對數(shù)函數(shù)教學(xué)課件

對數(shù)函數(shù)

1對數(shù)的概念

①概念

一般地，如果/=N(a>0,且aW1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作尤=//乂

(a底數(shù)，N真數(shù)，ZogaN對數(shù))

②兩個重要對數(shù)

常用對數(shù)以10為底的對數(shù)，/。仍。N記為IgN；

自然對數(shù)以無理數(shù)e為底的對數(shù)的對數(shù)，記為mN.

③對數(shù)式與指數(shù)式的互化

x

x—logaN<=>a=N

對數(shù)式指數(shù)式

④結(jié)論

(1)負數(shù)和零沒有對數(shù)(2)1。/。=1，logal=0.

特別地，1g10=1,lg1=0,Ine=1,In1=0.

2對數(shù)的運算

如果a>0,aHl,M>0,N>0,有

①loga(MN)=logaM+logaN②/外費=logaM-logaN

n

③logaM=nlogaM(nER)④=M

⑤換底公式

loqcb

logab=---------(a>0,a1,c>0,c1,b>0)

'logca

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

nlo

①logab=②logab?logbc=logac③/。。仃6=-9ab

特別注意：logaMNHlogaM-logaN,loga{M±N)手logaM±logaN

3對數(shù)函數(shù)

①對數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)y=ZogaX(a>0,a41)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.

②圖像與性質(zhì)

a>10<a<1

定義域(0,+8)

值域R

過定點(1,0)

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

變化對圖像在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；

的影響在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

【題型一】對數(shù)的化簡與求值

【典題11求值2log32-log3-+log38-5sgs3+(匈5)2+lg2XIgSO

iO5s32

【解析】2log32-log3y+log38-5+(Z55)+lg2Xlg50

32

2

=log34-log3—+log38-3+(旬5)2+2lg2-lg5+(Zfii2)

=，。。36x豆x8)—3+(國5+仞2)2

=2-3+1

=0.

【典題2】若x,y,z6R+,且3x=4>=12z,e(n,n+1),nEN,則n的值是.

【解析】令/=4y=12z=fc>1.

則x=log3k=翳，y=Iog4/c,z=logi2k=瞿.

igsiga

(利用換底公式，把數(shù)值化為同底，有利于也求值去掉k)

IgkJgk

.x+y_zg3+?4_Igl21gl2_初3+伍4)2_lg3??n

zIg3-lg4Ig3-lg4lg4lg3'

ig12

(???也,n+l),.?.要對譬+譬+2進行估值，要把其值的整數(shù)部分求出)

zlg41g3

「°〈獸<1；?會+粵>2(利用對勾函數(shù)可得)

1g4lg4lg3

???警+警+2>4,

Eg4lg3

,姐<2，魴<1.?.竺+紀+2<5,

1g3lg4lg4lg3

貝阮=轡+粵+2e(4,5)=(ri,n+1),

lg4Lg3

則71=4.

鞏固練習

1(★汨知函數(shù)f⑺=｛麓郎>0),則川倒=?

【答案】i

【解析】寸⑺=喘裝?0/../(1)=⑹2；-1-

則/[/?)]=f(T)=3T=彳

2(★)(國2)2+IgSxlg20+62016)+0.027-三x(￡)=.

【答案】102

Q

【解析】(均2)2+lg5?lg20+(V2016)4-0.027飛X

c2

=(匈2)2+IgS?(2lg2+lg5)+1+[(0.3)3]-3x9

1

=(ig2+匈5)2o+1+009x9

=1+1+100

=102.

3(**)求值蘆8+。25-國2%5

IgVlOlgO.l

【答案】-4

【解析】2g8+Lgl25-lg2-lg53lg2+3lg5—lg2—lg5_2(2g2+，g5)

=—4

Igy/lOlgO.l加10?媼

出★★)求值:2‘。竭—倨尸+國系+(&_1嚴=.

【答案】-3

【解析】2l0<

_2

13-2+(V2-1)°

4~(I)

19

4~4~2+1

故答案為：-3.

h

5(**)若a>b>1且仞(1+-)=Igb,則—1)+lg(b—1)的值.

【答案】0

【解析】?-ea>1,b>1且團(1+，)=Igb,

1+-=b,a+b=ab,

a

lg(a-1)+lg(b—1)=Ig^a—1)(/?-1)]=lg{ab-a—b+1)=Igl=0.

故選：C.

6(**書已知2。=7b=TH,-+—=則7H=.

a2b2

【答案】28

ab

【解析】2—7-m,a—log2m,b-log7m,

'3+/=1"。加2+|xlogm7=logm(2V7)=

4m—2V7,解得m=28.

故答案為28.

7(★★★)已知若logR+logbCt=亍ab=ba,則ab=.

【答案】8

【解析】logab+logba=1；

2

1_1+?0。心)

a

一logba°3b-logba

1、

2

???2(J,ogba)—5logba+2=0；解得=訝或/。為a=2；

2

'''a>b>1；???logba>1；.**logba=2；:.a=b；

又0b=ba；

b2b-bb2；b2=2b；b-2或b=0(舍去)；???a=4；

???ab=8.

故答案為：8.

【題型二】對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

［典題1］函數(shù)y=loga(|x|+1)(a>1)的圖象大致是0

log(x+1),%>0

y=ioga(kl+1)=a

gga(-X+1),%VO'

因由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)易得選B.

【點撥】涉及對數(shù)函數(shù)型的函數(shù)y=/(%),往往需要得到其圖象，方法有

①利用要相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、對稱、翻轉(zhuǎn)變換得其圖象；

②利用去掉絕對值得到分段函數(shù)得其圖象.

bc

【典題2】設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且2。=log工a,(^)=logib,(h=log2c,則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【解析】分別作出四個函數(shù)y=G)*=log"，y=2X,y=log2%的圖象，觀察它們的交點情況.由圖象

知a<b<c.故選人.

【點撥】

①2a=/。羽。中。是函數(shù)y=2%與y=log2%的交點橫坐標;

22

②函數(shù)y=2%與y=log?%互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線y=%對稱.函數(shù)y=6尸與y=log工工也是.

22

【典題3】已知標"；：3，若f(a)=f(b)=f(c)=f(d),且a<b<c<d,則abed的

取值范圍是.

思考痕跡已知條件/(a)=f(b)=/(c)=/(d),相當于y=f(%)與一直線y=k相交于四個點，四點的橫坐標

是a、b、c、d,所以想到數(shù)形結(jié)合.

【解析】先畫出小)=型空；\'。；「：：3的圖象，如圖

a,b,c,d互不相同，不妨設(shè)a<b<c<d.

且/(a)=f(b)=/(c)=/(d),3<c<4.

由圖可知|log3al=|log3b|,c、d關(guān)于％=5對稱,

???—log3a=log3b,c+d=10,即ab=1,c+d=10,

故abed=c(10—c)=—(c—5)2+25,由圖象可知3<c<4,

由二次函數(shù)的知識可知21<-c2+12c<24,

???abed的范圍為(21,24).

【點撥】遇到分段函數(shù)，經(jīng)常用數(shù)形結(jié)合的方法畫出函數(shù)圖象，注意一些關(guān)鍵的臨界值，比如％=3處.

鞏固練習

【解析】Iga+Igb=0,ab=1則b=:

從而9。)=—logdx=logax,

???函數(shù)與函數(shù)或%)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)同增同減

結(jié)合選項可知選8,

故答案為B

c

20)已知圖中曲線Q(2>3C分別是函數(shù)y=log%%,y=loga2x,y=loga3x,y=log4式的圖象,則

,a2,a3,%的大小關(guān)系是0

A.(Z4<。3<。2VB.。3<。4<V。2

C.Cl2<<。3<。4D.。3<。4V。2<

【答案】B

【解析】選B.由已知圖中的四條曲線底數(shù)不同及圖象的位置關(guān)系，再利用logaa=l結(jié)合圖象求解.

3(**)已知函數(shù)/(X)=|歷久若0<a<6,且/'(￡!)=/(b),則a+5b的取值范圍是0

A.(2^5>+co)B.[2^5,+00)C.(6,+8)￡).[6,+00)

【答案】C

【解析】函數(shù)=\lnx\f(x)=晨:瀉;；<1)，

又因為0<a<b,故0<a<l,b>1,

又知道/(a)=/(b),

—Ina=Inb,BP-=b,

a

二設(shè)力=a+5b=a+-,

a

???由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知"在(0,1)上單調(diào)遞減，.?.t>1+5=6,即a+5b>6,

故選：C.

4(★★)已知函數(shù)/(%)=Iloga1%-1||(a>0,a1),若%1V%2V%3<%4,%1%2%3%4W0且/(%1)=

/(%2)=f(久3)=/(%4)，則%1+%2+%3+%4=0

A.2B.4C.8D.隨a值變化

【答案】B

【解析】函數(shù)/(%)=|log。1||的圖象如下圖所示：

有圖可知，函數(shù)/(%)=|log。1||的圖象關(guān)于直線久=1對稱，

又)/V右<%3<%4，且/(%1)=/(%2)=/(%3)=/(%4)，

則％1+外+%3+%4=4.

故選：B

已知函數(shù)/(%)=Ilog2(%-1)9(%)=0，則圖象交于,丫1),8(%2,、2)兩點，則0

xx

A.%1%2VlB.+%2>5c.%1+%2>X1X2D.+%2Vl2

【答案】C

【解析】不妨設(shè)/V%2,

作出/(%)和g(%)的圖象，由圖象知%i<2,%2>2,

貝夙久力=11唯(巧-1)I=-log2(^i-l),/(x2)=|log2(x2-1)I=10g2(x2-1)，

貝葉(刀2)一=bg2(%2-1)+bg2(Xl—1)=bg2(>l-1)(刀2-D=(［之一(}%<。，

即(％1—1)(%2T)<1，即%1%2—(%1+-2)+1<1，即%1+%2>X1^X29

故選：C.

(\log2x\,0<%<8

々★★★)已知函數(shù)/(%)=_1.o，若Q,b，。互不相等，且/(。)=f(b)=/(c),貝必兒的取值

I-XI5)Xo

14

范圍是.

【答案】(8,20)

【解析】根據(jù)己知畫出函數(shù)圖象：

不妨設(shè)a<b<c,

"/(a)=f(b)=/(c)>???Tog2a=Iog2b=-1c+5,

二log2(ab)=0,0<-：c+5<3,

解得ab=1,8<c<20,

8<abc<20.

故答案為(8,20).

7(★★★)已知函數(shù)/'(x)=|log2xI，g(x)=|x,若對任意xe［a,+8),總存在兩個而Gg，甸，使得9。),

f(Xo)=1,則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】［2,+8)

【解析】f⑸)=急=%%6口+8),???/(x0)&；，

作出f(x)在漳，4］上的函數(shù)圖象如圖：

?；對任意xe［a,+8),總存在兩個而e停,4］,使得g(x)?/(xo)=1,

0<-<1,解得a>2.

a

故答案為［2,+8).

【題型三】對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

角度1比較對數(shù)式的大小

02

【典題1】已知a=log27,b=log38,c=O.3,則〃,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<b<aB,a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

02

【解析】由題意，可知a=log27>log24=2,c=O.3<0.3°=1,

v1<log38<log39=2，l<b<2,

c<b<a.

故選

【典題2】設(shè)a=log23=log34,則a,c的大小關(guān)系為0

A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

士44-

【解析】a=log23>log22^=-=b,b=-=log33^>log34=c,

???a,b,c的大小關(guān)系為c<b<a.

故選D.

02

【典題3】已知a=log52,b=log050.2,c=O.5,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

0,2

【解析】由題意，可知a=log52<1,c=O.5<1,

b=log050-2=logJ-=log25>log24=2,（初步估值）

25

??.b最大，a、c都小于1,（仇c還比較不出來，進一步估值）

025

a=log52=——<c=O.5=（-）5=/1>i

bblog2s2\22

a<c,（引入第三數(shù)批較）

a<c<b,故選：A.

【點撥】比較對數(shù)的大小，主要是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，具體方法有

①把對數(shù)化為同底，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

②若不能化為同底，可對對數(shù)進行估值，一般可以與0,1比較大??；

③利用第三個數(shù)作為兩個數(shù)字大小比較的過渡.

角度2求解對數(shù)型不等式和方程

【典題1】方程log2（x-1）=2-log2（x+1）的解集為.

【解析】log2（x-1）=2-log2（x+1）,

4

Iog2（x-1）=［。出市萬，

x-1=久解得x=+V5.

檢驗得X=不符合，（注意真數(shù)的范圍）

???方程Iog2(x-1)=2-log2(x+1)的解集為｛遙｝.

故答案為｛遮｝.

【典題2】不等式10g2(X2-1)<3的解集為.

22

【解析】10g2(x-1)<3?10g2(x-1)<log28

0<%2-1<8(誤解-1<8)

解得一3<x<-1或1<%<3.

【點撥】在處理對數(shù)的方程和不等式時不要忘記了“對數(shù)1。9鵬中真數(shù)x>0”這點.

角度3對數(shù)型函數(shù)綜合問題

［典題1］函數(shù)y=logi(x2-6x+17)的值域是.

2

【解析】t=%2—6%4-17=(x—3)2+8>8

?,?內(nèi)層函數(shù)的值域［8,+oo),

而y=/og璉在［8,+8)是減函數(shù),故y工log工8=-3

22

.??函數(shù)"，。史(第2一6%+17)的值域是(一8,-3］.

2

【點撥】復(fù)合函數(shù)的值域先求內(nèi)層函數(shù)值域再求外層函數(shù).

【典題2］已知函數(shù)/(%)是R上的奇函數(shù)，且滿足/(x+2)=—/⑶，當xe(0,1］時，/(%)=2X-1,則方

程/(%)=log7\x-2|解的個數(shù)是.

【解析】函數(shù)/'(X)是R上的奇函數(shù)，/(0)=0,

由/(久+2)=-/(%),可得""+2)=/(-x),/(尤)的有條對稱軸x=1,

由f(x+2)=-/(乃，可得f(x+4)=f(x),.?./(%)的周期7=4.

(注由以上已知，較容易畫出y=f(x)的圖象，作圖步驟如下

①畫/'(￡)=2X-1,%6(0,1)②根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)③由對稱軸x=1可得

④由周期7=4可得

作出在同一坐標系中畫y=/(X)和g(x)=log7\x-2|圖象,

注意到g(9)=1,9(-7)>1,(注意一些臨界的位置)

從圖象不難看出，其交點個數(shù)7個.

【點撥】

①遇到函數(shù)綜合性質(zhì)問題(有單調(diào)性，對稱性，周期性等)，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法處理；

②/(%+a)=/(%+b)=>/(%)的周期T=a-b,

/(x+a)=f^b-x)=>/(%)的對稱軸％=等

/(%+a)=-/(%)=/(%)的周期T=2a

/(%+a)=六=>/(久)的周期T=2a.

【典題3】設(shè)a>0,b>0,則下列敘述正確的是0

A.若仇a-2b>Inb—2a,則a>bB.若"a-2b>Inb—2a,則a<b

C.若仇a—2a>必人—2b,則若仇a-2a>"b—26,則a<b

【解析】方法1構(gòu)造函數(shù)法

y=仇%與y=2%均為增函數(shù)，故/(%)=仇%+2%在(0,+8)上為增函數(shù)，

故f(a)>f(b)=a>b>0,

即仇a+2a>Inb+2Z?<=>a>6>0,即仇a—2b>Inb-2a<=>a>6>0,

故選

方法2取特殊值排除法

對于4、B,

令a=1,b=-,代入仇a—2b>Inb—2Q得—馬>—3顯然成立，

ee

而a>b,此時可排除選項B；

對于選項C、D,

令Q=1,b=e,代入伍a—2a>Inb—2b得—2>1—2e顯然成立，而a<b可排除選項C；

令a=1,b=j代入伍a—2a>Inb—2b得—2>—2—彳顯然成立，而a>匕可排除選項。；

ezez

故選力.

【點撥】

①方法1通過構(gòu)造函數(shù)=Inx+2x,利用其單調(diào)性進行選項判斷.構(gòu)造函數(shù)的方法到了高二還經(jīng)常見，

可以先熟悉先！

②方法2“取特殊值排除法”，在取數(shù)時一定要滿足題目要求，盡量取容易計算的數(shù)值，要大膽嘗試，能排除

一個是一個.

【典題4】已知函數(shù)/(%)=log32.

(1)求函數(shù)f(X)的定義域；

(2)判斷函數(shù)/(久)的奇偶性;

⑶當久e[-;勺時，函數(shù)g(x)=/(x),求函數(shù)gO)的值域.

【解析】(1)要使函數(shù)/(x)=log3*的解析式有意義，

自變量x須滿足導(dǎo)＞0,解得xe(-1,1),

故函數(shù)f(x)的定義域為(-1,1);

(2)由(1)得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，

且/(—X)=log—=~log￡-=-fix),

31—X3±TX

故函數(shù)/(%)為奇函數(shù)；

⑶當xe[—|,號時，令“(無)=蕓=￡一1(分離常數(shù)法).

(注函數(shù)圖象如右圖，由y=2向左向下平移一個單位得到的)：\

故心)=三在[一;芻上為減函數(shù),則a(x)e[；3],：

又???g(X)=/(%)=Iog3n為增函數(shù)，二

故g(x)€[-1,1],

故函數(shù)g(x)的值域為[-1,1].

【點撥】

①遇到形如八為=翳*^的函數(shù)(比如y=詈，y=W，y=窘等)均可采取“分離常數(shù)法”，易求函數(shù)

的單調(diào)性，對稱性，最值等性質(zhì)；

②求復(fù)合函數(shù)的值域，要分清楚內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，分別對它們的單調(diào)性進行分析再求值域，函數(shù)的定義

域優(yōu)先考慮.

【典題5】設(shè)。是函數(shù)y=/(%)定義域的一個子集，若存在%()￡。，使得/(%())=-%()成立，

則稱%o是f(%)的一個“準不動點”，也稱/(%)在區(qū)間。上存在準不動點.

已知/(%)=logi^+a?2%—1),xE[0,1].

2

(1)若a=1,求函數(shù)/(%)的準不動點；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間[0,1]上存在準不動點，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當。=1時，可得f(%)=Log式4%+2%-1)=-%,xe[0,1],

可得4工+2,-1=2L即48=1,x=0.

當a=l,函數(shù)/'CO的準不動點為X()=0.

(2)方法1由定義可得方程】。生(4才+a.2,—1)=一x在％￡［0,1］上有解，

2

即方程4》+a-2x-l=2》在%E［0,1］上有解，且於+a-2x-l>0(*)

令2》=3x6［0,1］,則t6［1,2］,

那問題(*)轉(zhuǎn)化為方程產(chǎn)+3-1"-1=0在［1,2］有解,且”+研一1>0,

令g(t)=［2+(a-l)t一1,開口向上且g(0)<0,

所以y=g(t)在［1,2］上與X軸只有一個交點，

則只需要g(l)g(2)W0,解得—

(一元二次方程根的分布問題，注意數(shù)形結(jié)合分析)

要使產(chǎn)+at-1>0(1<t<2)恒成立.

其對稱軸％=一會在1W1W2上是遞增的，當t=l時最小值，可得a>0.

綜上可得實數(shù)a的取值范圍是(0,1］.

方法2

與方法1同樣得到方程/+(a-l)t-1=0在［1,2］有解，且嚴+就一1>0,

即a=1—t+］在te［1,2］上有解，且a>工—t在tG［1,2］上恒成立(分禺參數(shù)法)

由=+T在te［l,2］上顯然是減函數(shù)，其值域為［一］,1］,則一?WaWl；

由d(t)=}-t在te［1,2］上顯然是減函數(shù)，最大值為d(l)=0,則a>0,

綜上可得實數(shù)a的取值范圍是(0,1］.

【點撥】

①在第二問中不要漏了4,+a?2尢-1>0,求解過程中謹記等價轉(zhuǎn)化，做到嚴謹；

②第二問的方法1是采取了“二次方程根的分布問題”的處理技巧，注意結(jié)合二次函數(shù)圖象進行思考；方法2是

采取分離參數(shù)法轉(zhuǎn)而求最值，

鞏固練習

0,2

1(★)若。=log2^-.5,b=log20.l,c=2,則0

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

【答案】D

0,2

【解析】20g2。?1<，。比1,5<log22=1,2>2°=1；

?*.b<a<c.

故選：D.

2(★★)設(shè)a=log16,b—logi12,c=logilS,貝!!()

245

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

L】a=log工6=-1-log??=-1-j——>b=log工12=-1-log^3=-1--——,

c=20gzi5=-1-log$3=-1---------；

5，。。35

??,0<log2<log4<log5；???—>」一>」一；

633833533

log322003420035'

a<b<c.

故選：A.

3"支)f(x)是定義在R上的函數(shù),且/(2-％)=/(%),當％之1時,/(%)=log2x,則有0

1111

4/(3)<-2)<f￡)B./(-)</(2)</(-)

1111

C./(2)</(3)<-2)。?/⑵</(2)</(3)

【答案】C

【解析】x>1時/析)=log2x,/(%)在［L+8)上單調(diào)遞增，

-%)=