2024八年級數(shù)學下冊專題2.1與三角形有關(guān)角的計算問題大題專練含解析新版浙教版

Page1專題2.1與三角形有關(guān)角的計算問題大題專練（培優(yōu)強化30題）一、解答題1．（1）如圖1，∠DBC與∠BCE是△ABC的兩個外角，那么∠A，∠DBC，∠BCE之間有怎樣的等量關(guān)系？請干脆寫出結(jié)論．（2）如圖2，若BP，CP分別平分△ABC的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P與∠A之間有怎樣的等量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，若BP，CP分別平分四邊形QBCF的外角∠DBC和∠BCE，那么∠P與∠Q，∠F之間有怎樣的等量關(guān)系？請說明理由．【答案】（1）∠A+180°=∠DBC+∠BCE；（2）∠P=90°-12∠A【分析】（1）依據(jù)平角的性質(zhì)可得可得∠DBC=180°-∠ABC，∠BCE=180°-∠ACB，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可得出∠P=90°-1（3）結(jié)合（1）（2）可得∠A+180°=∠DQF+∠CFQ和∠A=180°-2∠P，整理后即可得出三者之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）∠A+180°=∠DBC+∠BCE，理由如下：∠DBC+∠BCE=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；（2）∠P=90°-1理由如下：∵BP，CP分別平分∠DBC和∠BCE，∴∠PBC=12∠DBC∴∠PBC∴∠P（3）360°-2∠P=∠Q+∠F，理由如下：延長DQ、CE交于A，由（1）同理可證∠A+180°=∠DQF+∠CFQ，由（2）得∠P=90°-12∠A∴180°-2∠P【點睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平角的定義,三角形的外角．嫻熟駕馭相關(guān)性質(zhì)，并能結(jié)合圖形分析是解題關(guān)鍵．2．如圖甲，射線FE與長方形ABCD的邊AB交于點E，與邊CD交于點F，①②③④分別是被射線FE隔開的4個區(qū)域（不含邊界，其中區(qū)域②③位于直線AB上方），P是位于以上四個區(qū)域上的點．（1）如圖乙，當P在區(qū)域①，猜想圖中∠PEB、（2）猜想當P分別在區(qū)域②③④，∠PEB、∠PFC、【答案】（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，證明見解析；（2）見解析【分析】依據(jù)題意畫出圖形，再依據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和和外角定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∠EPF=∠PEB+∠PFC，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠CFE=180°，∵∠EPF+∠FEP+∠PFE=180°，∴∠EPF=∠PEB+∠PFC；（2）當點P在區(qū)域②時，如圖所示，∵AB∥CD，∴∠PFC=∠PHB．∵∠PHB是△PEH的外角，∴∠PHB=∠EPF+∠PEB，即∠PFC=∠EPF+∠PEB．當點P在區(qū)域③時，如圖所示，∵AB∥CD，∴∠PFC=∠PHB，∵∠PEH+∠PEB=180°，∴∠PEH=180°-∠PEB，∵∠EPF+∠PEH+∠PHB=180°，即∠EPF+（180°-∠PEB）+∠PFC=180°，∴∠PEB=∠EPF+∠PFC；當點P在區(qū)域④時，如圖所示，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠CFE=180°，∴∠PEF+∠PFE=（∠PEB+∠PFC）-180°．∵∠PEF+∠PFE+∠EPF=180°，∴∠EPF=180°-（∠PEF+∠PFE）=180°-（∠PEB+∠PFC）+180°=360°-（∠PEB+∠PFC）；【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，依據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，BP平分∠ABC，交CD于點F，DP平分∠ADC交AB于點E，AB與CD相交于點G，∠A=42°．（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度數(shù)；（2）若∠C=38°，求∠P的度數(shù)．【答案】（1）72°；（2）40°．【分析】（1）依據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=12（2）依據(jù)角平分線的定義可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【詳解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記定理并理解“8字形”的等式是解題的關(guān)鍵．4．【概念相識】如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”．其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．【問題解決】（1）如圖②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分線BD交AC于點D，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，且∠BPC＝140°，求∠A的度數(shù)；【延長推廣】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．若∠A＝m°（m>54），∠B＝54°，干脆寫出∠BPC的度數(shù)．（用含m的代數(shù)式表示）【答案】（1）95°或110°；（2）60°；（3）23m°或13m°或23m°＋18°或【分析】（1）依據(jù)題意可得∠B的三分線BD有兩種狀況，畫圖依據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得∠BDC的度數(shù)；（2）依據(jù)BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP可得∠ABC+∠ACB=135°，進而可求∠A的度數(shù)；（3）依據(jù)∠B的三分線所在的直線與∠ACD的三分線所在的直線交于點P．分四種狀況畫圖：狀況一：如圖①，當BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰AC三分線”時；狀況二：如圖②，當BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時；狀況三：如圖③，當BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時；狀況四：如圖④，當BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時，再依據(jù)∠A=m°，∠B=54°，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可求出∠BPC的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖，當BD是“鄰AB三分線”時，∠BD當BD是“鄰BC三分線”時，∠BD（2）在△BPC中，∵∠BPC=140°，∴∠PBC+∠PCB=40°，又∵BP、CP分別是∠ABC鄰BC三分線和∠ACB鄰BC三分線，∴∠PBC=13∴13∴∠ABC+∠ACB=120°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB（3）分4種狀況進行畫圖計算：狀況一：如圖①，當BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰AC三分線”時，∴∠BPC=2狀況二：如圖②，當BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時，∴∠BPC=1狀況三：如圖③，當BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時，∴∠BPC=2狀況四：如圖④，當BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時，∠BPC=1綜上所述：∠BPC的度數(shù)為：23m°或13m°或【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是駕馭并靈敏運用三角形的外角性質(zhì)，留意要分狀況探討．5．如圖（1）△ABC是一個三角形的紙片，點D、E分別是△ABC邊上的兩點，探討（1）：假如沿直線DE折疊，寫出∠BDA'與∠A的關(guān)系，并說明理由．探討（2）：假如折成圖2的形態(tài)，猜想∠BDA'、∠CEA'和探討（3）：假如折成圖3的形態(tài)，猜想∠BDA'、∠CEA'和【答案】（1）∠BDA′=2∠A，理由見解析；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由見解析；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由見解析【分析】（1）翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有∠A=∠DA′A，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′=2∠A；（2）依據(jù)圖2中∠A與∠DA′E是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補角的性質(zhì)可得結(jié)論∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）依據(jù)圖3中由于折疊∠A與∠DA′E是相等的，再兩次運用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BDA′=2∠A；依據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，故∠BDA′=2∠A；（2）∠BDA′+∠CEA′=2∠A，理由：在四邊形ADA′E中，∠A+∠DA′E+∠ADA′+∠A′EA=360°，∴∠A+∠DA′E=360°-∠ADA′-∠A′EA，∵∠BDA′+∠ADA′=180°，∠CEA′+∠A′EA=180°，∴∠BDA′+∠CEA′=360°-∠ADA′-∠A′EA，∴∠BDA′+∠CEA′=∠A+∠DA′E，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′+∠CEA′=2∠A；（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A，理由：如圖3，DA′交AC于點F，∵∠BDA′=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′=∠A+∠A′+∠CEA′，∴∠BDA′-∠CEA′=∠A+∠A′，∵△A′DE是由△ADE沿直線DE折疊而得，∴∠A=∠DA′E，∴∠BDA′-∠CEA′=2∠A．【點睛】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及翻折變換的性質(zhì)，遇到折疊的問題，確定要找準相等的量，結(jié)合題目所給出的條件在圖形上找出之間的聯(lián)系則可．6．如圖(1)所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡潔的圖形中，原委隱藏了哪些數(shù)學學問呢？下面就請你發(fā)揮你的聰慧才智，解決以下問題：（1）視察“規(guī)形圖”,摸索究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你干脆利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖(2)，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、圖(1)XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=__________°；②如圖(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù)；（寫出解答過程）③如圖（4），∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2???、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，則∠A的度數(shù)=__________°．【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，詳見解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【分析】（1）依據(jù)題意視察圖形連接AD并延長至點F，依據(jù)一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可證∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②結(jié)合圖形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE=12③由②方法，進而可得答案．【詳解】解：（1）連接AD并延長至點F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=1∴∠DCE＝12③由②知，∠BG1C＝110∵∠BG1C＝77°，∴設∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，∴110∴14﹣110∴x＝70，∴∠A為70°．故答案是：70．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，留意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．7．△ABC中，∠A=50°．（1）如圖①，若點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點，求∠P的度數(shù)；（2）如圖②，若點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，求∠P的度數(shù)；（3）如圖③，若點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，求∠P的度數(shù)；（4）若∠A=β.請干脆寫出圖①，②，③中∠P的度數(shù)，(用含β的代數(shù)式表示)【答案】（1）115°；（2）65°；（3）25°；（4）分別為：①∠P=180°-12(180°-β)=90°+1【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線定義得出∠PBC+∠PCB=12（∠ABC+∠ACB）=65°，依據(jù)（2）由三角形內(nèi)角和定理和鄰補角關(guān)系得出∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，由角平分線得出∠PBC+∠PCB=12（3）由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義證出∠P=12（4）由（1）（2）（3），簡潔得出結(jié)果．【詳解】解:（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∵點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點，∴∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)=115°；（2）∵∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，∴∠CBD+∠BCE=360°-130°=230°，∵點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，∴∠PBC+∠PCB=1∴∠P=180°-115°=65°；（3）∵點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，∴∠PBC=12∠ABC∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC，∴2(∠P+∠PBC)=∠A+∠ABC，∴∠P=1（4）若∠A=β，在（1）中，∠P=180°-1在（2）中，同理得：∠P=90°-1在（3）中，同理得：∠P=1【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的角平分線、三角形的外角性質(zhì)、鄰補角關(guān)系等學問點；嫻熟駕馭三角形內(nèi)角和定理，弄清各個角之間的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．8．已知如圖①，BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∠BAC＝α．（1）當α＝40°時，∠BPC＝°，∠BQC＝°；（2）當α＝°時，BM∥CN；（3）如圖②，當α＝120°時，BM、CN所在直線交于點O，求∠BOC的度數(shù)；（4）在α＞60°的條件下，干脆寫出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）70，125；（2）60；（3）45°；（4）∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．【分析】（1）依據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠DBC與∠BCE，再依據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBP+∠BCP，最終依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；依據(jù)角平分線的定義得出∠QBC＝12∠PBC，∠QCB＝12∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度數(shù)，（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MBC+∠NCB＝180°，依此求解即可；（3）依據(jù)題意得到∠MBC+∠NCB，再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到∠BOC的度數(shù)；（4）分別用∠A表示出∠BPC、∠BQC、∠BOC，再相加即可求解．【詳解】解：（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE＝180°+∠A＝220°，∵BP、CP分別是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分線，∴∠CBP+∠BCP＝12（∠DBC+∠BCE∴∠BPC＝180°﹣110°＝70°，∵BQ、CQ分別是∠PBC、∠PCB的角平分線，∴∠QBC＝12∠PBC，∠QCB＝12∠∴∠QBC+∠QCB＝55°，∴∠BQC＝180°﹣55°＝125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB＝180°，∵BM、CN分別是∠PBD、∠PCE的角平分線，∠BAC＝α，∴34（∠DBC+∠BCE即34解得α＝60°；（3）∵α＝120°，∴∠MBC+∠NCB＝34（∠DBC+∠BCE）＝3∴∠BOC＝225°﹣180°＝45°；（4）∵α＞60°，∠BPC＝90°﹣12∠BQC＝135°﹣14∠BOC＝34∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之間的數(shù)量關(guān)系：∠BPC+∠BQC+∠BOC＝（90°﹣12α）+（135°﹣14α）+（故答案為：70，125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC＝180°．【點睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．9．如圖①，在ΔABC中，∠B=∠C，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且∠ADE=∠AED，連結(jié)DE.（1）若∠BAC=100°，∠DAE=40°，則∠CDE=______，此時∠BAD∠CDE（2）若點D在BC邊上（點B、C除外）運動，摸索究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）若點D在線段CB的延長線上（如圖②），點E在直線AC上，∠BAD=26°，其余條件不變，求∠CDE的度數(shù).【答案】（1）30°,2；（2）∠BAD=2∠CDE，理由見解析；（3）∠CDE=13°或77°.【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)可求得結(jié)果；（2）如圖①，設∠DAE=x，∠BAC=y，同理（3）分兩種狀況探討，同（2）的方法可求出∠CDE的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖①，∵∠DAE=40°，∠ADE=∠AED，∵∠BAC=100°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，∵∠B=∠C=40°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+60°=100°，∴∠CDE=30°，∴∠BAD故答案為30°,2；（2）如圖①，∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系是：∠BAD=2∠CDE；理由是：設∠DAE=x，∠BAC=y，則∵∠DAE=x，∴∠ADE＝∵∠B=∠C=180∴∠ADC=∠B+∠BAD=180∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°+1∴∠BAD=2∠CDE；（3）分兩種狀況：①當E在射線CA上時，如圖③，設∠DAE=x，∠BAC=y，則∵∠DAE=x，∠ADE=∠AED，∵∠C=180°-y∠CDE=180°-∠AED-∠ACB=180°-180②當E在射線AC上時，如圖④，設∠DAE=x，∠BAC=y，則∵∠DAE=x，∠ADE=∠AED，∵∠ACB=180在ΔCDE中，∠CDE=∠ACB-∠AED=180綜上，∠CDE=13°或77°.【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理以及方程思想和整體代入思想，嫻熟駕馭三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC中，∠A=40°，(1)若點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點，求∠P的度數(shù)；(2)若點P是∠CBD與∠BCE平分線的交點，求∠P的度數(shù)；(3)若點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點，求∠P的度數(shù)；(4)若∠A=β，求(1)(2)(3)中∠P的度數(shù)(用含β的代數(shù)式表示，干脆寫出結(jié)果)【答案】(1)∠BPC=110°；(2)∠BPC=70°；(3)∠BPC=20°；(4)(1)中∠P=12β+90°；(2)中∠P=90°-12β；(3)中∠P=【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可知∠ABC+∠ACB的度數(shù)，依據(jù)點P是∠ABC與∠ACB平分線的交點，可知12（2）由三角形的外角和定理可以得到12∠DBC與1（3）由三角形的外角和定理和角平分線的定義可以得到∠P=12（4）由（1）（2）（3）證明過程，簡潔得到答案.【詳解】(1)∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∴∠PBC+∠PCB=12(∠ABC+∠ACB)=1∴∠BPC=180°-70°=110°；(2)∵∠DBC=∠A+∠ACB，∵P為△ABC兩外角平分線的交點，∴12∠DBC=12∠A+同理可得：12∠BCE=12∠A+∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴12(∠ACB+∠ABC)=90°-1∵180°-∠BPC=12∠DBC+12∠BCE=12∠A+12∠ACB+∴180°-∠BPC=∠A+12∠ACB+12∠ABC，180°-∠BPC=∠A+90°-∴∠BPC=90°-12(3)∵點P是∠ABC與∠ACF平分線的交點∴∠PBC∵∠PCF=∠P+∠PBC，∠ACF=∠A+∠ABC∴2（∠P+∠PBC）=∠A+∠ABC∴∠P(4)若∠A=β在(1)中∠P=180°【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，三角形外角和定理和角平分線的定義，能夠綜合運用定理與定義進行倒角證明是解答本題的關(guān)鍵.11．探究與發(fā)覺：在△ABC中，∠B＝∠C，點D在BC邊上(點B、C除外)，點E在AC邊上，且∠ADE＝∠AED，連接DE.(1)如圖①，若∠B＝∠C＝45o，①當∠BAD＝60o時，求∠CDE的度數(shù)；②試猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(2)深化探究：如圖②，若∠B＝∠C，但∠C≠45o，其他條件不變，摸索究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）①∠CDE=30°；②∠BAD=2∠CDE，理由見解析；（2）∠BAD=2∠CDE.【分析】（1）①先依據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠ADC=∠B+∠BAD=105°，∠AED=∠EDC=75°，再由∠CDE=∠ADC-∠ADE即可得出結(jié)論；②引入?yún)?shù)，設∠BAD=x，依據(jù)①的過程方法解答即可（2）同（1）理，用角干脆計算進行轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：(1)①∵∠ADC是△ABD的外角，∠B=45°，∠BAD=60°，∴∠ADC=∠BAD+∠B=60°+45°=105°，∵∠B＝∠C＝45o，∴∠BAC=90°，∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°-60°=30°，∴∠ADE=∠AED=12（180°-∠DAE∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=105°﹣75°=30°；②∠BAD=2∠CDE，理由如下：設∠BAD=x，∴∠ADC=∠BAD+∠B=45°+x，∵∠B＝∠C＝45o，∴∠BAC=90°，∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣x，∴∠ADE=∠AED=12（180°-∠DAE∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=45°+x﹣(45°+12x)=∴∠BAD=2∠CDE；(2)設∠BAD=x，∴∠ADC=∠BAD+∠B=∠B+x，∵∠B＝∠C，∴∠BAC=180°﹣2∠C，∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD=180°﹣2∠C﹣x，∴∠ADE=∠AED=12（180°-∠DAE）=12[180°-∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=（∠B+x）﹣(∠C+12x)=12∴∠BAD=2∠CDE.【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和和三角形外角的性質(zhì)，靈敏運用三角形的內(nèi)外角性質(zhì)進行角的換算是解答此題的關(guān)鍵．12．如圖，（1）如圖①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線且相交于點D，若∠A=70°，試求∠BDC的度數(shù)，并說明理由．

（2）如圖②，BD、CD分別是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分線且相交于點D，若∠A=x°，試用x表示∠BDC的度數(shù)，并說明理由．

（3）如圖③，BD、CD分別是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分線且相交于點D，試找出∠A與∠BDC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）∠BDC＝125°，理由見解析；（2）∠BDC＝90°?12x°，理由見解析；（3）∠BDC＝1【分析】（1）先依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝110°，再依據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）先依據(jù)外角平分線的性質(zhì)求出∠CBD＝12（∠A＋∠ACB），∠BCD＝1（3）依據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，再依據(jù)角平分線的定義可得∠DBC＝12∠ABC，∠DCE＝12∠ACE，然后整理可得∠BDC＝【詳解】解：（1）∠BDC＝125°，理由：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠DBC＝12∠ABC，∠DCB＝1∵∠ABC＋∠ACB＝180°?∠A＝110°，∴∠BDC＝180°?∠DBC?∠DCB＝180°?12（∠ABC＋∠ACB）＝180°?55°（2）∠BDC＝90°?12理由：∵BD、CD分別是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分線，∴∠CBD＝12（∠A＋∠ACB），∠BCD＝1∵∠ABC＋∠ACB＝180°?∠A，∴∠BDC＝180°?∠CBD?∠BCD＝180°?12＝180°?12（2∠A＋180°?∠A＝90°?12即∠BDC＝90°?12（3）∠BDC＝12理由：由三角形的外角性質(zhì)可得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，∵BD、CD分別是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分線，∴∠DBC＝12∠ABC，∠DCE＝1∴12（∠A＋∠ABC）＝∠D＋1∴∠BDC＝12【點睛】本題考查了角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；三角形外角的性質(zhì)：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．13．已知，AB//CD，M、N分別在直線AB、CD上，E是平面內(nèi)一點，∠BME和（1）如圖1，當E、F都在直線AB、CD之間，且（2）如圖2，當E、F都在直線AB上方時，探究∠MEN和（3）如圖3，當E、F在直線AB兩側(cè)時，干脆寫出∠MEN和【答案】（1）45°；（2）證明見解析；（3）12【分析】（1）過E作EH∥AB，F(xiàn)G∥AB，依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，依據(jù)角平分線的定義得到∠BMF+∠DNF=12（∠BME+∠DNE）=45°，于是得到結(jié)論；（2）依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠E=∠EGB-∠EMB，依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，依據(jù)角平分線的定義得到∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，于是得到結(jié)論；（3）依據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠5=∠END，依據(jù)角平分線的定義得到∠5=∠END=2∠4，∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，依據(jù)【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，過點F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴EH∥CD，F(xiàn)G∥CD，∴∠BME=∠MEH，∠DNE=∠NEH，∴∠BME+∠DNE=∠MEH+∠NEH=∠MEN=90°，同理∠MFN=∠BMF+∠DNF，∵MF平分∠BME，F(xiàn)N平分∠DNE，∴∠BMF+∠DNF=12∴∠MFN的度數(shù)為45°；故答案為45°；（2）∵∠EGB=∠EMB+∠E，∴∠E=∠EGB-∠EMB，∵AB∥CD，∴∠EGB=∠END，∠FHB=∠FND，∴∠E=∠END-∠EMB，∵MF、NF分別平分∠BME和∠DNE，∴∠EMB=2∠FMB，∠END=2∠FND，∴∠E=2∠FND-2∠FMB=2（∠FND-∠FMB），∵∠FHB=∠FMB+∠F，∴∠F=∠FHB-∠FMB，=∠FND-∠FMB，∴∠E=2∠F；（3）12證明：∵AB∥CD，∴∠5=∠END，∵NF平分∠END，∴∠5=∠END=2∠4，∵MF平分∠BME，∴∠BME=2∠1=∠E+∠5=∠E+2∠4，∴∠3=∠1=12∵∠E+∠MFN=360°-∠4-∠2-∠3=360°-∠4-（180°-∠E-2∠4）-（12∠E+∠4）=180°+1∴∠MFN+12故答案為12【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：過過E作EH∥AB，過點F作FG∥AB.14．如圖（1），AD，BC交于O點，依據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．【提出問題】分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？【解決問題】為了解決上面的問題，我們先從幾個特別狀況起先探究．已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點E．（1）如圖（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，則∠E＝．（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，則∠E的度數(shù)是多少呢？小明是這樣思索的，請你幫他完成推理過程：易證∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，∴∠D+∠1+∠B+∠4＝，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝，又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝度．（3）在總結(jié)前兩問的基礎上，借助圖（2），干脆寫出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：．【類比應用】如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E．已知：∠D＝m°、∠B＝n°，（m＜n）求：∠E的度數(shù)．【答案】【解決問題】（1）35°；（2）2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；（3）∠E＝12（∠D+∠B）；【類比應用】∠E＝12【分析】解決問題：（1）依據(jù)兩個三角形的有一對對頂角相等得：∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，兩式相加后，再依據(jù)角平分線的定義可得結(jié)論；（2）同理列兩式相加可得結(jié)論；（3）依據(jù)（1）和（2）可得結(jié)論；類比應用：首先延長BC交AD于點F，由三角形外角的性質(zhì)，可得∠BCD＝∠B+∠BAD+∠D，又由角平分線的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解決問題：（1）如圖3，∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，∴2∠E＝∠B+∠D，∴∠E＝1∴∠E＝12（30°+40°）＝1故答案為35°；（2）如圖（4），∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，∴∠D+∠1+∠B+∠4＝2∠E+∠3+∠2，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝∠D+∠B，∴∠E＝12又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝40度．故答案為2∠E+∠3+∠2，∠D+∠B，40°；（3）由（1）和（2）得：∠E＝12故答案為∠E＝12類比應用:如圖（5），延長BC交AD于F，∵∠BFD＝∠B+∠BAD，∴∠BCD＝∠BFD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D，∵CE平分∠BCD，AE平分∠BAD∴∠ECD＝∠ECB＝12∠BCD，∠EAD＝∠EAB＝1∵∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，∴∠E＝∠B+∠EAB﹣∠ECB＝∠B+∠BAE﹣12∠BCD＝∠B+∠BAE﹣12（∠B+∠BAD+∠D）＝∵∠D＝m°、∠B＝n°，即∠E＝12【點睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，駕馭角平分線的性質(zhì)和等量代換是解決問題的關(guān)鍵．15．（1）如圖，請證明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如圖的圖形我們把它稱為“8字形”，請證明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如圖，E在DC的延長線上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D之間的關(guān)系，并證明（4）如圖，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，過點P作PM、PE交CD于M，交AB于E，則①∠1+∠2+∠3+∠4不變；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不變，選擇正確的并賜予證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠P＝90°+12（∠B+∠D【分析】（1）延長BC到D，過點C作CE∥BA，依據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠B＝∠1，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠A＝∠2，再依據(jù)平角的定義列式整理即可得證；（2）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明；（3）依據(jù)（2）的結(jié)論∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠PAD+∠P＝∠D+∠PCD，然后整理即可得解；（4）作PQ∥AB，依據(jù)平行線性質(zhì)得到PQ∥CD，則∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，∠5＝∠2，由于∠APQ+∠5+∠1＝90°，則180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，整理得到∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．【詳解】（1）證明：如圖1，延長BC到D，過點C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）證明：如圖2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）如圖3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+12（∠B+∠D（4）②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不變正確．理由如下：作PQ∥AB，如圖4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等學問，解題的關(guān)鍵是學會用方程組的思想思索問題．16．如圖，D、E、F、G是△ABC邊上的點，∠ABC=∠ADE，∠DEB=∠GFC．(1)求證：BE//GF；(2)若BE平分∠ABC，∠BDE=110°，∠C=50°，求∠CGF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠CGF=95°【分析】（1）依據(jù)已知條件證明∠EBC=∠GFC或者∠BEC=∠FGC，依據(jù)平行線的判定即可得證；（2）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)，可得∠ABC=180°-∠BDE=180°-110°=70°，∠GFC=∠EBC=35°，依據(jù)（1）證法1：∵∠ABC=∠ADE，∴DE∥BC．∴∠BED=∠EBC．∵∠DEB=∠GFC，∴∠EBC=∠GFC．∴BE∥GF．證法2：∵∠ABC=∠ADE，∴DE∥BC．∴∠AED=∠C．∵∠AED+∠BED+∠BEC=180°，∠C+∠GFC+∠FGC=180°，∴∠AED+∠BED+∠BEC=∠C+∠GFC+∠FGC．∵（2）解：∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°．∴∠ABC=180°-∠BDE=180°-110°=70°．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC=12×70°=35°．∵【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線與三角形內(nèi)角和定理，駕馭以上學問是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線，已知∠BAC＝100°．(1)若∠DAE＝20°，求∠C的度數(shù)；(2)設∠DAE＝α（0<α<40°），用含有α的代數(shù)式表示∠C的大?。敬鸢浮?1)20°(2)40°-α【分析】（1）由題意可求得∠AED=70°，再由角平分線的定義可得∠EAC=50°，即可求∠C的度數(shù)；（2）仿照（1）的解答過程進行求解即可．(1)解：∵在Rt△ADE中，∠DAE=20°，∴∠AED=90°-20°=70°，又∵∠BAC=100°，AE是角平分線，∴∠EAC=50°，∴∠C=∠AED-∠EAC=70°-50°=20°；(2)解：∵在Rt△ADE中，∠DAE=α，∴∠AED=90°-α，又∵∠BAC=100°，AE是角平分線，∴∠EAC=50°，∴∠C=∠AED-∠EAC=（90°-α）-50°=40°-α．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚各角之間的關(guān)系．18．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE平分∠ACB，且AD，CE相交于點F，若∠CAD=20°，∠ABD=45°，求∠AEC的度數(shù)．【答案】80°【分析】先依據(jù)垂直的定義求出∠ACD=70°，再由角平分線的性質(zhì)得到∠ECB=35°，再依據(jù)三角形的外角定理即可求解．【詳解】解：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°

又∵∠CAD=20°∴∠ACD=70°

又∵CE平分∠ACB∴∠ECB=35°

又∵∠ABD=45°∴∠AEC=∠ABD+∠ECB=80°．【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)的角度求解，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的外角定理．19．如圖，在△ABC中，AE是BC邊上的高，AD是角平分線，∠B＝42°，∠C＝68°．①求∠DAE的度數(shù)；②若∠B＝α，∠C＝β（α＜β），用含α，β的代數(shù)式表示∠DAE．（干脆寫出結(jié)論）【答案】（1）13°（2）β-α【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，求出∠DAC，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AC，代入∠DAE＝∠DAC?∠EAC求出即可．（2）同（1）的方法即可求解．【詳解】解：（1）∵∠B＝42°，∠C＝68°，∴∠BAC＝180°?∠B?∠C＝70°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC＝12∠BAC∵AE是BC邊上的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝68°，∴∠EAC＝180°?∠AEC?∠C＝22°，∴∠DAE＝∠DAC?∠EAC＝35°?22°＝13°．（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°?∠B?∠C＝180°?α?β，D是∠BAC的平分線，∴∠DAC＝12∠BAC＝90°?12α?AE是BC邊上的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝β，∴∠EAC＝180°?∠AEC?∠C＝90°?β，∠DAE＝∠DAC?∠EAC＝（90°?12α?12β）?（90°?β）＝【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的實力．20．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，且∠ACD=∠B．（1）如圖1，求證：CD⊥AB；（2）如圖2，將△ADC沿CD所在直線翻折，A點落在BD邊上，記為A'①若∠B=34°，求∠A②試求∠B與∠A【答案】（1）見解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B【分析】（1）依據(jù)直角三角形中兩銳角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，則∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后依據(jù)垂直的定義得CD⊥AB；（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再依據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；②同①的方法，進行分類探討即可．【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB；（2）①∵∠B=34°，∴∠ACD=34°，∴∠BCD=90°-34°=56°，∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點落在BD邊上，記為A′點，∴∠A′CD=∠ACD=34°，∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；②∵∠B=∠ACD，則∠BCD=90°-∠ACD，∵△ADC沿CD所在直線翻折，A點落在BD邊上，記為A′點，∴∠A′CD=∠ACD=∠B，∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形態(tài)和大小不變，位置變更，對應邊和對應角相等．21．如圖，在ΔABC中點D是BC邊上的一點,∠B=50°,∠BAD=30°,將ΔABD沿AD折疊得到△AED,AE與BC相交于點F.(1)求∠AFC的度數(shù);(2)求∠EDF的度數(shù).【答案】（1）110°；（2）20°【分析】（1）依據(jù)折疊的特點得出∠BAD=∠DAF，再依據(jù)三角形一個外角等于它不相鄰兩個內(nèi)角之和，即可得出答案；（2）依據(jù)已知求出∠ADB的值，再依據(jù)折疊的特點得出∠ADE=∠ADB，最終依據(jù)∠EDF=∠EDA-∠ADF，即可得出答案．【詳解】（1）∵△ABD沿AD折疊得到△AED，∴∠BAD=∠DAF，∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=50°+30°+30°=110°；（2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠ADB=180°-50°-30°=100°，∵△ABD沿AD折疊得到△AED，∴∠EDA=∠BDA=100°，∴∠EDF=∠EDA-∠ADF＝∠EDA–(∠B+∠BAD)=100°-50°+30°【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、翻折變換等問題，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系．22．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張∠ABC紙片，點D，E分別在邊AB，AC上，將∠ABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合．（1）若∠A=75°，則∠1+∠2=___________；（2）若∠A=n°，則∠1+∠2=___________；（3）由（1）（2）探究∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）150°；（2）∠1+∠2=2n°；（3）2∠A=∠1+∠2【分析】（1）先依據(jù)圖形翻折變更的性質(zhì)得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度數(shù)，然后依據(jù)平角的性質(zhì)即可求出答案；（2）先依據(jù)圖形翻折變更的性質(zhì)得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE，然后依據(jù)平角的性質(zhì)即可求出答案；（3）先依據(jù)圖形翻折變更的性質(zhì)得出∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再依據(jù)三角形內(nèi)角和定理表示出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE，然后依據(jù)平角的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：（1）∵△A′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°；（2）∵△A′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=n°，∵∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-n°，∴∠1+∠2=360°-2(180°-n°)=2n°，∴∠1+∠2=2n°；（3）2∠A=∠1+∠2．∵△A′DE是△ABC翻折變換而成，∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，∵∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°-∠A′，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A，∴∠1+∠2=2∠A．【點睛】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形態(tài)和大小不變，位置變更，對應邊和對應角相等．23．已知△ABC．（1）如圖（1），∠C>∠B，若AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD與∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．（2）如圖（2），AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE上一點，F(xiàn)M⊥BC于點M，∠EFM與∠B，∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）∠EAD=12(∠C-∠B)；理由見解析；（2）∠EFM=12(∠C－∠【分析】（1）分析題意，視察圖形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分別表示出∠EAC、∠DAC即可；首先依據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再依據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠DAC=90°-∠C，據(jù)此可解答；對于（2）過點A作AD⊥BC于D，依據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再結(jié)合（1）的結(jié)論進行解答即可【詳解】解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=1又∵AD⊥BC，∴∠DAC=90o－∠C，∴∠EAD=∠EAC－∠DAC=12(180o－∠B－∠C)－(90o－∠C)=1即∠EAD=12（2）如圖，過點A作AD⊥BC于D，∵FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM=∠EAD=12【點睛】本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和的關(guān)系用∠A表示出其他角24．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點（不與點E重合），且FD⊥BC于D；（1）假如點F與點A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如圖1，求∠EFD的度數(shù)；（2）假如點F在線段AE上（不與點A重合），如圖2，問∠EFD與∠C﹣∠B有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）假如點F在△ABC外部，如圖3，此時∠EFD與∠C﹣∠B的數(shù)量關(guān)系是否會發(fā)生變更？請說明理由．【答案】（1）10°．（2）∠EFD=12（∠C﹣∠B），證明見解析；（3）∠EFD=1【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理先求出∠BAC=100°，再依據(jù)AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，依據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠AEC=80°，再依據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求得∠EFD的度數(shù)；（2）依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得到∠BAE=12∠BAC=12（180°-∠B-∠C）=90°-12（3）依據(jù)（2）可以得到∠AEC=90°+12（∠B-∠C），依據(jù)【詳解】（1）∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=50°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；（2）∠EFD=12∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12（180°-∠B-∠C）=90°﹣1∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+90°﹣12（∠C+∠B）=90°+1∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°﹣90°﹣12∴∠EFD=12（3）∠EFD=12如圖，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=12∵∠DEF為△ABE的外角，∴∠DEF=∠B+12（180°-∠B-∠C）=90°+1∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠EFD=90°﹣90°﹣12∴∠EFD=12【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義，嫻熟駕馭三角形的外角等于不相鄰兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.25．我校快樂走班數(shù)學愛好小組開展了一次活動，過程如下：設∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在兩射線上．活動一：如圖甲所示，從點A1起先，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處相互垂直，A1A2為第1根小棒．數(shù)學思索：（1）小棒能無限擺下去嗎？答：．（填“能“或“不能”）（2）設AA1=A1A2=A2A3=1．則θ=度；活動二：如圖乙所示，從點A1起先，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1．數(shù)學思索：（3）若只能擺放5根小棒，求θ的范圍．【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3)15°≤θ＜18°．【分析】（1）依據(jù)已知條件：小棒兩端能分別落在兩射線上進行推斷即可；（2）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即得結(jié)果；（3）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得關(guān)于θ的不等式組，解不等式組即得結(jié)果.【詳解】(1)∵依據(jù)已知條件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒兩端能分別落在兩射線上，∴小棒能接著擺下去；(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3=45°，∴∠AA2A1+∠θ=45°，∵∠AA2A1=∠θ，∴∠θ=22.5°；(3)如圖乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，依據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可得6θ?90°，5θ<90°，∴15°?θ<18°.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)，依據(jù)題意找出規(guī)律并結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.26．如圖1，已知線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請干脆寫出∠A、（2）細致視察，在圖2中“8字形”的個數(shù)___________個；（3）假如圖2中，若∠D=40°,∠B=36°，試求∠P的度數(shù)（4）假如圖2中，∠D和∠B為隨意角，其他條件不變，試問∠P與∠D,∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（干脆寫出結(jié)論即可）【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）38°；（4）2∠P＝∠D＋∠B【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理與對頂角相等可得結(jié)論；（2）由交點有點M、O、N，再分類確定即可得到答案；（3）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得：∠D+∠B=2∠P,再把∠D=40°,∠B=36°代入計算即可得到答案；（4）由（1）可得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P，再兩式相加，結(jié)合角平分線的定義可得：∠D+∠B=2∠P.【詳解】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°=∠C+∠B+∠COB,∠AOD=∠COB,∴∠A+∠D=∠C+∠B故答案為：∠A+∠D=∠C+∠B（2）交點有點M、O、N，以M為交點的8字形有1個，為△AMD與△CMP，以O為交點的8字形有4個，為△AOD與△COB，△AOM與△CON，△AOM與△COB，△CON與△AOD，以N為交點的8字形有1個，為△ANP與△CNB，所以，“8字形”圖形共有6個；故答案為：6（3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP①∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P∴∠D+∠B=2∠P,又∵∠D=40°,∠B=36°∴40°∴∠P=38°.（4）關(guān)系：2∠P＝∠D＋∠B由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP①∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P∴∠D+∠B=2∠P,【點睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，角平分線的定義，駕馭利用三角形的內(nèi)角和定理解決“8字形”中的角度問題是解題的關(guān)鍵.27．如圖，在△ABC中：（1）畫出BC邊上的高AD和中線AE．（2）若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠BAD=60°【分析】（1）延長BC，作AD⊥BC于D；作BC的中點E，連接AE即可；（2）可依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求∠BAC=20°，由外角性質(zhì)求∠CAD=40°，那可得∠BAD=60°．【詳解】解：（1）如圖所示：（2）∵∠B=30°，∠ACB=130°，∴∠BAC=180°-30°-130°=20°，∵∠ACB=∠D+∠CAD，AD⊥BC，∴∠CAD=130°-90°=40°，∴∠BAD=20°+40°=60°．【點睛】本題是計算與作圖相結(jié)合的探究．考查學生運用作圖工具的實力，以及運用直角三角形、三角形內(nèi)角和外角等基礎學問解決問題的實力．28．（公益周考卷）已知：線段AB，CD相交于點O，連接AD，CB，∠D