2025屆高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題(人教版新高考新教材)考點(diǎn)規(guī)范練57　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

考點(diǎn)規(guī)范練57離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、基礎(chǔ)鞏固1.若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01Paa則E(X)等于()A.2 B.2或12 C.12 D2.現(xiàn)有一個(gè)項(xiàng)目,對(duì)該項(xiàng)目投資10萬元,一年后的利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為16,12,13.A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.383.(多選)袋內(nèi)有除顏色外其他完全相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球,從中不放回地每次任取1個(gè)球,直到取出白球后停止,則()A.取2次后停止的概率為3B.停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球個(gè)數(shù)的概率為9C.取球次數(shù)X的均值為2D.取球次數(shù)X的方差為94.(多選)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=13,則下列結(jié)論正確的是(A.E(X)=23 B.E(3X+2)=C.D(3X+2)=4 D.D(X)=45.某公司有5萬元資金用于投資某開發(fā)項(xiàng)目,若成功,則一年后可獲利12%;若失敗,則一年后將損失全部資金的50%.統(tǒng)計(jì)過去200例類似投資項(xiàng)目的結(jié)果如表所示.投資成功投資失敗192例8例則估計(jì)該公司投資該項(xiàng)目一年后可獲收益的均值為元.

6.已知離散型隨機(jī)變量X滿足P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,x1<x2,E(X)=49,D(X)=2,則x1+x2=7.某袋中裝有除顏色外完全相同的黑球和白球共5個(gè).從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球,全為黑球的概率為110,則黑球的個(gè)數(shù)為;若記取出的3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X,則D(X)=.8.空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex,簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù).環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù),其中,有4天空氣質(zhì)量為優(yōu),有2天空氣質(zhì)量為良,有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機(jī)抽取3天進(jìn)行某項(xiàng)研究,則抽取的3天中至少有1天空氣質(zhì)量為良的概率為;記X表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則隨機(jī)變量X的均值為.

9.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目分別投資20萬元,甲項(xiàng)目一年后利潤是1萬元、2萬元、4萬元的概率分別是12,13,16;乙項(xiàng)目的利潤隨乙項(xiàng)目的價(jià)格變化而變化,乙項(xiàng)目在一年內(nèi),價(jià)格最多可進(jìn)行兩次調(diào)整,每次調(diào)整的概率為p(0<p<1),設(shè)乙項(xiàng)目一年內(nèi)價(jià)格調(diào)整次數(shù)為X,當(dāng)X取0,1,2時(shí),一年后利潤分別是3萬元、2萬元、1萬元.設(shè)(1)寫出Y1,Y2的概率分布列和均值;(2)當(dāng)E(Y1)>E(Y2)時(shí),求p的取值范圍.10.某企業(yè)計(jì)劃在某地建立飲品基地進(jìn)行飲品A,B,C的研發(fā).(1)在對(duì)三種飲品市場投放的前期調(diào)研中,對(duì)100名試飲人員進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到對(duì)三種飲品選擇情況的條形圖.若飲品A每件的利潤為4元,飲品B每件的利潤為3元,飲品C每件的利潤為7元,請(qǐng)估計(jì)三種飲品每件的平均利潤.(2)為進(jìn)一步提高企業(yè)利潤,企業(yè)決定對(duì)飲品C進(jìn)行加工工藝的改進(jìn)和飲品D的研發(fā).已知工藝改進(jìn)成功的概率為45,新飲品研發(fā)成功的概率為13①求工藝改進(jìn)和新飲品研發(fā)恰有一項(xiàng)成功的概率;②若工藝改進(jìn)成功,則企業(yè)可獲利80萬元,否則虧損30萬元;若飲品研發(fā)成功,則企業(yè)可獲利150萬元,否則虧損70萬元.求該企業(yè)獲利X的均值.二、綜合應(yīng)用11.某大學(xué)對(duì)該校參加了某博覽會(huì)的志愿者實(shí)施“社會(huì)教育實(shí)踐”學(xué)分考核,因該批志愿者表現(xiàn)良好,該大學(xué)決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次,已知某志愿者考核為合格,授予0.5個(gè)學(xué)分;考核為優(yōu)秀,授予1個(gè)學(xué)分.假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為45,(1)求在這次考核中,甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率;(2)記這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X).12.某環(huán)保機(jī)器制造商對(duì)一次購買2臺(tái)機(jī)器的客戶推出了兩種超過機(jī)器保修期后5年內(nèi)的延保維修方案.方案一:交納延保金5000元,在延保的5年內(nèi)可免費(fèi)維修2次,超過2次每次收取維修費(fèi)1000元;方案二:交納延保金6230元,在延保的5年內(nèi)可免費(fèi)維修4次,超過4次每次收取維修費(fèi)t(1000≤t≤2000)元.該制造商搜集并整理了200臺(tái)這種機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)的維修次數(shù),統(tǒng)計(jì)得到下表.維修次數(shù)0123機(jī)器臺(tái)數(shù)20408060以這200臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器超過保修期后5年內(nèi)共需維修的次數(shù).(1)求X的分布列;(2)以所需延保金與維修費(fèi)用之和的均值為決策依據(jù),為使選擇方案二對(duì)客戶更合算,應(yīng)把t定在什么范圍?三、探究創(chuàng)新13.某學(xué)校為鼓勵(lì)家?；?dòng),與某手機(jī)通信商合作,為教師辦理流量套餐.為了解該校教師手機(jī)流量使用情況,通過抽樣,得到100位教師近2年每人手機(jī)月平均使用流量L(單位:G)的數(shù)據(jù),其頻率分布直方圖如下:若將每位教師的手機(jī)月平均使用流量分別視為其手機(jī)月使用流量,并將頻率視為概率,回答以下問題.(1)從該校教師中隨機(jī)抽取3人,求這3人中至多有1人手機(jī)月使用流量不超過3G的概率;(2)現(xiàn)該通信商推出三款流量套餐,詳情如下:套餐名稱月套餐費(fèi)/元月套餐流量/GA203B305C387這三款套餐都有如下附加條款:套餐費(fèi)月初一次性收取,手機(jī)使用流量一旦超出套餐流量,系統(tǒng)就自動(dòng)幫用戶充值2G流量,資費(fèi)20元;如果又超出充值流量,那么系統(tǒng)就再次自動(dòng)幫用戶充值2G流量,資費(fèi)20元,以此類推.如果當(dāng)月流量有剩余,那么系統(tǒng)將自動(dòng)清零,無法轉(zhuǎn)入次月使用.學(xué)校欲訂購其中一款流量套餐,為教師支付月套餐費(fèi),并承擔(dān)系統(tǒng)自動(dòng)充值的流量資費(fèi)的75%,其余部分由教師個(gè)人承擔(dān),則學(xué)校訂購哪一款套餐最經(jīng)濟(jì)?說明理由.

考點(diǎn)規(guī)范練57離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.C由題意知a2+a22=1,a>0所以E(X)=0×12+1×12.A由題意可知E(X)=1.2×16+1.18×12+1.17×13.BD依題意,取球次數(shù)X的可能取值為1,2,3,P(X=1)=35,P(X=2)=25×34=310,P(故E(X)=1×35+2×310D(X)=1設(shè)事件A=“取2次后停止”,B=“停止取球時(shí),取出的白球個(gè)數(shù)不少于黑球個(gè)數(shù)”,則P(A)=P(X=2)=310,P(B)=P(X=1)+P(X=2)=910.4.AB因?yàn)殡S機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=13所以P(X=1)=23所以E(X)=0×13+1D(X)=0所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.故選AB.5.4760依題意,用頻率估計(jì)概率,可知一年后獲利6000元的概率為0.96,獲利-25000元的概率為0.04,故估計(jì)一年后可獲收益的均值為6000×0.96+(-25000)×0.04=4760(元).6.179由題意可知E(X)=23x1+13xD(X)=x1-4因?yàn)閤1<x2,所以x1=-59,x2=229.所以x1+x7.3925設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為n,由題意可知C解得n=3.X的可能取值為1,2,3,P(X=1)=C2P(X=2)=C2P(X=3)=C故X的分布列為X123P331E(X)=1×310+2×35D(X)=18.57127依題意,從7天中隨機(jī)抽取3天,有C73=35(種)取法,其中至少有1故抽取的3天中至少有1天空氣質(zhì)量為良的概率為25由已知得X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C3P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C故E(X)=0×135+1×1235+29.解(1)依題意,Y1的分布列為Y1124P111Y2的分布列為Y2321P(1-p)22p(1-p)p2則E(Y1)=1×12+2×13E(Y2)=3×(1-p)2+2×2p(1-p)+1×p2=3-2p.(2)由E(Y1)>E(Y2),得3-2p<116,解得p>又0<p<1,所以712<p<1,所以p的取值范圍是10.解(1)根據(jù)題中條形圖可得樣本中選擇飲品A的頻率為0.35,選擇飲品B的頻率為0.45,選擇飲品C的頻率為0.2,則樣本中三種飲品每件的平均利潤為4×0.35+3×0.45+7×0.2=4.15(元).故估計(jì)三種飲品每件的平均利潤為4.15元.(2)①設(shè)事件A=“工藝改進(jìn)成功”,B=“新飲品研發(fā)成功”,C=“工藝改進(jìn)和新飲品研發(fā)恰有一項(xiàng)成功”.由題意可知A,B相互獨(dú)立,P(A)=45,P(B)=1故P(C)=P(AB)+P(AB)=4②由已知得X的可能取值為-100,10,120,230,P(X=-100)=15P(X=10)=45P(X=120)=15P(X=230)=4故E(X)=-100×215+10×815+12011.解(1)記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A,“乙考核為優(yōu)秀”為事件B,“丙考核為優(yōu)秀”為事件C,“甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件E,則事件A,B,C相互獨(dú)立,事件ABC故P(E)=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)(2)依題意,X的可能取值為32,2,52,則PX=32=P(AP(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(APX=52=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)P(X=3)=P(ABC)=16故X的分布列為X3253P18416E(X)=32×145+212.解(1)依題意,每臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)為0,1,2,3的概率分別為110,15,25,310,X的所有可能取值為0,1,則P(X=0)=110×110=1100,P(X=1)=110×15×2=125,P(X=2)=110×25×P(X=4)=310×15×2+25×25=725,P(X=5)=3故X的分布列為X0123456P11311769(2)選擇方案一,設(shè)所需費(fèi)用為Y1元,則當(dāng)X≤2時(shí),Y1=5000,當(dāng)X=3時(shí),Y1=6000,當(dāng)X=4時(shí),Y1=7000,當(dāng)X=5時(shí),Y5=8000,當(dāng)X=6時(shí),Y1=9000,故Y1的分布列為Y150006000700080009000P1711769E(Y1)=5000×17100+6000×1150+7000×725+8000×625+9選擇方案二,設(shè)所需費(fèi)用為Y2元,則當(dāng)X≤4時(shí),Y2=6230,當(dāng)X=5時(shí),Y2=6230+t,當(dāng)X=6時(shí),Y2=6230+2t,故Y2的分布列為Y262306230+t6230+2tP6769E(Y2)=6230×67100+(6230+t)×625+(6230+2t)×9100要使選擇方案二對(duì)客戶更合算,則E(Y2)<E(Y1),即6230+21t50<6解得t<1500.又1000≤t≤2000,所以1000≤t<1500.故t的取值范圍為[1000,1500).13.解(1)記“從該校隨機(jī)抽取1位教師,該教師手機(jī)月使用流量不超過3G”為事件D.依題意,P(D)=(0.0008+0.0022)×100=0.3.從該校教師中隨機(jī)抽取3人,設(shè)這3人中手機(jī)月使用流量不超過3G的人數(shù)為X,則X~B(3,0.3),所以從該校教師中隨機(jī)抽取3人,至多有1人手機(jī)月使用流量不超過3G的概率為P(X=0)+P(X=1)=C30×0.30×(1-0.3)3+C31×0.3×(1-0.3)2=0.343+0.(2)依題意,從該校隨機(jī)抽取1位教師,該教師手機(jī)月使用流量L∈(3,5]的概率為(0.0025+0.0035)×100=0.6,L∈(5,7]的概率為(0.0008+0.0002)×100=0.1.當(dāng)學(xué)校訂購A套餐時(shí),設(shè)學(xué)校為1位教師承擔(dān)的月費(fèi)用為X1,則X1的所有可能取值為20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1,所以X1的分布列為X1203550P0.30.60.1所以E(X1)=20×0.3+35×0.6+50×0.1=3