高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)(原卷版+解析)

3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：求雙曲線的焦距；共焦點(diǎn)雙曲線；求雙曲線中的范圍或最值；點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的對稱性；雙曲線的實(shí)軸/虛軸；等軸雙曲線；雙曲線的漸近線；雙曲線的離心率；雙曲線的實(shí)際應(yīng)用課堂知識小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識歸納雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍或，或，頂點(diǎn)、、軸長虛軸的長

實(shí)軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱離心率，越大，雙曲線的開口越闊漸近線方程實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：求雙曲線的焦距例1．若雙曲線的焦距等于虛軸長的3倍，則的值為______．【方法技巧】1.理解焦距的概念2.把理論轉(zhuǎn)化為實(shí)際【變式訓(xùn)練】【變式1】．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．4 D．【變式2】．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦距等于_________.考點(diǎn)2：共焦點(diǎn)雙曲線例2（多選）．過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的圓錐曲線方程為（

）A． B． C． D．【方法技巧】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法和雙曲線的簡單性質(zhì)和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力．求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出方程利用圓錐曲線經(jīng)過的點(diǎn)，求解即可．【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線與共焦點(diǎn)，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【變式2】．已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為.(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考點(diǎn)3：求雙曲線中的范圍或最值例3．曲線，則（

）A．C上的點(diǎn)滿足， B．C關(guān)于x軸、y軸對稱C．C與x軸、y軸共有3個(gè)公共點(diǎn) D．C與直線只有1個(gè)公共點(diǎn)【方法技巧】1.結(jié)合點(diǎn)在曲線上，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.2.去掉絕對值即可根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)判斷.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式2】．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，且P是雙曲線上一點(diǎn)，寫出的最小值．考點(diǎn)4：雙曲線的對稱性例4．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則（

）A．4 B． C．6 D．【方法技巧】由雙曲線的性質(zhì)可得，再利用雙曲線的定義即得.【變式訓(xùn)練】【變式1】．過等軸雙曲線的右焦點(diǎn)F作兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若的面積為2，則a的值為（

）A． B．2 C． D．4【變式2】．若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，則___________.考點(diǎn)5：雙曲線的實(shí)軸/虛軸例5（多選）．已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（

）A．的長軸長與的實(shí)軸長相等 B．的短軸長與的虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率不相等【方法技巧】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為（

）A．1 B．2 C． D．【變式2】．已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若△OMF（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為8，則C的實(shí)軸長為（

）A．8 B． C．6 D．【變式3】．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線C的焦距為B．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．雙曲線C的虛軸長是實(shí)軸長的倍D．雙曲線與雙曲線C的漸近線相同考點(diǎn)6：等軸雙曲線例6．等軸雙曲線：的焦距為4，則的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．【方法技巧】利用等軸雙曲線，實(shí)軸和虛軸長度相等，即，即可求解漸近線方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.【變式訓(xùn)練】【變式1】．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，則|PQ|=_________．【變式2】．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學(xué)性質(zhì)，如：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.已知以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點(diǎn)到中心的距離為____________.考點(diǎn)7：雙曲線的漸近線例7．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線與有相同的焦距，且一條漸近線方程為x－2y＝0，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【方法技巧】求解此類焦點(diǎn)位置不確定的橢圓、雙曲線的方程問題，常見錯(cuò)誤是因思維定式默認(rèn)焦點(diǎn)在軸上，導(dǎo)致考慮不全，從而漏解，因此，當(dāng)由題目條件不能確定橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時(shí)，應(yīng)當(dāng)分兩種情況討論，有時(shí)也可巧設(shè)方程，利用待定系數(shù)法求解．【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線C：（，）的實(shí)軸長為8，一條漸近線的方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【變式2】．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線為，下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【變式3】．與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.考點(diǎn)8：雙曲線的離心率例8．（2022·全國·高考真題（理））雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【方法技巧】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【變式訓(xùn)練】【變式1】．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【變式2】．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．【變式3】（2022·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________．【變式4】．（2021·全國·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.【變式5】．（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于______.考點(diǎn)9：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用例9．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為4cm，下底直徑為6cm，高為9cm，則喉部（最細(xì)處）的直徑為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【方法技巧】作該塔筒的軸截面圖像并建立坐標(biāo)系，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出其實(shí)軸長度即可.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知曲線，對于命題：①垂直于軸的直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②若為曲線上任意兩點(diǎn)，則有，下列判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【變式2】．一種冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖）．現(xiàn)要求制造一個(gè)最小半徑為8m，下口半徑為15m，下口到最小半徑圓面的距離為24m，高為27m的雙曲線冷卻塔，試計(jì)算上口的半徑（精確到0.01m）．知識小結(jié)知識小結(jié)⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)?程：.?般?程：.⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：頂點(diǎn)：焦點(diǎn)：準(zhǔn)線?程漸近線?程：或ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線?程：.漸近線?程：或，參數(shù)?程：或.②軸為對稱軸，實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離?率.④準(zhǔn)線距(兩準(zhǔn)線的距離);通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對于雙曲線?程(分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn))長加短減原則：構(gòu)成滿?(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計(jì)算，?雙曲線不帶符號)⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線?程為，離?率.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.⑸共漸近線的雙曲線系?程：的漸近線?程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線?程可設(shè)為.例如：若雙曲線?條漸近線為且過，鞏固提升鞏固提升一、單選題1．已知雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線（，）的離心率為，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．3．已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．4．已知點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)Q是雙曲線漸近線上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，若的最大值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．若雙曲線的兩條漸近線與圓的交點(diǎn)等分圓周，則（

）A． B． C． D．7．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．8．，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．二、多選題9．若直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值可以是（

）A．4 B．2 C．1 D．10．已知對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線C過點(diǎn)，則（

）A．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2B．雙曲線C的虛軸長為2C．雙曲線C的兩條漸近線互相垂直D．為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線C的一支相交于P，Q兩點(diǎn)，則的周長為8三、填空題11．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長為___________.12．已知橢圓：，雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為______．13．已知點(diǎn)P在雙曲線上，若P，Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，直線與圓相切于點(diǎn)M且，其中，分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則的面積為______．14．已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，l為雙曲線的一條漸近線，F(xiàn)到直線l的距離為，過F且垂直于x軸的直線交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，若長為10，則C的離心率為________．四、解答題15．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線在第一象限的點(diǎn)，的內(nèi)切圓與x軸交于點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)Q處的切線l，若l與雙曲線C左、右兩支分別交于點(diǎn)M、N，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．16．已知雙曲線的方程為，直線.(1)求雙曲線的漸近線方程、離心率；(2)若直線與雙曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：求雙曲線的焦距；共焦點(diǎn)雙曲線；求雙曲線中的范圍或最值；點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系；雙曲線的對稱性；雙曲線的實(shí)軸/虛軸；等軸雙曲線；雙曲線的漸近線；雙曲線的離心率；雙曲線的實(shí)際應(yīng)用課堂知識小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識歸納雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍或，或，頂點(diǎn)、、軸長虛軸的長

實(shí)軸的長焦點(diǎn)、、焦距對稱性關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱離心率，越大，雙曲線的開口越闊漸近線方程實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：求雙曲線的焦距例1．若雙曲線的焦距等于虛軸長的3倍，則的值為______．【答案】【分析】先將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而得到，，根據(jù)題意列出方程，求出的值.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，則，故，則可得：，解得：，故答案為：【方法技巧】1.理解焦距的概念2.把理論轉(zhuǎn)化為實(shí)際【變式訓(xùn)練】【變式1】．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在雙曲線上，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得，進(jìn)而與雙曲線方程聯(lián)立得，即可得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由雙曲線可知、，∵，∴，∴，代入雙曲線方程，∴，∴，∴，∴到軸的距離是．故選：B．【變式2】．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦距等于_________.【答案】【分析】由雙曲線方程和漸近線可求出，再由可求出，從而可求出焦距.【詳解】由雙曲線，得其漸近線方程為，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，得，所以，得，所以雙曲線的焦距為，故答案為：考點(diǎn)2：共焦點(diǎn)雙曲線例2（多選）．過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的圓錐曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】BC【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)，可得，設(shè)橢圓的方程為，可得，，解得，，所求的橢圓方程為設(shè)雙曲線的方程為：，可得，，解得，，所求的雙曲線方程為．故選：BC【方法技巧】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法和雙曲線的簡單性質(zhì)和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查計(jì)算能力．求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出方程利用圓錐曲線經(jīng)過的點(diǎn)，求解即可．【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線與共焦點(diǎn)，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的值，即可得到的方程，即可求出漸近線方程；【詳解】解：雙曲線中、，所以，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)殡p曲線與共焦點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線，則的漸近線方程為；故選：D【變式2】．已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為.(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)（?2.0）；(2).【分析】（1）由橢圓方程及其參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)c，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）由漸近線及焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)雙曲線方程為，再由雙曲線參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)，即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)由題設(shè)，，又，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.（?2.0）(2)由題設(shè)，令雙曲線為，由（1）知：，可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)3：求雙曲線中的范圍或最值例3．曲線，則（

）A．C上的點(diǎn)滿足， B．C關(guān)于x軸、y軸對稱C．C與x軸、y軸共有3個(gè)公共點(diǎn) D．C與直線只有1個(gè)公共點(diǎn)【答案】ACD【詳解】表示橢圓在x軸上方的部分，表示雙曲線在x軸下方的部分，作出圖象：雙曲線的一條漸近線為，故選項(xiàng)ACD正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：ACD.【方法技巧】1.結(jié)合點(diǎn)在曲線上，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.2.去掉絕對值即可根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)判斷.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線l與雙曲線分別相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線的對稱性可得為的中點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知為的中點(diǎn)，所以，又在上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號，所以．故選：C【變式2】．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，且P是雙曲線上一點(diǎn)，寫出的最小值．【答案】【詳解】根據(jù)雙曲線的定義，，∴右焦點(diǎn)F為，設(shè)，則，因?yàn)镻是雙曲線上一點(diǎn)，所以，其中，所以，二次函數(shù)的對稱軸為，所以時(shí)，取得最小值，最小值為，故最小值為.考點(diǎn)4：雙曲線的對稱性例4．已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則（

）A．4 B． C．6 D．【答案】C【詳解】由雙曲線的對稱性可得點(diǎn)Q在雙曲線的左支上，且，由可知，，∴.故選：C.【方法技巧】由雙曲線的性質(zhì)可得，再利用雙曲線的定義即得.【變式訓(xùn)練】【變式1】．過等軸雙曲線的右焦點(diǎn)F作兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，若的面積為2，則a的值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】求出過右焦點(diǎn)F與垂直的直線，然后與漸近線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性得點(diǎn)N的坐標(biāo)，則可得表示出的面積，然后解方程即可.【詳解】雙曲線為，右焦點(diǎn)，由已知雙曲線的一條漸近線方程為，則過右焦點(diǎn)F與垂直的直線為，聯(lián)立，解得不妨取，則根據(jù)對稱性得，解得故選：B.【變式2】．若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意和雙曲線的對稱性，得到點(diǎn)和在雙曲線上，代入即可求解.【詳解】由題意，三個(gè)點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，因?yàn)殡p曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)和在雙曲線上，可得，解得.故答案為：.考點(diǎn)5：雙曲線的實(shí)軸/虛軸例5（多選）．已知橢圓與雙曲線，下列關(guān)于兩曲線的說法正確的是（

）A．的長軸長與的實(shí)軸長相等 B．的短軸長與的虛軸長相等C．焦距相等 D．離心率不相等【答案】CD【詳解】由題意可知，橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為，當(dāng)時(shí)，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，其實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為，離心率為.故的長軸長與的實(shí)軸長不相等，的短軸長與的虛軸長不相等，與的焦距相等，離心率不相等．故選：CD．【方法技巧】利用橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線，則該雙曲線的虛軸長為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】直接由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到的值，從而得到虛軸長.【詳解】雙曲線的虛半軸長，所以該雙曲線的虛軸長為．故選:D．【變式2】．已知點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為M，若△OMF（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為8，則C的實(shí)軸長為（

）A．8 B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)可得，再焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，結(jié)合△OMF的面積為8，列式求解即可【詳解】由題意可得．取漸近線，易知點(diǎn)到直線的距離為b，則，所以，聯(lián)立得．所以C的實(shí)軸長為8．故選：A【變式3】．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線C的焦距為B．雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．雙曲線C的虛軸長是實(shí)軸長的倍D．雙曲線與雙曲線C的漸近線相同【答案】CD【分析】利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解判斷.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，焦距為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)轫旤c(diǎn)坐標(biāo)為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C正確；雙曲線與雙曲線C的漸近線均為直線，故D正確．故選：CD考點(diǎn)6：等軸雙曲線例6．等軸雙曲線：的焦距為4，則的一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【詳解】由題可知，雙曲線為等軸雙曲線，故雙曲線的半實(shí)軸長與半虛軸長相等，即，∴漸近線方程為.又，且，∴，∴雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴一個(gè)頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.故選：A.【方法技巧】利用等軸雙曲線，實(shí)軸和虛軸長度相等，即，即可求解漸近線方程、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.【變式訓(xùn)練】【變式1】．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，則|PQ|=_________．【答案】【分析】由題意可知曲線為等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)可得答案.【詳解】由題意可知，，，，雙曲線是等軸雙曲線，則兩條漸近線的夾角是90°，因?yàn)樵谥苯侨切沃校边呏芯€是斜邊一半，故．故答案為：【變式2】．圓錐曲線具有優(yōu)美的光學(xué)性質(zhì)，如：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.已知以坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線：的圖象以直線為對稱軸，從其中一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后得到的反射光線與入射光線垂直，則入射光線與的交點(diǎn)到中心的距離為____________.【答案】2【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可知，根據(jù)對稱軸與雙曲線的交點(diǎn)可得實(shí)半軸的長a，利用等軸雙曲線可求出c，即可得解.【詳解】是雙曲線的焦點(diǎn)，，分別為入射光線、反射光線，且，如圖，由解得，故，又雙曲線為等軸雙曲線，所以，所以，即,所以,故答案為：2考點(diǎn)7：雙曲線的漸近線例7．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線與有相同的焦距，且一條漸近線方程為x－2y＝0，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】或．【分析】先求出橢圓的焦距；討論雙曲線的焦點(diǎn)在軸還是軸，設(shè)出雙曲線，結(jié)合焦距與漸近線即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】方法一：∵在橢圓中，a＝3，b＝2，∴，∴雙曲線的焦距為．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，此時(shí)雙曲線的標(biāo)淮方程為．綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．方法二:∵在橢圓中，a＝3，b＝2，∴，∴雙曲線的焦距為．∴雙曲線的一條漸近線方程為x－2y＝0，∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．當(dāng)時(shí)，，得，此時(shí)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．【方法技巧】求解此類焦點(diǎn)位置不確定的橢圓、雙曲線的方程問題，常見錯(cuò)誤是因思維定式默認(rèn)焦點(diǎn)在軸上，導(dǎo)致考慮不全，從而漏解，因此，當(dāng)由題目條件不能確定橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時(shí)，應(yīng)當(dāng)分兩種情況討論，有時(shí)也可巧設(shè)方程，利用待定系數(shù)法求解．【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知雙曲線C：（，）的實(shí)軸長為8，一條漸近線的方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)軸長求得，再結(jié)合漸近線方程求得，即可求解【詳解】因?yàn)閷?shí)軸長為8，所以，可得漸近線方程為，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D．【變式2】．由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線（，）下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線為，下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，由已知漸近線方程得到，又下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，得到關(guān)系，結(jié)合解出即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又雙曲線的一條漸近線為，所以即，又下焦點(diǎn)到下頂點(diǎn)的距離為1，所以，結(jié)合解得，，故選：A．【變式3】．與雙曲線有相同的漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________.【答案】【分析】利用與雙曲線有相同的漸近線及點(diǎn)在雙曲線上即可求解.【詳解】由題意可知，設(shè)，因?yàn)樗箅p曲線過點(diǎn)，所以，解得.所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：.考點(diǎn)8：雙曲線的離心率例8．（2022·全國·高考真題（理））雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】解：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，若分別在左右支，因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率若均在左支上，同理有，其中為鈍角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故選：AC.【方法技巧】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.【變式訓(xùn)練】【變式1】．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于C、D兩點(diǎn)，若．則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】設(shè)公共焦點(diǎn)為，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點(diǎn)為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.【變式2】．（2022·浙江·高考真題）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于點(diǎn)且．若，則雙曲線的離心率是_________．【答案】【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點(diǎn)，再根據(jù)可求得點(diǎn)，最后根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，即可解出離心率．【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點(diǎn)在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．【變式3】（2022·全國·高考真題（文））記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________．【答案】2（滿足皆可）【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”所以，又因?yàn)?，所以，故答案為?（滿足皆可）【變式4】．（2021·全國·高考真題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.【答案】【分析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題可知，離心率，即，又，即，則，故此雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.【變式5】．（2020·山東·高考真題）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)與雙曲線的左焦點(diǎn)重合，若兩曲線相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)是點(diǎn)，則該雙曲線的離心率等于______.【答案】【分析】利用拋物線的性質(zhì)，得到M的坐標(biāo)，再帶入到雙曲線方程中，即可求解.【詳解】由題意知：拋物線方程為：在拋物線上，所以在雙曲線上，，又，故答案為：考點(diǎn)9：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用例9．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為4cm，下底直徑為6cm，高為9cm，則喉部（最細(xì)處）的直徑為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】D【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以C為喉部對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)A與B分別為上、下底面對應(yīng)點(diǎn)，以雙曲線的對稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在軸為x軸建立如圖所示的坐標(biāo)系.由題意可知，，，設(shè)，則．設(shè)雙曲線的方程為，∵雙曲線的離心率為，∴．方程可化簡為(*)，將A和B的坐標(biāo)代入(*)式可得解得，則喉部的直徑cm．故選：D【方法技巧】作該塔筒的軸截面圖像并建立坐標(biāo)系，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出其實(shí)軸長度即可.【變式訓(xùn)練】【變式1】．已知曲線，對于命題：①垂直于軸的直線與曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；②若為曲線上任意兩點(diǎn)，則有，下列判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】A【分析】化簡曲線方程，畫出圖像判斷①，利用函數(shù)單調(diào)減判斷②【詳解】曲線,當(dāng)當(dāng)當(dāng)畫出圖像如圖，易知①正確；易知函數(shù)為減函數(shù)，則人任意兩點(diǎn)斜率，②正確故選：A【變式2】．一種冷卻塔的外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖）．現(xiàn)要求制造一個(gè)最小半徑為8m，下口半徑為15m，下口到最小半徑圓面的距離為24m，高為27m的雙曲線冷卻塔，試計(jì)算上口的半徑（精確到0.01m）．【答案】8.16m【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出雙曲線方程，進(jìn)而求出上口半徑.【詳解】以雙曲線的中心為原點(diǎn)，實(shí)軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求雙曲線方程為，由題意得：，點(diǎn)在雙曲線上，將其代入得：，解得：，則雙曲線方程為，令得：，，因此上口半徑約為8.16m.知識小結(jié)知識小結(jié)⑴①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)?程：.?般?程：.⑵①i.焦點(diǎn)在x軸上：頂點(diǎn)：焦點(diǎn)：準(zhǔn)線?程漸近線?程：或ii.焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：.焦點(diǎn)：.準(zhǔn)線?程：.漸近線?程：或，參數(shù)?程：或.②軸為對稱軸，實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b，焦距2c.③離?率.④準(zhǔn)線距(兩準(zhǔn)線的距離);通徑.⑤參數(shù)關(guān)系.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對于雙曲線?程(分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn))長加短減原則：構(gòu)成滿?(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計(jì)算，?雙曲線不帶符號)⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線?程為，離?率.⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.⑸共漸近線的雙曲線系?程：的漸近線?程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線?程可設(shè)為.例如：若雙曲線?條漸近線為且過，鞏固提升鞏固提升一、單選題1．已知雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，直接求出漸近線方程作答.【詳解】依題意，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，實(shí)半軸長，虛半軸長，所以雙曲線的漸近線方程是.故選：C2．已知雙曲線（，）的離心率為，雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為，則雙曲線C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率和距離的最小值列方程組求得，然后求得后得雙曲線方程．【詳解】由已知可得，，可得，，則，所以雙曲線的方程為．故選：A．3．已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知：雙曲線與沒有公共點(diǎn)，則，即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，若雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則應(yīng)有，所以離心率，故選：D4．已知點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)Q是雙曲線漸近線上的動點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線的方程可得點(diǎn)F坐標(biāo)及漸近線方程，進(jìn)而求得點(diǎn)P坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：由雙曲線方程可得，點(diǎn)F坐標(biāo)為，將代入雙曲線方程，得，由于點(diǎn)P在第一象限，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)P到雙曲線的漸近線的距離為．Q是雙曲線漸近線上的動點(diǎn)，所以的最小值為．故選：B．5．已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，若的最大值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式求最值，即可得，進(jìn)而可求離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，，，則．依題意不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，坐標(biāo)為，則，，所以．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則．因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，即，則，所以，故，故選:A．6．若雙曲線的兩條漸近線與圓的交點(diǎn)等分圓周，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將雙曲線漸近線方程與圓的方程聯(lián)立可求得其在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)漸近線與圓的交點(diǎn)等分圓周可得漸近線斜率，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為，雙曲線的漸近線與圓的交點(diǎn)等分圓周，雙曲線漸近線斜率為，即，解得：.故選：C.7．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得其焦距.【詳解】如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，則該雙曲線過點(diǎn)，且，所以，解得，所以，得，所以該雙曲線的焦距為，故選：C．8．，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過左焦點(diǎn)的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，設(shè)，，，可判斷為直角三角形，再結(jié)合雙曲線的定義可求得，得，則，，再利用勾股定理結(jié)合可求出，從而可求出漸近線方程.【詳解】因?yàn)?，所以可設(shè)，，，其中，所以，所以為直角三角形．又因?yàn)?，，所以，所以，所?a＝2k，所以k＝a，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以漸近線方程為．故選：B．二、多選題9．若直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值可以是（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】BD【分析】由雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷a的值.【詳解】由題設(shè)，雙曲線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，要使與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以.故選：BD10．已知對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線C過點(diǎn)，則（

）A．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2B．雙曲線C的虛軸長為2C．雙曲線C的兩條漸近線互相垂直D．為