華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(十)新定義試題練課件

九年級上冊

數(shù)學(xué)華東師大版專項素養(yǎng)鞏固訓(xùn)練卷(十)新定義試題(練趨勢)類型一定義新運算1.(2023湖南邵陽新邵期末,25,★★☆)對于任意兩個非零實數(shù)a,b,定義運算如下:a

b=

如:2

3=

,(-2)

3=(-2)+3=1.根據(jù)上述定義,解決下列問題:(1)

=

,(-

)

=

.(2)如果(x2+2)

(x2-x)=1,那么x=

.(3)如果(x2-4)

x=(-2)

x,求x的值.⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕解析

(1)∵

>0,∴

=

=

.∵-

<0,∴(-

)

=-

+

=0.(2)∵x2+2>0,∴(x2+2)

(x2-x)=

=1,∴x2+2=x2-x,解得x=-2,經(jīng)檢驗x=-2是原方程的解,故x=-2.(3)∵-2<0,∴-2

x=(-2)+x.當(dāng)x2-4>0時,

=(-2)+x,即x2-4=-2x+x2,解得x=2,經(jīng)檢驗x=2是原方程的解,但不符合x2-4>0,∴x=2應(yīng)舍去.當(dāng)x2-4<0時,x2-4+x=(-2)+x,⊕⊕⊕⊕整理得x2=2,解得x1=

,x2=-

,經(jīng)檢驗x1=

和x2=-

都是原方程的解,且符合x2-4<0.綜上所述,x的值為

或-

.2.(2024江蘇宿遷宿城期末,23,★★☆)我們規(guī)定:對于任意實數(shù)a、b、c、d,有\(zhòng)[a,

b\]*\[c,d\]=ac-bd,其中等式右邊是通常的乘法和減法運算,如:\[3,2\]*\[5,1\]=3×5-

2×1=13.

對應(yīng)目標(biāo)編號M9122002(1)已知\[x,3\]*\[x-1,4\]的值為0,求x的值.(2)若關(guān)于x的方程\[x,2x-1\]*\[mx+1,m\]=0有兩個實數(shù)根,求m的取值范圍.解析

(1)\[x,3\]*\[x-1,4\]=x(x-1)-12=0,解得x1=4,x2=-3.(2)依題意得x(mx+1)-m(2x-1)=0,整理得mx2+(1-2m)x+m=0,∵關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根,∴Δ=(1-2m)2-4m·m≥0,且m≠0,解得m≤

且m≠0.類型二定義新方法3.(2024福建廈門思明松柏中學(xué)月考,23,★★☆)當(dāng)解某些較復(fù)雜的一元二次方

程時,可考慮用“縮根法”簡化運算.“縮根法”是指將一元二次方程先轉(zhuǎn)化成

系數(shù)比原方程簡單的新一元二次方程,然后解新一元二次方程,并將新方程的兩

根同時縮小若干倍,從而得到原方程的兩個根.已知:關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1=α,x2=β,求關(guān)于x的一元

二次方程p2ax2+pbx+c=0(ap≠0)的根.解:∵p2ax2+pbx+c=0(ap≠0),∴a(px)2+b·px+c=0,令px=t,得到新方程at2+bt+c=0,∵新方程的解為t1=α,t2=β,∴px=α或px=β,∴原方程的兩根為x1=

,x2=

.這種解一元二次方程的方法叫做“縮根法”.舉例:用“縮根法”解方程49x2+35x-24=0.解:∵49=72,35=5×7,∴(7x)2+5×7x-24=0,令7x=t,得到新方程t2+5t-24=0.解新方程

得t1=3,t2=-8,∴7x=3或7x=-8,∴原方程的兩根為x1=

,x2=-

.請利用以上信息解決下列問題.(1)用“縮根法”解方程:36x2-6x-1=0.(2)用“縮根法”解方程:3x2-160x+1600=0.解析

(1)設(shè)6x=t,得到新方程t2-t-1=0,解得t1=

,t2=

,∴6x=

或6x=

,∴原方程的兩根為x1=

,x2=

.(2)原方程可化為9x2-480x+4800=0,即(3x)2-160×3x+4800=0,設(shè)3x=t,得到新方程t2

-160t+4800=0,解得t1=40,t2=120,∴3x=40或3x=120,∴原方程的兩根為x1=

,x2=40.類型三定義新概念4.(2024四川成都成華期末,26,★★★)1∶

是一個很有趣的比.如圖①,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,在AB上截取點D,使AD=AC,則AD∶AB=1∶

,我們稱點D為AB的“趣點”.(1)如圖①,若點E為AC的“趣點”(CE<AE),連結(jié)DE,(i)求證:

=

.(ii)在AB上方構(gòu)造△EDF,使△EDF∽△CDB,設(shè)EF交CB于點Q,試探究:點Q是不

是BC的“趣點”?請說明理由.(2)如圖②,把(1)中的點E移動到點A的位置,(1)(ii)中的條件不變,請在圖②中畫出

圖形,若AB=6,求CD·QF的值.解析

(1)(i)證明:∵點D為AB的“趣點”,點E為AC的“趣點”(CE<AE),∴

=

,

=

,∴

=

,∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

=

.(ii)點Q是BC的“趣點”.理由:如圖,連結(jié)DQ,∵∠ACB=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°,∵AC=AD,∴∠2=∠ADC=

=67.5°,∴∠3=90°-67.5°=22.5°,∵△EDF∽△CDB,∴∠4=∠3=22.5°,∵△ADE∽△ABC,∴∠1=∠B=45°,∴DE∥BC,∴∠6=∠4=22.5°,∠5=∠3=22.5°,∴∠3=∠6,∠4=∠5,∴MQ=MC,ME=MD,∵DE∥BC,∴∠7+∠4+∠ACB=180°,又∠ACB=90°,∴∠7+∠4=90°,∴∠7=90°-22.5°=67.5°=∠2,∴MC=ME,∴MC=MD=ME=MQ,∴四邊形CEDQ是平行四邊形,∴DQ∥AC,∴

=

=

,∴點Q是BC的“趣點”.(2)如圖,作△DEF,連結(jié)DQ,

∵△EDF∽△CDB,∴∠4=∠3=22.5°,∠F=∠B=45°,∴∠8=45°-22.5°=22.5°=∠4,在△ADQ和△ACQ中,

∴△ADQ≌△ACQ,∴∠ADQ=∠ACQ=90°=∠BDQ,∵∠10=∠F+∠4=45°+22.5°=67.5°,∴∠9=90°-67.5°=22.5°,∴