2023-2024學(xué)年廣東省中山市紀(jì)念中學(xué)高二（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省中山市紀(jì)念中學(xué)高二（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.線性回歸分析中決定系數(shù)R2用來刻畫回歸的效果，若R2值越小，則模型的擬合效果越好

B.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1

C.正態(tài)分布N(μ,σ2)的圖象越瘦高，2.直線l過圓C：(x+3)2+y2=4的圓心，并且與直線x+y+2=0A.x+y?2=0 B.x?y+2=0 C.x+y?3=0 D.x?y+3=03.已知等差數(shù)列{an}中，a1=2，a7=4a3，SA.115 B.110 C.?110 D.?1154.小王每次通過英語聽力測(cè)試的概率是23，且每次通過英語聽力測(cè)試相互獨(dú)立，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次通過的概率是(

)A.29 B.227 C.395.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布如表，離散型隨機(jī)變量Y滿足Y=2X?1，則P(Y≥3)=(

)X0123Pa15a1A.712 B.512 C.566.將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件A=“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，B=“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則概率P(A|B)等于(

)A.518 B.12 C.60917.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=A.an=1n B.an=8.已知函數(shù)f(x)=xlnx?2x+a2?a，若f(x)≤0在x∈[1,e2]A.[?1,2] B.[0,1] C.[0,2] D.[?1,1]二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則(

)A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有45種放法

B.放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有C43種放法

C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，共有C54?C410.為了解推動(dòng)出口后的畝收入情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值x?=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12)，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(x?,A.P(X>2)>0.5 B.P(X>1.9)<0.2

C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.811.如圖，在下列給出的正方體中，點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)，點(diǎn)O為下底面的中心，點(diǎn)P為正方體的棱所在的中點(diǎn)，則OP與MN不垂直的是(

)A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知(2x?mx)6的展開式中常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)13.若隨機(jī)變量X～N(3,22)，隨機(jī)變量Y=12(X?3)14.甲袋中有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，如果所有小球只存在顏色的差別，并且整個(gè)取球過程是盲取，分兩步進(jìn)行：第一步，先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，分別用A1、A2表示由甲袋中取出紅球、白球的事件；第二步，再從乙袋中隨機(jī)取出兩球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“兩球都為紅球”的事件，則事件B的概率是______．四、解答題：本題共4小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=12n(n+1)．

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)16.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，A、B分別是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C的上頂點(diǎn)，△PAB的面積為2．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PC⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB//DC，PC=AB=2AD=2CD=2，點(diǎn)E在棱PB上．

(1)證明：平面EAC⊥平面PBC；

(2)當(dāng)BE=2EP時(shí)，求二面角P?AC?E的余弦值．

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2?x+a+1．

(1)證明曲線y=f(x)在x=1處的切線過原點(diǎn)；

(2)若a≥0，討論f(x)的單調(diào)性．參考答案1.D

2.D

3.D

4.A

5.A

6.C

7.D

8.B

9.ACD

10.BC

11.CD

12.?1

13.1214.174215.解：(1)由Sn=12n(n+1)，可得a1=S1=1，

n≥2時(shí)，an=Sn?Sn?1=12n(n+1)?12n(n?1)=n16.解：(1)由題知c=1，A(?a,0)，B(a,0)，P(0,b)，

由△PAB的面積為2，得ab=2，

又a2=b2+c2，代入可得a2=2，b2=1，

∴橢圓C的方程為x22+y2=1．

(2)證明：聯(lián)立y=kx+mx22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2?2=0，

設(shè)M(x1,17.解：(1)證明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，

∴PC⊥AC，

∵PC=AB=2AD=2CD=2，AD⊥DC，AB//DC，

∴AC=AD2+CD2=2，BC=2，

∴AC2+BC2=4=AB2，即△ABC是直角三角形，且AC⊥BC，

∵PC∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，

∴AC⊥平面PBC，

∵AC?平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC；

(2)由(1)得AC⊥BC，PC⊥AC，

而PC⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，故PC⊥BC，

故PC，AC，BC兩兩垂直，

故以C為原點(diǎn)，CB，CA，CP，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

PC=AB=2AD=2CD=2，

則C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,2,0)，P(0,0,2)，

設(shè)點(diǎn)E(x,y,z)，

∵BE=2EP，即(x?2,y,z)=2(?x,?y,2?z)，

∴x=23，y=0，z=43，即E(23,0,43)，

∴CA=(0,2,0)，CE=(2318.解：(1)由題設(shè)得f′(x)=1x+2ax?1(x>0)，

所以f′(1)=1+2a?1=2a，

又因?yàn)閒(1)=a?1+a+1=2a，

所以切點(diǎn)為(1,2a)，斜率k=2a，

故切線方程為y?2a=2a(x?1)，即y=2ax，

所以y?0=2a(x?0)恒過原點(diǎn)．

(2)由(1)得f′(x)=2ax2?x+1x(x>0)，

①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=?x+1x，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

令t(x)=2ax2?x+1，則Δ=1?8a，

②當(dāng)a>0且Δ=1?8a≤0，即a≥18時(shí)，f′(x)≥0，f(x)在