高一數(shù)學(xué)必考點(diǎn)分類集訓(xùn)(人教A版必修第一冊(cè))專題4.6指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(能力提升卷)(原卷版+解析)

專題4.6指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（能力提升卷）考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時(shí)150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)fx=logax?b（a>0且a≠1，aA．a(chǎn)>0，b<?1 B．a(chǎn)>0，?1<b<0C．0<a<1，b<?1 D．0<a<1，?1<b<02．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=ln13，b=30.3A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b3．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)=2x?x?1，則不等式f(x)>0A．(?1,1) B．(?∞,?1)∪(1,+∞)C．(0,1) D．(?∞,0)∪(1,+∞)【答案】D4．（2022·江蘇省南通中學(xué)高一階段練習(xí)）已知4a=8，2m=9n=6A．52 B．18 C．15．（2020·全國(guó)·高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e?0.23(t?53)，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t?)=0.95A．60 B．63 C．66 D．696．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a=log23，b=log34，c=log45A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，則f（x）（）A．是偶函數(shù)，且在12B．是奇函數(shù)，且在?1C．是偶函數(shù)，且在?∞，D．是奇函數(shù)，且在?∞，8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式log21+2x+(1?a)A．[0,+∞) B．[1,+∞) C．(?∞,0] D．(?∞,1].多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（2022·江蘇常州·高一期中）以下運(yùn)算中正確的是（

）A．若lg2=m,lg3=n，則logC．若a+a?1=14，則a10．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)y=2B．函數(shù)y=ax2C．若am>D．函數(shù)f(x)=ax?211．（黑龍江省聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)=e?x滿足不等式f(3n?2m)+f(2?n)>0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．em>2en C．ln(m?n)>0 D．12．（2021·福建·莆田第四中學(xué)高一階段練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[?3.5]=?4，[2.1]=2．已知函數(shù)f(x)=ex1+exA．g(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在R上是增函數(shù) D．g(x)的值域是{?1,0,1}填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若alog43=14．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若函數(shù)fx=2x+2,x≤1,15．（2022·河南·信陽高中高一階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=ln(x2?1)+16．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）冪函數(shù)y=xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖）．設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=xα，y=x解答題（共6小題，滿分70分）17．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝ax?1ax+1（1）若f(2)＝35，求f(x（2）討論f(x)奇偶性．18．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=logax+1(1)判斷并證明函數(shù)fx(2)若a=2，求函數(shù)y=f219．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)f(x)=logax，g(x)=loga(2x+m?2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.（2）當(dāng)a>1時(shí)，不等式f(x)<2g(x)在x∈[1,3]時(shí)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（2022·遼寧·義縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)gx=a+1x?2+1a>0的圖像恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)（2）已知?1≤log1221．（2022·河南·睢縣高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)fx(1)判斷并證明fx(2)若fk?3x+f322．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)f(x)=4log2x+1log(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞(2)求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上的最大值；(3)若對(duì)?x1∈(1,+∞)，?x專題4.6指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（能力提升卷）考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分150分，限時(shí)150分鐘，試卷緊扣教材，細(xì)分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎(chǔ)，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)fx=logax?b（a>0且a≠1，aA．a(chǎn)>0，b<?1 B．a(chǎn)>0，?1<b<0C．0<a<1，b<?1 D．0<a<1，?1<b<0【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx=又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的交點(diǎn)在正半軸，所以x=1+b>0，即b>?1又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與y軸有交點(diǎn)，所以b<0，所以?1<b<0，故選：D2．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=ln13，b=30.3A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【答案】C【解析】分別將a,b,c與0,1比較大小，從而得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)閍=ln13<ln1=0故選：C3．（2020·北京·高考真題）已知函數(shù)f(x)=2x?x?1，則不等式f(x)>0A．(?1,1) B．(?∞,?1)∪(1,+∞)C．(0,1) D．(?∞,0)∪(1,+∞)【答案】D【分析】作出函數(shù)y=2x和【詳解】因?yàn)閒x=2x?x?1在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2x和兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解為x<0或所以不等式fx>0的解集為：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.4．（2022·江蘇省南通中學(xué)高一階段練習(xí)）已知4a=8，2m=9n=6A．52 B．18 C．1【答案】A【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式即可獲解.【詳解】4a=8，∴a=log∴m=log26∴1m=∴b=∴a+b=故選：A5．（2020·全國(guó)·高考真題（文））Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)=K1+e?0.23(t?53)，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t?)=0.95A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】將t=t?代入函數(shù)It=K【詳解】∵It=K1+e所以，0.23t??53故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若a=log23，b=log34，c=log45A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a>1,b>1，c>1，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算化為同底并結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可比較出a,c的大小關(guān)系，a,b分別與中間值32比較，得出a>32>b>1，b,c分別與中間值【詳解】解：由題意，log23>log22=1即a>1,b>1，c>1，∵c=log而a=log23>∵a=log23>即a>3又∵54=而44>35，則同理，∵54=而45>54，則綜上得：a>3所以c<b<a.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)的大小比較，考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，與中間值1，32，54比較，以及運(yùn)用公式7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，則f（x）（）A．是偶函數(shù)，且在12B．是奇函數(shù)，且在?1C．是偶函數(shù)，且在?∞，D．是奇函數(shù)，且在?∞，【答案】B【分析】先求出fx的定義域結(jié)合奇偶函數(shù)的定義判斷fx的奇偶性，設(shè)t＝|2x+12x?1|，則y＝lnt，【詳解】解：由2x+1≠02x?1≠0，得x≠±1又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝ln|2x+12x?1∵2x+12x?1=1+2可得內(nèi)層函數(shù)t＝|2x+12x?1在（﹣∞，?12），（12，+∞）上單調(diào)遞減，在（?又對(duì)數(shù)式y(tǒng)＝lnt由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，f（x）在（?12，在（﹣∞，?12），（故選：B．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若不等式log21+2x+(1?a)A．[0,+∞) B．[1,+∞) C．(?∞,0] D．(?∞,1].【答案】D【分析】先將不等式化簡(jiǎn)，進(jìn)而參變分離轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，最后解得答案.【詳解】題設(shè)不等式化為log21+21+2x≥a?易知y=13x+2所以由不等式a≤13x故選：D.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（2022·江蘇常州·高一期中）以下運(yùn)算中正確的是（

）A．若lg2=m,lg3=n，則logC．若a+a?1=14，則a【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，log5對(duì)選項(xiàng)B，13對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)閍+a?1=14因?yàn)閍+a所以a1對(duì)選項(xiàng)D，4=1?故選：ABD10．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高二階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)y=2B．函數(shù)y=ax2C．若am>D．函數(shù)f(x)=ax?2【答案】BD【解析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷其真假，得出答案.【詳解】選項(xiàng)A.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，可得y=2選項(xiàng)B.當(dāng)a>1時(shí)，y=ax選項(xiàng)C.當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y=ax單調(diào)遞減，由am選項(xiàng)D.由f(2)=a2?2?3=?2，可得f(x)故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查指數(shù)函數(shù)的定義、單調(diào)性以及圖象過定點(diǎn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．（黑龍江省聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)=e?x滿足不等式f(3n?2m)+f(2?n)>0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．em>2en C．ln(m?n)>0 D．【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性性質(zhì)得到m>n+1，利用不等式的性質(zhì)即可一一判斷.【詳解】fx的定義域?yàn)镽，f所以fx因?yàn)閥=e?x=1e所以fx在R又f3n?2m+f2?n>0，則f3n?2m>?f2?n因?yàn)閥=ex在R上是增函數(shù)，所以因?yàn)閚>?1，所以m+1>m>n+1>0，所以n+1m+1因?yàn)閥=lnx在所以lnm?n>ln取m=1，n=?3，滿足m>n+1，但m2022故選:ABC．12．（2021·福建·莆田第四中學(xué)高一階段練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[?3.5]=?4，[2.1]=2．已知函數(shù)f(x)=ex1+exA．g(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在R上是增函數(shù) D．g(x)的值域是{?1,0,1}【答案】BC【解析】計(jì)算g(?1),g(1)得出g(1)≠g(?1),g(1)≠?g(?1)判斷選項(xiàng)A不正確；用函數(shù)的奇偶性定義，可證f(x)是奇函數(shù)，選項(xiàng)B正確；通過分離常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出f(x)在R上是增函數(shù)，判斷選項(xiàng)C正確；由y=ex的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出【詳解】根據(jù)題意知，f(x)=e∵g(1)=[f(1)]=eg(?1)=[f(?1)]=1∴g(1)≠g(?1),g(1)≠?g(?1)，∴函數(shù)g(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；∵f(?x)=e∴f(x)是奇函數(shù)，B正確；∵y=ex在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f(x)=1∵ex>0，∴1+∴?12<f(x)<故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題是一道以數(shù)學(xué)文化為背景，判斷函數(shù)性質(zhì)的習(xí)題，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是理解函數(shù)gx=f填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若alog43=【答案】6【分析】首先利用換底公式表示a=log32【詳解】由條件得a=12log故答案為：614．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若函數(shù)fx=2x+2,x≤1,【答案】1,17【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出fx=4時(shí)【詳解】解：因?yàn)閒x當(dāng)x∈?∞,1時(shí)，易知f當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，fx作出fx由圖可知，f1=4，因?yàn)閒x在?∞,a上的最大值為4，所以a故答案為：1,1715．（2022·河南·信陽高中高一階段練習(xí)（理））已知函數(shù)f(x)=ln(x2?1)+【答案】(?∞,?2)∪(1,+∞)【分析】由奇偶性定義可判斷出fx為偶函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷可得到fx在1,+∞上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)性質(zhì)知其在【詳解】由x2?1>0，解得：x<?1或x>1，故函數(shù)的定義域?yàn)橛謋?x∴fx為(?∞,?1)∪(1,+∞)當(dāng)x>1時(shí)，y=ln設(shè)t=2x>2∵y=t+1t在2,+∞上單調(diào)遞增，∴y=2∴fx在1,+∞上單調(diào)遞增，又fx為偶函數(shù)，∴fx由f(x+1)<f(2x)可知x+1<2xx+1故答案為：(?∞,?2)∪(1,+∞).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調(diào)性的作用如下：（1）奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號(hào)，同時(shí)根據(jù)奇偶函數(shù)的對(duì)稱性確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性；（2）單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.16．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）冪函數(shù)y=xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖象是一族美麗的曲線（如圖）．設(shè)點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)y=xα，y=x【答案】1【分析】先確定M、N的坐標(biāo)，然后求得α，β；再求αβ的值．【詳解】解：BM=MN=NA，點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，所以MN23,1α=αβ=故答案為：1.解答題（共6小題，滿分70分）17．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝ax?1ax+1（1）若f(2)＝35，求f(x（2）討論f(x)奇偶性．【答案】（1）fx【分析】（1）根據(jù)f2=3【詳解】解：（1）∵fx=a即a2?1a即fx（2）因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，且f?x所以f(x)是奇函數(shù)．18．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=logax+1(1)判斷并證明函數(shù)fx(2)若a=2，求函數(shù)y=f2【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)0,+∞【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)定義判斷并證明作答.（2）利用指數(shù)函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)定義及性質(zhì)求解作答.（1）函數(shù)fx依題意，x+1x?1>0，解得x<?1或x>1，即fx又f?x所以函數(shù)fx（2）當(dāng)a＝2時(shí)，fx=log2x+1則有22x?1∈0,+∞，即1+2所以y=f2x的值域是19．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)f(x)=logax，g(x)=loga(2x+m?2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.（1）若m=6且函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值.（2）當(dāng)a>1時(shí)，不等式f(x)<2g(x)在x∈[1,3]時(shí)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）a=30；（2）m>0【分析】（1）由題設(shè)可得F(x)=loga[x(2x+4)]，討論a>1、0<a<1，結(jié)合已知最大值求參數(shù)a（2）由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得m>0，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得m>?2x+x+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求不等式右邊的最小值，即可得【詳解】（1）m=6，g(x)=loga(2x+4)，則F(x)=f(x)+g(x)=當(dāng)a>1時(shí)，[F(x)]max=F(3)=log當(dāng)0<a<1時(shí)，[F(x)]max=F(1)=log綜上，a=30（2）要使g(x)在[1,3]上有意義，則2+m?2>0，解得m>0.由f(x)<2g(x)，即logax<log∴x<(2x+m?2)2，即x<2x+m?2令t=x，t∈[1,3]，記?(t)=?2∴[?(t)]min=?(3綜上，m>0.20．（2022·遼寧·義縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)gx=a+1x?2+1a>0的圖像恒過定點(diǎn)A，且點(diǎn)（2）已知?1≤log12【答案】（1）3,+∞；（2）ymin=1，【分析】（1）結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)首先求a的值，再解指數(shù)不等式；（2）通過換元，設(shè)t=1【詳解】（1）由題意知定點(diǎn)A的坐標(biāo)為2,2，∴2=log32+a∴gx∴由gx>3得，∴2x?2∴x?2>1.∴x>3.∴不等式gx>3的解集為（2）由?1≤