高中數(shù)學球內(nèi)接多面體含答案

高中數(shù)學球內(nèi)接多面體專題含答案

學校：班級：姓名：考號：

1.已知正三棱柱ABC-&B1C1的底面邊長為百，若此三棱柱外接球的表面積為5兀,

則異面直線AG與B公所成角的余弦值為（）

2.已知四棱臺力BCD-a8傳山1的底面為正方形，AB=2A/i=4,側(cè)棱長均為“1,

則四棱臺力BCD-aB1QD1的外接球的球心到側(cè)面的距離為（）

A?誓B等D黑

3.在三棱錐P—ABC中，BC=6,平面PBC1平面ABC,Z.BAC=zBPC=\PB=

PC,4B=AC,則三棱錐P-ABC的外接球的體積為（）

A.25V57TB.20-7157TC.40V5TTD.25VT5TT

4.在四面體ABCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，△4BC是以BD為斜邊的等腰直

角三角形，平面4B0_L平面4BC,則四面體4BC。的外接球的表面積為（）

A.67rB，V6TTC.8兀D.2企兀

5.在四面體4BCD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，△4B0是以BD為斜邊的等腰直

角三角形，平面ABC，平面ABC,則四面體4BCD的外接球的表面積為（）

A.87rB.V67rC.6兀D.2企兀

6.已知三棱錐。-ABC中，A,B,。三點在以。為球心的球面上，若2B=BC=2,

AABC=120\且三棱錐。一4BC的體積為百，則球0的半徑為（）

A.2B.5C.13D.713

7.四棱錐P-4BCD的三視圖如圖所示，四棱錐P-4BCD的五個頂點都在一個球面上,

E,尸分別是棱AB,CD的中點，直線EF被球面所截得的線段長為2vL則該球表面積

為（）

主視圖左視圖

俯視圖

A.127rB.247rC.36/rD.487r

8.己知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個確定的球面上，且B4=BC=n，

Z.ABC=p若三棱錐P-ABC體積的最大值為3,則其外接球的半徑為（）

A.2B.3C.4D.5

9.在三棱錐U-力BC中，4ABC是等邊三角形，頂點V在底面4BC的投影是底面的中心,

側(cè)面UAB_L側(cè)面IMC，則此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為（）

A.卷B.居噂D.J

10.在三棱錐A-BCD中，4B1平面BCD,△BCO是邊長為3的正三角形，AB=V3,

則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.21TTB.67rC.24TTD.15TT

11.在三棱錐S-ABC中，SAJ"平面ABC,SA=AB=2封BC=2,SC=2小.若P,

Q分別是SB,BC的中點，則平面4PQ被三棱錐S-ABC的外接球所截得的截面面積為

（）

43-13廠21、14

AA.-71B.-7TC.-7TD.—7T

7453

12.已知點4,B,C在球。的球面上，ABAC=60°,BC=2百，若三棱錐。一4BC體

積的最大值為3,則球。的表面積為（）

497r

A.—B.287rC.32TTD.487r

3

13.已知五面體ABCDE的五個頂點在球0的球面上，平面ABC,平面8CDE,AB=

BC=AC=?四邊形BCDE是平行四邊形，其外接圓的面積為?，則球。的表面積為

4

試卷第2頁，總28頁

A.2V2TTB.47rC.4V2TTD.87T

14.如圖所示正三棱錐P-ABC中，M是PC上一點，PM=2MC,且PB_L4M,AB=2,

則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（）

A.27rB.2&7TC.4兀D.6n

15.在三棱錐U-ABC中，△ABC是等邊三角形，頂點U在底面ABC的投影是底面的中

心，側(cè)面IMB側(cè)面UAC,則（）

A.二面角U-BC-4的大小為g

B.此三棱錐的側(cè)面積與其底面面積之比為百

C.點U到平面ABC的距離與VC的長之比為？

D.此三棱錐的體積與其外接球的體積之比為手

16.我們把所有棱長都相等的正棱柱（錐）叫"等長正棱柱（錐）”，而與其所有棱都相

切的球稱為棱切球，設下列"等長正棱柱（錐）”的棱長都為1,則下列說法中正確的有

（）.

A.正方體的棱切球的半徑為企

B.正四面體的棱切球的表面積為］

C.等長正六棱柱的棱切球的體積為詈

D.等長正四棱錐的棱切球被棱錐5個面（側(cè)面和底面）截得的截面面積之和為工

17.已知球。的半徑為3,正三棱錐S-ABC的四個頂點都在球。的表面上，且SA=2,

則正三棱錐S-ABC的體積為.

18.三棱錐P-4BC中，PAJ■平面ABC,ABAC=^-,AP=3,BC=6,則該三棱錐

外接球的表面積為

19.己知長方形ZBCD中，AB=1,/,ABD=60°,現(xiàn)將長方形4BCD沿著對角線BD折

起，使平面ABD1平面BCD,則折后幾何圖形的外接球表面積為.

20.已知在四面體ABCD中，AB=AC=BC=AD=CD=2,二面角B-4C-C的大

小為120。，則四面體力BCC的外接球的表面積為.

21.已知在四面體力BCD中，AB=AD=BC=BD=DC=2,二面角B-AC-D的大

小為120。，則四面體4BCD的外接球的表面積為.

22.在三棱錐P-4BC中，△H4B是邊長為3的等邊三角形，AC=BC,乙4cB=90。,

二面角P-AB-C的大小為120。，則三棱錐P-力BC外接球的表面積為.

23.已知三棱錐P-ABC中，AP.AB.AC三條棱兩兩垂直，且長度均為28，以頂點

P為球心，4為半徑作一個球，則該球面被三棱錐四個表面截得的所有弧長之和為

24.在三棱錐P-ABC中，力B_LBC,AC=8,點P到底面ABC的距離為7.若點P,A,

B,C均在一個半徑為5的球面上，貝1年肥+PB2+PC?的最小值為.

25.在四棱錐P-4BCO中，底面ABCD為矩形，平面P4B1平面ABCD,PA=PB=

^-AB,若APBC和APCD的面積分別為1和百，則四棱錐P-ABC。的外接球的表面積

為.

26.在三棱錐P-4BC中，PA1平面力BC,AB1BC,PA=AB=1,AC=^2.三棱

錐P-ABC的所有頂點都在球。的表面上，則球。的體積為；若點M,N分別

是AABC與△PAC的重心，直線MN與球0的表面相交于。，E兩點，則線段。E的長度

為.

27.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD_L平面4BCD,△P4D為等邊三角形，四邊

形ABCD為矩形，AB=2AD=4,則四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為.

試卷第4頁，總28頁

28.若正四棱錐P-4BCD的底面邊長和高均為8,M為側(cè)棱R4的中點，則四棱錐M-

ABCD外接球的表面積為.

參考答案與試題解析

高中數(shù)學球內(nèi)接多面體專題含答案

一、選擇題（本題共計14小題，每題3分，共計42分）

1.

【答案】

A

【考點】

異面直線及其所成的角

球內(nèi)接多面體

【解析】

此外接球半徑R=當，進而求出44=1,以A為原點，在平面ABC內(nèi)過4作4c的垂線

為x軸，AC為y軸，A&為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC1

與B公所成角的余弦值.

【解答】

解：如圖，正三棱柱4BC-41B1C1外接球球心為0,。，為△ABC所在圓面的圓心，

設球半徑為R,貝必兀/?2=5兀，解得R=孚,

在△ABC中，v。'為外接圓圓心，

。'0=盾——

取4B中點F,441中點E,&G中點G,

???EF//AXB,EG//ACX,

故NGEF即為異面直線4G與所成角（或其補角）.

異面直線4cl與B4所成角的余弦值為《

8

試卷第6頁，總28頁

故選力.

2.

【答案】

A

【考點】

點、線、面間的距離計算

球內(nèi)接多面體

球的表面積和體積

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：設四棱臺4BCD-4/加劣的上，下底面的中心分別為?！?2,

連接。1。2,易知球心。在直線。1。2上，連接0傳1，。6，。2。，0C,

易得0母1=V2,02c=2V2,。1。2=3.

設球。的半徑為R,

在Rt△。1。6和Rt△。。2c中，

由勾股定理得。。次+0譙=ocl，ool+02c2=OC2,

所以（3-。。2）2+2=/?2,001+8=R2,

解得。。2=$R=苧.

分別取棱BiG，BC的中點E,F,

連接。出，EF,02F,OF.

易知。住〃。?？，

所以01，E,尸,。2四點共面，

X02F1BC,0x021BC,

所以BC_L平面OiOzFE,

又BCu平面BCGBi，

所以平面O1O2FE_L平面BCGBi，

過點。作OG1EF于點G,貝iJOGJ"平面BCC1&,

即線段OG的長度為點。到側(cè)面的距離，

由平面幾何知識得EF=V10,

在旦角梯形。亞尸。2中，梯形

Sh001E+SAOQ2P+S^0EF=SO'O^SFE'

所以9xlx|+：x2x9+9xExOG=*l+2)x3,

11所

解得OG

20

故選力.

3.

【答案】

B

【考點】

球內(nèi)接多面體

球的表面積和體積

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：設△力BC、APBC的外接圓的圓心分別為01、02,三棱錐P—4BC的外接球的球心

為。.

取BC的中點E,連接。。1、。。2、01E、02E,。14、0A,

貝MEJ.BC,02E1BC,

又平面PBC_L平面力BC,平面PBCC1平面4BC=BC,

所以。出1平面PBC,QE,平面4BC.

由球的知識可得。。1J■平面ABC,0021平面PBC,

所以。。1〃。2七，。。2〃0聲,

所以四邊形。OiEOz是平行四邊形，

又。。11。北，

所以四邊形。O1EO2是矩形.

因為48=AC,Z.BAC=p

所以△ABC為等邊三角形，

同理△PBC為等邊三角形，AE=PE=^-BC=3遮,

所以力。1=|AE=2V3,0。1=02E=^PE=V3.

在RtzkOOi力中，外接球半徑

R—0A—《A0：+。。/=J(2V5y+(V3)—V15,

所以外接球體積為“2=i71(715)3=20A/15TT.

故選B.

4.

【答案】

A

試卷第8頁，總28頁

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

柱體、錐體、臺體的體積計算

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

柱體、錐體、臺體的體積

【解析】

無

【解答】

解：因為A/IB。是以BD為斜邊的等腰直角三角形,

所以。A14B,

又因為平面4BD1平面4BC,

所以0A1平面ABC,

所以DA1AC,

可得DA,BA,CA兩兩垂直，

且04=BA=CA=&,構(gòu)造正方體如圖所示，

可得四面體4BCD的外接球半徑R=冬

所以表面積為4兀/?2=67r.

故選4

5.

【答案】

C

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

【解析】

無

【解答】

解：因為AABD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，所以ZM1AB,

又因為平面ABD1平面4BC,

所以DAJL平面4BC,

所以DA14C,

可得D4,BA,04兩兩垂直，

且1M=BA=CA=V2,

構(gòu)造正方體如圖所示，

可得四面體加C。的外接球半徑R=冬

所以表面積為4兀/?2=67r.

故選C.

6.

【答案】

D

【考點】

柱體、錐體、臺體的體積計算

球內(nèi)接多面體

【解析】

求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出。到底面的距離，求出底面三角形的

所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑.

【解答】

解：如圖所示，設△ABC的外接圓的圓心為G,

AB=BC=2,AABC=120",

SHABC=：x2x2xsinl20°=V3,AC=2V3,

v三棱錐0-ABC的體積為g,

?-?|xV3OG=V3,

得OG=3,

外接圓的半徑為：「=又急=2，

球。的半徑為：R=V32+22=g.

故選D.

7.

試卷第10頁，總28頁

【答案】

A

【考點】

球內(nèi)接多面體

由三視圖還原實物圖

【解析】

將三視圖還原為直觀圖，得四棱錐P-4BC。的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，

且與該正方體內(nèi)接于同一個球.由此結(jié)合題意，可得正文體的棱長為2,算出外接球半

徑R,再結(jié)合球的表面積公式，即可得到該球表面積.

【解答】

解：將三視圖還原為直觀圖如右圖，

可得四棱錐P-ABCD的五個頂點位于同一個正方體的頂點處，

且與該正方體內(nèi)接于同一個球，且該正方體的棱長為a,

設外接球的球心為。，

則。也是正方體的中心，

設EF中點為G,連接OG,OA,AG,

根據(jù)題意，直線EF被球面所截得的線段長為2VL

即正方體面對角線長也是2世，

得AG=a=與a,所以正方體棱長a=2,

Rt△OGA^p>OG==1,AO=

即外接球半徑R=V3,得外接球表面積為47iR2=127r.

故選4.

8.

【答案】

A

【考點】

球內(nèi)接多面體

球的表面積和體積

柱體、錐體、臺體的體積計算

【解析】

由題意畫出圖形，求出棱錐的最大高度，然后利用勾股定理計算三棱錐外接球的半徑.

【解答】

解：由已知可得△ABC是等腰直角三角形，AC=2?

???4c為截面圓的直徑，故外接球的球心。在截面4BC中的射影為4c的中點D,

當P,0,。共線且。在P,。中間時，三棱錐P-ABC的體積最大，

三棱錐的最大高度為PD,

^|xV6xV6xPD=3,

PD=3.

設外接球的半徑為R,則。。=3-R,

在△ODC中，。。2+。。2=。。2,

即(3—R)2+(代)2=/?2,

解得R=2.

故選4

9.

【答案】

C

【考點】

柱體、錐體、臺體的體積計算

球內(nèi)接多面體

球的表面積和體積

【解析】

【解答】

解：設AABC的邊長為2a,

y^=-S-VO'=-y/3a2—=—,

.一.梭錐3hA八BC333

設Q為了-ABC外接球的球心，

^.Rt^O'QC^,

O'Q2+O'C2=CQ2,

〈亨-R/+*=R2,

得R=ya,

V球=1兀R3=V67ra3,

三棱錐的體積與其外接球的體積之比為：警:V67ra3=

397r

故選c.

10.

【答案】

試卷第12頁，總28頁

D

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：設△BCD的外接圓圓心為01，半徑為r,該三棱錐的外接球的球心為0,半徑為R,

00=—,R2=OOl+r2=-+3=—,

12144

r15

S為=4nR2

表=4?rX4—=157T.

故選D.

11.

【答案】

A

【考點】

球內(nèi)接多面體

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：由題意得4c=4=>AB1BC,知球心。為SC中點，

故球。的直徑2R=2b=R=V7.

因為SC〃平面4PQ,

設球心。到平面APQ的距離為d，截面圓的半徑為r,

由題設球心。到平面APQ的距離等于點S到平面APQ的距離等于點B到平面APQ的距離.

在RtZkASB中，可以得到AP=歷.

在ASCB中，PQ為中位線，則PQ=V7.

在Rt△4QB中，根據(jù)勾股定理可以得到4Q=反.

由此可知滿足勾股定理，即AAPQ為直角三角形.

在三棱錐P-4BQ中，由等體積法

^P-AQB—^B-APQ，

^\i---SA--AB-BQ=--d--PQ-AP,

322<32y

得d=M

所以產(chǎn)=R2—d2=7—；=￥，故截面面積為等.

777

故選4

12.

【答案】

B

【考點】

球內(nèi)接多面體

球的表面積和體積

余弦定理

柱體、錐體、臺體的體積計算

三角形的面積公式

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：設球。的半徑為R,△ABC外接圓的半徑為r,

內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

在△4BC中，由正弦定理，得一與方=2「，解得r=2,

sinZ-BAC

由余弦定理，得（2通）2=h2+c2-2bccos/-BAC

=b2+c2—be>2bc—be=be,

當且僅當b=c=2百時等號成立，即beW12,

所以SAABC=\bcsm/.BAC<|x12xy=3^3,

設點。到平面ABC的距離為h,

所以41ax=：Smax?%=3,解得/l=V^，

所以RZ=r2+h2=7,

所以球0的表面積S歐=4TTR2=287r.

故選B.

13.

【答案】

D

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：如圖所示，連結(jié)CE,

試卷第14頁，總28頁

因為四邊形BCDE是平行四邊形，

所以△BCEDEC,

所以NB=ZD.

又NB+/O=180°,

所以4B=4。=90。，

所以CE為四邊形BCDE外接圓的直徑，

由717*2=27r得=亞，

42

設CE的中點為。1，則。iC=，，

因為=BC=AC—6,

取BC中點F,連結(jié)AF,則AF1BC,且4F=|,

由正三角形的性質(zhì)可知，△ABC外接圓的圓心。2為4F的靠近F的三等分點,

所以。2尸=：4F=[.

連結(jié)為。，020,根據(jù)球的性質(zhì)可知001，平面BCDE,。外1平面4BC,

因為平面ABC_L平面BCDE,

所以力F平面BCDE,

所以4F〃00「

因為。/〃BE,

所以0/1BC,

又因為4尸1。1凡

所以0/1平面力BC,

所以。/〃0。2,

所以四邊形。。1F。2為矩形，

所以0。1=O2F=

因為球的半徑R2=0C2+00l=-+-=2,

r44

所以R—V2,

所以球。的表面積為4兀/?2=87r.

故選D.

14.

【答案】

D

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】

利用正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求出外接球的半徑，根據(jù)求的表面積公式求解.

【解答】

解：?；三棱錐P-4BC是正三棱錐，

PB1AC.

???AM1PB,AMdAC=A,

PBJ_平面P4C,

PB1PA,PB1PC,

即PA,PB,PC兩兩垂直.

AB=2,

PA=PB=PC=V2.

設外接球的半徑為R,

則(2R)2=3x(V2)2=6,

球的表面積S=4TTR2=6n.

故選D.

二、多選題(本題共計2小題，每題3分，共計6分)

15.

【答案】

B,C,D

【考點】

球內(nèi)接多面體

用空間向量求平面間的夾角

柱體、錐體、臺體的體積計算

【解析】

【解答】

解：取4B中點。，連接。C,從口句底面作垂線，垂足為。',

???。，為△ABC的中心，

設4B=2a,建立如圖所示空間直角坐標系，

則4(一a,0,0),B(a,O,O),0(0,0,0),0，(0,乳0),C(0,V3a,0),

設V(0,與a,b),面匕48法向量為蔡=(x1,y2)Zi)，

VA——(一CL,-a,—b),AB—(2a,0,0))

=0,%】—0/

V3入c=6a

[-ax1--ay1-bzr=0，⑵=yi，

令%=1,則藐=(0,1,一黑).

試卷第16頁，總28頁

設面匕4c法向量為]=(x2fy2^2)，AC=(a,y[3a,0),

ax4-V3ay=0,

22取丫2=1，則蔡=（一6，1，寫3,

^VABL^VAC,

???m-n=0,即1—勺=0,3b2=2a2,8=直j或6=—在a.

3b/33

??,，=(喈*a)

A,設面UBC法向量為3=(>3，丫3*3),而=(0片見一日a),BC=(-a,V3a,0),

pV3ay3V6

UZQ-U/

33J

—ax3+V3ay3=0,

令、3=1,:.VBC法向量為￡=（8,1,或）,

面ABC的法向量彳=（0,0,1）,

???cos0=后巴.[=今，故4錯誤；

V3+1+2X13

B,\OO'\=—a,\VO'\=—a,\OV\=-+-a2=a.

3333

S側(cè)=3x|-2a-a=3a2,S底=1?2a-V3a=V3a2,

即白=遮，故8正確；

s底

C,U到面ABC的距離di=條，\VC\=+#=的a,

*故c正確;

23

D，=ShABC■\VO'\=|xV3aXya=ya,

設Q為U-4BC外接球球心，|QC|=R,|VQ|=R,

???|QO|=*a-R

在RtZiO'QC中，|0'Q『+|0￡|2=|QC『,

2

作"R)+4"，

點

得no=

2a.

4嗎

-

37r8

故。正確.

故選BCD.

16.

【答案】

B,C,D

【考點】

柱體、錐體、臺體的體積計算

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

【解析】

利用新定義，對選項逐個判斷即可.

【解答】

解：A,由新定義可知，正方體的棱切球的半徑為正方體的中心到各棱的距離，

故半徑為Jc)+()2=苧，故a錯誤；

B,由新定義可知，正四面體的棱切球的球心為正四面體的中心，

球心到正四面體的頂點的距離為J121X：=M

故半徑為佰;[gj=今故棱切球的表面積為47Tx件)2=泉故B正確；

C,由新定義可知，等長正六棱柱的棱切球的球心為等長正六棱柱的中心，

故半徑為1,棱切球的體積為等X13=箏故C正確；

D,由新定義可知，棱切球在每個面的截面即為該面的棱切圓，

故底面的截面面積為7TX(|)2=%側(cè)面的截面面積為7TX(苧X|)2=

故截面面積之和為：+4X5=奈故。正確.

故選BCD.

三、填空題(本題共計12小題，每題3分，共計36分)

17.

【答案】

16V3

27

【考點】

柱體、錐體、臺體的體積計算

球內(nèi)接多面體

【解析】

根據(jù)外接球的性質(zhì)可知球心。在正三棱錐底面ABC的垂線5G上，且在底面4BC的投影為

G,在Rt4G中，利用勾股

定理構(gòu)造方程可求得正三棱錐底面邊長，由此得到三棱錐的高，利用三棱錐體積公式

可求得結(jié)果.

【解答】

解：取BC中點D,連接4C,作SGJ■平面ABC,垂足為G,如圖，

試卷第18頁，總28頁

則G為△ABC的中心，所以AG=|/W,

由球的性質(zhì)可知，球心。在直線SG上，

設正三棱錐S-ABC底面正三角形4BC的邊長為a,

則AG--AD--la2--a2=—a.

33、43

所以SG=J4—ga2,所以OG=3—J4—ga?.

因為OG2+4G2=OA2,

所以9—6/4--a2+4--a2+-a2=9,

,\i333

解得a?=學

所以*_%BC=3^6,ABC,

故答案為：等.

18.

【答案】

577r

【考點】

球的表面積和體積

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

球內(nèi)接多面體

【解析】

將三棱錐P-4BC中放在圓柱014中，由正弦定理得△ABC的外接圓01的直徑2r,再

結(jié)合勾股定理求得外接球的直徑，從而求得表面積.

【解答】

解：作出AABC的外接圓。1，由于PZJ?平面4BC,

可將三棱錐P-ABC放在圓柱01。2中，如圖所示，

因為NBAC=g,BC=6,

由正弦定理得△ABC的外接圓。］的直徑為

2r=———=4V3，

sinz.Bi4C

又4P=3,

.1?在三棱錐P-ABC的外接球中

(2/?)2=\PA\2+(2r)2=9+48=57,

.1?外接球的表面積為S=4nR2=57兀.

故答案為：577r.

19.

【答案】

4兀

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】

由長方形中4B=1,乙4BD=60°,可得BD,BC,及4到B0的距離4E,由面4BD3_平

面BCD可得4E求出底面外接圓的圓心及外接圓的半徑，再由橢圓求出外接

球的半徑，進而求出外接球的表面積.

【解答】

解：長方形4BC0中，AB=1,AABD=60°,

則BD=2,AD=V3,

如圖，作4E1BD于E,

WUE-BD=ABAD,

所以

所以BE=、花一4王2=1-2=1.

yj42

因為平面ABD_L平面BCD,AEu平面4B0,平面ABDn平面BCD=BD,

所以4E_L平面BCD,

由直角三角形BCO可得其外接圓的圓心為斜邊B。的中點Oi，

且外接圓的半徑r=”D=1,

如圖，過名作。。1垂直于底面BCD,

試卷第20頁，總28頁

A

所以EOi=OjB-FE=1-1=|,

所以。OJ/AE,

取三棱錐外接球的球心0,設外接球的半徑為R,

則04=0C=OB=0D=R,

作OF1AE于F,則四邊形EFOOi為矩形，

所以?；?。尸，EF=00、,

在A4F0中，0A2=AF2+OF2=(AE-EF)2+EO1,

即R2=弓一。。1)2+3①

在ABOOi中，OB2=OO[+BOl，

即R2=002+1；②

由①②，得R2=1,。0]=o,

即外接球的球心為。1，

所以外接球的表面積S=4兀/?2=4兀.

故答案為：4兀.

20.

【答案】

28兀

亍

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

二面角的平面角及求法

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：如圖，設AC的中點為E,連接BE,DE,

因為AB=AC=BC=AD=CD=2,

所以△ABC^L4CD為等腰三角形，

所以BE_LAC,DELAC,Z.BED=120°.

在ABED中，BE=DE=遮,

由余弦定理可得

BD=，3+3-2XV5Xgxcosl20°=3.

易知球心在△力BC過中點的垂線與4力CD過中點的垂線的交點。處,

設垂足分別為M,N,

其中|ME|=\NE\=^\BE\=y,

易得|0M|=\0N\=1.

在ABM。中，|BM|=||BE|=平，

所以|B0|2=R2=(I旬2+12=|,

所以外接球表面積為S=4TTR2=g7r.

故答案為：等.

21.

【答案】

287r

—

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

二面角的平面角及求法

【解析】

【解答】

解：如圖，設4C的中點為E,連接BE,DE,

因為4B=AD=BC=BD=DC=2,

所以△ABC^h4CD為等腰三角形，

所以BE_L4C,DELAC,乙BED=120。.

在ABED中，BE=DE=?/.EBD=30",

所以BD=2>/3-cos30°=3,

易知球心在△力BC過中點的垂線與△ADC過中點的垂線的交點。處,

設垂足分別為M,N,

其中|ME|=\NE\=^\BE\=?,

易得|OM|=\ON\=1.

試卷第22頁，總28頁

在△AMO中，|AM|=||BE|=誓，

所以|40|2=R2=0遮）+12=],

所以外接球表面積為S=4兀辟=冢.

故答案為：等.

22.

【答案】

13兀

【考點】

球的表面積和體積

二面角的平面角及求法

異面直線及其所成的角

球內(nèi)接多面體

【解析】

1

【解答】

解：如圖,

取AB中點M,連接PM,CM,

V是等邊三角形，

PM1AB,

又；AC=BC,

：.CM1AB,

：.NPMC即二面角P-4B-C,

乙PMC=120°,

找到△P4B的外接圓圓心?！?/p>

過點。1作41平面P4B,

易知M即為△ABC外接圓圓心，過點M作。＞!■平面4BC,

Ak與的交點即為三棱錐外接球的球心。，作平面PMC截面圖,

PM=拙2一（第2=*

oM=-x—=—,OjP=—x3=V3,

132213

乙PMO=乙PMC-90°=30°,

則。。1=OjMtan30°=|,

r=OP

=Jo1P2+00.

_VH

-2'

則外接球的表面積為471T2=137T.

故答案為：137r.

23.

【答案】

371

【考點】

球內(nèi)接多面體

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：如圖，AP=2b，PN=4,

則AN=2,^APN=

6

....7T.TC

..MN=—x4=-,

123

同理GH=p

,TC日7T“47r

HN=-x2=7T,GM=-x4=——，

233

故球面與三棱錐的表面相交所得到的四段弧長之和

等于W+g+TT+f=3叫

333

故答案為：37r.

24.

【答案】

198

【考點】

球內(nèi)接多面體

圓的參數(shù)方程

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】

試卷第24頁，總28頁

此題暫無解析

【解答】

解：設球心為0',點P在底面ZBC的射影為Q,在平行于底面且過球心的平面的射影為

M,AC的中點為0,

易知四邊形。O'MQ為矩形，。0'=\/0'A2-0A2=3,

PM=PQ-MQ=4,OQ=MO'=y/O'P2-PM2=3.

又PA?+PB2+PC2=QA2+QB2+QC2+147.

記AABC的重心為G,

則

QA?+QB2+QC2=3QG2+GA2+GB2+GC2

設0(0,0),B(4cos0,4sin0),4(一4,0),C(4,0),

得GQcos0,^sin0^,

則GA?+SB2+GC2=詈，且QG>3-^=|,

所以3QG2N^,

故可知P/+PB2+pc2最小值為147+詈+g=198.

故答案為：198.

25.

【答案】

67r

【考點】

球的表面積和體積

球內(nèi)接多面體

柱體、錐體、臺體的體積計算

棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【解析】

此題暫無解析

【解答】

解：在四棱錐P-ABCD中，

因為PA=PB*AB,

所以△P力B是等腰直角三角形.

因為底面4BCD為矩形，

所以BC_L4B,

又因為平面P4B平面4BCD,

平面PABn平面ABCD=4B,BCu平面4BCD,

所以BC_L平面P4B,

故BC1PB,

設P4=PB=a,BC—b,

由直角△PBC和等腰△PCD的面積分別為1和遮得，|ab