人教a版高中數(shù)學(xué)必修5第2章 數(shù)列全部教案 同步單元測(cè)試卷

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

2.1.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（一）

從容說(shuō)課

本節(jié)課先由教師提供日常生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)例的分析體會(huì)數(shù)列的有關(guān)概念，

再通過(guò)對(duì)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的探究，認(rèn)識(shí)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，最后師生共

同通過(guò)對(duì)一列數(shù)的觀察、歸納，寫(xiě)出符合條件的一個(gè)通項(xiàng)公式.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能

理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系：了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公

式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng)；對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式.

教學(xué)重點(diǎn)數(shù)列及其有關(guān)概念，通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)根據(jù)一些數(shù)列的前幾項(xiàng)抽象、歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式.

教具準(zhǔn)備課件

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系；

2.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并會(huì)用通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的任意一項(xiàng)；

3.對(duì)于比較簡(jiǎn)單的數(shù)列，會(huì)根據(jù)其前幾項(xiàng)寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式.

二、過(guò)程與方法

1.采用探究法，按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)；

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性學(xué)習(xí)；

3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.通過(guò)日常生活中的大量實(shí)例，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn).理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究精

神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)；

2.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

師課本圖211中的正方形數(shù)分別是多少？

生1,3,6,10........

師圖212中正方形數(shù)呢？

生1,4,9,16,25........

師像這樣按一定次序排列的一列數(shù)你能否再舉一些？

生-1的正整數(shù)次暴：-1,1,-1,1,…；

無(wú)窮多個(gè)數(shù)排成一列數(shù)：1,1，1，1，.…

生一些分?jǐn)?shù)排成的一列數(shù)：2,_1,A,12,....

315356399

推進(jìn)新課

［合作探究］

折紙問(wèn)題

師請(qǐng)同學(xué)們想一想，??張紙可以重復(fù)對(duì)折多少次？請(qǐng)同學(xué)們隨便取一張紙?jiān)囋嚕▽W(xué)生們興趣

一定很濃）.

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

師你知道這是為什么嗎？我們?cè)O(shè)紙?jiān)瓉?lái)的厚度為1長(zhǎng)度單位，面積為1面積單位，隨依次

折的次數(shù)，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？

生隨著對(duì)折數(shù)厚度依次為:2,4,8,16.........256,...；①

隨著對(duì)折數(shù)面積依次為一,—，—,—---

24816256

生對(duì)折8次以后，紙的厚度為原來(lái)的256倍，其面積為原來(lái)的分1口256式，再折下去太困

難了.

師說(shuō)得很好，隨數(shù)學(xué)水平的提高，我們的思維會(huì)更加理性化.請(qǐng)同學(xué)們觀察上面我們列出的

這一列一列的數(shù)，看它們有何共同特點(diǎn)？

生均是一列數(shù).

生還有一定次序.

師它們的共同特點(diǎn)：都是有一定次序的一列數(shù).

［教師精講］

1.數(shù)列的定義：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列.

注意：

(1)數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，

那么它們就是不同的數(shù)列；

(2)定義中并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).

2.數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首

項(xiàng))，第2項(xiàng)，…，第”項(xiàng)，….同學(xué)們能舉例說(shuō)明嗎？

生例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“2”是這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，“16”是這個(gè)數(shù)

列中的第4項(xiàng).

3.數(shù)列的分類：

1)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：

有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6是有窮數(shù)列.

無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列.例如數(shù)列1,2,3,4,5,6…是無(wú)窮數(shù)列.

2)根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列.

擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.

請(qǐng)同學(xué)們觀察：課本P”的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？

生這六組數(shù)列分別是(1)遞增數(shù)列，(2)遞增數(shù)列，(3)常數(shù)數(shù)列，(4)遞減數(shù)列，(5)擺動(dòng)數(shù)歹U，

(6)1.遞增數(shù)列，2.遞減數(shù)列.

［知識(shí)拓展］

師你能說(shuō)出上述數(shù)列①中的256是這數(shù)列的第多少項(xiàng)？能否寫(xiě)出它的第〃項(xiàng)？

生256是這數(shù)列的第8項(xiàng)，我能寫(xiě)出它的第〃項(xiàng)，應(yīng)為斯=2".

［合作探究］

同學(xué)們看數(shù)列2,4,8,16,256,…①中項(xiàng)與項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

項(xiàng)2481632

11JJ1

序號(hào)12345

你能從中得到什么啟示？

生數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函數(shù)

a“=f(〃)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值.反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果

f(i)(i=k2、3、4…)有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列f(l),f(2),f(3),…,f(〃),….

師說(shuō)的很好.如果數(shù)列｛%｝的第〃項(xiàng)即與”之間的關(guān)系可以用?個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公

式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

［例題剖析］

1.根據(jù)下面數(shù)列｛小｝的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出前5項(xiàng)：

n

(1>?=----；(2)a?=(-l)n-n.

n+1

師由通項(xiàng)公式定義可知，只要將通項(xiàng)公式中“依次取1,2,3,4,5,即可得到數(shù)列的前5

項(xiàng).

12345

生解：(1)“=1,2,3,4,5.4|=5;。2=§；的=7；44=M；45=%?

(2)n=l,2,3,4,5.?i=-l/2=2；的=-3;。4=4；。5=-5.

師好！就這樣解.

2.根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(3)0,1,0,1,0,1,...；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,...；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,....

師這里只給出數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，哪位同學(xué)能寫(xiě)出這些數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式？(給學(xué)生一定

的思考時(shí)間)

生老師，我寫(xiě)好了！

(4)將數(shù)列變形為1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1>,

(5)將數(shù)列變形為"2,-2x3,3x4,-4x5,5、6,…,

.,.a?=(-l)"+1n(n+l).

師完全正確！這是山"數(shù)''給出數(shù)列的“式''的例子，解決的關(guān)鍵是要找出這列數(shù)呈現(xiàn)出的規(guī)

律性的東西，然后再通過(guò)歸納寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

［合作探究］

師函數(shù)與數(shù)列的比較(由學(xué)生完成此表)：

函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))

定義域R或R的子集N*或它的有限子集｛1,2,〃｝

解析式y(tǒng)=f(x)a?=f(n)

圖象點(diǎn)的集合一些離散的點(diǎn)的集合

師對(duì)于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫(huà)出其對(duì)應(yīng)圖象，看來(lái)，數(shù)列也可根據(jù)其通項(xiàng)公

式來(lái)畫(huà)出其對(duì)應(yīng)圖象，下面同學(xué)們練習(xí)畫(huà)數(shù)列：

4,5,6,7,8,9,10…;②1,-，…③的圖象.

234

生根據(jù)這數(shù)列的通項(xiàng)公式畫(huà)出數(shù)列②、③的圖象為

師數(shù)列4,5,6,7,8,9,10,…②的圖象與我們學(xué)過(guò)的什么函數(shù)的圖象有關(guān)？

生與我們學(xué)過(guò)的一次函數(shù)y=x+3的圖象有關(guān).

師數(shù)列1,'，…③的圖象與我們學(xué)過(guò)的什么函數(shù)的圖象有關(guān)？

234

生與我們學(xué)過(guò)的反比例函數(shù)y的圖象有關(guān).

x

師這兩數(shù)列的圖象有什么特點(diǎn)？

生其特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的點(diǎn).

生它們都位于y軸的右側(cè)，即特點(diǎn)為：它們都是一群孤立的，都位于y軸的右側(cè)的點(diǎn).

本課時(shí)的整個(gè)教學(xué)過(guò)程以學(xué)生自主探究為主，教師起引導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用,

體現(xiàn)新課程的理念.

課堂小結(jié)

對(duì)于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會(huì)根據(jù)通項(xiàng)公式求其任意一項(xiàng)，并會(huì)根據(jù)數(shù)

列的前〃項(xiàng)求一些簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式.

布置作業(yè)

課本第38頁(yè)習(xí)題2.1A組第1題.

板書(shū)設(shè)計(jì)

數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（一）

定義

1.數(shù)列例1

2.項(xiàng)

3.一般形式例2函數(shù)定義

4.通項(xiàng)公式

5.有窮數(shù)列

6.無(wú)窮數(shù)列

備課資料

一、備用例題

1.寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

22-132-142-152-1

(1)1,3,5,7；(2)

2'3'4'5

⑶-我一后「萬(wàn)「說(shuō)?

分析：

(1)項(xiàng)：l=2xl-l3=2x2/5=2x3,7=2x4-1

序號(hào):1234

所以我們得到了斯=2“-1：

⑵序號(hào)：1234

項(xiàng)分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1

11J

項(xiàng)分子：22-1=(1+1)2-132-1=(2+1)2-142-1=(3+1)2-152-1=(4+1)2.

所以我們得到了%=9包或(〃+2)?〃；

〃+1"+1

⑶序號(hào)：1234

1Il

1111

1x22x33x44x5

1L

1111

lx(l+l)2x(2+l)3x(3+l)4x(4+l)

所以我們得到了??=--—

MX（rt+l）

2.寫(xiě)出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前n項(xiàng)分別是下列各數(shù):

,]+(—1嚴(yán)

(1)1,0,1,0；(%=——-------,n^N)

-23456〃+1

(2)—,—，-(冊(cè)=(-1)")

3815,2435(〃+1)2-]

7

(3)7,77,777,7777;(an=-

(4)-1,7,-13,19,-25,31;(斯=(?1)"(6"-5))

_9_172"+1

()2'4'165256-

點(diǎn)評(píng)：上述兩題都是根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)寫(xiě)出這數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)來(lái)寫(xiě)出

這數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，?？陕?lián)想奇數(shù)、偶數(shù)、平方數(shù)、指數(shù)等等.遇到分?jǐn)?shù)的時(shí)候，?？筛?/p>

據(jù)需要把分子和分母同時(shí)擴(kuò)大再來(lái)看看分子和分母中數(shù)的規(guī)律性，有時(shí)可直截了當(dāng)?shù)匮芯糠?/p>

子和分母之間的關(guān)系.

3.已知數(shù)列｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式是斯=2/一〃，那么（）

A.30是數(shù)列｛4｝的一項(xiàng)8.44是數(shù)列｛冊(cè)｝的一項(xiàng)

C.66是數(shù)列｛a,,｝的一項(xiàng)D.90是數(shù)列｛為｝的一項(xiàng)

分析：注意到30,44,66,90均比較小，可以寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，如果這前幾項(xiàng)中出

現(xiàn)了這四個(gè)數(shù)中的某一個(gè)，則問(wèn)題就可以解決了.若出現(xiàn)的數(shù)比較大，還可以用解方程求正

整數(shù)解的方法加以解決.

答案：C

點(diǎn)評(píng)：看一個(gè)數(shù)A是不是數(shù)列｛斯｝中的某一項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上就是看能不能找出一個(gè)非零自然數(shù)〃,

使得an=A.

4.（鏈接探究題）假定有一張極薄的紙，厚度為壺cm就是每200張疊起來(lái)剛好為1cm,

現(xiàn)在把這張紙裁一為二，疊起來(lái)，它的厚度記為外；再裁一為二，疊起來(lái)，它的厚度記為

方，又裁?為二，疊起來(lái)，它的厚度記為的，這樣一裁?疊，每次疊起來(lái)所得的厚度依次排

列，就得到一個(gè)數(shù)列：山,“2,的，…,如?…

你能求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？你知道a50，即裁了50次、疊了50次后的厚度是多少

厘米嗎？是否有10層樓高呢？

2"

答案：這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=—，

200

裁了50次、疊了50次后的厚度是5629499534213.12cm>56294995km,大于地球到月

球距離的146倍.

二、閱讀材料

無(wú)法實(shí)現(xiàn)的獎(jiǎng)賞

相傳古印度舍罕王朝有一位宰相叫達(dá)依爾，據(jù)說(shuō)是他發(fā)明了國(guó)際象棋，古印度的舍罕王

學(xué)會(huì)了下國(guó)際象棋以后，非常激動(dòng)，他要重賞他的宰相達(dá)依爾.

達(dá)依爾對(duì)他的國(guó)王說(shuō)：陛下，我不要您的重賞，只要您按我下面的辦法賞我一些麥粒就

可以了：在我的棋盤(pán)上（它有64個(gè)格）第一格賞1粒，第二格賞2粒，第三格賞4粒，第四

格賞8?！来祟愅泼亢笠桓竦柠溋?shù)都是前面一格的兩倍.國(guó)王答應(yīng)了達(dá)依爾的要求，

但是幾天以后他就發(fā)現(xiàn)事實(shí)上這是一個(gè)無(wú)法兌現(xiàn)的獎(jiǎng)賞.

請(qǐng)問(wèn)國(guó)王為什么不能兌現(xiàn)他的獎(jiǎng)賞呢？

2.1.2數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（二）

從容說(shuō)課

這節(jié)課通過(guò)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的正確理解，讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推

公式與通項(xiàng)公式的異同；會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)；通過(guò)經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感

受及理解運(yùn)用的過(guò)程，作好探究性教學(xué).發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生的分析問(wèn)題以及解

決問(wèn)題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).

教學(xué)難點(diǎn)理解遞推公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系.

教具準(zhǔn)備多媒體

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項(xiàng)公式的異同；

2.會(huì)根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng).

二、過(guò)程與方法

1.經(jīng)歷數(shù)列知識(shí)的感受及理解運(yùn)用的過(guò)程；

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性實(shí)驗(yàn)；

3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

師同學(xué)們，昨天我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義等內(nèi)容，哪位同學(xué)能談一

談什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式？

生如果數(shù)列｛斯｝的第n項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做

這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.

師你能舉例說(shuō)明嗎？

生如數(shù)列0,1,2,3,…的通項(xiàng)公式為&="-1（〃GN*）;

1,1,1的通項(xiàng)公式為a“=l（”GN*,lW〃W3）;

1,—，—，—，…的通項(xiàng)公式為'（"GN）.

234n

［合作探究］

數(shù)列的表示方法

師通項(xiàng)公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學(xué)們想想還有哪些方法可以表示數(shù)列？

生圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)數(shù)列的圖形.具體方法是以項(xiàng)數(shù)”為橫坐標(biāo)，相應(yīng)

的項(xiàng)斯為縱坐標(biāo)，即以（凡斯）為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)（以前面提到的數(shù)列1,

…為例，作出一個(gè)數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)

234

為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù).從圖象中可以直觀

地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì).

師說(shuō)得很好，還有其他的方法嗎？

生……

師下面我們來(lái)介紹數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式法

知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，同時(shí)還要應(yīng)用于生活，用其來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.下面同學(xué)們來(lái)看右下

圖：鋼管堆放示意圖（投影片）.觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學(xué)

模型.

生模型一：自上而下

第1層鋼管數(shù)為4,即14=1+3;

第2層鋼管數(shù)為5,即25=2+3;

第3層鋼管數(shù)為6,即36=3+3;

第4層鋼管數(shù)為7,即47=4+3;

第5層鋼管數(shù)為8,即58=5+3;

第6層鋼管數(shù)為9,即69=6+3;

第7層鋼管數(shù)為10,即710=7+3.

若用即表示鋼管數(shù)，〃表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且斯=”+3（仁〃W7）.

師同學(xué)們運(yùn)用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運(yùn)

用這一關(guān)系，會(huì)很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會(huì)給我們的統(tǒng)計(jì)與計(jì)算帶來(lái)很多方便.讓同

學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律）

生模型二：上下層之間的關(guān)系

自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,

即田=4；。2=5=4+1=。1+1；的=6=5+1=。2+1.

依此類推：a?=??.i+l（2<n<7）.

師

對(duì)于上述所求關(guān)系，同學(xué)們有什么樣的理解？

生若知其第1項(xiàng)，就可以求出第二項(xiàng)，以此類推，即可求出其他項(xiàng).

師看來(lái)，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.

推進(jìn)新課

1.遞推公式定義：

如果已知數(shù)列｛斯｝的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）,且任一項(xiàng)a“與它的前一項(xiàng)a“i（或前n項(xiàng)）間的關(guān)系可

以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.

注意：遞推公式也是給出數(shù)列的種方法.

如下列數(shù)字排列的一個(gè)數(shù)列：3,5,8,13,21,34,55,89.

遞推公式為：。1=3,。2=5,。"=%-1+。”-2（3W"W8）.

2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、

圖象法、解析式法.相對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō)也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析

式法.

[例題剖析]

%=1

【例1】設(shè)數(shù)列｛%｝滿足|,1,〃>1.寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng).

%=1+一

I

師分析：題中已給出｛““｝的第1項(xiàng)即幻=1,題目要求寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，因而只要再

求出二到五項(xiàng)即可.這個(gè)遞推公式：a?=l+—我們將如何應(yīng)用呢？

生這要將n的值2和a,=l代入這個(gè)遞推公式計(jì)算就可求出第二項(xiàng)，然后依次這樣進(jìn)行就可

以了.

師請(qǐng)大家計(jì)算一下！

[12]58

生解：據(jù)題意可知：41=1,42=1+—=2,的=1+—=—,。4=1+--—,05=—

%a23%35

師掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是其中的遞推關(guān)系，同學(xué)們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中

的前項(xiàng)與后項(xiàng)，或前后兒項(xiàng)之間的關(guān)系.

【例2】已知a產(chǎn)2,an+i=2a?,寫(xiě)出前5項(xiàng)，并猜想

師由例1的經(jīng)驗(yàn)我們先求前5項(xiàng).

生前5項(xiàng)分別為2,4,8,16,32.

師對(duì)，下面來(lái)猜想第〃項(xiàng).

生由“1=2,。2=2*2=2\43=2x22=2'觀察可得，我猜想“=2".

師很好！

生老師，本題若改為求斯是否還可這樣去解呢？

師不能.必須有求解的過(guò)程.

生老師，我由a,+尸2斯變形可得斯=2?！啊?，即2=2,依次向下寫(xiě)，一直到第一項(xiàng)，然

a?-\

2

后將它們乘起來(lái)，就有2x4^x42x...x、=2i,所以%=ar2"」=2".

an_2a>3a

師太妙了，真是求解的好方法.你所用的這種方法通常叫迭乘法，這種方法在L1知遞推公式

求數(shù)列通項(xiàng)的問(wèn)題中是比較常用的方法，對(duì)應(yīng)的還有迭加法.

［知識(shí)拓展］

已知。尸2,a“+i=a“-4,求a?.

師此題與前例2比較，遞推式中的運(yùn)算改為了減法，同學(xué)們想一想如何去求解呢？

生1寫(xiě)出:a\=2,?2=-2,6=-6,。4=-10，...

觀察可得：a?=2+(n-l)(n-4)=2-4(?-1).

生2他這種解法不行，因?yàn)椴皇遣鲁鲰?，而是要求出?

我這樣解：由冊(cè)尸4依次向下寫(xiě)，一直到第一項(xiàng)，然后將它們加起來(lái)，

a,,-a,,.\=-4

+)a2-%=—4

a

?-?t=-4(n-l)

師好極了，真是觸類旁通啊，這種方法也請(qǐng)同學(xué)們課后多體會(huì).

［教師精講］

(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項(xiàng)的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無(wú)初始

值，那么這個(gè)數(shù)列是不能確定的.

例如，由數(shù)列｛斯｝中的遞推公式的+產(chǎn)2冊(cè)+1無(wú)法寫(xiě)出數(shù)列｛斯｝中的任何一項(xiàng)，若又知。尸1,

則可以依次地寫(xiě)出〃2=3,的=7,。4=15,....

(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可能求不出

通項(xiàng)公式.

［學(xué)生活動(dòng)］

根據(jù)各個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式，寫(xiě)出它的前五項(xiàng)，并歸納出通項(xiàng)公式.(投影片)

(1)<??—0,a?+1=+(2n-1)(n6N)；

a

(2)田=1,。“+尸一七(〃eN)；

4+2

(3)。］=3,即+［=3?！?2(〃￡AQ.

(讓學(xué)生思考一定時(shí)間后，請(qǐng)三位學(xué)生分別作答)

解：(1)。|=0,。2=1，的=4,。4=9,。5=16,??an—(n-\)~.

2122122

(2)卬=1,。2=:，a^-=-,。4==，。5=:=:，??即=-----

324536n+1

2

(3)“i=3=l+2x3°,“2=7=1+2x31a3=19=l+2x3,

44=55=1+2x3',a5=163=l+2x3\.?.斯=1+2?3”1

注：不要求學(xué)生進(jìn)行證明歸納出通項(xiàng)公式.

［合作探究］

一只猴子爬一個(gè)8級(jí)的梯子，每次可爬一級(jí)或上躍二級(jí)，最多能上躍起三級(jí)，從地面上到最

上一級(jí)，你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎？

析：這題是?道應(yīng)用題，這里難在爬梯子有多種形式，到底是爬一級(jí)還是上躍二級(jí)等情況要

分類考慮周到.

爬一級(jí)梯子的方法只有一種.

爬一個(gè)二級(jí)梯子有兩種，即-級(jí)一級(jí)爬是一種，還有一次爬二級(jí)，所以共有兩種.

若設(shè)爬一個(gè)n級(jí)梯子的不同爬法有an種，

則?！?%-1+&-2+。"-3（*4）,

貝I」得至II4/1=1,02=2,4/3=4及"-|+冊(cè)-2+的-3（稔4），就可以求得“8=81.

課堂小結(jié)

師這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，要注意理解它與

通項(xiàng)公式的區(qū)別，誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)？

生通項(xiàng)公式反映的是項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)（或n項(xiàng)）之間的

關(guān)系.

生對(duì)于通項(xiàng)公式，只要將公式中的〃依次取1,2,3…，即可得到相應(yīng)的項(xiàng)?而遞推公式則要

已知首項(xiàng)（或前n項(xiàng)），才可求得其他的項(xiàng).

（讓學(xué)生自己來(lái)總結(jié)，將所學(xué)的知識(shí)，結(jié)合獲取知識(shí)的過(guò)程與方法，進(jìn)行回顧與反思，從而

達(dá)到三維目標(biāo)的整合.培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和語(yǔ)言表達(dá)能力）

布置作業(yè)

課本第38頁(yè)習(xí)題2.L4組第4、6題.

預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P4I?Pw

板書(shū)設(shè)計(jì)

數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法（二）

一、定義二、例題講解小結(jié):

7.遞推公式:

例1通項(xiàng)公式與

例2遞推公式區(qū)別

備課資料

一、數(shù)列通項(xiàng)公式的求法介紹

求通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn).山于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，因此

求解過(guò)程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng).現(xiàn)舉數(shù)例.

1.觀察法

已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而

根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

【例1】已知數(shù)列，…，寫(xiě)出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

248163264

2"-3

解：觀察數(shù)列前若干項(xiàng)可得通項(xiàng)公式為。"=（-1）"方^.

2.公式法

已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，通常用公式%=/1,

S“-S“」,〃N2.用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合

二為一",即卬和即合為一個(gè)表達(dá)式.

［例2］已知數(shù)列｛%｝的前“和S”滿足log2（S”+l）="+l,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解:由條件可得S?=2n+1-1,

當(dāng)n=l時(shí)，。]=3,當(dāng)n>2時(shí),%=S〃-S“.]=2""-2"=2".

所以?！?3理=1,2n,n>2.

3.累差迭加法

若數(shù)列缶八｝滿足〃向=斯+f(〃)的遞推式，其中f(〃)又是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可用累差迭

加法求通項(xiàng).

【例3】已知數(shù)列6,9,14,21,30,求此數(shù)列的通項(xiàng).

解：?.72-01=3,〃3-〃2=5,〃4-〃3=7,…,〃，廣〃小|=2〃-1,

各式相加得an~a1=3+5+7+...+(2〃?1),

2

/.an=n+5(n^N).

4.連乘法

若數(shù)列｛〃“｝能寫(xiě)成%=〃心1+(〃)(論2)的形式,則可由an=an.]f(n),an.f^an.2f(n-i)9an.2=a

小3f(〃-2),…以2=。由2薄乘求得通項(xiàng)公式.

【例4】已知數(shù)列｛斯｝滿足m=l,S“=("+；"'("GN)，求｛”“｝的通項(xiàng)公式.

解:?.,2S“=(〃+1)%(〃WM，

2S,t-\=na/f_i(w>2,nGA9，

(1"

兩式相減得2an=(n+1)an-nan.\,——=----￡N).

%n-\

十日*%2%3幻4an,八八

于是有」=一,二=一n=——(〃22,*GM，

at1a22a33%n-\

以上各式相乘，得a“=〃〃i=〃(佗：2,〃eN)?又。i=1,.,.a?=n(n^N).

5.求解方程法

若數(shù)列｛%,｝滿足方程f(a?)=0時(shí)，可通過(guò)解方程的思想方法求得通項(xiàng)公式.

【例5】已知函數(shù)f(x尸2*-2",數(shù)列｛的｝滿足f(log2斯尸-2”,求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式.

解:由條件瑁。g2斯尸210g2u/,-2-1082〃”=-2凡即a,,--=-2n.

a?

a?2+2na?-1=0,又a”>0,.,.a,,=yn2+1-n.

6.迭代法

若數(shù)列｛〃“｝滿足%=f(a“」)，則可通過(guò)迭代的方法求得通項(xiàng)公式.

二、閱讀材料

愚公的子子孫孫

《愚公移山》中愚公說(shuō)過(guò)這樣一段話：“即使我死了，還有兒子在；兒子又生孫子，孫

子再生兒子，兒子又有兒子，兒子又有孫子，子子孫孫無(wú)窮無(wú)盡……”愚公的話，不但表達(dá)

了他移山的決心，而且提出了一個(gè)有趣的無(wú)窮數(shù)列，即他的子孫后代繁殖的數(shù)列.

設(shè)愚公的兒子，即第一代的人數(shù)為幻；

愚公的孫子，即第二代子孫的人數(shù)為。2；

孫子的兒子，即第三代子孫的人數(shù)為的；

?般地，第，7代子孫的人數(shù)為知.

這樣，我們就得到一個(gè)由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列a”a2,a3,an.(1)

這個(gè)數(shù)列描述了愚公子孫生殖繁衍的“無(wú)窮無(wú)盡”的狀態(tài).這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)顯然都與它

前血的項(xiàng)有關(guān)，但這種關(guān)系不是確定的關(guān)系，而具有隨機(jī)性質(zhì).可惜我們沒(méi)有任何資料來(lái)確

定(1)的具體數(shù)字.如果愚公的時(shí)代人們也自覺(jué)地計(jì)劃生育，例如，一對(duì)夫婦只生兩個(gè)孩子(假

設(shè)愚公子孫們不能互相通婚)，那么數(shù)列(1)就可成為遞推數(shù)列：

a?+i=2a?.(2)

如果愚公有3個(gè)兒女，即田=3,就得到下面這個(gè)數(shù)列：

3,6,12,24,48,96,(3)

這個(gè)數(shù)列(3),就是一個(gè)滿足a?+l=2a?的數(shù)列.

2.2等差數(shù)列

2.2.1等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

從容說(shuō)課

本節(jié)課先在具體例子的基礎(chǔ)上引出等差數(shù)列的概念,接著用不完全歸納法歸納出等差數(shù)

列的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)這個(gè)公式去進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.可見(jiàn)本課內(nèi)容的安排旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀

察分析、歸納猜想、應(yīng)用能力.結(jié)合本節(jié)課特點(diǎn)，宜采用指導(dǎo)自主學(xué)習(xí)方法，即學(xué)生主動(dòng)觀

察——分析概括——師生互動(dòng)，形成概念——啟發(fā)引導(dǎo)，演繹結(jié)論——拓展開(kāi)放，鞏固提高.

在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會(huì)探究.

在教學(xué)過(guò)程中，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的枳極性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)

的形成和發(fā)展過(guò)程，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過(guò)程中的主體

地位.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)他們的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的認(rèn)

知能力.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到生活離不開(kāi)數(shù)學(xué)，同樣數(shù)學(xué)也是離不開(kāi)生活的.學(xué)會(huì)在生活中挖掘數(shù)學(xué)

問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，使數(shù)學(xué)生活化，生活數(shù)學(xué)化.

教學(xué)重點(diǎn)理解等差數(shù)列的概念，探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)用公式解決一些簡(jiǎn)單

的問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)(1)等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)歹『‘等差”特點(diǎn)的理解、把握和應(yīng)用；

(2)概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，以及從函數(shù)、方程的觀點(diǎn)看通項(xiàng)公式.

教具準(zhǔn)備多媒體課件，投影儀

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.了解公差的概念，明確一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個(gè)數(shù)列是

等差數(shù)列；

2.正確認(rèn)識(shí)使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)、公差、

項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng).

二、過(guò)程與方法

1.通過(guò)對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生的觀察力及歸納推理能力：

2.通過(guò)等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性.

三、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新

知的創(chuàng)新意識(shí).

教學(xué)過(guò)程

導(dǎo)入新課

師上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項(xiàng)

公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點(diǎn).下面我們看這樣一些數(shù)列

的例子：(課本P4I頁(yè)的4個(gè)例子)

(1)0,5,10,15,20,25,

(2)48,53,58,63,

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5...;

(4)10072,10144,10216,10288,10366....

請(qǐng)你們來(lái)寫(xiě)出上述四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng).

生第一個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為30,第二個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為78,第三個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為3,第四

個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)為10510.

師我來(lái)問(wèn)一下，你依據(jù)什么寫(xiě)出了這四個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng)呢?以第二個(gè)數(shù)列為例來(lái)說(shuō)一說(shuō).

生這是由第二個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多5,依據(jù)這個(gè)規(guī)律性我得到了這個(gè)數(shù)列的第7

項(xiàng)為78.

師說(shuō)得很有道理!我再請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上四個(gè)數(shù)列有什么共同特征？我說(shuō)的

是共同特征.

生1每相鄰兩項(xiàng)的差相等，都等于同一個(gè)常數(shù).

師作差是否有順序，誰(shuí)與誰(shuí)相減？

生1作差的順序是后項(xiàng)減前項(xiàng)，不能顛倒.

師以上四個(gè)數(shù)列的共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)(即等

差)；我們給具有這種特征的數(shù)列起一個(gè)名字叫——等差數(shù)列.

這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.

推進(jìn)新課

等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每?項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常

數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母表示).

(1)公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求：

(2)對(duì)于數(shù)列｛斯｝,若a,“一產(chǎn)d(與〃無(wú)關(guān)的數(shù)或字母)，n>2,nGN*,則此數(shù)列是等差數(shù)

列，d叫做公差.

師定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，

是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).

因此教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生如何深入理解一個(gè)概念，以培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題的能力)

生從“第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”.

師很好！

師請(qǐng)同學(xué)們思考：數(shù)列(1)、(2)、(3)、(4)的通項(xiàng)公式存在嗎？如果存在，分別是什么？

生數(shù)列(1)通項(xiàng)公式為5〃-5,數(shù)列⑵通項(xiàng)公式為5〃+43,數(shù)歹1(3)通項(xiàng)公式為2.5〃-15.5，….

師好，這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識(shí)求出了這幾個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，實(shí)質(zhì)上這幾個(gè)通項(xiàng)公

式有共同的特點(diǎn)，無(wú)論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性，下面我們

來(lái)共同思考.

［合作探究J

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

師等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間關(guān)系而得到的，若一個(gè)等差數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)是s，

公差是“，則據(jù)其定義可得什么？

生。2-。1=4即a2=ai+d.

師對(duì)，繼續(xù)說(shuō)下去！

生的-。2=/即。3=。2+4=。|+24；

44-〃3=",即。4=〃3+4=田+34；

師好！規(guī)律性的東西讓你找出來(lái)了，你能山此歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?

生由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是a?=a｝+(n-l)d.

師很好!這樣說(shuō)來(lái)，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項(xiàng)0和公差4,便可求得其通

項(xiàng)七了.需要說(shuō)明的是：此公式只是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想，你能證明它嗎？

生前面一學(xué)過(guò)一種方法叫迭加法，我認(rèn)為可以用.證明過(guò)程是這樣的：

因?yàn)椤?-。1=4。3-。2=4。4-。3=",…,而。"-1=”.將它們相加便可以得到：a?=a\+(n-\)d.

師太好了!真是活學(xué)活用啊!這樣一來(lái)我們通過(guò)證明就可以放心使用這個(gè)通項(xiàng)公式了.

［教師精講］

由上述關(guān)系還可得：am="i+(m-l)d,

即ai=am-(m-l)d.

則a?=a1+(?-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

即等差數(shù)列的第二通項(xiàng)公式斯=am+(〃-m)d.(這是變通的通項(xiàng)公式)

n-n

由此我們還可以得到d=.

m-n

［例題剖析］

【例1】(1)求等差數(shù)列8,5,2,…的第20項(xiàng)；

(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？

分析(1)

師這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別是什么?你能求出它的第20項(xiàng)嗎？

生1這題太簡(jiǎn)單了!首項(xiàng)和公差分別是。尸8/=5-8=2-5=-3.又因?yàn)椤?20,所以由等差數(shù)列的

通項(xiàng)公式,得“20=8+(20-l)x(-3)=-49.

師好!下面我們來(lái)看看第(2)小題怎么做.

分析(2)

生2由ai=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項(xiàng)公式為a?=-5-4(n-l).

由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)〃，使得-401=-5d(〃-l)成立，解之，得〃=100,即-401

是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng).

師剛才兩個(gè)同學(xué)將問(wèn)題解決得很好，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實(shí)質(zhì)上通項(xiàng)公式

就是aH,a｝,d,n組成的方程(獨(dú)立的量有三個(gè)).

說(shuō)明：(1)強(qiáng)調(diào)當(dāng)數(shù)列｛斯｝的項(xiàng)數(shù)〃已知時(shí)，下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字；(2)實(shí)際上是求一個(gè)方程

的正整數(shù)解的問(wèn)題.這類問(wèn)題學(xué)生以前見(jiàn)得較少，可向?qū)W生著重點(diǎn)出本問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：要判斷

-401是不是數(shù)列的項(xiàng)，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式斯，判斷是否存在正整數(shù)”，使得卬=-401

成立.

【例2】已知數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式〃“=p”+q,其中p、q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否一定是

等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)與公差分別是什么？

例題分析：

師由等差數(shù)列的定義，要判定｛斯｝是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么？

生只要看差斯-%」(此2)是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

師說(shuō)得對(duì)，請(qǐng)你來(lái)求解.

生當(dāng)稔2時(shí)，(取數(shù)列｛%｝中的任意相鄰兩項(xiàng)%與a?(n>2))

an-a?.i=(pn+1)-［p(n-l)+q］=p”+q-(pn-p+q)=p為常數(shù)，

所以我們說(shuō)｛%｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)〃尸p+q,公差為p.

師這里要重點(diǎn)說(shuō)明的是：

(1)若P=。，則｛〃“｝是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q,q.....

⑵若p，0,則是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(diǎn)均在一次函數(shù)y=px+q

的圖象上，一次項(xiàng)的系數(shù)是公差p,直線在y軸上的截距為q.

(3)數(shù)列｛冊(cè)｝為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)a.=p〃+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項(xiàng)公式.

課堂練習(xí)

(1)求等差數(shù)列3,7,11,…的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).

分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差，寫(xiě)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而求出所求項(xiàng).

解：根據(jù)題意可知。1=3,d=7-3=4..,.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=3+(n-l)x4,即afl=4n-l(n>l,

nSN*).?4=4><4-1=15,aIO=4X1O-1=39.

評(píng)述：關(guān)鍵是求出通項(xiàng)公式.

(2)求等差數(shù)列10,8,6,…的第20項(xiàng).

解:根據(jù)題意可知J=8-10=-2.

所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=10+(n-l)x(-2),即a?=-2n+12>所以"20=-2'20+12=-28.

評(píng)述：要求學(xué)生注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.

(3)100是不是等差數(shù)列2,9,16,…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：要想判斷?個(gè)數(shù)是否為某一個(gè)數(shù)列的其中一項(xiàng)，其關(guān)鍵是要看是否存在一個(gè)正整數(shù)”

值，使得小等于這個(gè)數(shù).

解：根據(jù)題意可得。尸2,4=9-2=7.因而此數(shù)列通項(xiàng)公式為%=2+(*1戶7=7〃-5.

令7n-5=100,解得〃=15.所以100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).

(4)?20是不是等差數(shù)列0,-3,，?7,…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理

2

由.

177

解：由題意可知外=0,〃=3上,因而此數(shù)列的通項(xiàng)公式為冊(cè)=-」〃+」.

222

774777

令――〃+—=一20,解得〃=一.因?yàn)楱D―”+—=—20沒(méi)有正整數(shù)解，所以-20不是這個(gè)數(shù)

22722

列的項(xiàng).

課堂小結(jié)

師(1)本節(jié)課你們學(xué)了什么？(2)要注意什么？(3)在生活中能否運(yùn)用？(讓學(xué)生反思、

歸納、總結(jié)，這樣來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的概括能力、表達(dá)能力)

生通過(guò)本課時(shí)的學(xué)習(xí)，首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式“一產(chǎn)成色2);其

次要會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式斯=。|+(〃-1)45多).

師本課時(shí)的重點(diǎn)是通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用，知道對(duì)，d,“中任意三個(gè)，應(yīng)用方程的思想,

可以求出另外一-個(gè).最后，還要注意一重要關(guān)系式a“=am+("-m)d和a“=p"+q(p、q是常數(shù))的

理解與應(yīng)用.

布置作業(yè)

課本第45頁(yè)習(xí)題2.2A組第1題，B組第1題.

板書(shū)設(shè)計(jì)

等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

1.定義

2.數(shù)學(xué)表達(dá)式例1.(略)

3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式例2.(略)練習(xí)

備課資料

一、備用習(xí)題

1.已知｛斯｝是等差數(shù)列，。5=10，d=3,求田0.

解法一：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a”山〃5=a1+4</得為=-2,故而a|0=.+9d=25.

解法二：aio=as+5d=25.

2.已知｛%｝是等差數(shù)列,。5=1°，。]2=31,求。20，%.

解法一:設(shè)｛〃“｝的首項(xiàng)為〃”公差為d,則

q+4d=10a=—2

<=>〈]

q+lld=31d=3

因?yàn)椤?0=Qi+19d=55,所以an=a\+(n-1)d=3n-5.

解法二：因?yàn)椤╙2=a5+74所以d=3.所以得〃20=。12+8"=55,4〃=。12+(〃-12)d=3n-5.

注：根據(jù)以上兩個(gè)例題的解法二啟發(fā)學(xué)生得出等差數(shù)列的變形公式：即=〃m+(〃?m)d.

3,等差數(shù)列2,5,8,107共有多少項(xiàng)？

解：由107=2+(〃?l)x3得片36.

引申：設(shè)等差數(shù)列｛6｝的首項(xiàng)為末項(xiàng)為公差為d,則其項(xiàng)數(shù)〃=殳#+1,

a

這是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的又一變形公式.

4.在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a、b、c使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，試求出這個(gè)數(shù)列.

解法一：因?yàn)?IM,"c,7成等差數(shù)歹％所以b是數(shù)-1與數(shù)7的等差中項(xiàng).

所以b=±Z=3.a又是-1與3的等差中項(xiàng)，所以“=二9=1.

22

又因?yàn)閏是3與7的等差中項(xiàng)，。=土工=5.

2

解法二：設(shè)田=-1,05=7,所以7=-l+(5-l)d=>d=2.

則所求的數(shù)列為-1,1,3,5,7.

5.在一次大型慶?！吧陫W”成功的活動(dòng)中，廣場(chǎng)上正對(duì)著觀禮臺(tái)的場(chǎng)地上由近及遠(yuǎn)地豎立著

“2008相聚北京"八塊標(biāo)語(yǔ)牌.每塊牌子的高為2m,距離觀禮臺(tái)最近的標(biāo)語(yǔ)牌與觀禮臺(tái)的距

離為20m.若一個(gè)人從觀禮臺(tái)上距離地面8m的高處能完整地看清這八塊標(biāo)語(yǔ)牌.問(wèn)：最后一

塊“京”字標(biāo)語(yǔ)牌與觀禮臺(tái)的距離至少要多少米？(結(jié)果精確到1米)

答案：最后一塊"京''字標(biāo)語(yǔ)牌與觀禮臺(tái)的距離至少要149米.

二、閱讀材料

等差數(shù)列的子數(shù)列問(wèn)題

從等差數(shù)列me,的，…，&,…中，選出一些項(xiàng)按原來(lái)的次序組成一個(gè)新的數(shù)列出,｝，則

稱數(shù)列｛兒｝是數(shù)列｛冊(cè)｝的子數(shù)列.例如，數(shù)列2,4,6,8.........2〃，…是數(shù)列1,2,3.........

”，…的一個(gè)子數(shù)列.

子數(shù)列的概念雖然教材中沒(méi)有講，但我們?nèi)钥梢杂龅胶芏嗟炔顢?shù)列的子數(shù)列問(wèn)題，在解

此類問(wèn)題時(shí)，需注意兩點(diǎn)：

其一，這些項(xiàng)是按什么“標(biāo)準(zhǔn)”選取出來(lái)的，不同的標(biāo)準(zhǔn)，選出來(lái)的子數(shù)列具有不同的性

質(zhì)，因此要弄清這種“標(biāo)準(zhǔn)”的數(shù)學(xué)含義，并把它用數(shù)學(xué)式子表示出來(lái).

其二，無(wú)論按何標(biāo)準(zhǔn)選取出來(lái)的子數(shù)列的項(xiàng)，都是原數(shù)列的一項(xiàng)，在這意義之下，我們

可以得出下面的結(jié)論：

若原數(shù)列｛恁｝的通項(xiàng)公式為an=f(n),子數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式為6m=g(m),則必存在

〃,016/7*使得出"尸8(111)成立.

【例1】已知?個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列｛為｝的首項(xiàng)為外,公差為4，取出這數(shù)列中所有項(xiàng)數(shù)為7的

倍數(shù)的各項(xiàng)，組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列？如果是，它的首項(xiàng)與公差各是

多少？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：新數(shù)列｛乩｝是由原數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)數(shù)為7的倍數(shù)的各項(xiàng)組成的，因此，有仇=劭“，再

由等差數(shù)列的定義判定差辦+「6”是否為與n無(wú)關(guān)的常數(shù).

解：設(shè)新數(shù)列為｛瓦｝,依題意可知仇；="7"=。1+(7“-1)公7力2+。1-”.

所以bn+1-b?=ld(n+1)+a?-d-ldn-ai+d=7J為常數(shù).

所以新數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為7",首項(xiàng)為外+6".

點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵在于抓住選項(xiàng)的“標(biāo)準(zhǔn)”，即"項(xiàng)數(shù)為7的倍數(shù)”，于是得到了力=的”進(jìn)而得

出新的數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)公式.

【例2】等差數(shù)列1002,1005,1008,…，1998中能被4整除的項(xiàng)共有多少項(xiàng)?并寫(xiě)出

這些項(xiàng)按原來(lái)的次序組成的新數(shù)列的通項(xiàng)公式.

分析：原數(shù)列的通項(xiàng)公式為冊(cè)=1002+3(〃-1),設(shè)數(shù)列中各數(shù)均為3的倍數(shù)，故數(shù)列中能被4

整除的項(xiàng)必為12的倍數(shù).

解：設(shè)原等差數(shù)列為｛%｝,則斯=1002+3("-1)=3"+999,此數(shù)列中各項(xiàng)均為3的倍數(shù).

又依題意新數(shù)列是由原數(shù)列中能被4整除的各項(xiàng)組成的，所以新數(shù)列中的各項(xiàng)為12的倍數(shù).

設(shè)12k是新數(shù)列中的項(xiàng)，則1002$12kq998,解得83.5先166.5,故k取84,85,86,

166,即原數(shù)列中能被4整除的項(xiàng)共有83項(xiàng).

這些項(xiàng)組成的新數(shù)列的通項(xiàng)公式為

bn=12〃+996(,GN*,1<n<83).

點(diǎn)評(píng):本例還可以運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，先判斷出新數(shù)列是以12為公差的等差數(shù)列，再找出

其首項(xiàng)為1008,即可寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式.

2.2.2等差數(shù)列通項(xiàng)公式

從容說(shuō)課

本節(jié)課的主要內(nèi)容是讓學(xué)生明確等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

及其推導(dǎo)的公式，并能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)；讓學(xué)生明白一個(gè)數(shù)列的通

項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)”的一次型函數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列必定是一個(gè)等差數(shù)列，使學(xué)生學(xué)會(huì)用圖

象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問(wèn)題.

在學(xué)法上，引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，學(xué)會(huì)探究.在教學(xué)過(guò)程中，

遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，盡可能讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程，

激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮他們的主觀能動(dòng)性及其在教學(xué)過(guò)程中的主體地位，通過(guò)等差數(shù)列

概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識(shí).

通過(guò)對(duì)等差數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與

一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)，通過(guò)等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，通過(guò)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲

透方程思想，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生積極探究，主動(dòng)學(xué)習(xí)，提

高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，也提高了課堂的教學(xué)效果.

教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用、靈活應(yīng)用等差數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題.

教具準(zhǔn)備多媒體及課件

三維目標(biāo)

一、知識(shí)與技能

1.明確等差中項(xiàng)的概念；

2.進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)公式，能通過(guò)通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識(shí)等差數(shù)

列的性質(zhì)；

3.能用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問(wèn)題.

二、過(guò)程與方法

1.通過(guò)等差數(shù)列的圖象的應(yīng)用，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過(guò)等差數(shù)列通

項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想；

2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，講練相結(jié)合，作好探究性學(xué)習(xí)；

3.理論聯(lián)系實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的