高中數(shù)學數(shù)列專項練習 數(shù)列求和

數(shù)列求和的四種常見類型

類型1.公式法求和：用等差(等比)數(shù)列求和公式.

例1.(2018年全國2卷)記S“為等差數(shù)列｛/｝的前"項和，已知4=-7,S3=-15.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)求S“，并求S”的最小值.

解析：(1)設｛4｝的公差為4,由題意得3q+3。=—15,由q=-7,得d=2,所以僅“｝

的通項公式為4=2〃-9.

(2)代入等差數(shù)列求和公式，得S“=〃2-8〃=(〃-4)2—16,所以當〃=4時，S“取到最

小值，且最小值為-16.

例2.(2020新高考2卷)已知公比大于1的等比數(shù)列｛4｝滿足4+%=20,%=8.

(1)求他“｝的通項公式；

(2)求—02a3+…+(―D"'?

,、a,+a,=a.q+a,cf=20

解析：⑴設等比數(shù)列｛4｝的公比為q(0>l),貝"24,7",

a3=a｝q=8

整理可得：2/一54+2=0,???4>1M=2,4=2,數(shù)列的通項公式為：an=2-2'"'=2".

-1n+,2n+1

(2)由于：(-ifanan+l=(-I)"x2"x2=(-if2,故:

-13579-12n+1

axa2-a2a3+...+(-1)"anan+i=2-2+2-2+...+(-I)"?2

類型2.裂項求和

i.分母是等差數(shù)列相鄰兩項乘積，則I：——匚)，貝I：

44+1danan+l

111111

1F....d=—(-----------).

a\a2--〃2。3----------anan+\

1

2.有理化后求和：a=-V/i-i.

ny[n+y/n-l

T_1

3.指數(shù)式裂相求和:

(2"+l)-(2n+,+l)-2"+l2n+l+1

三類應用：①裂相求和；②證明不等式；③求范圍.

2

例3.(2015年全國2卷)S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知a“>0,an+2a?=4S?+3.

(1)求｛%｝的通項公式;

(2)設a=—!—,求數(shù)列打的前〃項和.

《4+1

解析：(1)a,+；+2%=4s向+3與已知作差得：U,+i+??X??+I-??-2)=0,

a“+i一4=2,當〃=1時，4=3,=2〃+1.

(2)b；11_______1=-{-__1〃

"一(2〃+1*2〃+3)一42〃+12〃+3/-2U2〃+3廠6〃+9，

類型3：錯位相減

型如｛(kn+b)q"｝(q豐1)的數(shù)列求和，其基本解題步驟如下:

Stepl：由題可得：an-bn=

Step2：故騫=0tbi+....+a?bn①，q-Tn=a也+....+。也+i②

Step3：由①一②得：(1—/騫=44—。/田+納上二動

q-i

Step4：化簡：T“=____________________

例4.(2020年新課標全國卷117)設｛〃“｝是公比不為1的等比數(shù)列，q為。2,%的等差中項.

(1)求他“｝的公比;

(2)若，4=1，求數(shù)列｛"4,｝的前〃項和.

2

解析：(1)設公比為4,得2q=“2+%，即2q=qg+qq2,g+g-2=0,得q=l(舍

去)，q=-2.

(2)設S.為｛w“｝的前”項和，由(1)及題設可得，4=(-2)"T,所以

S“=]+2x(-2)+…+〃x(-2)j①，

-2S"=一2+2x(-2)2+…+(〃-1)x(-2)"T+〃x(—2)"②，用QHD可得：

1n

3Sn=l+(-2)+(-2>+…+(-2嚴-(-2)"=J*_?x(-2).

故S」_(3〃+1)(-2)".

"99

類型4.分組求和

適用對象：主要適用于通項是由兩部分不同的形式構成的數(shù)列，其次還適用于一些幾項放

在一起可以化簡的數(shù)列.

例如：｛%+/｝型，可分別單獨求出｛?！埃?｛勿｝的前〃項和再求和.或者分段型，具體見下

面的2021新高考1卷.

例5.(2021新高考1卷).已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,—I""*：,21聶’

［?！?2(九為偶數(shù)).

(1)記2=%，寫出a,偽，并求數(shù)列也｝的通項公式；

(2)求｛q｝的前20項和.

解析：(1)由題設可得瓦—=q+1=2,仇=。4=“3+1="2+2+1=5

aa

又2k+2=%k+l+1，4AM=+2，故的*+2=2k+3即%=斗+3即一4=3

所以也｝為等差數(shù)列，故勿=2+(〃-1)X3=3/LL

⑵設｛《,｝的前20項和為$20，貝！1S20=4+。2+。3+…+。20，進一步分組可得：

§20=〃1+〃2+.-?+〃2()=(41++,??+。兇)+(〃,+〃4+?■?+。20)

因為4=。2-1，。3=。4一1，…，。19=。20-1，所以$20=2(%+%+…+《8+%。)-1。

=2(4+/..+%+九)-10=2乂110乂2+與%3卜10=300.

除上例之外，分組求和還適用于出現(xiàn)擺動數(shù)列｛(-1)%“｝型中，具體解法見下例.

例7.(2014年湖南文科)已知數(shù)列｛/｝的前〃項和S“=￡1±,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

(2)設d=2%+(—“%〃，求數(shù)列物,｝的前2〃項和.

解析：(1)當〃=1時，4=5=1；

當〃之2時，4=S“_“=_(〃-1)；(〃-1)=",故數(shù)列｛凡｝的通向公式為：

4="?

(2)由(1)知，4=2"+(-1)”“，記數(shù)列｛"｝的前2〃項和為&,則

J=(21+22+...+22")+(-1+2-3+4-...+2〃)，進一步，若記A=21+2?+...+22",

3=—1+2—3+4—...+2“，分別求和可得：

2n+1

A=2(J2)=2-2,5=(―1+2)+(―3+4)+...+[―(2〃-1)+2〃]=n,

1—2

故數(shù)列他“｝的前〃項和為2,,+I

2T2II=A+B=2+〃-2.

1"—n,n-1k—1

注：此處4是一個分段形式：2=/eN+,分組求和是處理分段形式

2"+n,n=2k

的數(shù)列求和的一把利器!

（2018年天津）.設｛4｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項和為S.（〃eN*）,也｝是等

差數(shù)列.已知4=1,%=%+2，。4=4+々，。5=2+24.

（I）求｛%｝和也｝的通項公式；

（II）設數(shù)列｛S"｝的前n項和為7；（（€*）,

（i）求北;

。（1+4+2）42”2（、

⑴證明工+1）屋2）==一2（2）.

詳解：（/）設等比數(shù)列｛4｝的公比為q.由4=1,%=。2+2,

可得/—g—2=0.因為4>0,可得g=2,故q=2”，

設等差數(shù)列他,｝的公差為d,由4=4+4，可得3d=4.

由%=仇+2b6,可得3向+13d=16,

從而仇=l,d=1,故〃=幾

所以數(shù)列｛q｝的通項公式為=2"T,

數(shù)列｛〃｝的通項公式為2=幾

l-2n

(//)(/)由(/),有S“一1,

〃1-2

〃/、〃2x(l-2〃)

故(=X(2"_1)=X2*_〃=--------—〃=2角一〃一2?

hik=i1-2

(/7)因為([+以2應_(2*M/_2+\+2)叱..―2k包21

(攵+1)仕+2)(攵+1)(攵+2)伏+1)伏+2)k+2k+\'

?(T+b)b(232?)(2423)(2n+22向)2),+2。

所以，k——k+2k=-------+--------+???+-------------=--------2

金(Z+1)(4+2)(321(43)[〃+2n+lJn+2

真題演練

,、9

（2021浙江卷）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S",且4s“+1=3S“—9.

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項;

（2）設數(shù)列也｝滿足地+（〃-4）《,=0,記也｝的前"項和為7.，若（4獨，對任意

〃￡N*恒成立，求之的范圍.

92727

【詳解】(1)當〃=1時，4(%+4)=3%-9,4a,=--9=-----a

-44216

當〃N2時，由4se=3S”—9①，得4S“=3s,i-9②，①一②得=3an

。2=一。,.'./。，.'.■^■二］,又a3..93

1^74」7=：，?.?｛4｝是首項為-：，公比為三的等比數(shù)

16an44444

列,

976

4

〃一43

(2)由32+(〃-4)勺=0,得瓦—??=(?-4)(-)",

23

3f33、⑶4

所以7；=-3x--2x-I-1X+0xa+…+(力-4).—j

41447

4

%"(J-2x(1)-lx3、+…+(〃—5).圖+(〃—4＞圖

4〃+1

兩式相減得，7；=—3x3+（。］「3丫3、

++一(〃-4)?1

4n4⑷

9

916-("4)圖

—一+一

46

〃+1

=-2+2.43—(〃—4).圖=-〃?圖

44

3

所以，二-4〃?(/田，

由7；V池,得一4〃?(1)"”44(〃一4)?(李"恒成立，

即