2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第九章概率與統(tǒng)計(jì)9.3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理排列與組合

第九章概率與統(tǒng)計(jì)9.3兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理例1（1）滿足a，b∈{?1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2解：當(dāng)a=0時(shí)，b的值可以是?1，0，1，2，故a,b的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解，需使Δ=4?4ab≥0，即ab≤1.若a=?1，則b的值可以是（2）某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個(gè)停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為（B）ABCDEFGHA.288 B.336 C.576 D.1680解：第一步,排白車.第一行選一個(gè)位置,則其次行有三個(gè)位置可選,由于車是不相同的,故白車的停法有4×3×2=24（種）.其次步,排黑車.若白車選AF,則黑車有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7種選擇,黑車是不相同的,故黑車的停法有【點(diǎn)撥】解答計(jì)數(shù)應(yīng)用問題的總體思路是先分類再分步,留意以下計(jì)數(shù)方法的應(yīng)用：①枚舉法,將各種狀況一一列舉出來.②轉(zhuǎn)換法,轉(zhuǎn)換問題的角度或轉(zhuǎn)換成其他已知問題.③間接法,先計(jì)算其反面情形，再用總數(shù)減去即得.變式1（1）【多選題】現(xiàn)有4個(gè)愛好小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的是（ABC）A.選1人為負(fù)責(zé)人的選法有30種B.每組選1名組長(zhǎng)的選法有3024種C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法有335種D.若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種解：對(duì)于A，選1人為負(fù)責(zé)人的選法有6+7+對(duì)于B，每組選1名組長(zhǎng)的選法有6×7×對(duì)于C，2人需來自不同的小組的選法有6×7+對(duì)于D，若不考慮限制，每個(gè)人有4種選擇，共有43種選擇；若第一組沒有人選，每個(gè)人有3種選擇，共有33種選擇.所以不同的選法有43故選ABC.（2）某學(xué)校有東、南、西、北四個(gè)校門.翻新改造期間，學(xué)校對(duì)進(jìn)入四個(gè)校門做出如下規(guī)定：學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校內(nèi)，老師只能從南門或北門進(jìn)入校內(nèi).現(xiàn)有3名老師和4名學(xué)生要進(jìn)入校內(nèi)（不分先后依次），請(qǐng)問進(jìn)入校內(nèi)的方式共有128種（用數(shù)字作答）.解：因?yàn)閷W(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校內(nèi)，所以4名學(xué)生進(jìn)入校內(nèi)的方式共24=16（種）.因?yàn)槔蠋熤荒軓哪祥T或北門進(jìn)入校內(nèi)，所以3名老師進(jìn)入校內(nèi)的方式共有2考點(diǎn)二排列、組合的基本問題例2【多選題】某學(xué)院學(xué)生會(huì)的3名男生和2名女生在社區(qū)參加志愿者活動(dòng)，結(jié)束后這5名同學(xué)排成一排合影留念，則下列說法正確的是（BCD）A.若讓其中的男生甲排在兩端，則這5名同學(xué)共有24種不同的排法B.若要求其中的2名女生相鄰，則這5名同學(xué)共有48種不同的排法C.若要求其中的2名女生不相鄰，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法D.若要求其中的1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有72種不同的排法解：對(duì)于A，男生甲排在兩端，共有2A44對(duì)于B，2名女生相鄰，共有A22A對(duì)于C，2名女生不相鄰，共有A33A對(duì)于D，要求1名男生排在中間，則這5名同學(xué)共有3A44=72【點(diǎn)撥】有約束條件的排列問題一般有以下幾種基本類型與方法：①特別元素優(yōu)先考慮；②對(duì)于相鄰問題接受“捆綁法”，整體參加排序后，再考慮“捆綁”部分的排序；③對(duì)于不相鄰問題，接受“插空”法，先排其他元素，再將不相鄰元素插入空檔.組合問題的兩種基本題型及解法.題型解法“含有”或“不含有”某些元素的組合“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合解這類題必需特別重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用干脆法分類困難時(shí)，通?？紤]逆向思維，用間接法處理變式2【多選題】為響應(yīng)政府部門號(hào)召，某紅十字會(huì)支配甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地參加健康教化工作，則下列說法正確的是（BCD）A.不同的支配方法共有64種B.若恰有一地?zé)o人去，則不同的支配方法共有42種C.若甲必需去A地，且每地均有人去，則不同的支配方法共有12種D.若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的支配方法共有14種解：四人到三地去，一人只能去一地，方法數(shù)為34=81若恰有一地?zé)o人去，則不同的支配方法數(shù)是C31C若甲必需去A地，且每地均有人去，則不同的支配方法數(shù)為A33+若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，分甲、乙去同一個(gè)地方和不去同一個(gè)地方，則不同的支配方法數(shù)為2×5+2A考點(diǎn)三排列、組合的綜合問題命題角度1定序問題例3公元5世紀(jì)，數(shù)學(xué)家祖沖之估計(jì)圓周率π的值的范圍是3.1415926<π<3.1415927，為紀(jì)念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的宏大成就.某小學(xué)老師為幫助同學(xué)們了解“祖率”，讓同學(xué)們把小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1，4，1，5，9，2，6進(jìn)行隨機(jī)排列，整數(shù)部分3不變，那么可以得到大于3.14的不同數(shù)字有（A.2280個(gè) B.2120個(gè) C.1440個(gè) D.720個(gè)解：由于1，4，1，5，9，2，6這7位數(shù)字中有2個(gè)相同的數(shù)字1，故進(jìn)行隨機(jī)排列，可以得到的數(shù)字有A77A22個(gè).而只有小數(shù)點(diǎn)前兩位為1，1或1，2時(shí)，排列后得到的數(shù)字不大于3.14，故小于3.14的數(shù)字有2【點(diǎn)撥】定序問題消序（倍縮）處理,n個(gè)元素中有k個(gè)元素依次確定,則總排列數(shù)為An變式3某班10名同學(xué)一起參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，賽后老師為這10名同學(xué)拍合影留念，前排站4人后排站6人，后來老師確定從后排6人中抽出兩名同學(xué)站到前排，其他同學(xué)的相對(duì)依次不變，則調(diào)整方法種數(shù)為（C）A.150 B.300 C.450 D.225解：先從后排6人中抽出兩名同學(xué)，有C62種方法.然后與前排4人排列，有A66種排法.因?yàn)槠渌瑢W(xué)的相對(duì)依次不變，所以前排4人不再排，所以共有命題角度2分組支配問題例4[2024年全國乙卷]將5名北京冬奧會(huì)志愿者支配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn),每名志愿者只支配到1個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目至少支配1名志愿者,則不同的支配方案共有（C）A.60種 B.120種 C.240種 D.480種解：依據(jù)題意,有一個(gè)項(xiàng)目中支配2名志愿者,其余各項(xiàng)目中支配1名志愿者,可以先從5名志愿者中任選2人,組成一個(gè)小組,有C52種選法；然后連同其余3人,看成4個(gè)元素,4個(gè)項(xiàng)目看成4個(gè)不同的位置,4個(gè)不同的元素在4個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有A44種.依據(jù)乘法原理,完成這件事,共有【點(diǎn)撥】平均支配給不同人的分法等于平均分堆的分法乘堆數(shù)的全排列.分堆到位相當(dāng)于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法數(shù)為：平均分堆到指定位置堆數(shù)的階乘.對(duì)于分堆與支配問題應(yīng)留意：①處理支配問題要留意先分堆再支配；②被支配的元素是不同的（如“名額”等則是相同元素，不適用），位置也應(yīng)是不同的（如不同的“盒子”）；③分堆時(shí)要留意是否勻整，如6分成2,2,2變式4【多選題】2024年北京冬奧會(huì)祥瑞物“冰墩墩”有著可愛的外表和豐富的寓意，現(xiàn)有5個(gè)不同造型的“冰墩墩”，則下列說法正確的是（BCD）A.把這5個(gè)“冰墩墩”裝入3個(gè)不同的盒內(nèi)，共有129種不同的裝法B.從這5個(gè)“冰墩墩”中選出3個(gè)分別送給3位志愿者，每人1個(gè)，共有60種選法C.從這5個(gè)“冰墩墩”中隨機(jī)取出3個(gè)，共有10種不同的取法D.把這5個(gè)“冰墩墩”裝入3個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)，共有150種不同的裝法解：對(duì)于A，每個(gè)“冰墩墩”可選擇3個(gè)盒子中的隨意一個(gè)，依據(jù)分步乘法原理共有35=243對(duì)于B，共有C53A對(duì)于C，共有C53=對(duì)于D，若3個(gè)盒子中“冰墩墩”的數(shù)量為1，1，3，則有C53C31A22=60（種）不同的裝法；若3個(gè)盒子中“冰墩墩命題角度3有條件限制的選派問題例5某校從8名青年老師中選派4名分別作為四個(gè)學(xué)生社團(tuán)的指導(dǎo)老師，每個(gè)社團(tuán)各派去1名老師，其中老師甲和乙不能同時(shí)參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有（C）A.360種 B.480種 C.600種 D.720種解：若甲參加，乙不參加，則丙參加，只需從剩余5人中選出2人，再支配即可，此時(shí)有C52A44=240（種）方案.若甲不參加，乙不參加，則丙不參加，只需從剩余5人中選出4人，再支配即可，此時(shí)有C【點(diǎn)撥】常見的“在”與“不在”有限制條件的排列問題就是典型的特別元素或特別位置問題，解題原則是誰“特別”誰優(yōu)先.一是以元素為主解題，二是以位置為主解題，三是用間接法解題.變式5某班上午