用余弦定理或銳角三角函數(shù)來計算，考查空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.

取的中點G,由GA〃BF得出異面直線AE與BF所成的角為NG4E,然后在AGAE由余弦定理計算出

COSZ.GAE,可得出結(jié)果.

解：取的中點G,由GA〃BF且G4=

可得NG4E為ZE,BF所成的角，

設(shè)正方體棱長為1,AGAD中利用勾股定理可得AE=4G=1+三=匹,

\42

又EG=近,

由余弦定理可得2=￡+e_2x迪X遺cosNEAC.，

4422

/.cosZEAG?.

5

故答案為a

13.答案：①②③④

解析：

本題考查了空間位置關(guān)系的判定、三棱錐體積計算公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

如圖所示，

①公當(dāng)與平面BCD14所成的角為乙8通潭，求出即可判斷出正誤；

②利用三棱錐的體積計算公式即可得出A-4BD的體積V,三棱錐6-AiBD的體積=I3-4V,即

可得出體積比；

③存在唯一平面a,使得平面a〃平面&BD且a截此正方體所得截面為正六邊形，如圖所示EFGHKL,

E,F,G,H,K,￡分別為各棱的中點；

④滿足條件的平面a有且只有一個，是經(jīng)過點A且與直線力G垂直的平面.

解：如圖所示，

①與平面BCD1&所成的角為NB1&B=45°,正確；

②三棱錐A—4BD的體積=?x；xl2=g三棱錐的體積=13—4X：=；,因此體積比

=1：2,正確;

③存在唯一平面a,使得平面a〃平面且a截此正方體所得截面為正六邊形，

如圖所示平面EFGHKL,E,F,G,H,K,L分別為各棱的中點，正確；

④過點A作平面a,使得棱AB,AD,在平面a上的正投影的長度相等，

則這樣的平面a有且只有一個，是經(jīng)過點4且與直線AC1垂直的平面，正確.

上述四個命題中，正確命題的序號為①②③④.

故答案為：①②③④.

14.答案:隨

4

解析：

本題考查棱錐體積的求法和組合體的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是

中檔題.

由題意畫出圖形，求解三角形可得正三棱錐0-ABC的底面邊長，再由棱錐體積公式求解.

I2I2

解：設(shè)等邊△ABC的邊長為〃I,則Jm2屋m)x|+#=22,所以m=-3(舍)或m=3,所以

V

-:^O-ABC=|xgx3x3xsin60。)x1=乎

故答案為出

4

15.答案：瞿

解析：

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，以及球的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

由題意和拋物線方程可得焦點坐標(biāo)，進(jìn)而推出直線過焦點，由拋物線的定義和性質(zhì)易得|FB|,代入

球的體積公式計算可得答案.

解：由拋物線方程可得p=右拋物線的焦點F(0,1),

所以直線y=kx+；過拋物線的交點尸，

因為4為8尸的中點，點8在x軸上，

所以由中點坐標(biāo)公式可得力=j

O

又因為A在拋物線上，

所以|尸川|FB|=2|FA|=：,

故以線段FB為半徑的球的體積為U=?兀x?3=工.

故答案為答

1O

16.答案：18

解析:解:從A點出發(fā)有3種方法,(兒B,D),假如選擇了4】，則有2種選法到G，再從G出發(fā)，若

選擇了(B「或5)，則只有一種方法到A,若選擇了C,則有2種方法到A,

故“最佳路線”的條數(shù)為盤6(1+2)=18種，

故答案為：18

根據(jù)分步計數(shù)和分類計數(shù)原理即可求出答案

本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及棱柱的結(jié)構(gòu)特征，關(guān)鍵掌握分部和分類計算原理，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：V3

解析：

本題考查了球的表面積，幾何體的外接球，屬于中檔題.

設(shè)球心為。，則M。1面ABC,可得球半徑R=V5-R2=6BC)2+d2,d=遮即可.

解：AB2+AC2=BC2,.?.△ABC的夕卜心是5c中點M

設(shè)球心為0,則M。，面48C,

??,球的表面積為20兀，球半徑R=V5

R2=(|BC)2+d2,d=

故答案為

18.答案：(1)證明：取尸8的中點G,連結(jié)EG,HG,

則EG〃力B,且EG=1.

因為FH〃DM,交PM于H,且FH=1,AB//DM,

所以4B//FH,因止匕EG//FH且EG=FH,

即四邊形EFHG為平行四邊形，

所以EF//GH.

又因為EF仁平面PBM,GHu平面PBM,

所以E/V/平面PBM.

(2)解：因為EF_L平面尸CD，COu平面PCD,所以EF1CO.

又因為四邊形ABC。是邊長為2的正方形，所以4D1CC.

又因為直線E尸與4D顯然相交，EFu平面PAD,2Du平面PAD,

所以CD_L平面PAD,

而COu平面ABCD,因此平面ABC。1平面PAD.

取4。的中點0,連結(jié)P。，因為P4=PD,所以PO1/4D.

又因為平面4BCDn平面P/W=40,POc?PAD,

所以P。J_平面4BCD,ABu平面ABC。，PO1AB,

在等腰△P40中，因為P4=PD=g,AD=2,

所以P。=>JPA2-AO2=V17-1=4.

又因為4B_L4D,POLAB,ADQPO=0,

ADu平面PAD,POu平面PAD,所以AB1平面PAD.

設(shè)點M到平面ABP的距離為h,利用體積等量得VMYBP=VP-ABM'

即2x工x2xV17xh=-x-x2x2x4,

3232

解得仁得=萼，

因此點M到平面PAB的距離為亞亙.

17

解析：本題主要考查了空間中的距離，三棱錐的體積，線面平行的判定，線面垂直的判定，屬于中

檔題.

(1)取PB的中點G,連結(jié)EG,HG,利用平面幾何知識得EF〃GH,再利用線面平行的判定得結(jié)論;

⑵利用線面垂直的性質(zhì)EF_LCD,可證CDJ■平面以力，再證平面ABCDJ?平面PAD取4。的中點

O,連結(jié)P。，可得P。_L平面ABCD,可得4B平面PAQ,設(shè)點加到平面A8P的距離為人，利用

^M-ABP=^P-ABM9計算得結(jié)論?

19.答案：解：(1)記OP與8C相切與點M,記OP,OQ的半徑為r,則48=8-4r,0M=4-2r,

BM=274丫一廣，要想圍成圓柱，則BCW2BM,即2仃忘4/^不，解得rW71L

即OP半徑的取值范圍為(0.1冬.

(2)V=OT2(8-4r)=47r(2/—J),記f(r)=2,-r€(Q,,

r(r)=4r-3r2,令0(r)=0,解得以=0"2=/所以當(dāng)re(0彳)時，尸")>0,f(r)遞增，

3-YE=4M=y-？>(),所以在定義域上，體積隨著廠的增大而增大，

珀。2

344-TT23(4+7T)3(4+TT2)

所以r,時，體積最大.

4+7T-

解析：本題考查直線與圓的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用.

(1)記0P與BC相切與點M,記。P,0Q的半徑為r,則AB=8-4r,0M=4-2r,

BM=2V4r-r2.要想圍成圓柱，則BCW2BM,即2TTT《4，一—產(chǎn)，解得即可求出OP半徑的取

值范圍；

⑵V=7n-2(8-4r)=47r(2尸—J),記f(r)=2--r?.r€((),,對f(r)進(jìn)行求導(dǎo)得當(dāng)

\4+7T-

re(0,9時，f(r)遞增，即有1,16vX),所以在定義域上，體積隨著/?的增大而增大，所以

\3/34.77~

r,1(，，時，體積最大.

4+7T?

20.答案：(1)證明：取4c的中點E,連接BE.

因為AB=BC,所以BE_LAC.

又因為平面ABC_L平面AC。，平面ABCn平面AC。=AC,

所以BEJL平面ACD.

因為CDu平面AC￡?,

所以BE1CD.

又因為BC1CD,RBEDBC=B,

所以CD，平面ABC.

因為力Bu平面ABC,

所以AB1CD.

(2)解：以C為坐標(biāo)原點，DC，就的方向分別為x軸、y軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

C—xyz.

則C(0,0,0),。(一2,0,0),8(0,-2,0),7l(0,-3,V3).

AB=(0,1,-V3),BD=(-2,2,0).

平面ABC的法向量為而=(-2,0,0).

設(shè)為=(x,y,z)為平面ABD的一個法向量，

則|為,通=0,即jy—百z=。，

lnx-BD=0,1—2%+2y=0,

取z=1,得五i=(73,73,1),

cos體，助=W=一苧，sin伍1，西=§

所以二面角C-AB-。的正弦值為空.

7

解析：本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以及用空間向量求二面角，屬于中檔題.

(1)利用等腰三角形的性質(zhì)得出BE_LAC,利用面面垂直的性質(zhì)得出BE1CD,從而利用線面垂直的

判定定理得出CD_L平面ABC,由線面垂直的性質(zhì)定理得出AB1CD；

(2)以C為坐標(biāo)原點，泥，團(tuán)的方向分別為x軸、y軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

然后寫出坐標(biāo)進(jìn)行求解即可得.

21.答案：證明：(1)連接AC,設(shè)ACCiBD=。，連接EO,

???四邊形ABC。為矩形，；.。為AC的中點.

0E為△PAC的中位線.PA//OE,

而OEU平面EDB,PA仁平面EBD,PA〃平面EDB.

(2)AD//BC,

NCBE就是異面直線AD與BE所成的角或補(bǔ)角.

VZPDA=NPDC=：,即PD，DA.PD_LDC.

DAHDC=D,DA,DCu平面ABC。，

PD±平面ABCD,

BCu平面ABCD,

???BC1PD.

又四邊形ABC。為矩形，

???BC1DC.

又因為PDnDC=D,PD,DCu平面尸。C,

所以BC_L平面PDC.

又PCU面PDC,

???BC1PC,

在RtABCE中BC=/，EC=[PC=e,

ZCBE=

I

即異面直線AD與BE所成角大小為*

解析：本題考查線面平行的判定定理和異面直線的夾角，屬于中檔題.

(1)利用線面平行的判定定理證明PA//平面EDB.

(2)利用AD〃BC,將異面直線A。與BE所成的角，轉(zhuǎn)化為平面角.

22.答案：證明：(I)、?四邊形EFGH為平行四邊形，

EF//GH,

???EFC平面BCD,GHu平面BCD,

EF〃平面BCD,

又EFu平面ACD,平面BCDn平面ACC=CD,

EF//CD,

?：EFu平面EFGH,CD，平面EFGH,

C。〃平面EFGH；

(2)由(1)可知EF//CZ),EF//GH,可得CC〃GH,同理可證GF〃AB,

二ZEFG就是異面直線48、CD所成的角

???四邊形EF”G是一個矩形，可得NEFG=90°,

???異面直線A3、8所成的角為90。.

解析：本題考查線面平行的判定，異面直線所成角的求法，考查空間中直線與直線，直線與平面的

位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

(1)利用線面平行的判定定理，結(jié)合矩形性質(zhì)，證出EF〃平面88,再利用線面平行的性質(zhì)定理證

出EF//CD,由此即可證出CD〃平面EFGH;

(2)由(1)的結(jié)論可證出/EFG就是異面直線AB、CD所成的角，然后再在矩形EFG”中根據(jù)

乙EFG=90。即可得解.

23.答案：解：(1)設(shè)圓錐的母線長及底面半徑分別為/,廠，

X2Tti=2nr,

4

I+r+V2r=V2,

5V2-2

V----------.

解得六B

.20V2-8

所以圓錐的母線長及底面半徑分別為變已分米，這二分米.

2323

(2)設(shè)被完全覆蓋的長方體底面兩邊長分別為x,y,高為z,

則^^3,解喉I1.

則長方體的體積為

V=xyz=尤(x-(1-x)

=—/+/_",|<x<l.

所以V(x)=-3x2+3x-j.

令V(x)=O,得％或x=［一?(舍去).

列表如下：

1,V3

X職+粉I+T&+》)

%)+0—

U(x)7極大值

所以當(dāng)％=工+或時，vmax=—.

26max36

所以長方體體積的最大值為里立方分米.

36

解析：本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)和表面積公式及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬中檔題.

(1)設(shè)圓錐的母線長及底面半徑分別為/,/?,則卜x2ti1=271「解得圓錐的母線長及底面半徑即可;

(2)設(shè)被完全覆蓋的長方體底面兩邊長分別為x,y,高為z,則解得

列出則長方體的體積為/=xyz=久(x-m(1-X)=—#3+|%2-1<X<1,利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的最值即可.

24.答案：解：(1)證明：因為底面A3。是正方形，

所以4B〃C。，又因為4B<t平面PC。，COu平面尸CD,

所以4B//平面PCD,

又因為A,B,E,尸四點共面，且平面4BEFCI平面PCD=EF,

所以4B〃EF；

(2)證明：在正方形ABC￡>中，CDLAD,

又因為平面PAD1■平面ABCD,

且平面PADn平面力BCD=AD,因為CDu平面ABCD,

所以COJ?平面PA。，又4Fu平面PA。，所以C014F.

由(1)可知4B〃EF,

又因為AB〃CD,所以CD〃EF.

由點E是棱PC中點，所以點尸是棱中點.

在A/MD中，因為PA=AD,所以4F1PD.

又因為PDnCO=O,PD,COu平面尸CD,所以AF_L平面PCD

解析：本題考查線面平行的性質(zhì)，平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查學(xué)生分析解

決問題的能力，屬于中檔題.

(1)證明：AB〃平面PCD,即可證明4B〃EF；

(2)利用平面R4D1平面ABCD,證明CD1AF,PA=AD,所以AF1PD,即可證明”JL平面PCD.

25.答案：解：（1）證明：取PA的中點R連接FE、FB,如圖,

則尸E//40,SLFE=\AD,

???BC//AD,且BC=^AD,則EF=BC，

???BCE尸是平行四邊形，CE//BF,

而BFu平面PAB,CE,平面PAB,

二CE〃平面PAB；

(2)取AO的中點G,連接EG,

???E為PC的中點，

EG//AP,

???EG與平面ACE所成的角的正弦值即為PA與平面ACE所成角的正弦值，

連接3G交AC于。，連接0E,

???PA1底面ABCD,ACu底面ABCD,

：.PA1AC,

：.AC1EG,

又：直角梯形A8C。中，/.DAB=/.ABC=90°,BC=AB=1,PA=AD=2,G為A￡>的中點,

???四邊形BCGA為正方形，故ACLBG,

???EGCBG=G,EG、BGu平面OEG,

■.AC_L平面OEG,

"ACu平面ACE,

平面ACE，平面OEG,

過G作GH1OE,交OE于H,

???平面ACECl平面OEG=OE,GHu平面OEG,

：.GH，平面ACE,

.?.NGEH為EG與平面ACE所成的角，即NGEO,

由EG=；P4=1,GO=-1可得EO=漁，

222

可得sinNGE。=—=—,

EO3

則PA與平面ACE所成角的正弦值為隹.

3

解析：本題考查了線面平行的判定，考查了求線面角的方法，解答的關(guān)鍵是通過線面垂直求得線面

角，屬于中檔題.

(1)要證CE〃平面PAB,只要證明CE平行于平面PAB內(nèi)的一?條直線即可，由￡為的中點，可聯(lián)

想找PA的中點F,連接EF、BF后,證明BCEF是平行四邊形即可證得答案；

(2)取A。的中點G,連接EG,則EG〃4P,問題轉(zhuǎn)化為求EG與平面ACE所成的角的正弦值.連接

8G交AC于O,連接0E,證得平面ACE_L平面OEG,兩平面交于直線0E,過G作GH10E,交

0E于H,可得NGEH為EG與平面ACE所成的角，即NGEO,運用解直角三角形，即可得到所求值.

26.答案：(1)證明：因為底面A8CQ為棱長力B=2,且NB=60。的菱形，

所以△40C為正三角形，

又RPAD也為正三角形，且平面4BCC，平面PAD,

M,N分別是AO與的中點，

所以PM_L4D,CMLAD,PM1CM,

以M為原點MC為x軸，MD為y軸，MP為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則4(0,T,0),B(VI,-2,0),C(V3,0,0),D(0,l,0),M(0,0,0),N(0祗冷,

P(0,0,V3)，

又荏.而得E(0,Vf),

二碇=(°，4嗎，祝=(祗°，°)，而=(%當(dāng)，

砒?前=0,而?麗=0，

MC1ME,MN1ME,

MCCMN=M,

ME_L平面MNC；

(2)設(shè)F(0力，c),又F為PA上一點，則設(shè)兩=tb?,0WtW1,

(0,b,c—V3)=(0,—t,-V3t)>

F(0,-t,V3-V3t),CF=(-V3,-t,V3-V3t)，CN=(-V3,1,y)>

設(shè)平面CNF的法向量元=(x,y,z),

1ml伍?CN--V3x+、+fz=0

n-CF=-V3x-ty+(V3-V3t)z=0

取x=l,則卜8+1+梟=。①

-V3-ty+(V3-V3t)z=0②

①X2t+②可得z=2t+l,進(jìn)而y=W-2遮t,

得有=(l,V3-2V3t,2t+l),

vME1平面CMN,

平面CMV的法向量為詬=(0,一：,?)，

???二面角F-CN-M為直二面角，

n?=1x0+(V3-2V3)X(--)+(2t+1)X—=0,

解得t=：,故F(0,-斗)，

麗=(一遍平)，

又由MP_L平面A8C￡>得平面ABCD的法向量和=(0,0,73).

故直線B尸與平面ABCD所成角為a,

則有sina=|cos<MP,^F>

解析：本題考查線面垂直的判定及線面夾角與二面角，考查空間思維能力及計算求解能力，屬于中

檔題目.

(1)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，由荏=：而得出E點坐標(biāo)，得出而?祝=0,而?麗=0，即

可得到MEJ_平面MNC；

（2）設(shè)出尸（0力，c）,設(shè)方=t瓦?,04t〈1得出F（0,-t,我一遮t）,而=百一百t）及

CN=（一6彳,與），求出平面CNF得法向量，再由（1）得出平面CMN的法向量，由二面角F-CN-M

為直二面角得出關(guān)系式求出/,得出F點坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線8尸與平面A8CO所成角的正弦值.

27.答案：解：（I）證明：???底面488為菱形，""=60。

???AB=AD=AC=1,

?.?在中，PA=AB=1,PB=五,

PA2+AB2=PB2,

：.PA1AB

同理，在△PAD中，可證P力_L4D,

"ABdAD=A,ABu平面ABC。，ADABCD,

PA1平面ABCD.

（H）以A為原點，過A點垂直于平面PAQ的直線為x軸,

直線A。、AP分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4(0,0,0),8(，,—0),0),

0(0,1,0),P(0,0,1),E(o,沾71，

則前=（苧g,0）,荏=（0,|》

設(shè)平面EAC的法向量為五=（x,y,z）,

佟%+1=0

＜：5：o得[|y+]=o

令x=1,則y=-V3,z=