2024河南中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)第三章 第五節(jié) 反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合 課件

一題串講重難點(diǎn)1河南9年真題子母題2第五節(jié)反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合

課標(biāo)要求結(jié)合具體情境體會(huì)反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式．命題點(diǎn)1反比例函數(shù)k的幾何意義(9年3考)

考情及趨勢(shì)分析考情分析年份題號(hào)題型分值考查設(shè)問(wèn)涉及到的是k還是k的變形結(jié)合知識(shí)點(diǎn)202118解答題9(1)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；(2)求圖中陰影部分面積k正方形的性質(zhì)201818解答題9(1)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；(2)利用反比例函數(shù)k的幾何意義結(jié)合網(wǎng)格作出矩形k無(wú)刻度直尺作圖，矩形的性質(zhì)考情分析年份題號(hào)題型分值考查設(shè)問(wèn)涉及到的是k還是k的變形結(jié)合知識(shí)點(diǎn)20165選擇題3已知三角形面積求k的值k三角形的面積公式考情及趨勢(shì)分析命題點(diǎn)2反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合(2017.20)考情分析年份題號(hào)題型分值考查設(shè)問(wèn)圖形面積求法結(jié)合知識(shí)點(diǎn)201720解答題9(1)待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式；(2)三角形面積的取值范圍三角形的面積公式二次函數(shù)最值考情及趨勢(shì)分析命題點(diǎn)3反比例函數(shù)與尺規(guī)作圖結(jié)合(2022.18)考情分析年份題號(hào)題型分值考查設(shè)問(wèn)結(jié)合知識(shí)點(diǎn)202218解答題9(1)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；(2)尺規(guī)作圖作垂直平分線(xiàn)；(3)證明兩條線(xiàn)段平行尺規(guī)作圖(作垂直平分線(xiàn))，平行線(xiàn)的判定考情及趨勢(shì)分析命題點(diǎn)4反比例函數(shù)與陰影部分面積計(jì)算結(jié)合(9年2考)考情分析年份題號(hào)題型分值考查設(shè)問(wèn)結(jié)合知識(shí)點(diǎn)202319解答題9(1)求k的值；(2)求扇形半徑和圓心角度數(shù)；(3)直接寫(xiě)出陰影部分的面積菱形的性質(zhì)202118解答題9(1)待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；(2)圖中陰影部分面積正方形的性質(zhì)【考情總結(jié)】反比例函數(shù)在解答題考查的形式每年都不一樣，老師應(yīng)關(guān)注并多做新考法類(lèi)的試題．一題串講重難點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)鞏固例1點(diǎn)P為反比例函數(shù)y＝

圖象上一點(diǎn)．(1)下列圖形中所表示的面積為1的是______，面積為2的是______，面積為4的是______；(填序號(hào))①S△OAP②S△PP1A①②⑤③④③S△PP1A④S?P1APB④S矩形PBOA例1題圖比例系數(shù)k的幾何意義如圖，在反比例函數(shù)y=(k為常數(shù)，k≠0)的圖象上任取一點(diǎn)P(a，b)，過(guò)這一點(diǎn)分別作x軸，y軸的垂線(xiàn)PM，PN與坐標(biāo)軸圍成的矩形PMON的面積為|ab|＝|k|(2)請(qǐng)你在下列分別再畫(huà)一個(gè)面積為1，2，4的三角形或四邊形，要求與(1)中的圖形不重復(fù)．圖①圖②圖③例1題圖(2)作圖如解圖(答案不唯一)；例1題解圖重難考法突破反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的相關(guān)計(jì)算(9年6考)例2已知點(diǎn)P為反比例函數(shù)y＝

(k≠0)的圖象上一點(diǎn)．(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，則該反比例函數(shù)的解析式為_(kāi)_______；(2)如圖①，連接OP，以O(shè)P為邊作等邊△POQ，邊OQ與x軸重合，若k的值為

，則△POQ的邊長(zhǎng)為_(kāi)___；例2題圖y＝

2(3)如圖②，過(guò)點(diǎn)P作菱形ABOP，對(duì)角線(xiàn)OA恰好經(jīng)過(guò)y軸，若菱形ABOP的面積為8，則k的值為_(kāi)_______；(4)如圖③，若點(diǎn)D是點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，且k的值為6.過(guò)點(diǎn)D，P分別作x軸的垂線(xiàn)，垂足分別為M，N，連接PM，PD.則△PMN的面積為_(kāi)_______，△PDM的面積為_(kāi)_______．例2題圖例2題圖③466(5)如圖④，若k＝2，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)A(0，2)，連接AP，OP，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出∠APO的平分線(xiàn)交y軸于點(diǎn)Q，求證：PQ⊥OA.例2題圖④(5)作圖如解圖①，PQ即為所求；例2題解圖①證明：∵k＝2，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝

，P(2，1)，∵O(0，0)，A(0，2)，∴OP＝

＝

，AP＝

＝

，∴OP＝AP，∵PQ平分∠APO，∴PQ⊥OA；(6)如圖⑤，在(5)條件下，以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫(huà)弧交OP于點(diǎn)M，連接AM，求陰影部分面積．例2題圖⑤(6)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，1)，點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0，0)，易得直線(xiàn)OP的解析式為y＝

x，如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA于點(diǎn)N，QN設(shè)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為m，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2m，m)，則MN＝2m，AN＝2－m，由題意得：AM＝2，在Rt△AMN中，(2m)2＋(2－m)2＝22，則m＝0(舍去)或m＝

，∟QN∴MN＝

，

∴S△AMO＝

MN·AO＝

，∵S△APO＝

PQ·AO＝2，∴S△APM＝S△APO－S△AMO＝2－

＝

.∴陰影部分面積為

.例2題圖⑤∟

解題有策略反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合(9年6考)考情特點(diǎn)：第(1)問(wèn)一般是已知圖象過(guò)定點(diǎn)或三角形面積求k，第(2)問(wèn)或(3)問(wèn)解題過(guò)程常結(jié)合k的幾何意義．解題策略：1.對(duì)于求反比例函數(shù)解析式的問(wèn)題，可通過(guò)將幾何圖形的面積或線(xiàn)段條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上的點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解；

解題有策略2.涉及與圖形面積有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，注意k的幾何意義的運(yùn)用；3．若題干中已知線(xiàn)段或面積數(shù)量關(guān)系，通常向坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)，構(gòu)造全等或相似三角形，利用比例關(guān)系，通過(guò)表示出函數(shù)圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求解．求點(diǎn)坐標(biāo)的方法詳見(jiàn)本書(shū)

微專(zhuān)題圖形與坐標(biāo)．河南9年真題子母題1命題點(diǎn)反比例函數(shù)k的幾何意義9年3考1.(2021河南18題9分)如圖，大、小兩個(gè)正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，反比例函數(shù)y＝

的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)A(1，2)，且經(jīng)過(guò)小正方形的頂點(diǎn)B.(1)求反比例函數(shù)的解析式；第1題圖解：(1)將點(diǎn)A(1，2)代入y＝

，得k＝1×2＝2.∴反比例函數(shù)的解析式為y＝

；第1題圖(2)求圖中陰影部分的面積．(2)設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t，t)，∵反比例函數(shù)y＝

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，∴t＝

，即t2＝2，∴t＝

(負(fù)值已舍去)，∴B(，

).則小正方形邊長(zhǎng)為

，大正方形邊長(zhǎng)為4，∴S陰影部分＝S大正方形－S小正方形＝42－()2＝16－8＝8.第1題圖利用反比例函數(shù)計(jì)算出點(diǎn)B坐標(biāo)，再計(jì)算出一個(gè)象限中陰影部分面積，再利用正方形和反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可得陰影部分面積．第1題解圖一題多解2命題點(diǎn)反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合2021.202.(2021河南20題9分)如圖，一次函數(shù)y＝－x＋b與反比例函數(shù)y＝

(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A(m，3)和B(3，1)．(1)填空：一次函數(shù)的解析式為_(kāi)_________，反比例函數(shù)的解析式為_(kāi)_______；第2題圖【解法提示】將點(diǎn)B(3，1)分別代入y＝－x＋b與y＝(x>0)，解得b＝4，k＝3，則一次函數(shù)的解析式為y＝－x＋4，反比例函數(shù)的解析式為y＝(x＞0).y＝－x＋4y＝

第2題圖(2)點(diǎn)P是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OP，若△POD的面積為S，求S的取值范圍．(2)把點(diǎn)A(m，3)代入y＝

，得3＝

，∴m＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3).設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－a＋4)(1≤a≤3)，則S＝

OD·PD＝

a(－a＋4)＝－

(a－2)2＋2，∵－

＜0，∴當(dāng)a＝2時(shí)，S有最大值，此時(shí)S＝2；由二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)a＝1或a＝3時(shí)，S有最小值，此時(shí)S＝－

(1－2)2＋2＝

，

∴S的取值范圍是

≤S≤2.2．1變?cè)O(shè)問(wèn)——求兩函數(shù)交點(diǎn)與原點(diǎn)形成的三角形的面積如圖，一次函數(shù)y＝－x＋b與反比例函數(shù)y＝

(x＞0)的圖象交于點(diǎn)A(m，3)和B(3，1)．連接OA，OB，求S△OAB；子題2.1圖解：將點(diǎn)B(3，1)分別代入y＝－x＋b與y＝

(x>0)，解得b＝4，k＝3，則一次函數(shù)的解析式為y＝－x＋4，反比例函數(shù)的解析式為y＝

(x＞0).把點(diǎn)A(m，3)代入y＝

，得3＝

，∴m＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3).如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥y軸于點(diǎn)C，

過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，易得四邊形OCED為正方形，∴S△OAB＝S正方形OCED－S△ACO－S△OBD－S△ABE，即S△OAB＝3×3－

×1×3－

×3×1－

×2×2＝4；EDC子題2.1圖∟∟∟2．2變?cè)O(shè)問(wèn)——證明線(xiàn)段相等如圖，一次函數(shù)y＝－x＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝

(x＞0)的圖象交于A(yíng)(m，3)，B(3，1)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D.證明：BC＝AD.子題2.2圖證明：將點(diǎn)B(3，1)分別代入y＝－x＋b與y＝

(x>0)，解得

b＝4，

k＝3，則一次函數(shù)的解析式為y＝－x＋4，反比例函數(shù)的解析式為y＝

(x＞0).把點(diǎn)A(m，3)代入y＝

，得3＝

，∴m＝1，子題2.2圖∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，3).∵C(0，4)，D(4，0)，∴OC＝OD＝4，∵點(diǎn)A(1，3)，B(3，1)，∴AC＝

＝

，BD＝

＝

，∴AC＝BD，∵BC＝AC＋AB，AD＝BD＋AB，∴BC＝AD.3命題點(diǎn)反比例函數(shù)與尺規(guī)作圖結(jié)合2022.183.(2022河南18題9分)如圖，反比例函數(shù)y＝

(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，4)和點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)A的下方，AC平分∠OAB，交x軸于點(diǎn)C．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；第3題圖(1)解：∵反比例函數(shù)y＝

(x＞0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，4)，∴k＝2×4＝8，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝

；(4分)(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)；(要求：不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖)(3)線(xiàn)段OA與(2)中所作的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn)D，連接CD.求證：CD∥AB.(2)解：如解圖，直線(xiàn)m即為所求；(6分)第3題解圖(3)證明：如解圖，∵AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠BAC.∵AC的垂直平分線(xiàn)交OA于點(diǎn)D，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠BAC，∴CD∥AB.(9分)第3題圖m3．1變?cè)O(shè)問(wèn)——證明特殊四邊形若(2)中所作的垂直平分線(xiàn)恰好過(guò)點(diǎn)B，且交線(xiàn)段OA于點(diǎn)D，連接CD，CB.求證：四邊形ABCD為菱形．證明：如解圖，記AC的垂直平分線(xiàn)交AC于點(diǎn)E，∵AC的垂直平分線(xiàn)恰好過(guò)點(diǎn)B，交OA于點(diǎn)D，子題3.1解圖∴AD＝CD，AB＝BC，∠AED＝∠AEB＝90°，∵AC平分∠OAB，∴∠DAE＝∠BAE，m在△ADE和△ABE中，子題3.1解圖∴△ADE≌△ABE(ASA)，∴AD＝AB，∴AD＝CD＝AB＝BC，

∴四邊形ABCD為菱形．4命題點(diǎn)反比例函數(shù)與陰影部分面積計(jì)算結(jié)合2023.194.(2023河南19題9分)小軍借助反比例函數(shù)圖象設(shè)計(jì)“魚(yú)形”圖案，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以反比例函數(shù)y＝

圖象上的點(diǎn)A(，1)和點(diǎn)B為頂點(diǎn)，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點(diǎn)D，E在x軸上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作

，連接BF.(1