高中數(shù)學(xué)選擇性必修二綜合檢測試卷二(人教A版)

綜合檢測試卷二一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1.已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝6，a7＝11，則S9等于A.45 B.54 C.63 D.72123456789101112131415161718192122√20解析由等差數(shù)列性質(zhì)可得，a2＋a4＝2a3，則a3＝3.1234567891011121314151617181921222.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋b，若f′(－1)＝3，則a的值為√20解析∵

f′(x)＝3ax2，∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1.123456789101112131415161718192122√2012345678910111213141516171819212220解析公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a4＝2(a2＋a3)，由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知a2＋a3＝a1＋a4，則a4＝2(a1＋a4)，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，可知S7＝7a4，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a4)，4.函數(shù)f(x)＝ex－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[－1,1]上的最大值是123456789101112131415161718192122解析f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.√20所以f(x)max＝f(1)＝e－1.A.1013 B.1035

C.2037 D.2059√12345678910111213141516171819212220解析∵an＋Sn＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＋Sn－1＝1，∴an＋Sn－(an－1＋Sn－1)＝0，123456789101112131415161718192122206.已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)RO.它指的是，在自然情況下(沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力)，一個(gè)感染到某種傳染病的人，會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡單計(jì)算公式是：RO＝1＋確認(rèn)病例增長率×系列間隔，其中系列間隔是指在一個(gè)傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間(單位：天).根據(jù)統(tǒng)計(jì)，確認(rèn)病例的平均增長率為40%，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)為5天，根據(jù)以上RO數(shù)據(jù)計(jì)算，若甲得這種傳染病，則5輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為A.81 B.243 C.248 D.363√123456789101112131415161718192122206.已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)RO.它指的是，在自然情況下(沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力)，一個(gè)感染到某種傳染病的人，會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡單計(jì)算公式是：RO＝1＋確認(rèn)病例增長率×系列間隔，其中系列間隔是指在一個(gè)傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間(單位：天).根據(jù)統(tǒng)計(jì)，確認(rèn)病例的平均增長率為40%，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)為5天，根據(jù)以上RO數(shù)據(jù)計(jì)算，若甲得這種傳染病，則5輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為A.81 B.243 C.248 D.363√12345678910111213141516171819212220解析記第1輪感染人數(shù)為a1，第2輪感染人數(shù)為a2，…，第n輪感染人數(shù)為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為q＝RO，由題意RO＝1＋40%×5＝3，即q＝3，所以a1＝3，a2＝9，a3＝27，a4＝81，a5＝243，總?cè)藬?shù)為S5＝3＋9＋27＋81＋243＝363.123456789101112131415161718192122201234567891011121314151617181921227.對任意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是A.0≤a≤21 B.a＝0或a＝7C.a<0或a>21 D.a＝0或a＝21√20解析f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)相應(yīng)一元二次方程的根的判別式Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)，f′(x)≥0恒成立，此時(shí)函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn).故選A.1234567891011121314151617181921228.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)－f(x)<－1，且f(x＋2)為偶函數(shù)，f(4)＝2，則不等式f(x)<ex＋1的解集是A.(0，＋∞) B.(－∞，－1)C.(－∞，0) D.(1，＋∞)√20解析∵y＝f(x＋2)為偶函數(shù)，∴y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于x＝0對稱，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于x＝2對稱，∴f(4)＝f(0)，又∵f(4)＝2，∴f(0)＝2，12345678910111213141516171819212220∵f′(x)－f(x)<－1，∴f′(x)－f(x)＋1<0，∴g′(x)<0，∴y＝g(x)在定義域R上單調(diào)遞減，∵f(x)<ex＋1等價(jià)于g(x)<1.12345678910111213141516171819212220∴不等式f(x)<ex＋1的解集等于g(x)<g(0)的解集，又∵g(x)在R上單調(diào)遞減，∴x>0，∴f(x)<ex＋1的解集為(0，＋∞).12345678910111213141516171819212220∴不等式f(x)<ex＋1的解集等于g(x)<g(0)的解集，又∵g(x)在R上單調(diào)遞減，∴x>0，∴f(x)<ex＋1的解集為(0，＋∞).123456789101112131415161718192122二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分)9.在遞增的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，則下列說法正確的是A.q＝1

B.數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C.S8＝510

D.數(shù)列{lgan}是公差為lg2的等差數(shù)列√√20√123456789101112131415161718192122解析由題意，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2＋a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可知a2，a3是一元二次方程x2－12x＋32＝0的兩個(gè)根.解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4.20∵等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，∴q＞1.∴a2＝4，a3＝8滿足題意.12345678910111213141516171819212220an＝a1·qn－1＝2n.∴Sn＋2＝2n＋1＝4·2n－1.∴數(shù)列{Sn＋2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故選項(xiàng)B正確.S8＝28＋1－2＝512－2＝510.故選項(xiàng)C正確.∵lgan＝lg2n＝nlg2.∴數(shù)列{lgan}是公差為lg2的等差數(shù)列.故選項(xiàng)D正確.10.對于函數(shù)f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列說法正確的是A.x＝3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，(2，＋∞)C.f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減D.直線y＝16ln3－16與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)123456789101112131415161718192122√√20√令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1，x＝3，則f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，∴x＝3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，故AC正確，B錯(cuò)誤；∵f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln4－21，又y＝16ln3－16＝f(2)，根據(jù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減得f(1)>f(2)>f(3)，即16ln3－16<16ln2－9,16ln3－16>16ln4－21，∴直線y＝16ln3－16與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故D正確.12345678910111213141516171819212220√√11.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則12345678910111213141516171819212220√所以a9<0，且d<0，B正確.因?yàn)閐<0，所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.所以a1，…，a8為正，a9，…，an為負(fù)，且S1，…，S15為正，S16，…，Sn為負(fù)，12345678910111213141516171819212220當(dāng)n≤8時(shí)，Sn單調(diào)遞增，an單調(diào)遞減，12345678910111213141516171819212220123456789101112131415161718192122√√20√12345678910111213141516171819212220當(dāng)f′(x)>0時(shí)，－1<x<2，當(dāng)f′(x)<0時(shí)，x<－1或x>2，(－∞，－1)，(2，＋∞)是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，(－1,2)是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以f(－1)是函數(shù)的極小值，f(2)是函數(shù)的極大值，所以B正確；12345678910111213141516171819212220C項(xiàng)，當(dāng)x趨向于＋∞時(shí)，y趨向于0，根據(jù)B項(xiàng)可知，函數(shù)的最小值是f(－1)＝－e，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)－e<k<0時(shí)，方程f(x)＝k有且只有兩個(gè)實(shí)根，所以C正確；D項(xiàng)，由圖象可知，t的最大值是2，所以不正確.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a4＝4，則a7＝___.812345678910111213141516171819212220解析由a4＝a1q3，得q3＝2，∴a7＝a1q6＝a1(q3)2＝8.14.已知不等式ex－1≥kx＋lnx，對于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，則k的最大值為________.12345678910111213141516171819212220e－112345678910111213141516171819212220當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝1時(shí)，h(x)取到最小值e－1，故k的最大值為e－1.1234567891011121314151617181921222015.已知f(x)＝2x3－6x2＋a(a為常數(shù))在[－2,2]上有最小值3，則f(x)在[－2,2]上的最大值為_____.4312345678910111213141516171819212220解析因?yàn)閒(x)＝2x3－6x2＋a，所以f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(－2,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值為f(0)＝a，又f(－2)＝－40＋a，f(2)＝－8＋a，因?yàn)?－8＋a)－(－40＋a)＝32>0，所以－40＋a<－8＋a，所以f(x)在[－2,2]上的最小值為f(－2)＝－40＋a＝3，所以a＝43，所以f(x)的最大值為f(0)＝43.12345678910111213141516171819212220Sn＝2n＋2－4解析∵

等比數(shù)列{an}的第三項(xiàng)、第五項(xiàng)、第七項(xiàng)的積為512，由題意得a3－1＋a7－9＝2(a5－3)，即a3＋a7＝20，12345678910111213141516171819212220四、解答題(本大題共6小題，共70分)17.(10分)已知{an}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足b1＝1，b2＝3，anbn＋bn＝nbn＋1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；12345678910111213141516171819212220解由已知b1＝1，b2＝3，a1b1＋b1＝b2，得a1＝2，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1(n∈N*).(2)求{bn}的前n項(xiàng)和.12345678910111213141516171819212220解由(1)知，(3n－1)bn＋bn＝nbn＋1，即bn＋1＝3bn，∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，18.(12分)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，且f′(－1)＝f′(3)＝0.(1)求a－b的值；12345678910111213141516171819212220解因?yàn)閒(x)＝－x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因?yàn)閒′(－1)＝f′(3)＝0，12345678910111213141516171819212220所以a－b＝3－9＝－6.(2)若函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值為20，求函數(shù)f(x)在[－1,4]上的最小值.12345678910111213141516171819212220解由(1)可知f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋c，則f′(x)＝－3x2＋6x＋9，令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝3，f′(x)和f(x)隨x的變化情況如下表：12345678910111213141516171819212220x－2(－2，－1)－1(－1,2)2f′(x)

－0＋

f(x)c＋2↘極小值↗c＋22因?yàn)閒(－2)＝c＋2，f(2)＝c＋22，所以函數(shù)f(x)在[－2,2]上的最大值為f(2)＝c＋22，所以c＋22＝20，解得c＝－2，所以f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，綜上可知f(x)在[－1,3]上單調(diào)遞增，在[3,4]上單調(diào)遞減；又因?yàn)閒(－1)＝1＋3－9－2＝－7，f(4)＝－64＋48＋36－2＝18，所以函數(shù)f(x)在[－1,4]上的最小值為－7.1234567891011121314151617181921222012345678910111213141516171819212219.已知{an}為等差數(shù)列，各項(xiàng)為正的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,2a1＝b1＝2，a2＋a8＝10，______.在①λSn＝bn－1；②a4＝S3－2S2＋S1；③bn＝

這三個(gè)條件中任選其中一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上，并完成下面問題的解答(如果選擇多個(gè)條件解答，則以選擇第一個(gè)解答記分)．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.20123456789101112131415161718192122解選①：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴2a1＋8d＝10，∴a1＝1，d＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，由b1＝2，λSn＝bn－1，20當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝2(bn－1)－2(bn－1－1)，即bn＝2bn－1，所以{bn}是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴bn＝2×2n－1＝2n.123456789101112131415161718192122(2)由(1)知an·bn＝n·2n，∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，

①2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，

②20∴Tn＝(n－1)×2n＋1＋2.選②：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，12345678910111213141516171819212220∴2a1＋8d＝10，∴a1＝1，d＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∴a4＝4，設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)，∵a4＝S3－2S2＋S1，∴a4＝(S3－S2)－(S2－S1)＝b3－b2＝b1q2－b1q，又∵a4＝4，b1＝2，∴q2－q－2＝0，解得q＝2，或q＝－1(舍)，∴bn＝2×2n－1＝2n.12345678910111213141516171819212220(2)解法同選①的第(2)問解法相同．選③：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵2a1＝2，a2＋a8＝10，∴2a1＋8d＝10，∴a1＝1，d＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∵bn＝

a1＝1，b1＝2，令n＝1，得b1＝

即2＝2λ，∴λ＝1，∴bn＝

∴bn＝2n.(2)解法同選①的第(2)問解法相同．1234567891011121314151617181920212220.(12分)某商場銷售某件商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝

＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.(1)求實(shí)數(shù)a的值；解∵x＝5時(shí)，y＝11，12345678910111213141516171819202122(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，并求出最大值.12345678910111213141516171819202122∴商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4，當(dāng)3<x<4時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(3,4)上單調(diào)遞增；當(dāng)4<x<6時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(4,6)上單調(diào)遞減；∴當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(4)＝42.∴當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.12345678910111213141516171819212221.(12分)在等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a5＝9，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a2，b2＝a5.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；20123456789101112131415161718192122解在等差數(shù)列{an}中，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d.由a2＝3，a5＝9，20所以an＝2n－1.又設(shè){bn}的公比為q，由b1＝a2＝3，b2＝a5＝9，得q＝3，所以bn＝3n.123456789101112131415161718192122(2)若cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.20123456789101112131415161718192122解cn＝anbn＝(2n－1)·3n，Tn＝3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)×3n，

①3Tn＝32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－3)×3n＋(2n－1)×3n＋1，

②由①－②得－2Tn＝3＋2(32＋33＋34＋…＋3n)－(2n－1)×3n＋1

20＝－6＋2(1－n)×3n＋1，所以Tn＝3＋(n－1)·3n＋1.1234567891011121314151617181921222022.(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(e，f(e))處的切線方程；解當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝