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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i2.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A.-60 B.240 C.-80 D.1803.已知復(fù)數(shù)滿足(其中為的共軛復(fù)數(shù)),則的值為()A.1 B.2 C. D.4.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說(shuō)法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則5.已知展開(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-816.設(shè),其中a,b是實(shí)數(shù),則()A.1 B.2 C. D.7.若復(fù)數(shù)滿足,則的虛部為()A.5 B. C. D.-58.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.9.已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與相交于兩點(diǎn),若,則的內(nèi)切圓半徑為()A. B. C. D.10.已知集合,則為()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]11.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.12.若的二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為32,則正整數(shù)的值為()A.7 B.6 C.5 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.假設(shè)10公里長(zhǎng)跑,甲跑出優(yōu)秀的概率為,乙跑出優(yōu)秀的概率為,丙跑出優(yōu)秀的概率為,則甲、乙、丙三人同時(shí)參加10公里長(zhǎng)跑,剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為_(kāi)_______.14.函數(shù)的定義域?yàn)?,其圖象如圖所示.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足,且當(dāng)時(shí),.給出下列三個(gè)結(jié)論:①;②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn);③不等式的解集為.其中,正確結(jié)論的序號(hào)是________.15.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是______cm2,體積是_____16.已知雙曲線的兩條漸近線方程為,若頂點(diǎn)到漸近線的距離為1,則雙曲線方程為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2,記f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正實(shí)數(shù)a,b滿足1a+119.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.20.(12分)如圖,在中,點(diǎn)在上,,,.(1)求的值;(2)若,求的長(zhǎng).21.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交曲線于兩點(diǎn)(在軸上方),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
求的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng),可轉(zhuǎn)化為求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng),再求和即可得出答案.【詳解】由題意,中常數(shù)項(xiàng)為,中項(xiàng)為,所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,考查學(xué)生計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則先求出,再寫(xiě)出,進(jìn)而求出.【詳解】,,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模,考查基本運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于,若,則可能為平行或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯(cuò)誤;對(duì)于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對(duì)于,若,只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.5、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可求得,再通過(guò)賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)檎归_(kāi)式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因?yàn)?,令,則,解得令,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),以及通過(guò)賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算,考驗(yàn)計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】由(1+i)z=|3+4i|,得z,∴z的虛部為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.8、B【解析】
推導(dǎo)出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個(gè)“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.9、B【解析】
首先由求得雙曲線的方程,進(jìn)而求得三角形的面積,再由三角形的面積等于周長(zhǎng)乘以內(nèi)切圓的半徑即可求解.【詳解】由題意將代入雙曲線的方程,得則,由,得的周長(zhǎng)為,設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì),考查三角形的內(nèi)心的概念,考查了轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.10、B【解析】
先求出,得到,再結(jié)合集合交集的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,集合,所以,則,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算,其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】因?yàn)椋怨蔬x:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡(jiǎn)單題.12、C【解析】
由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì),的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為計(jì)算.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),掌握二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
分跑出優(yōu)秀的人為:甲、乙和甲、丙和乙、丙三種情況分別計(jì)算再求和即可.【詳解】剛好有2人跑出優(yōu)秀有三種情況:其一是只有甲、乙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其二是只有甲、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為;其三是只有乙、丙兩人跑出優(yōu)秀的概率為,三種情況相加得.即剛好有2人跑出優(yōu)秀的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類方法求解事件概率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.14、①③【解析】
利用奇函數(shù)和,得出函數(shù)的周期為,由圖可直接判斷①;利用賦值法求得,結(jié)合,進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),可判斷②的正誤;采用換元法,結(jié)合圖象即可得解,可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,又,所以,即,所以,函數(shù)的周期為.對(duì)于①,由于函數(shù)是上的奇函數(shù),所以,,故①正確;對(duì)于②,,令,可得,得,所以,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為和.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為,所以函數(shù)在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn),分別是、、、、,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,令,則需求的解集,由圖象可知,,所以,故③正確.故答案為:①③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),涉及奇偶性、周期性和零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn),考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合能力,屬于中等題.15、20+45,8【解析】試題分析:由題意得,該幾何體為三棱柱,故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8,故填:20+4考點(diǎn):1.三視圖;2.空間幾何體的表面積與體積.16、【解析】由已知,即,取雙曲線頂點(diǎn)及漸近線,則頂點(diǎn)到該漸近線的距離為,由題可知,所以,則所求雙曲線方程為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】
(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計(jì)算A的坐標(biāo),計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,計(jì)算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得,∴點(diǎn)在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí),不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當(dāng)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí),可設(shè)切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),都有.在中,由與相似得,為定值.【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置關(guān)系,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,難度偏難.18、(Ⅰ){x|-3≤x≤2}(Ⅱ)見(jiàn)證明【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點(diǎn)分段求解不等式的解集即可;(Ⅱ)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(Ⅰ)①當(dāng)x>1時(shí),f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5,即x≤2,∴1<x≤2;②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5,∴-2≤x≤1;③當(dāng)x<-2時(shí),f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5,即x≥-3,∴-3≤x<-2.綜上所述,原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.(Ⅱ)∵f(x)=x-1當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時(shí),等號(hào)成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當(dāng)且僅當(dāng)2a×1又1a+1b=∴2a【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,絕對(duì)值三角不等式求最值的方法等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)證明【解析】
(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過(guò)求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對(duì)數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過(guò)求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時(shí)取得最大值.又∵,∴對(duì)任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時(shí),恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時(shí),,∴當(dāng)時(shí),.∵,∴當(dāng)時(shí),,即②.綜上①②可得,.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計(jì)算求解能力,屬于難題.,20、(1);(2).【解析】
(1)由兩角差的正弦公式計(jì)算;(2)由正弦定理求得,再由余弦定理求得.【詳解】(1)因?yàn)椋?因?yàn)?,所以,所?(2)在中,由,得,在中,由余弦定理可得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的正弦公式,考查正弦定理和余弦定理,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運(yùn)用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.∴面積的最大值為.點(diǎn)睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),要注意等號(hào)成立的條件,在解題中必須要注明.22、(1),;(2)【解析】
(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線的普
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