高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 突破熱點(diǎn) 分層教學(xué) 專項(xiàng)一 2 第2練 算法與平面向量學(xué)案-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第2練算法與平面向量

翦圈圖團(tuán)

年份卷別考查內(nèi)容及考題位置命題分析

卷I平面向量的線性運(yùn)算?T61.高考對算法的考查，每

平面向量的數(shù)量積運(yùn)算?T,程序框圖的循環(huán)年平均有一道小題，一般

2018卷II

結(jié)構(gòu)?》出現(xiàn)在第6~9題的位置

卷III平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量共線的條件?T.3上，難度中等偏下，均考

查程序框圖，熱點(diǎn)是循環(huán)

程序框圖的識別、循環(huán)結(jié)構(gòu)?T8向量的模與向

卷I

量的數(shù)量積?「3結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)，有時綜

合性較強(qiáng)，其背景涉及數(shù)

程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)?Ts平面向量的數(shù)量

2017卷n

積.12歹！1、函數(shù)、數(shù)學(xué)文化等知

識.

程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)?T7

卷Hl

2.平面向量是高考必考內(nèi)

平面向量的線性運(yùn)算、直線與圓的位置關(guān)系?T12

容，每年每卷均有一個小

程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)?T9

卷I

向量的數(shù)量積、向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算?T,3題（選擇題或填空題），一

程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)（以“秦九韶算法”為背般出現(xiàn)在第3~7或第

13?15題的位置上，難度

卷II景）-T

20168

較低.主要考查平面向量

向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直的應(yīng)用?T3

的模、數(shù)量積的運(yùn)算、線

性運(yùn)算等，數(shù)量積是其考

卷in程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)?T7向量的夾角問題?%

查的熱點(diǎn).

_考點(diǎn)突破

算法

2類程序框圖問題的解決方法

（1）求解程序框圖的運(yùn)行結(jié)果問題

先要找出控制循環(huán)的變量及其初值、終值.然后看循環(huán)體，若循環(huán)次數(shù)較少，可依次列

出即可得到答案；若循環(huán)次數(shù)較多，可先循環(huán)幾次，找出規(guī)律.要特別注意最后輸出的是什

么，不要出現(xiàn)多一次或少一次循環(huán)的錯誤，尤其對于以累和為限定條件的問題，需要逐次求

出每次迭代的結(jié)果，并逐次判斷是否滿足終止條件.

（2）對于程序框圖的填充問題

最常見的是要求補(bǔ)充循環(huán)結(jié)構(gòu)的判斷條件，解決此類問題的方法：創(chuàng)造參數(shù)的判斷條件

為“/>〃？”或“/<〃？”，然后找出運(yùn)算結(jié)果與條件的關(guān)系，反解出條件即可.

［考法全練］

1.（2018?高考天津卷）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為

20,則輸出7的值為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B.A—20,7=2,7=0,4=^=10,是整數(shù);

7=0+1=1,/=2+1=3,3<5,也總不是整數(shù);

13

A''20

7=34-1=4,4<5,-=y=5,是整數(shù)；

7=1+1=2,7=4+1=5,結(jié)束循環(huán).

輸出的7=2,故選B.

17

2.（2018?貴陽模擬）某程序框圖如圖所示，若該程序運(yùn)行后輸出的值是半，則整數(shù)a

的值為（）

C.8D.9

解析：選A.先不管a的取值，直接運(yùn)行程序.首先給變量S,A賦值，5=1,k=l,執(zhí)

行S=S+而匕7，得S=1+T^2,k=2；執(zhí)行S=l+y^+U^,k=3；…繼續(xù)執(zhí)行，

得S=1+TX2+2X3+'"+A(^+1)=1+^-1+1^=2-7+7,由2

iIQ

一工=〒得4=6,所以整數(shù)a=6,故應(yīng)選A.

KI1(

3.(2018?石家莊質(zhì)量檢測(二))20世紀(jì)70年代，流行一種游戲一一角谷猜想，規(guī)則

如下：任意寫出一個自然數(shù)〃，按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換，如果〃是奇數(shù)，則下一步變成3〃

+1;如果〃是偶數(shù)，則下一步變成這種游戲的魅力在于無論你寫出一個多么龐大的數(shù)字,

最后必然會落在谷底，更準(zhǔn)確地說是落入底部的4―2一1循環(huán)，而永遠(yuǎn)也跳不出這個圈子,

下列程序框圖就是根據(jù)這個游戲而設(shè)計(jì)的，如果輸出的/值為6,則輸入的〃值為()

A.5B.16

C.5或32D.4或5或32

解析：選C,若〃=5,執(zhí)行程序框圖，77=16,7=2；77=8,7=3；〃=4,7=4；77=2,

7=5；/7=1,7=6,結(jié)束循環(huán)，輸出的？=6.若刀=32,執(zhí)行程序框圖，/7=16,7=2；〃=8,

7=3；門=4,7=4；〃=2,/=5；〃=1,7=6,結(jié)束循環(huán)，輸出的f=6.當(dāng)〃=4或16時，

檢驗(yàn)可知不正確，故輸入的〃=5或32,故選C.

4.（2018?武漢調(diào)研）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a依次為2,2,5時，輸

出的s為17,那么在判斷框中可以填入（）

（開知

「

,L-

/輸入a/

1

s=sx+a

,1?

|-1|

工

/輸k/

（結(jié)為

A.k<.n?B.k>n?

C.k^n?D.k&n?

解析：選B.執(zhí)行程序框圖，輸入的3=2,s=0X2+2=2,A=l；輸入的a=2,s=2X2

+2=6,k=2；輸入的a=5,5=2X6+5=17,k=3,此時結(jié)束循環(huán)，又〃=2,所以判斷

框中可以填“%>〃？”，故選B.

5.（2018?福州模擬）如圖所示的程序框圖是為了求出滿足1+J+J+…+!<1000的

26n

最大正整數(shù)〃的值，那么在〈^和/7兩個空白框中，可以分別填入（）

I開始1

.「一、

|i=l產(chǎn)6"|

S=5+-1-

I2+1I

（結(jié)演）

A.”S<1000"和''輸出/-I

B.“SCI000”和“輸出，一2”

C.“后1000”和“輸出i-1"

D.“S21000”和“輸出7-2w

解析：選D.根據(jù)程序框圖的功能，可知判斷框內(nèi)應(yīng)填“S，l000”.由程序框圖分析

知，輸出框中應(yīng)填寫“輸出i-2",故選D.

考點(diǎn)二

平面向量的線性運(yùn)算

fl平面向量線性運(yùn)算的2種技巧

（1）對于平面向量的線性運(yùn)算問題，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，靈活運(yùn)用

三角形法則、平行四邊形法則，緊密結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.

（2）在證明兩向量平行時，若已知兩向量的坐標(biāo)形式，常利用坐標(biāo)運(yùn)算來判斷；若兩向

量不是以坐標(biāo)形式呈現(xiàn)的，常利用共線向量定理（當(dāng)6W0時，a〃g存在唯一實(shí)數(shù)A,使

得@=46）來判斷.

@向量共線問題的4個結(jié)論

⑴若a與6不共線且則4=〃=0.

（2）直線的向量式參數(shù)方程，A,P,8三點(diǎn)共線=防』（1一。?9+r宓（0為平面內(nèi)任一

點(diǎn)，-￡R）.

（3）9=4應(yīng)+〃應(yīng)'（久，〃為實(shí)數(shù)），若4B,。三點(diǎn)共線，則4+〃=1.

⑷若a=（x］，71）,6=（及，理），則8〃6=鶯%=短%，當(dāng)且僅當(dāng)至及#0時，a//b<^—=

X2

yi

［考法全練］

1.（2018?貴陽模擬）已知向量a=（1,2）,b=（m,—1）,若a〃（a+b）,則實(shí)數(shù)小的

值為（）

11

--

2B.-2

AC.3

解析：選B.&+6=（1+勿，1）,因?yàn)閍〃（a+6）,所以2（1+勿）=1,解得力=—；.故選

B.

2.（一題多解）（2018?高考全國卷I）在中，為回邊上的中線，￡為/〃的中

點(diǎn)，則磅=（）

A.瀝-少B.翔-泳

C.澗+緊

D.~AB-\--^AC

解析：選A.法一：如圖所示，EB=ED+DB=-^AD+^CB=^X^AB+AC)+^{AB—AC)—^AB

一［花，故選A.

法二：EB—AB—AE—AB--^AD=AB—^XAC)=^AB—^AC,故選A.

3.（2018?陜西教學(xué)質(zhì)量檢測（一））已知一為△4?。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，崩+崩+走=0,

|麗=|兩=|元1=2,則△/回的面積等于（）

A.小B.2小

C.3mD.4小

解析：選B.由|的=|的得，△瞰1是等腰三角形，取比1的中點(diǎn)為〃，則必，必又葩

+而+瓦=0,所以花=一（麗+的=一2的所以加=58=1,且PD〃AB,故AB1BC,即

△力比1是直角三角形，由|兩=2,1而=1可得|防|=:，則|反1=24，所以的面

積為:X2X2#=24,故選B.

4.（2018?鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測）如圖，在△/園中，川為線段上靠近點(diǎn)4的三等分

點(diǎn)，點(diǎn)。在線段隴上且蘇三（m+■部而+亮反；則實(shí)數(shù)歷的值為（）

A.1B."

解析：選D.蘇=（〃r仔）茄+（■瓦：=（〃r仔r9rrr

工）葩+R（AC—~AB）=加逾+77應(yīng)；設(shè)防』X前

（0<A〈1）,則辦=葩+XBN=~AB+A（AN-AB）=（1-A）誦+AAN,因?yàn)椴蝗?而所以蘇

J

m=1—A

->1-Il

=（1一入）力夕+寸然，貝M211解得〈「故選D.

JTT=74，5

平面向量的數(shù)量積

fl平面向量的數(shù)量積的2種運(yùn)算形式

（1）數(shù)量積的定義：a-b=\a\\bcos。（其中。為向量，方的夾角）;

（2）坐標(biāo)運(yùn)算：3=（汨，力），6=（x2,㈤時，a?b=x\x2+y\y2.

&平面向量的3個性質(zhì)

（1）若a=（x,y）,則a=yfa^a=yjx2+y.

⑵若力（力,yi）,B1X2,刑），則

I'AB\=?（吊一xM+（人一pi）：

a?b

⑶若H=（xi,y）"=（及,％）,〃為a與b的夾角，則cos0——T77~=~

a〃b寸"+木^+鹵

［考法全練］

1.（2018?貴陽模擬）如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形/版的頂

點(diǎn)。被陰影遮住，找出〃點(diǎn)的位置，葩?葩的值為（）

C.12D.13

解析：選B.以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則1（0,0）,4（4,

1）,以6,4）,根據(jù)四邊形力仇力為平行四邊形，可以得到〃（2,3）,所以誦?茄=（4,1）?⑵

3）=8+3=11.故選B.

y

口□LJc|

_二z二

一—

2.(2018?高考全國卷II)已知向量a“滿足/a/=l,a?6=—1,則a?(2a-b)=()

A.4B.3

C.2D.0

解析：選B.a?(2a—b)=2aJ—a?b=2—(—1)=3,故選B.

3.(2018?石家莊第二次質(zhì)量檢測)若兩個非零向量a,，滿足|&+A|=a—b\=2\b\,

則向量a+b與a的夾角為()

nn

A.-B.-

63

2n5n

D

c?亍-

解析：選A.因?yàn)閨a+b|=|a—b,所以：|a—6所以a?6=0,又Ia+bl=

2|引,所以|a+b|2=4|引2"a『=3|引2,所以㈤=#/6/,cos(a+b9a)工?

才+a?bI才^3,,.L,附十iA

_i_AI_\—oIAII~\—a~r—Q，故a+b與干的夾角為c，故選A.

a+ba|2\ba\2\b26

4.(2018?長春質(zhì)量檢測(一))已知平面內(nèi)三個不共線向量&b,，兩兩夾角相等，且

a=\b\=l,|c=3,則|a+b+c|=.

2JI

解析：由平面內(nèi)三個不共線向量a,b,c兩兩夾角相等，可得夾角均為二廠，所以|a+6

O

2n

+c|2=W+N+c"+2a?b+2b?c+2a?c=1+1+9+2X1X1Xcos+2X1X3Xcos

2Ji2n

-7-+2X1X3Xcos~T-=4,所以a+b~\-c=2.

答案：2

5.(2018?益陽、湘潭調(diào)研)己知非零向量a,6滿足a?b=0,\a-\-b\—t\a.,若a+b

與a—b的夾角為1■,則t的值為.

解析：因?yàn)閍?力=0,所以解+6)2=(a一方/,即|a+b|=a—引.又|a+引=方㈤,所

以la—引=\a+b\=ta.因?yàn)閍+b與a—b的夾角為?，所以一—-2=。。$

3Ia-x-b\?a-b3

ioI2—h21

整理得-=5,即(2—冷|a「=2/2.又|a+6|=ta,平方得|a「+b2-t2|a：2,

t|a2

所以lai?+“二?a；-=7|a12,解得/=*因?yàn)榱Γ?,所以力=羋.

乙JJ

答案：羋

0

考點(diǎn)四

平面向量在幾何中的應(yīng)用

C12個常用結(jié)論

⑴△腋中，是比1邊上的中線，則加=^(通+私

(2)446C中，。是△［比1內(nèi)一點(diǎn)，若而+應(yīng)+赤=0,則0是AABC的重心.

@用向量解決平面幾何問題的3個步驟

(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題

轉(zhuǎn)化為向量問題.

(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直和距離、夾角等問題.

(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

［考法全練］

1.(2018?鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知平面向量a,6,c滿足|a|=b=c|="a?b

則(a+c)?(26—c)的最小值為()

解析：選B.設(shè)a與6的夾角為0,則abcos6=1,即cos0—

I，因?yàn)镺WOWn,所以，=］，令應(yīng)=a,宓=6,以應(yīng)的方向?yàn)閤軸

的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a=9=(l,0),6=應(yīng)=

,設(shè)c=0C=(cosa,sina)(0WaW2n),則(a+c)?(2Z)—c)=(1+cosa,

sina)?(1—cosa,小一sina)=(l+cosa}(1—cosa)+sina(-^3—sina)=

1—cos'a+^3sina-sin2a=^3sina》一/(當(dāng)且僅當(dāng)。=今一時取等號).故選B.

2.（2018?惠州第二次調(diào)研）在四邊形4靦中，~AB=~DC,。為切上一點(diǎn)，已知【荔|=8,

葩|=5,法與葩的夾角為0,且cos〃=*CP=A則淳?沸=.

解析：因?yàn)闉?比，赤=3而，所以加=森+旗=拓+"葩，法=比+康=而一半宓，又

南=8,|森|=5,cos”會所以而?崩=8X5x1|=22,所以淳?加=

（森+［同?可=|初一礪.劉一急研=52-11一也82=2.

答案：2

3.（一題多解）（2018?沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一））已知△/回是直角邊長為2的等腰直角

三角形，且4為直角頂點(diǎn)，。為平面48C內(nèi)一點(diǎn),則蘇?（麗+元）的最小值是.

解析：法一：如圖，以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,4C所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角

坐標(biāo)系，則/（0,0）,6（2,0）,<7（0,2）,設(shè)P（x,y）,則萬i=（-x,-y）,崩=（2—x,一

y）,無=（一”,2—力，閑+走=（2-2x,2-2y）,所以蘇?（麗+向=-x（2-2x）—y（2

-2_T）=2（L3）+21-0-12—1（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=/時等號成立），所以瓦I?（湯+的的

最小值為一1?

法二：PA'（PB+PC）^PA'（次+誦+湯+就）=》?（2或+崩+位）.

設(shè)比1的中點(diǎn)為〃則誦十元=2血

所以商?（而+元）=2PA?（后+應(yīng)=2PA?PD,

因?yàn)橐?|屬!|?I的W2取?西《21而?而，所以（2萬I?曲?M=-2|成|?PD\,此

時點(diǎn)P在線段上（異于4,〃），設(shè)眉=2面（一IV4<0）,財(cái)萬i|=|4而|=一兒?*,

|而|=*+m4,

所以一2|兩I?西|=4（T'+兒+；—土）=4（4+；）~—1,所以當(dāng)'=-g時，~PA?（PB+

元）取得最小值一1.

答案：一1

■■■專題強(qiáng)化訓(xùn)練■■■

一、選擇題

1.（2018?沈陽教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測（一））已知一個算法的程序框圖如圖所示，當(dāng)輸出的結(jié)果

為0時，輸入的實(shí)數(shù)x的值為（）

逸出y/

A.-3B.-3或9

C.3或一9D.-3或一9

解析：選B.當(dāng)xWO時，—8=0,x=—3；當(dāng)x>0時，2—log3X=0,x=9.故x=

—3或x=9,故選B.

2.已知向量a,6均為單位向量，若它們的夾角為60°,則a+3引等于（）

A.巾

C.mD.4

解析：選C.依題意得a?6=；,a+3Z>—y]a+9Z>'+6a?Z>=^/13,故選C.

3.己知a,右為單位向量，設(shè)a與b的夾角為7，則a與a—6的夾角為（）

O

JIH

A.-B.-

63

2n5n

C.~r~D."r-

36

解析：選B.由題意，得a?b=1X1Xcos?=]所以a—b2=3a：-2a,8+斤=1—2x]

且?（Qh\o-a?A11J（

+1=1,所以cos<a,a—b）=-----------，=—r~:-=1—3=3,所以〈a,a-b）=—,

aa~b1X1223

故選B.

4.（2018?合肥質(zhì)量檢測）已知向量可，滿足|a|=2,㈤=1,則下列關(guān)系可能成立的

是（）

A.(a-6)J_dB.(a—，)J_(a+6)

C.(a+b)_L6D.(a+b)A.a

解析：選C.因?yàn)閍\=2,b=1,設(shè)向量a,b的夾角為。，若(a—b)_La,則(a—A)?a

=st-a?A=4—2cos夕=0,解得cos。=2,顯然。不存在，故A不成立；若(3一6)_L(a

+6),則(a—b)?(a+6)=a2—A=4—1=3^0,故B不成立；若(a+8)J_6,則(a+8)?b

=i）+a96=l+2cos夕=0,解得cos夕=一即夕=與一,故C成立；若（a+6）_L&

乙O

則（a+6）?a=a+a,Z>=4+2cos。=0,解得cos〃=-2,顯然〃不存在，故D不成立.故

選C.

5.（2018?南寧模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出S的值是（）

解析：選C.運(yùn)行框圖，首先給變量S,A賦值，S=2,4=2015.判斷2015<2018,S

k=2015+1=2016,判斷2016<2018,S=-~~k=2016+1

=2017,判斷2017V2018,S=~^=2,k=2017+1=2018,判斷2018V2018不

成立，輸出S,此時S=2.故選C.

6.（2018?洛陽第一次聯(lián)考）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入勿=209,〃=121,則輸

出的卬的值為（）

/輸入m,n/

|求m除以凡的余麗

m=n

J

I"=rI

<r^?>^―

/輸%/

CW

A.0B.11

C.22D.88

解析：選B.當(dāng)卬=209,〃=121時，卬除以〃的余數(shù)r=88,此時卬=121,〃=88,而除

以〃的余數(shù)r=33,此時勿=88,刀=33,加除以刀的余數(shù)r=22,此時加=33,〃=22,必除

以〃的余數(shù)r=ll,此時加=22,/〃除以〃的余數(shù)r=0,此時勿=11,〃=0,退出循

環(huán)，輸出力的值為11,故選B.

7.(2018?桂林模擬)在如圖所示的矩形被力中，A8=A,AD=2,夕為線段回上的點(diǎn)，

則壺?應(yīng)的最小值為()

A.12

C.17D.16

解析：選B.以6為坐標(biāo)原點(diǎn)，回所在直線為x軸，為所在直線為y軸，建立如圖所示

的平面直角坐標(biāo)系，貝IJ4(0,4),〃(2,4),設(shè)雙筋0)(0Wx<2),所以龍?龍=(x,-4)?(x

-2,-4)=/-2X+16=(X—1)2+15,于是當(dāng)*=1,即￡為a1的中點(diǎn)時，瀛■?應(yīng)取得最

小值15,故選B.

8.（2018?西安八校聯(lián)考）在中，已知誦?應(yīng)'=*|就1=3,1布|=3,M,及分別

是外邊上的三等分點(diǎn)，則亦?盛的值是（）

1113

A?5B.5

C.6D.7

解析：選B.由題意得，MI=~2AB+-1AC,[2所以莉?病=

JJO?J

Q3

5=甘，故選B.

9-（2。18?石家莊模擬）如圖是計(jì)算1+3+9+…+5的值的程序框圖,則圖中①②處

可以填寫的語句分別是（）

/輸出s/

cw

A.〃=〃+2,/>16?

B.77=77+2,在16?

C.77=77+1,7>16?

D.n=n+l9在16?

解析:選A.式子---1■白中所有項(xiàng)的分母構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，1,3,5,…,

1+13+15H31

31,31=1+（4—1）X2,4=16,共16項(xiàng)，故選A.

10.（2018?成都診斷性檢測）高三某班15名學(xué)生一次模擬考試成績用莖葉圖表示如圖

L執(zhí)行圖2所示的程序框圖，若輸入的a,（/=l,2,…，15）分別為這15名學(xué)生的考試成績,

則輸出的結(jié)果為（）

81

936

10119

1102556

1268

137

142

圖1

/輸聲九/

CO]

圖2

A.6B.7

C.8D.9

解析：選D.由程序框圖可知，其統(tǒng)計(jì)的是成績大于或等于110的人數(shù)，所以由莖葉圖

知，成績大于或等于110的人數(shù)為9,因此輸出的結(jié)果為9.故選D.

11.（2018?鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7,則判

斷框內(nèi)勿的取值范圍是（）

A.(30,42]B.(30,42)

C.(42,56]D.(42,56)

解析：選A.4=1,5=2,k=2,S=2+4=6,4=3,5=6+6=12,k=4,S=12+8=

20,k=5,S=20+10=30,k=6,5=30+12=42,k=7,此時不滿足S=42<m,退出循

環(huán)，所以30V/7/W42,故選A.

12.(一題多解)(2018?高考浙江卷)已知a,b,e是平面向量，e是單位向量.若非零

兀

向量a與e的夾角為向量6滿足方?6+3=0,則匕一的最小值是()

A.^/3-lB.4+1

C.2D.2-^3

解析：選A.法一：設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，a=OA,