高一數(shù)學同步課時作業(yè)(人教A版2019必修第二冊)8.6.1直線與直線垂直同步課時作業(yè)(原卷版+解析)

課時跟蹤檢測（三十）直線與直線垂直基礎練1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD與A1C1的位置關系是()A．平行B．相交C．異面但不垂直D．異面且垂直2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有________條．()A．2 B．4C．6 D．83．空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AC，BD中點，若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°4.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BC1所成角的大小是()A．120° B．90°C．60° D．30°5.[多選]如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A．直線CC1與直線B1E相交B．CC1與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1垂直6．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝________.7.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點，∠GEF＝120°，則BD和AC所成角的度數(shù)為________．8．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是________．9．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．若EF＝eq\r(2).求證：AD⊥BC.10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點．求異面直線A1M與DN所成的角的大?。卣咕?．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CD的中點為M，AA1的中點為N，則異面直線C1M與BN所成角為()A．30° B．60°C．90° D．120°2．空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是()A．梯形 B．矩形C．平行四邊形 D．正方形3．點E，F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP，BC的中點，AB＝6，PC＝8，EF＝5，則異面直線AB與PC所成的角為()A．60° B．45°C．30° D．90°4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°5.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有________條．6.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結論正確的為________．(填序號)7.如圖所示，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角.培優(yōu)練在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，試求AA1.課時跟蹤檢測（三十）直線與直線垂直基礎練1.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD與A1C1的位置關系是()A．平行B．相交C．異面但不垂直D．異面且垂直解析：選D因為正方體的對面平行，所以直線BD與A1C1異面，連接AC，則AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直線BD與A1C1垂直，所以直線BD與A1C1異面且垂直．故選D.2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線AA1垂直的棱有________條．()A．2 B．4C．6 D．8解析：選D在正方體AC1中，與AA1垂直的棱為A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8條．故選D.3．空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AC，BD中點，若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A取AD的中點H，連FH，EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，從而∠FEH＝30°.故選A.4.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC與BC1所成角的大小是()A．120° B．90°C．60° D．30°解析：選C如圖，連接AD1，則AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其補角)就是AC與BC1所成的角，連接CD1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC與BC1所成的角為60°.故選C.5.[多選]如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A．直線CC1與直線B1E相交B．CC1與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1垂直解析：選ACD因為CE∥B1C1且CE＝eq\f(1,2)B1C1，所以四邊形CEB1C1為梯形．CC1與B1E必相交．A正確．由幾何圖形可知B錯誤，C正確．AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC的中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成的角為90°，選項D正確．故選A、C、D.6．如圖，空間四邊形ABCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，并且異面直線AC與BD所成的角為90°，則MN＝________.解析：取AD的中點P，連接PM，PN，則BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即為異面直線AC與BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.答案：57.如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，AD的中點，∠GEF＝120°，則BD和AC所成角的度數(shù)為________．解析：依題意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其補角即為異面直線AC與BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以異面直線BD與AC所成的角為60°.答案：60°8．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是________．解析：如圖，連接EG，GB1，可得A1B1綊EG，所以四邊形A1B1GE為平行四邊形，所以A1E∥B1G，連接FB1，則∠FGB1就是異面直線A1E與GF所成的角．因為FB1＝eq\r(5)，GB1＝eq\r(2)，F(xiàn)G＝eq\r(CG2＋CF2)＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)，所以FBeq\o\al(2,1)＝FG2＋GBeq\o\al(2,1)，即∠FGB1＝90°.答案：90°9．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．若EF＝eq\r(2).求證：AD⊥BC.證明：取BD的中點H，連接EH，F(xiàn)H，因為E是AB的中點，且AD＝2，所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，F(xiàn)H＝1，所以∠EHF(或其補角)是異面直線AD，BC所成的角，又因為EF＝eq\r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2，所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.故AD⊥BC.10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點．求異面直線A1M與DN所成的角的大小．解：如圖，過點M作ME∥DN交CC1于點E，連接A1E，則∠A1ME為異面直線A1M與DN所成的角(或其補角)．設正方體的棱長為a，則A1M＝eq\f(3,2)a，ME＝eq\f(\r(5),4)a，A1E＝eq\f(\r(41),4)a，所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即異面直線A1M與DN所成的角為90°.拓展練1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CD的中點為M，AA1的中點為N，則異面直線C1M與BN所成角為()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：選C如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，CD的中點為M，AA1的中點為N，作AB的中點P，連接B1P，則B1P∥C1M，易得B1P⊥BN，所以異面直線C1M與BN所成的角為90°.故選C.2．空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是()A．梯形 B．矩形C．平行四邊形 D．正方形解析：選D∵E，F(xiàn)，G，H分別為中點，如圖．∴FG∥EH∥eq\f(1,2)BD，且FG=EH=eq\f(1,2)BD；HG∥EF∥eq\f(1,2)AC，且HG=EF=eq\f(1,2)AC又∵BD⊥AC且BD＝AC，∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四邊形EFGH為正方形．故選D.3．點E，F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP，BC的中點，AB＝6，PC＝8，EF＝5，則異面直線AB與PC所成的角為()A．60° B．45°C．30° D．90°解析：選D如圖，取PB的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則EG綊eq\f(1,2)AB，GF綊eq\f(1,2)PC，則∠EGF(或其補角)即為AB與PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq\f(1,2)AB＝3，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.故選D.4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成的角的大小是()A．60° B．75°C．90° D．105°解析：選C設BB1＝1，如圖，延長CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，連接B1C2，則B1C2∥BC1，所以∠AB1C2為AB1與BC1所成的角(或其補角)，連接AC2，因為AB1＝eq\r(3)，B1C2＝eq\r(3)，AC2＝eq\r(6)，所以ACeq\o\al(2,2)＝ABeq\o\al(2,1)＋B1Ceq\o\al(2,2)，則∠AB1C2＝90°.故選C.5.如圖正方體ABCD-A1B1C1D1中，與AD1異面且與AD1所成的角為90°的面對角線(面對角線是指正方體各個面上的對角線)共有________條．解析：與AD1異面的面對角線分別為：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角為90°.答案：16.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上結論正確的為________．(填序號)解析：把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體可知，AB⊥EF，EF與MN是異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③7.如圖所示，在正方體ABCD-EFGH中，O為側面ADHE的中心，求：(1)BE與CG所成的角；(2)FO與BD所成的角.解：(1)如題圖，因為CG∥BF，所以∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE與CG所成的角為45°.(2)如圖，連接FH，因為HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四邊形HFBD為平行四邊形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角．連接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH為等邊三角形，又知O為AH的中點．所以∠HFO＝30°，即FO與BD所成的角為30°.培優(yōu)練在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2eq\r(3)，∠ABC＝120°，若異面直線A1B和AD1所成的角為90°，試求AA1.解：連接CD1，AC，由題意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其補角)為A1B和AD1所成的角，因為異面直線A1B和AD1所成