高中數(shù)學-綜合試卷-新人教A版必修2

立體幾何測試題（二）

一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分,在每小題給出

的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.點A在直線/上，/在平面a外，用符號表示正確的是（）

A.Aw/,/史aB.Ae1,1TaC.Aul」.aD.Aul,lea

2.以下四個結論：

①若aua,bu0,則。，匕為異面直線；

②若aua力則為異面直線；③沒有公共點的兩條直線是

平行直線；

④兩條不平行的直線就一定相交。其中正確答案的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

3.已知P為△A3C所在平面a外一點，PA=PB=PC,則P點在平面a內

的射影一定是△ABC的（）

4、內心B、外心C、垂心D、重心

4.下面敘述正確的是（）

A.過平面外一點只能作一條直線與這個平面平行；

B.過直線外一點只能作一個平面與這條直線平行；

C.過平面外一點只能作一個平面與這個平面垂直；

D.過直線外一點只能作一個平面與這條直線垂直.

5.（如右圖）正方體A5CQ—AiSGQ中，AC與5。所成的角為（)

A、兀B、-

~64"f

6.一條直線和兩異面直線b,c都相交，則它們可以確

定（）

A.一個平面B.兩個平面C.三個平面D.

四個平面

7.直線Q與平面e所成的角為30°,直線人在平面a內，若直線。與b所

成的角為*，則（）

A.0°<^<30°B.0O<^<90°C.30°<^<90°

D.30°<^<180°

8.一個簡單多面體的各面都是三角形，且

有6個頂點，則此簡單多面體的面數(shù)是

（）

A.4B.6C.8

D.10

9.有共同底邊的等邊三角形48C和BCD所在

平面互相垂直，則異面直線A3和CD所成

角的余弦值為（）

A.1B.1C.皂n*

344

10.（理）在北緯45°的緯度圈上有甲、乙兩地，兩地經(jīng)度差為90°,

則甲、乙兩地的球面距離為（設地球半徑為R）（）

A.旦成B.tRC.±RD.&

4323

（文）已知三個平面OAB、OBC、OAC相交于點。，且

N4OB=N8OC=NAOC=60。，則交線。4與平面OBC所成的角的余弦值

是（）

A.f3TC.坐

11.一個棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面

積與底面面積之比為1：2,則此棱錐的高被分成

兩段之比（自上而下）為（）

A.1：2B.1：4C.1：（V2+1）D.1：（V2-1）

12.正方體AG中截面A6C和截面46c所成的二面角

的余弦值大小為（）

[2Ai

A.45°B.60°C.arccos——

2

D?arccos^-

3

二.填空題（本大題4小題，每小題5分，共20A

At

分）

13.（理）球的兩個平行截面面積分別為5互和8兀，且在球心的同側,

這兩個截面間的距離等于1,則球的半徑為

（文）在長方體ABCD—AiBiGD]中，AB=BC

=3,AAi=4,則異面直線AB1與A]D

所成的角的余弦值為;

14.正四面體V—ABC的棱長為2a,E,F,G,

H分別是VA,VB,

BC,AC的中點，則四邊形EFGH面積是

15.如圖，ABCD是邊長為2的正方形，MA和P8都與平面ABC。垂直，且

P8=2M4=2,設平面PMO與平面"CO所成二面角為a,貝1Jsina=;

P

M

A

B

DC

16.已知根、〃是不同的直線，a、6是不重合的平面，給出下列

命題：

①若a〃/?，機uu尸，貝1J機〃〃；②若m,nua,m//尸,n//￡,貝（Ja〃萬；

③若mJ_a,n,貝！Ja///?;④機、〃是一■對異面直線且m_Ln,若

m//a,m/0,n//a,n//夕，貝Ua///?,其中，真命題的編號是.

三、解答題：（6個小題，共70分）

17.（本小題滿分10分）已知A3CO是正方

形，B4_L平面ABCD,且PA=AB=2,E、F

是側棱尸。、PC的中點。\V\^

（1）求證：EF//平面B43;/UF\

（2）求直線PC與底面4BCD所成角e的正,/V-/

切值。F------------------V

p

18、(本小題滿分12分)已知P為△A3C所

在平面外的一點，PCLAB,PC=AB=2,

￡、產(chǎn)分別為雨和8C的中點；

(1)求石尸與PC所成的角；

(2)求線段石方的長

19.(本小題滿分12分)已知：如圖，

四邊形ABCD,EADM和MDCF是個三

邊長為a的全等的正方形，點P、Q分別

是ED和AC的中點。

求：(1)PQ與AD所成的角的大??；

(2)平面EBF與平面ABCD所成

銳二面角的正切值；

(3)多面體EFM-ABCD的體積。

20.(本題滿分12分)以等腰直角三角形ABC(Z4CB=90°)的斜邊AB

上的高CD為棱折成一個60。的二面角，使B到9的位置，已知斜邊

c

AB=2,求：(1)C到平面力的距離；

(2)A到平面C的距離；

B'

21.（本小題滿分12分）如圖，在

A

RtZ\406中，/OAB」,斜邊

6

AB=4.Rt/XAOC可以通過RtZ\AOB以直

線A0為軸旋轉得到，且二面角

8-A。-C是直二面角.動點。在斜邊”

上.

（文、理）（1）求證：平面COD_L平面A08;

（文、理）（2）當。為AB的中點時，求

異面直

線A0與CD所成角的大

C

?。?/p>

（理）（3）求8與平面AOB所成角的最大值.

22.（本題滿分12分）如圖，在長方體ABCD—A}B\CXD},中,AD=AA}=1,

A3=2,點E在棱A3上移動.

（文、理）（1）證明：DiElAiD;

（文、理）（2）當￡為A8的中點時，求點石到面ACQi的距離；

（理）（3）當AE等于何值時，二面角。i—。的大小為々

4

A

答案

一、選擇題：BABDDBCCBBDD

二、填空題：

13、（理）3；（文）314.115.216.③④

253

三、解答題：

17、解：證明：（1）

E是尸。中點]、

3dl=EF//CD、

產(chǎn)是PC中點八“AnEF/!AB1

AB//CD

EF<Z平面PA8[=>EF//平面PA8

ABu平面PA8

證明：（2）連結AC,因為PA_L平面ABCD,所

以NPG4就為直線PC與平面ABCD所成的角6。

即。=ZPCA

又因為正方形ABCD的邊長為2,所以

AC=25/2,

所以tan6=tanPCA=

AC2V22

18、解：設PB的中點為G,連接FG,EG,

則FG〃PC且FG=；PC,EG〃AB且EG=〈AB

故NGFE為EF與PC所成的角，ZEGF為PC與AB所成的角

PC1AB

NEGF=90°又EG=GF=1

Z.ZGFE=45°EF=V2

19.解：(1)~BD,=BA+AAi+A^Dl^b+c-a.......2分

---*2-2—2——————c/l

?

|BD1\"=b+c+a+2bc-2。?。-2c=3?！?..2分

\BD]\=43a.......2分

(2)AC?BO1=(a+1)?(右+c-q)=-a?.........2分

—7；2

AC?BD]—aV61

cos<AC,BDX>=.-.=—j=------j=-=..................1勿

IAC||BD,|J2axj3a6

???異面直線AC與曲所成的角的余弦值是噲?！?分

20.(1)以短⑦皿，它們的位置關系在折疊前后不變，二儂平面朋，

CD的長就是C到平面加。的距離，CD=1；

(2)過點A作加婚。交笈。于E,「aa平面加，平面朋。平面次2.?在，

平面9。，.?.AE的長為點A到平面的距離，AE=g

(3)連CE,?.座_L平面8⑦，CE為AC在平面86上的射影，.24為攵與

平面所成的角，在用甩E中，易求得皿=反?

4

21.(1)略；(2)arctan；(3)arctan

33

,

22、解法一(1)?/AE_L平面AAQD1，A1D±AD1,..D1E±A1D.

(2)設點E到面ACDi的距離為h,在AACDi中，AC=CDi=K,

AD1—V2,

5兇℃二彳，而=—S—x1=—xA,.,.A=—.

SMCE=VQ-AEC=,DD}MD)C

(3)過D作DHLCE于H,連D|H、DE,貝ljD[HJ_CE,ZDHDi

為二面角Di—EC—D的平面角.設AE=%,則BE=2—%,

在中,；ZDHD}=?,.?.DH=\.-：在RfAAOE中,￡>E=Jl+Y,在RfAOHE中,EH=x,

在RfAOHC中CH=V3,在R/ACBE中CE=y/x2-4x+5.r.x+百=y/x2-4x+5=x=2—6.

AE=2-6時,二面角R-EC-O的大小為?.

解法二以D為坐標原點，直線DA,DC,DD)分別為x,y,z軸，建立空間

直角坐標系，設AE=%,則Ai(l,0,1),Di(0,0,1),E(1,x,0),

A(1,0,0)C(0,2,0)

(1)因為的，方石=(i,o,