高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第一冊 用空間向量研究距離、夾角問題

八用空間向量研究距離、夾角問題

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.已知直二面角aT-B,點AGa,AC±7,C為垂足,Be0,BD±7,D為垂足.若

AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于（）

A*B虎cYD.1

333

2.兩平面的法向量分別為m=（0,1,0）,n=（0,1,1）,則兩平面的夾角為（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

3.在正方體ABCD-ABCD中，BB,與平面ACD所成角0的正弦值為（）

A￡BYC.-D.-

2355

4.正方形ABCD所在平面外有一點P,PA,平面ABCD.若PA=AB,則平面PAB與平面

PCD的夾角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、填空題（每小題5分,共10分）

5.在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為

（0,-1,3）,（2,2,4）,則這個二面角的余弦值為.

6.如圖,在正方形ABCD中,EF〃AB,若沿EF將正方形折成一個二面角后，AE：ED：

AD=1：1：V2,則AF與CE所成角的余弦值為.

閂

AB

三、解答題（每小題10分，共20分）

7.如圖所示，已知在四面體ABCD中，0為BD的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2,求

異面直線AB與CD所成角的余弦值.

A

8.如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC.F所截而得到的，其中

AB=4,BC=2,CC=3,BE=1.

（1）求BF的長；（2）求點C到平面AEC.F的距離.

(15分鐘?30分)

1.（5分）（多選題）已知向量a=（V2,0,-V2）,則下列向量中與a所成的夾角為鈍角

的是（）

A.（0,0,2）B.（2,0,0）

c.(0,V2,V2)D.(V2,-V2,0)

2.（5分）如圖所示，已知點P為菱形ABCD所在平面外一點,且PA,平面ABCD,

PA=AD=AC,點F為PC中點，則平面CBF與平面BFD夾角的正切值為（）

3B片

3.（5分）如圖，正方體ABCD-ABCD的棱長為1,0是平面ABCD的中心,則異面直

線ADbOB所成角的余弦值為,B0與平面ABCD所成角的正弦值

為.

4.（5分）如圖所示,在三棱柱ABC-ABG中，AA」底面ABC,AB=BC=AAbZABC=90°,

點E,F分別是棱AB,BBi的中點，則直線EF和BC.所成的角是

5.(10分)如圖,在三棱錐P-ABC中,PAJ_底面ABC,NBAC=90°.點D,E,N分別為棱

PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.

⑴求證:MN〃平面BDE;

⑵求平面CEM與平面EMN夾角的正弦值.

(2)易知m=(l,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)必=區(qū),ybzj為平面EMN的一個法

向量,則

1.如圖所示，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點M在

線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為0,則cos0

的最大值為.

2.如圖所示的幾何體中，平面ADNM,平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形，

TI

ZDAB="AB=2,AM=1,E是AB的中點,在線段AM上是否存在點P,使平面PEC與平面

3

7T

ECD夾角的大小為一?若存在,求出AP的長;若不存在,請說明理由.

4

B

A用空間向量研究距離、夾角問題

(25分鐘?50分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.已知直二面角a-1-B,點AEa,AC±7,C為垂足,BWB,BD,D為垂足.若

AB=2,AC=BD=1,則D到平面ABC的距離等于()

【解析】選C.因為平面a_L平面B,且

平面a,依題意建立坐標系如圖所示,在RtAACD中，可得CD=/2,故A(0,0,1),

B(l,V2,0),C(0,0,0),D(0,V2,0),

則五=(0,0,1),CB=(1,V2.0),cf)=(0,&,0).設(shè)平面ABC的一個法向量為

n=(x,y,z),

fn,CA=0,fl

X--y/2y,

貝ljIn,CB=O0

z—0,

令y=l,可得n=(-，2,1,0),

lcb?n|f2x/6

故所求距離d=Ini=J=」.故選C.

y/33

2.兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面的夾角為()

A.45°B.60°C.90°D.135°

【解析】選A.cos<m,n>=U=—二=*,

即<m,n>=45°.所以兩平面的夾角為45°.

3.在正方體ABCD-A.B.C,D,中，BB,與平面ACD所成角0的正弦值為()

【解析】選B.設(shè)正方體的棱長為1,以D為坐標原點,DA,DC,DD所在直線分別為x

軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系，如圖所示.則B(1,1,0),Bi(1,1,1),

A(l,0,0),C(0,1,0),立(0,0,1),

所以甌=(0,0,1),AC=(-1,1,0),ATSI=(-1,0,1).令平面ACDi的法向量為

n=(x,y,z),貝ijn?AC=-x+y=0,n?Aii產(chǎn)-x+z=0,令x=l,可得n=(l,1,1),

173

所以sin6=|cos<n,BBi>=——=—.

<3X13

4.正方形ABCD所在平面外有一點P,PA,平面ABCD.若PA=AB,則平面PAB與平面

PCD的夾角的大小為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】選B.建立空間直角坐標系如圖，設(shè)AB=1,

則A(0,0,0),B(0,1,0),

P(0,0,l),D(l,0,0),C(l,1,0).

可知平面PAB的一個法向量為m=(l,0,0).

設(shè)平面PCD的法向量為n2=(x,y,z),

則L?CD0,得XZ—6令x=l,則Z=l.

ly=0.

所以n2=(l,0,1),cos<nb&>=/='.

yJ2.2

設(shè)平面PAB與平面PCD所成的夾角為0,

則cos9=cos〈n、n2>|=在所以9=45°.

2

即平面PAB與平面PCD夾角的大小為45°.

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為

(0,-1,3),(2,2,4),則這個二面角的余弦值為.

【解析】設(shè)a=(0,-l,3),b=(2,2,4),則cos<a,b>=,又因為兩向量的夾

回又回6

角與二面角相等或互補,所以這個二面角的余弦值為士竺.

6

答_案.：土,V」15

6

6.如圖，在正方形ABCD中，EF〃AB,若沿EF將正方形折成一個二面角后，AE：ED：

AD=1：1：V2,則AF與CE所成角的余弦值為,

【解析】因為AE：ED：AD=1：1：&,所以AELED,即AE,DE,EF兩兩垂直,所以建

立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB=EF=CD=2,則E(0,0,0),A(1,0,0),

F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),EC=(0,2,1),所以

A卜El

C0S<A'EX］人代?底仁言T，所以AF與CE所成角的余弦值為:

答案:勺

5

三、解答題(每小題10分，共20分)

7.如圖所示，已知在四面體ABCD中，0為BD的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2,求

異面直線AB與CD所成角的余弦值.

A

【解析】以0為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則B(1,O,O),D(T,O,0),C(0,V3,O),A(O,O,1),

BA=(-1,o,1),CD=(-1,-V3,0),

.?3叵

所以COSGBA,cb>=\BA\CD|=—.

4

8.如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC.F所截而得到的,其中

AB=4,BC=2,CG=3,BE=1.

(1)求BF的長；(2)求點C到平面AECF的距離.

【解析】(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,

則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),

C(0,4,3).設(shè)F(0,0,z).

由面面平行的性質(zhì)定理知四邊形AEC.F為平行四邊形,所以由■記EC.,

得(-2,0,z)=(-2,0,2),

所以z=2.所以F(0,0,2).所以BF=(-2,-4,2).

于是IBF|=2V6=BF.

⑵設(shè)n為平面AECF的一個法向量，

顯然n不垂直于平面ADF,故可設(shè)n=(x,y,1),

n?AE=0,

由n,AF=0,

<0xz+4xy+l=0,

得《

-2Xx4-0Xy+2=0,

(4y+1=0,(x=1,

即《所以1i

(-2x+2=0,(y

所以n=(L—：,1\

又cc,=(0,0,3),設(shè)4與n的夾角為a,則

CG?n

34733

COSQ二|CG|rt|="

33

3?m

所以C到平面AECF的距離

4i7334國

d=|cCi|cosa=3X--=--.

3311

(15分鐘?30分)

1.(5分)(多選題)己知向量a=(/2,0,-&),則下列向量中與a所成的夾角為鈍角

的是()

A.(0,0,2)B.(2,0,0)

C.(0,y/2,V2)D.(V2,->/2,0)

【解析】選AC.由題意，可設(shè)b與a成的夾角為鈍角.

則有:a?b=a,|b|cos〈a,b>,因為〈a,b>為鈍角，

所以a?b<0,①

對于A:a?b=-V2X2=-2V2,滿足①式,A符合題意；

對于B:a?b=V2X2=2V2,不滿足①式,B不符合題意；

對于C:a?b=V2X0+0XV2-V2XV2=~2,滿足①式,C符合題意;

對于D:a?b=V2XV2+0x（-V2）-V2X0=2,不滿足①式,D不符合題意.

2.（5分）如圖所示，已知點P為菱形ABCD所在平面外一點，且PAJ_平面ABCD,

PA=AD=AC,點F為PC中點，則平面CBF與平面BFD夾角的正切值為（）

［解析］選D.設(shè)ACABD=O,連接OF,

以0為原點,OB,OC,OF所在直線分別為X,y,z軸,

建立空間直角坐標系，

設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=V3,

所以B俘,0,o）,F（o,0,I）,c（0,0）.

所以在=（0,0）,且正為平面BDF的一個法向量.

由航=（-今，：，0）,疝=（廣，0,-3,可得平面BCF的一個法向量

n=（l,V3,V3）.

”一一V21一2五

所以cos<n,oc>=—=―,sin<n,00=—=—.

所以tan<n,oc>=-^—.

3

3.（5分）如圖,正方體ABCD-ABCD的棱長為1,0是平面ABCD的中心,則異面直

線AD?0B所成角的余弦值為,B0與平面ABCD所成角的正弦值

為

【解析】建立空間直角坐標系如圖

則B(l,1,0),0&T，1),A(1,O,0),D,(0,0,1),A,(1,O,1),

AD,=(-1,0,1),OB=Q,I，-1),

_一13

所以ADj?0B=--卜0-1.二—,

22

IAT^il=V2,IOB|=—,COS<AJ5[,OB>=-—,

22

所以異面直線AD?OB所成角的余弦值為

2

D3=(1,0,1)是平面ABC.D,的一個法向量.

I?D-,|1r

所以BO與平面ABCD所成角的正弦值為10后11DA,\=—=^--=—.

fxV26

答案成在

26

4.（5分）如圖所示,在三棱柱ABC-ABG中，AA】_L底面ABC,AB=BC=AAbZABC=90°,

點E,F分別是棱AB,BBi的中點，則直線EF和BG所成的角是.

B

【解析】以BC為x軸,BA為y軸,BBi為z軸，建立空間直角坐標系.設(shè)AB=BC=AA1=2,

則C(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),

則薩(0,-1,1),BC)=(2,0,2),

所以而?記尸2,

21

所以COS<EF,BC,>=

^2X2722

所以EF和BG所成的角為60°.

答案:60°

5.(10分)如圖,在三棱錐P-ABC中，PA_L底面ABC,NBAC=90°.點D,E,N分別為棱

PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.

⑴求證:MN〃平面BDE;

⑵求平面CEM與平面EMN夾角的正弦值.

【解析】如圖，以A為原點，分別以品，AC,A。的方向為x軸、y軸、z軸的正方向

建立空間直角坐標系,依題意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),

D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).

(1)DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2).

設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的一個法向量,

(n?DE—0,

貝ljIn*DB=0,

(2y=0,

即.

2x~2z=0.

不妨設(shè)Z=l,可得n=(l,0,1).

又MN=(1,2,-1),可得MN?n=0.

因為MNQ平面BDE,所以MN〃平面BDE.

(2)易知m=(1,0,0)為平面CEM的一個法向量.設(shè)n2=(x?ybzj為平面EMN的一個法

,EM=0,

向量，則\n2-MN0.因為EM=(0,-2,-1),MN=(1,2,T),所以

_2y「Zi=0,

不妨設(shè)yi=l,可得4=(-4,1,-2).

+2y「Zi=0.

n?n4“05

因此有cos<nn>=±2

b2-------"二一"F=，于是sin〈m,n2>=---.

\nr\n2\V2121

所以平面CEM與平面EMN夾角的正弦值為色U.

21

1.如圖所示，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動點M在

線段PQ上,E,F分別為AB,BC的中點.設(shè)異面直線EM與AF所成的角為0,則cos0

的最大值為.

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)正方形的邊長為2,則A(0,0,0),

F(2,l,0),E(l,0,0),設(shè)M(0,m,2)(0WmW2),

則AF=(2,1,0),ME=(l,-m,-2),

cos0=----,令t=2-m(OWtW2),

V5xV5+7n2

cos0=—X

V5

答案：2

5

2.如圖所示的幾何體中，平面ADNM,平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,ADNM是矩形,

71

ZDAB="AB=2,AM=1,E是A