北師大版初中九年級數(shù)學(xué)上冊第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程課件

第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1用公式法解一元二次方程1.(2023臺灣省中考)利用公式法解一元二次方程3x2-11x-1=0

可得兩根為a、b,且a>b,則a的值為

(

)A.

B.

C.

D.

D解析

3x2-11x-1=0,a=3,b=-11,c=-1,∴Δ=(-11)2-4×3×(-1)=133>0,∴x=

=

,∵一元二次方程3x2-11x-1=0的兩根為a、b,且a>b,∴a的值為

.故選D.2.利用求根公式求方程3x2-4=5x的根時,將方程化為一般形

式,得

.所以a=

,b=

,c=

,b2-4ac=

.

所以x=

=

.3x2-5x-4=03-5-473

3.(教材變式·P42例題)用公式法解下列方程.(1)x2-x-7=0.

(2)3x2-2x=1.(3)(3x-2)(x+2)=28.解析

(1)∵a=1,b=-1,c=-7,∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-7)=29>0,∴x=

,∴x1=

,x2=

.(2)整理,得3x2-2x-1=0,∴a=3,b=-2,c=-1,∴b2-4ac=(-2)2-4×3×(-1)=4+12=16>0,∴x=

=

,∴x1=1,x2=-

.(3)整理,得3x2+4x-32=0,∴a=3,b=4,c=-32,∴b2-4ac=16-4×3×(-32)=400,∴x=

=

,∴x1=-4,x2=

.知識點2一元二次方程根的判別式4.(2023河南中考)關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情

況是

(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根A解析∵Δ=m2-4×1×(-8)=m2+32>0,∴方程有兩個不相等的實

數(shù)根.故選A.5.(2023山東聊城中考)若關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+1=0

有實數(shù)解,則m的取值范圍是

(

)A.m≥-1

B.m≤1C.m≥-1且m≠0

D.m≤1且m≠0D解析

∵關(guān)于x的一元二次方程mx2+2x+1=0有實數(shù)解,∴Δ=22-4m≥0,且m≠0,解得m≤1且m≠0,故選D.6.(2023上海中考)已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1=0沒

有實數(shù)根,那么a的取值范圍是

.a>9解析

∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+6x+1=0沒有實數(shù)根,∴Δ

<0,且a≠0,即62-4a<0,且a≠0,解得a>9.7.(易錯題)(2023湖北荊州中考)已知關(guān)于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有兩個不相等的實數(shù)根.(1)求k的取值范圍.(2)當(dāng)k=1時,用配方法解方程.易錯警示

易忽略二次項系數(shù)不為0的前提條件.解析

(1)∵關(guān)于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有兩個

不相等的實數(shù)根,∴Δ=[-(2k+4)]2-4k(k-6)>0,且k≠0,解得k>-

且k≠0.(2)當(dāng)k=1時,原方程為x2-(2×1+4)x+1-6=0,即x2-6x-5=0,移項得x2-6x=5,配方得x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14,所以x-3=±

,解得x1=3+

,x2=3-

.能力提升全練8.(2023四川廣安中考,6,★★☆)已知a、b、c為常數(shù),點P(a,c)

在第四象限,則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的根的情況是(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法判斷A解析∵點P(a,c)在第四象限,∴a>0,c<0,∴ac<0,方程ax2+bx

+c=0是一元二次方程,∴Δ=b2-4ac>0,∴方程ax2+bx+c=0有兩

個不相等的實數(shù)根.故選A.9.(新考向·新定義試題)(2023四川內(nèi)江中考,11,★★☆)對于實數(shù)a,b定義運算“

”為ab=b2-ab,例如:32=22-3×2=-2,則關(guān)于x的方程(k-3)

x=k-1的根的情況,下列說法正確的是

(

)A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定A解析∵(k-3)

x=k-1,∴x2-(k-3)x=k-1,∴x2-(k-3)x-k+1=0,∴Δ=[-(k-3)]2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0,∴關(guān)于x的方程(k-3)

x=k-1有兩個不相等的實數(shù)根.故選A.方法解讀根據(jù)運算“”的定義將方程(k-3)x=k-1轉(zhuǎn)化

為一般式,由根的判別式Δ=(k-1)2+4>0,即可得出該方程有兩

個不相等的實數(shù)根.10.(2024廣東廣州越秀月考改編,10,★★★)若關(guān)于x的方程x2

-(2k-2)x+k2-1=0有兩個實數(shù)根,則

-(

)2的化簡結(jié)果是

(

)A.-1

B.1

C.-1-2k

D.2k-3A解析∵關(guān)于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有兩個實數(shù)根,∴Δ=[-(2k-2)]2-4×1×(k2-1)≥0,整理得-8k+8≥0,∴k≤1,∴k-1≤0,2-k>0,∴

-(

)2=-(k-1)-(2-k)=-1.故選A.11.(2024河南新蔡期中,13,★★☆)在實數(shù)范圍內(nèi)定義運算

“☆”和“★”,其規(guī)則為a☆b=a2+b2,a★b=

,則方程1☆x=x★6的解為

.x1=

,x2=

解析∵a☆b=a2+b2,a★b=

,∴1☆x=12+x2,x★6=

=3x,∵1☆x=x★6,∴12+x2=3x,則x2-3x+1=0,利用公式法可以求得x1=

,x2=

.

12.(2024江蘇宿遷泗陽期中,20,★★☆)關(guān)于x的方程2x2+(m+

2)x+m=0.(1)求證:無論m取何值,方程總有兩個實數(shù)根.(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根,請求出m的值,并求出此時方

程的根.解析

(1)證明:Δ=(m+2)2-4×2×m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0,∴無論m取何值,方程總有兩個實數(shù)根.(2)∵方程有兩個相等的實數(shù)根,∴Δ=(m-2)2=0,解得m1=m2=2,當(dāng)m=2時,方程為2x2+4x+2=0.解得x1=x2=-1.素養(yǎng)探究全練13.(運算能力)(新考向·開放型試題)(2023浙江杭州中考)設(shè)關(guān)

于x的一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四組條件中選擇其

中一組b,c的值,使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根,并解這

個方程.①b=2,c=1;②b=3,c=1;③b=3,c=-1;④b=2,c=2.解析∵這個方程有兩個不相等的實數(shù)根,a=1,∴b2-4ac>0,

即b2>4c,∴②③均可,從②③中選一組,并解方程即可.若選②,則這個方程為x2+3x+1=0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.若選③,則這個方程為x2+3x-1=0,∴x=

=

,∴x1=

,x2=

.14.(應(yīng)用意識)在一塊長16m,寬12m的矩形荒地上,要建造一

個花園,要求花園面積是荒地面積的一半,下面分別是小華與

小芳的設(shè)計方案.

(1)同學(xué)們都認為小華的方案是正確的,但對小芳的方案是否

符合條件有不同意見,你認為小芳的方案符合條件嗎?若不

符合,請用方程的方法說明理由.(2)你還有其他的設(shè)計方案嗎?請在圖3中畫出你所設(shè)計的草

圖,將花園部分涂上陰影,并加以說明.

解析

(1)不符合.理由:設(shè)小路寬度均為xm,根據(jù)題意得(1