第5講函數(shù)的表示法-人教A版高中數(shù)學(xué)必修一講義（解析版）

第五講函數(shù)的表示法

教材要點(diǎn)學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向

1.函數(shù)的三種表示法數(shù)學(xué)建模水平1水平11.了解函數(shù)的不同表示

法，并能在具體環(huán)境中【考查內(nèi)容】求函數(shù)的解

2.分段函數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算水平1水平2作出選擇。析式、求分段函數(shù)的函數(shù)

值、函數(shù)的圖像都是?？?/p>

2.理解分段函數(shù)的意

3.映射的概念數(shù)學(xué)抽象水平1水平1考點(diǎn)。

義，能正確描繪圖像和

求函數(shù)值?！究疾轭}型】選擇題、填

空題

4.函數(shù)的圖像直觀想象水平1水平23.理解映射的概念，能

判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否為映【分值情況】5分

射。

表示法定義知識(shí)通關(guān)

用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的

解析法

對(duì)應(yīng).關(guān)系

用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

圖象法

系

列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)

列表法

應(yīng)關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的三種表示方法

例1、作出下列函數(shù)的圖象:

題型一作函數(shù)的圖象

(l)y=|x-l|+2|x-2|;

規(guī)律方法作函數(shù)圖象的步驟及注意點(diǎn)

(2)y—,2_+.

(L)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點(diǎn)、連

線.作圖象時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在

定義域內(nèi)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再列表畫(huà)出圖象.

(2%函數(shù)的圖象可.能杲平滑的曲線，也可能

解析:

解析：x+2

(1)y—+1

x+1x+1

5-3x,x<1

(1)y=|x-l|+2|x-2|=<3-x,l<x<2圖象如圖(1)所示.

3x-5,x>2

(2),=國(guó)+卜_"

圖像如圖(1)所示

2x-l,x>1

1,0<x<1

—2x+1,x<0

(2)產(chǎn)產(chǎn)一4x+3

圖像如圖(2)所示.

x2-4x+3,xK1或xN3

―<

一廠+4x—3,1<x<3(3)y=x2—4|A|+3

圖像如圖(2)所示

x2-4x+3,x>0

x2+4x+3,x<0

圖像如圖(3)所示.

(4)圖像如圖(4)所示.

【變式訓(xùn)練1]畫(huà)出下列函數(shù)的圖象:

x+2

(1)

(2)y=|x|+|x—1|

(3)y=x2-4|^+3

fl,

(4)y+n

X,X>1

題型二函數(shù)求值問(wèn)題

(-)給定函數(shù)解析式取值I■1Jx+3T-

(2),2*+3+-------;2t+2;

2v+2

規(guī)律方法

—+3+**

由內(nèi)到外，逐層代入，逐層求解。

x+2Jx+3H--------F2

x+2

例2、已知函數(shù)，(x)=J?+」一，

x+2

g(x)=2：

【變式訓(xùn)練2?1】

⑴.求/(-3),g(0)J(f(-3))

2x+2,-l<x<0,

1八c

⑵求/(g(x)),g(/(x))J(/(x)),g(g(x))設(shè)/*)=—x,0<x<2,

2

3,x>2,

解析：

(1)由題意可知I,/(一3)=—1,則，/(I)，八6)=

g(0)=2°=l,/(/(-3))=/(-l)=V2+l解析:

(2)由題意可知,由題意，將自變量代入相應(yīng)的段求解得,

/(g(x))=/⑵)=VF73+-^—

2+2

I-----1JX+3T-

g(/(x))=g(Jx+3+—-)=2*+2/(D-=

x+2

/(/W)=/(V^T3+-1-)/(6)=3

x+2

答案1；—；3

2

—JJ犬+3H------F34----------------------

'x+2d+1+2【變式訓(xùn)練2-2】

x+2

(1)已知neN*,且

g(g(x))=g(2*)=2，

n-2,n>10,「

/(〃)=,，則/(4)

答案(1)-1;1；V2+1l/V5+5)),〃<10

x+2,xW-1,例3、已知函數(shù)y(x),g(x)分別由下表給出

(2)已知函數(shù)/。)=卜2,_1<》<2,

X123

2x,x>2,

/(X)131

若/(x)=3,則x的值是一

解析：

X123

⑴/(4)=/(/(4+5))=/(/(9))

g(x)321

=/(/(14-2)=/(/(12))

則/(g⑴)的值為;滿足

=/(12-2)=/(10)/(g(x))>g(/(x))的X的值是-

=10-2=8解析：

(2)當(dāng)xW-1時(shí),%+2<1;??》l)=3，.../(g(l))=A3)=L

當(dāng)一l<x<2時(shí)，0〈》2<4;/(g(x))與g(7(x))與x相對(duì)應(yīng)的值如下表

所示：

當(dāng)x?2時(shí)，2x24.

X123

x2—3,x=+V3.

131

又<-1<x<2,二x=V3.

g(f(x))313

答案(1)8(2)V3

(-)列表法表示函數(shù)取值答案1;2

規(guī)律方法【變式訓(xùn)練3】

解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵在于弄清每個(gè)表格表示的

已知函數(shù)/(x),g(x)分別由下表給出

函數(shù)，對(duì)于/(g(x))這類(lèi)函數(shù)值的求解，應(yīng)從內(nèi)到

外逐層求解，而求解不等式，則可分類(lèi)討論或列表X123

解決.

/(%)211

X123

g(x)321

(4)先換元再代入法

適用類(lèi)型：已知/(g(x))的解析式，求/①(x))

⑴/(g⑴)=;

例如：=-x+2,求/(x+3)

(2)若g(/(x))=2,則x=.

(5)待定系數(shù)法

解析(1)由表知g(l)=3,

適用類(lèi)型：已知函數(shù)模型

/(g(D)=/(3)=l；

例如：/(幻為一次函數(shù)，且/(/(x))=9x+8,

(2)由表知g(2)=2,又g(/(x))=2,

求了(x)的解析式

得了(x)=2,

(6)賦值法

再由表知x=L

答案(1)1(2)1

題型三求函數(shù)的解析式

規(guī)律方法

(1)代入法

適用類(lèi)型：已知/")的解析式，/(g(x))

例如：/(x)=x2-l,求/(2x—1)

例4、求下列函數(shù)的解析式

(2)換元法

(1)己知/(%)=3/一2彳+1,求/(2犬+1)

適用類(lèi)型：已知/(g(x))的解析式，求/(x)

(2)已知f(2x-V)-3x2-2x+1,求

例如：/(2x+3)=x?-3x+2,^V(x)

心+1)

(3)配湊法(3)已知f(x)是一次.函數(shù)，且f(f(x))=16x-

25,則函數(shù)f(x)的解析式為.

(4)已知函數(shù)/(力滿足/(幻―2/d)=x,

X

求/(幻的解析式

2

①+③得—3/(x)=x+—

X

解析：

_z.x2

(1)由題意，把2x+l代入f(x)的表達(dá)式里,f(x)=--~—

：.33x

得了(2X+1)=12X2+8X+2

答案(1)I2X?+8X+2(2)3x?+4x+2

(2)令2x—l=r,貝卜=，/+工，則原表達(dá)式

2225

(3)/(x)=4x-5或/'(x)=V■尤+可

.r/,/⑺=3占+2)2_2(!/+!)+]

可化為：2222

x2

(4)

33x

313

整理得【變式訓(xùn)練4】

424

(1)已知y(m+i)=x+25，求y(x)的解析式；

再代入2x+l,得/(2尤+1)=3/+4X+2

(2)已知.*》)+2/(一》)=/+24，求兀v)的解析式;

⑶設(shè)/(x)=kx+b(k70),

(3)已知/(2%+1)=3/—2x+l,求函數(shù)/(x)的

則/(/(幻)=%(疆+。)+。

解析式；

2

=kx+kb+h-l6x—25(4)已知/(x)是二次函數(shù)，且滿足/(0)=1,

k2=16,

所以4/(x+l)—/(x)=2x,則函數(shù)f(x)的解析式。

kb+b--25,

/：=4k=-4

解得4-5叫,25解析：

b--

3

(1)法一(換元法)：令t=5+l,

25

所以/(x)=4x—5的(x)=-4x+—

則X=(L1)2，侖1，

所以大f)=(f-l)2+2(f-I)=P—1(侖1),

(4)V/(x)-2/(-)=x@

X

所以./U)的解析式為—I(XNI).

令工=，，得/(-)-2/(x)--?

法二(配湊法)：1)=x+2y[x

XXX

=x+2百+1-1=(也+1)2-1.

12

②x2得2/(-)-4/(%)=-

XX

因?yàn)?+GL所以火x)的解析式為

兀0=4-1(應(yīng)1).得c=l,則<無(wú))=加+縱+1,

(2)???丹幻+"-工)=』+2達(dá)①火x+l)—?x)

???將x換成一x,得人一AO+M的MX2—2%.②=[a(x+\)2+b(x+\)+\]-(ax1+bx+})>

???由①②得3兀0=*—6x,=2ax-\-a-\~b

1=2x.

?7/U)=yr0_2x.

2cl=2,

(3)令2x+l=，,貝卜二工彳一工故得1I,八解得。=1,b=-l,

a+b=O

22

故得yu)=?—x+i.

/0)=3($-；)2-2(}-3)+1

答案(1)x2-l(x>l)(2)-X2-2X

3

3511

整理得f(t)=-t2--t+—,

424

,、32511,

(3)-x2——x+—(4)?-x+l

424

即f{x)=—x2-—x+—

424

(4)設(shè)兀+區(qū)+或存0),由負(fù)0)=1

考向一分段函數(shù)的綜合問(wèn)題

規(guī)律方法

(1)在求分段函數(shù)值/(%)時(shí)，分清為所在

的取值范圍是關(guān)鍵，然后選擇相應(yīng)的解析式代入

即可。反之由/(/)的值求不，可通過(guò)圖像得出

為所在的范圍，再選擇相應(yīng)解析式列方程求解。

(2)由于分段函數(shù)在自變量x的不同取值范

3x2—2x,x>1

圍內(nèi)有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此我們?cè)诮鉀Q有關(guān)分例5、已知函數(shù)/(幻=<

—2x~+3,x<1

段函數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要討論自變量的取值，確定自

求使/(幻<2時(shí)的x值的集合

變量的數(shù)值屬于哪一個(gè)區(qū)間范圍，從而選擇相應(yīng)

的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

解析:=—1—

X>i,Tx<1,

由題意得4,或〈2-a=-1-3aa=—-<0,

3X2-2X<2-2X2+3<2

不合題意，舍去；

1,1+V7

由*解得1WX<

2

3X-2X<2當(dāng)a<0時(shí)，則有

3

一(1—ci)—2a=2(1+<7)+ci=J>a=—,

4

符合題意

由<~2--角牛得x<------或——<x<l.3

-2X2+3<2,22綜上所述，?=--

4

答案―？3

4

綜上所述，滿足/(x)<2時(shí)的x值的集合為考向二映射的概念以及映射個(gè)數(shù)的確定

力<一立或變<x<1+V7規(guī)律方法

223

(1)映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)只是一個(gè)

答案…一正或交…匕立特殊的映射，函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的

223映射。

【變式訓(xùn)練5】(2)判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射，只要檢驗(yàn)對(duì)

2x+a,x<\

已知實(shí)數(shù)。工0,函數(shù)/(x)=<

-x-2a,x>\于A中的任意一個(gè)元素，按對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在B

若J(1—a)=/(1+a),求a的值。中是否有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)。映射中，

解析:集合A中每一個(gè)元素在集合B中必有唯一的元

素和它對(duì)應(yīng)(有且唯一)，但允許B中元素沒(méi)

當(dāng)a>0時(shí)，則1一。<1,l+a>l,

有A中元素與之對(duì)應(yīng)，因此A中元素與B中

/(I—a)=2(1—a)+a元素對(duì)應(yīng)，可以是“一對(duì)一”、“多對(duì)一”，

=2-a但不能是“一對(duì)多”。

同理，/(l+a)=-(l+a)-2a(3)確定從集合A到集合B的映射個(gè)數(shù)，

與集合A、B中元素的個(gè)數(shù)有關(guān)。若集合A中

映射；D選項(xiàng)，對(duì)于中的每一個(gè)x,

在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，因此它也不是映

射；再看B選項(xiàng)，對(duì)于M中的每一個(gè)元素

1』，在N中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，

因此它是M-N的一個(gè)映射，故選B。

答案B

例6、M=W—l<xWl},N={y|—iWyWl},給出

下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N【變式訓(xùn)練6-1】

的映射是（）已知集合A={a,b},B={0,1},則下列對(duì)應(yīng)不

是從A到B的映射的是（）

解析：解析:

A選項(xiàng)，M集合中一l〈x<°時(shí)，在N中沒(méi)有A,B.D均滿足映射定義，C不滿足集合A中任

元素和它對(duì)應(yīng)，因此不是映射；C選項(xiàng)，當(dāng)x=1一元素在集合B中有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，且集

時(shí)，對(duì)應(yīng)的元素為2,而2史N,因此也不是合A中元素b在集合B中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)。

故選c。應(yīng)的象即可，即確定f(a),f(b),f(c)的值。

答案C而/(a)J3),/(c)w{—l,0,l},

【變式訓(xùn)練6-2】

還滿足/⑷+〃?=/?，

下列對(duì)應(yīng)中，f是集合M到N的映射的是()

因此要確定這樣的映射f的個(gè)數(shù)，

A.M={1,2,3},N={2,4,5},

只需要確定由-1,0」組成多少個(gè)等式()+()

=()?注意到映射不要求N中元素一定要取完，

因而可通過(guò)列表把f(a),f(b),f(c)的取值情況表示出

B.M=卜工<0,xG7?},TV={y|y>2,jG/?},

來(lái)。

f:xy=x2+\

f(a)f(b)f(c)

000

C.M={x|xe/?),2V={y|0<y<l},

101

011

-10-1

0-1-1

110

11()

D.M={^0<x<2),A^={^0<y<l),

故由上表可知，所求的映射有7個(gè)。

q2

f\x-^y^-x答案7

解析：【變式訓(xùn)練6-3]

選項(xiàng)A中3沒(méi)有對(duì)應(yīng)的象，選項(xiàng)B中當(dāng)集合A={1,2,3},B={3,4}，從A到B的映射

-1<XW0時(shí)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的象，選項(xiàng)D中2沒(méi)有象，f滿足f(3)=3,則這樣的映射共有()

故選CoA.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

答案C解析：

例6-3、設(shè)M={。，b，c}，N={-1,0,1},若從M到N；f(3)=3.?.共有如下4個(gè)映射。

的映射f滿足：/(a)+/S)=/(c),求這樣的映

射f的個(gè)數(shù)。

解析：

要確定映射f,只需要確定M中的每個(gè)元素對(duì)

例7、如圖所示，有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，

將其四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后

折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，寫(xiě)出體積V以x為自變量的

函數(shù)式是________「

解析：

故選Bo如圖可知，長(zhǎng)方體的高為x,底是邊長(zhǎng)為a-2x

的一個(gè)正方形，

答案B

因此長(zhǎng)方體的體積V=x(a-2x)2

又由x得實(shí)際意義，必須有

考向三求應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)解析式

x>oca

=>Q<x<—.

規(guī)律方法a-2x>Q2

所以體積V與X的關(guān)系式為

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，在確

V=x(?-2x)2,(0<x<^)

定函數(shù)關(guān)系式時(shí)必須注意確定函數(shù)的定義域，

否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤的。另外，在實(shí)

答案V=x(a-2x)2,(0<x<-)

際問(wèn)題的應(yīng)用中，函數(shù)式中的自變量X除式子中2

的限制條件外，還要注意考慮問(wèn)題的實(shí)際意義。

【變式訓(xùn)練7】

甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從

家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km,

甲10時(shí)出發(fā)前往乙家。如圖所示，表示甲從家出

發(fā)到達(dá)乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(分)

的關(guān)系。試寫(xiě)出y=f(x)的函數(shù)解析式。

解析:

由圖中可以看出甲在去乙同學(xué)家的途中在公

園停留了10分鐘，

故y=/(x)的函數(shù)解析式為:

例8、已知二次函數(shù)/(x)=ax?+Z?x+c的圖像經(jīng)

—尤,0<x<30過(guò)點(diǎn)(-1,0),是否存在常數(shù)。、b、c,使得不等式

15

/(幻=彳2,30<x<40

xW/(x)<5(l+x2)對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立？若存

—x—2,40<x<60

[10

在，求出a、b.c的值；若不存在，說(shuō)明理由。

解析:

考向四函數(shù)圖像與方程根思想的綜合問(wèn)題

?.?y=/(X)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(—1,0)

規(guī)律方法

a-b+c=0b=a+c?

(1)/(幻=0有根

令x=l,得14/(1)41,即a+b+c=l②

=y=/(x)圖像與%軸有交點(diǎn)

，由①②解得。=L,a+c=4

=y=8。)與丁=h(x)圖像有交點(diǎn)22

(其中g(shù)(x)與//(X)由/(X)裂項(xiàng)而成).,/、211

??/(X)—CLXHXH-----CI

22

ax?+bx+c=0有兩相等實(shí)根oA=0

,/f(x)>x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，

(2)<ax2+bx+c=0有兩不等實(shí)根=△〉0

ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)根=△<0

011

即+—xd-----a20對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立

22

。>0

(3)二次函數(shù)/(尤)=以2+加+。20對(duì)一切實(shí)數(shù)心都

；—4a(；—a)(0①

a>0

成立<=>

A<0

(4)二次函數(shù)/(x)=依2+/?工+。40對(duì)一切實(shí)數(shù)1都

1,/(x)的解析式，并求丹/(-3)］的值

同理，/(幻45(1+/)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成

解析：

a<Q

立，即4Az②

A=(―)+4a(a-—)<0

由題意，?；/(2)=1,...2a+Z?=2,

11

--Z?=2—2a

由①②解得a=—2-4-

4

----------=x=>ax2*4+(1-2a)x=0

ax+2-2a

故存在常數(shù)a=-,b=-,c=-使得不等式對(duì)

424

,1

一切實(shí)數(shù)x都成立。即A=(l_2a)2=0na=_

21,11

答案ci=—,b=-,c=一2r3

424=丹/(-3)]=/(6)=.

x+22

【變式訓(xùn)練8】

已知函/(x)-^(a、b為常數(shù),加70)2x3

ax+b答案/W=-;/[/(-3)]=-

滿足/(2)=1,方程/(x)=x有唯一解，求函數(shù)

綜合訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)演練

一、選擇題

1.設(shè)Xx)=2r+3,g(x)=_/(x—2),則g(x.)等于()

A.2x+iB.2x-l

C.2x-3D.2x+7

解析：：兀0=2%+3,

.\Ax-2)=2(x-2)+3=2x—1,

即g(x)=2x—1,

答案B..

2.如圖所示的四個(gè)容器高度，都相同.將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中，注滿為.止.

用下面.對(duì)應(yīng)的圖象顯示該容器中水面的高度/7和.時(shí)間f之間的關(guān)系，其中不正確的是().

?voa

LkXk

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：對(duì)于第一幅圖，水面的高度〃的增加應(yīng)是均勻的，因此不正確，其他均正確。

答案A

3.函數(shù)y=/（x）（"）翔）的圖象與x=l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（)

A.1B.2

C.0或1D.1或2

解析：結(jié).合函數(shù)的定義可知，如果#A—B成立,

則任意則有唯一確定的8與之對(duì)應(yīng)，

由于x=l不一定,是定義域中的數(shù)，故x