2023年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)突破-關(guān)于圓的切線(xiàn)的證明題

2023年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)突破一關(guān)于圓的切線(xiàn)的證明題

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,點(diǎn)D在BC邊上，0D經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC

邊相交于點(diǎn)E.

(1)求證：AC是。D的切線(xiàn)；

(2)若CE=2V5,求。D的半徑.

2.如圖，AB為。。的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC104,垂足為點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)C,連接

CO,并延長(zhǎng)CO與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D,與。0交于點(diǎn)F,連接AC.

(I)求證：AC為。。的切線(xiàn)：

(2)若。0半徑為2,OD=4.求陰影部分的面積.

3.如圖，AB為。O直徑，CD為。O的一條弦，AB與CD交于點(diǎn)M,點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且

ZBED=ZACD.

(1)判斷BE與。0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)若CD〃BE,AC=4V5,AM=CD,求BD的長(zhǎng).

4.如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,以直角邊BC為直徑的。O交斜邊AB于點(diǎn)D.點(diǎn)E為邊

AC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.

(1)求證：直線(xiàn)DE是。O的切線(xiàn)；

(2)若NB=30。，AC=4,求陰影部分的面積.

5.AB是。O的直徑，ZDAB=22.5°,延長(zhǎng)AB到點(diǎn)C,使得NACD=45。.

(1)求證：CD是。O的切線(xiàn);

(2)若AB=2近，求BC的長(zhǎng).

6.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,BD是。O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AELCD,交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

E,DA平分NBDE.

(1)求證：AE是。O的切線(xiàn);

(2)已知AE=8cm,CD=12cm,求。O的半徑.

7.如圖，在口ABCD中，ND=60。，對(duì)角線(xiàn)ACLBC,。0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,與AC交于點(diǎn)M,連接

AO并延長(zhǎng)與。O交于點(diǎn)F,與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E,AB=EB.

(1)求證：EC是。O的切線(xiàn)；

(2)若AD=2b，求扇形OAM的面積(結(jié)果保留兀).

8.如圖，在RSABC中，NC=90。，點(diǎn)D,E,F分別在AC,BC,AB邊上，以AF為直徑的。O

恰好經(jīng)過(guò)D,E,且DE=EF.

(1)求證：BC為。O的切線(xiàn);

(2)若/B=40。，求/CDE的度數(shù)；

(3)若CD=2,CE=4,求。O的半徑及線(xiàn)段BE的長(zhǎng).

9.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,以點(diǎn)A為圓心作。A與BC相切于D,交AB于點(diǎn)F,在BC

上取點(diǎn)E,使CE=AC,連接EA,EF.

(1)求證：EF是。A的切線(xiàn)；

(2)若BE=5,EF=4,求點(diǎn)C到EA的距離.

10.如圖，在AABC中，BC=AC,以BC為直徑的00與邊AB相交于點(diǎn)D,與邊AB

相交于點(diǎn)F，DELAC,垂足為點(diǎn)E,連接。。.

(1)求證：0E與。。相切；

(2)若4E=2,。。的半徑R=4,求DE的長(zhǎng).

11.如圖，在。。中，AB是直徑，弦CD1AB,垂足為H,E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為弦

DC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接FE并延長(zhǎng)交直徑AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連接AE交CD于點(diǎn)P,若

FE=FP.

(1)求證：FE是。。的切線(xiàn);

⑵若。。的半徑為8,sinF=|,求BG的長(zhǎng).

12.已知：如圖，AB為。0的直徑，AB1AC,BC交。0于D,E是/C的中點(diǎn)，ED

與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F.

(1)求證：0E為。。的切線(xiàn)；

(2)求證：DF2=BFAF.

13.RtAABC中，ZACB=90°,AC：BC=4：3,O是BC上一點(diǎn),。。交AB于點(diǎn)D,交BC延

長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.連接ED,交AC于點(diǎn)G,且AG=AD.

(1)求證：AB與。0相切;

(2)設(shè)。O與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F,連接EF,若EF〃AB,且EF=5,求BD的長(zhǎng).

14.已知：如圖，在矩形ABCD中，若CD=5,以。為圓心，DC長(zhǎng)為半徑作。。交CA

的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,過(guò)。作OF_LAC,垂足為F,且DF=3.

(1)求證：BC是。。的切線(xiàn)；

(2)求AE的長(zhǎng).

15.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為BC的中點(diǎn)，AC與半圓O相切于點(diǎn)D.

(1)求證：AB是半圓O所在圓的切線(xiàn)；

(2)若cos/ABC=|,AB=12,求半圓O所在圓的半徑.

16.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,以ZC為直徑的。O與BC交于點(diǎn)D,DE1

AB,垂足為E,ED的延長(zhǎng)線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.

(I)求證：DE是。O的切線(xiàn).

(2)若。0的半徑為4,zF=30°,求DE的長(zhǎng).

答案解析部分

L【答案】(1)證明：連接AD,

??'AB=AC,ZBAC=120°,

AZB=ZC=30°,

VAD=BD,

AZBAD=ZB=30°,

/.ZADC=60°,

JZDAC=180°-60°-30°=90°,

JAC是。D的切線(xiàn)；

(2)解：連接AE,

?「AD=DE,NADE=60。，

??.△ADE是等邊三角形，

，AE=DE,NAED=6()。，

???NEAC=NAED-ZC=30°,

AZEAC=ZC,

???AE=CE=2V3,

???G)D的半徑AD=2V3.

2.【答案】(1)解：如圖，連接OB,

「AB是。。的切線(xiàn)，

：.0B1AB,即乙4BO=90。，

；BC是弦，0ZJ.8C,

/.CE=BE,

'AB=AC

：.AC=AB,在和△AOC中，AO=AO,

BO=CO

：.△AOB三AAOC(SSS),

.?.乙4co=^ABO=90°,即AC1OC,

r?AC是。。的切線(xiàn)；

(2)解：在RMB。。中，

22

由勾股定理得，BD=\/OD-OB=2V3，SAB0D=2x2V3x1=2b,

在RtABOD中，ADB0=90°,

.cccOB21

??cosZ-BOD==4=1，

"BOD=60°,

?r_60°TTX4_27r

,?、扇BOF=360。=T,

:,S陰影=S"OD-S扇BOF=28-竽.

3.【答案】（1）解：BE與。O相切.理由：VZBED=ZACD,NACD=NABD,AZABD=

ZBED.?rAB為。O直徑，/.ZADB=90o.ZBED+ZDBE=90°.AZABD+ZDBE=

90°.即：AB1BE.；.BE與（DO相切.

（2）解：VABIBE,CD//BE,AABICD.：AB為。O直徑，.*.CM=MD=1CD.：AM=

CD,.,.CM=MD=1AM.設(shè)CM=X,則AM=2X.在RsACM中，VAM2+CM2=AC2,Ax2+

（2x）2=（4遮）2.解得：x=±4（負(fù)數(shù)不合題意，舍去）..?.CM=DM=4,AM=8..\cos/CAM=

則=攣.VZBDM=ZCAM,，cosNBDM=攣.在RsBDM中，VcosZBDM=§^=^I）

AC55DD5

.\BD=2V5.

4.【答案】（1）證明：連接OD、CD,

B

VOC=OD,

/.ZOCD=ZODC,

又?.*（：是。o的直徑，

.,.ZBDC=90°,

...△ACD是直角三角形，

又?.?點(diǎn)E是斜邊AC的中點(diǎn)，

；.EC=ED,

/.ZECD=ZEDC,

XVNECD+NOCD=NACB=90°,

，ZEDC+ZODC=ZODE=90°,

二直線(xiàn)DE是。0的切線(xiàn)

(2)解；由⑴得NODF=90。,

ZB=30°,

.'.ZDOF=60°,

/.ZF=30o,

;在RtAABC中，AC=4,

；.AB=8,BC=y/AB2-AC2=V82-42=4A/3.OD=^BC=2A/3,OF=2OD=473,

在RtAODF中，DF=>JOF2-OD2=/48-12=6,

陰影部分的面積=S&ODF-S扇腦CD=^X6X28一黑7TX(2>/3)2=一2兀.

5.【答案】(1)證明：連接DO,

VAO=DO,

,ZDAO=ZADO=22.5°.

，NDOC=45。.

又,.?NACD=2/DAB,

.*.ZACD=ZDOC=45O.

.,.ZODC=90°.

又OD是。O的半徑，

...CD是。O的切線(xiàn)

(2)解：連接DB,

?.?直徑AB=2V2，△OCD為等腰直角三角形,

/.CD=OD=V2,OC=y/cD2+OD2=2，

BC=OC-OB=2-V2.

6.【答案】（1）證明：連結(jié)OA.

VOA=OD,

.*.ZODA=ZOAD.

VDA平分NBDE,

.*.ZODA=ZEDA.

.\ZOAD=ZEDA,

，EC〃OA.

VAE±CD,

AOAIAE.

?.?點(diǎn)A在。O上，

.?.AE是。O的切線(xiàn)

（2）解：過(guò)點(diǎn)。作OFJLCD,垂足為點(diǎn)F.

；NOAE=NAED=NOFD=90°,

四邊形AOFE是矩形.

OF=AE=8cm.

又134口,

/.DF=gCD=6cm.

在RtAODF中，OD=VOF2+DF2=10cm,

即（DO的半徑為10cm.

7.【答案】（1）證明：連接OB

四邊形ABCD是平行四邊形

.?.NABC=ND=60°

.,.ZABE=120°

VAB=EB

，NE=NBAE=30°

VOA=OB

...NABO=NOAB=30°

，ZOBC=30°+60°=90°

AOBICE

VOB是半徑

，EC是。O的切線(xiàn).

(2)解：?.?四邊形ABCD是平行四邊形

BC=AD=2V3

過(guò)O作OH_LAM于H

則四邊形OBCH是矩形

/.OH=BC=2V3,OH#EC

.?.ZAOH=ZE=30°

，AH=2,AM=4,OA=4,ZOAH=60°

VOA=OM,ZOAH=60°

/.△AOM是等邊三角形

.\ZAOM=60o

7

s_607rx4_8TI

,扇形AOM=360=T

/.ZADF=90°,

而NO9()。，

???DF〃BC,

VDE=EF,:?證=爐???OEJ_DF,

AOE1BC,

.?.BC為。O的切線(xiàn)

(2)解：VZOEB=90°,ZB=40°,

.,.ZBOE=90°-40°=50°,

NOFE=1(180°-50°)=65。，

ZCDE=ZAFE=65°

(3)解：易得四邊形CDHE為矩形，，HE=CD=2,DH=CE=4,設(shè)。O的半徑為r,則OH=OE-

HE=r-2,OD=r,在RsOHD中，(r-2)2+42=r2,解得廠5,VOH1DF,.*.HF=DH=4,

：HF〃BE,

OHF^AOEB,

AHF：BE=OH：OE,即4：BE=3：5,

BE=冬

9.【答案】（1）證明：連接AD,

???OA與BC相切于D,

???NADB=90。，

/.ZDAE4-ZAED=90°,

VZBAC=90°,

AZCAE+ZBAE=90°,

ACA=CE,

AZCAE=ZCEA,

AZDAE=ZBAE,

?.,AF=AD,AE=AE,

?,.△AFE^AADE(SAS),

???NADE=NAFE=90。，

???AF是。A的半徑，

JEF是。A的切線(xiàn)；

（2）解：過(guò)點(diǎn)C作CGLAE,垂足為G,

A

\/GAJ\/

\F//

BEDC

在RSBFE中，BE=5,EF=4,

，BF=yjBE2-EF2=V52-42=3，

VAAFE^AADE,

/.EF=DE=4,

；.BD=BE+DE=9,

在RSADB中，AD2+BD2=AB2,

.\AD2+81=(AF+3)2,

.?.AD=AF=12,

；.AE==y/AD2+DE2=V122+42=4m

VCA=CE,CG±AE,

，EG=1AE=2V10,

?.?/ADE=/CGE=90。，/AED=/CEG,

AED^ACEG,

.CG_EG

"AD=ED

???CG_-2--7--1--0-

124

??CG=6V10，

.?.點(diǎn)C到EA的距離為6Vio.

10.【答案】（1）證明：連接CD

■:BC為。0的直徑，J./.BDC=90°

：.CDLAB

又=4C."1=z2

'：OD=OC.,.Zl=Z3Az2=Z3

：.OD//AC

，乙ODE=Z.AED

'：DELAC：.^AED=90°

:.乙ODE=90。1OD

：.DE與。。相切

(2)解：過(guò)。作ONJ.CF于N,

可得四邊形ODEN是矩形，

：.EN=OD=R=4,ON=DE

又：獨(dú)=？，AC=CB=4+4=8,

：.CN=AC-AE-EN=AC-AE-OD=2,

在Rt△ONC中，ON=VOC2-CN2

，ON=2V3，

:.DE=2V3

11.【答案】（1）解：證明：連接0E,如圖,

VOA=OE

AZOAE=ZOEA.

VEF=PF,

???ZEPF=ZPEF

VZAPH=ZEPF,

/.ZAPH=ZEPF,

AZAEF=ZAPH.

VCD1AB,

???ZAHC=90°.

.\ZOAE+ZAPH=90°.

ZOEA+ZAEF=90°

???ZOEF=90°

A0E1EF.

YOE是O。的半徑

JEF是圓的切線(xiàn),

(2)VCD±AB

：.AFHG是直角三角形

口3

??s?inF=耳

.GH_3

??FG=5

設(shè)G”=3%,則FG=5%

由勾股定理得，F(xiàn)H=4%

由(1)得，AOEG是直角三角形

..OEFH4x

??SinG=0G=FG=5^

?OE_4日J(rèn)OE_4

,-0G=5'即0ETBG=5

,.,0E=8

,8_4

''8+BG^5

解得，BG=2

12.【答案】(1)證明：連AD,OD,如圖所示,

AB為。0的直徑，

^ADB=乙40C=90°

???E是AC的中點(diǎn),

1

???ED=^AC=EA

:.Z-EDA=Z-EAD

?.?OD—OA

:.Z-EDA=/-OAD

???Z.EDA+z.ODA=JLEAD+4。40,BP乙EDO=4￡71。

vAB1AC,

???/.EAO=90°

:.乙EDO=90°

???DE為OO的切線(xiàn)

(2)證明：???DE為OO的切線(xiàn)，

???(ODF=乙FDB+乙ODB=90°

???AB為O0的直徑，

/.CFAD+乙OBD=90°

???OD=OB,

???Z-ODB=乙OBD

???乙FDB=匕FAD

又???NF為公共角

???△FDB—△FAD

''AF^W

：.DF2=BF-AF

13.【答案】（1）證明：連結(jié)0D

.,.ZOED+ZEGC=90°,

，OD=OE,

.,.ZODE=ZOED,

VAG=AD,.,.ZADG=ZAGD,

VZAGD=ZEGC,

ZOED+ZEGC=ZADG+ZODE=ZADO=90°,

AODIAB,

：OD為半徑，

AAB是。O的切線(xiàn)

(2)解：連接OF.VEF/7AB,AC：BC=4：3,

：.CF：CE=4：3.

又：EF=5,

.,.CF=4,CE=3.設(shè)半徑=r,貝|OF=r,CF=4,CO=i■—3.

在R3OCF中，由勾股定理，可得r=春.

：EF〃AB,/CEF=/B,

CEF^ADBO,

.CF_CE

''DO~DB，

，BD=等.

14.【答案】(1)證明：