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文檔簡介
第五章 5.1.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義
第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)的概念1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求根據(jù)具體的實(shí)例得到導(dǎo)數(shù)的概念,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.平均變化率對于函數(shù)y=f(x),從x1到x2的平均變化率:(1)自變量的改變量:Δx=____________.(2)函數(shù)值的改變量:Δy=______________.x2-x1f(x2)-f(x1)2.導(dǎo)數(shù)的概念1.思考辨析,判斷正誤×(1)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在區(qū)間[x0,x0+Δx]上變化的快慢程度.(
)提示
導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化的快慢程度,非在某區(qū)間上的.(2)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值與Δx的正、負(fù)無關(guān).(
)√√2.設(shè)函數(shù)y=f(x)=x2-1,當(dāng)自變量x由1變?yōu)?.1時(shí),函數(shù)的平均變化率為(
) A.2.1 B.1.1 C.2 D.0ACC4.設(shè)f(x)=2x+1,則f′(1)=________.2課堂互動題型剖析2題型一求函數(shù)的平均變化率【例1】
已知函數(shù)h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)計(jì)算從x=1到x=1+Δx的平均變化率,其中Δx的值為①2;②1;③0.1;
④0.01.解∵Δy=h(1+Δx)-h(huán)(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算,當(dāng)Δx越來越小時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,1+Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢?解當(dāng)Δx越來越小時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,1+Δx]上的平均變化率逐漸變大,并接近于-3.3.思維升華思維升華【訓(xùn)練1】
函數(shù)y=x2從x0到x0+Δx(Δx>0)的平均變化率為k1,從x0-Δx到x0的平均變化率為k2,則k1與k2的大小關(guān)系是(
) A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.k1與k2的大小關(guān)系不確定解析∵函數(shù)y=f(x)=x2從x0到x0+Δx的改變量為Δy1=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-
=Δx(2x0+Δx),∵函數(shù)y=f(x)=x2從x0-Δx到x0的改變量為Δy2=f(x0)-f(x0-Δx)=
-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx),∵k1-k2=2Δx,而Δx>0,∴k1>k2.A題型二導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用思維升華【例3】
已知f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)=k,求下列各式的值:題型三導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用思維升華CB課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3
一、選擇題1.如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均變化率是(
)BA.1
B.-1 C.2
D.-22.設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處附近有定義,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b為常數(shù)),則(
) A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=bCDCC二、填空題(Δx)2+6Δx+127.已知函數(shù)y=f(x)=2x2+1在x=x0處的瞬時(shí)變化率為-8,則f(x0)=________.9得x0=-2,所以f(x0)=2×(-2)2+1=9.-1三、解答題9.一條水管中流過的水量y(單位:m3)與時(shí)間t(單位:s)之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(t)=3t.求函數(shù)y=f(t)在t=2處的導(dǎo)數(shù)f′(2),并解釋它的實(shí)際意義.f′(2)的實(shí)際意義:水流在t=2時(shí)的瞬時(shí)流速為3m3/s.(2)∵Δy=[(x+Δx)2+a(x+Δx)+b]-(x2+ax+b)=2x·Δx+(Δx)2+a·Δx=(2x+a)·Δx+(Δx)2,AD解析
由導(dǎo)數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)與x0有關(guān),與h無關(guān),故選AD.12.過曲線y=x2+1上兩點(diǎn)P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲線的割線,當(dāng)Δx=0.1時(shí),割線的斜率k=________,當(dāng)Δx=0.001時(shí),割線的斜率k=________.2.12.001解析
∵Δy=(1+Δx)2+1-(12+1)=2Δx+(Δx)2,∴割線斜率為2+Δx.當(dāng)Δx=0.1時(shí),割線PQ的斜率k=2+0.1=2.1.當(dāng)Δx=0.001時(shí),割線PQ的斜率k=2+0.001=2.001.13.巍巍泰山為我國的五岳之首,有“天下第一山”之美譽(yù),登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八,慢十八,不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受,下面是一段登山路線圖.同樣是登山,但是從A處到B處會感覺比較輕松,而從B處到C處感覺比較吃力.想想看,為什么?你能用數(shù)學(xué)語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎?解
山路從A到B高度的平均變化率為山路從B到C高度的平均變化率為∵h(yuǎn)BC>hAB,∴山路從B到C比從A到B要陡峭的多.2備用工具&資料13.巍巍泰山為我國的五岳之首,有“天下第一山”之美譽(yù),登泰山在當(dāng)?shù)赜小熬o十八,慢十八,不緊不慢又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受,下面是一段登山路線圖.同樣是登山,但是從A處到B處會感覺比較輕松,而從B處到C處感覺比較吃力.想想看,為什么?你能用數(shù)學(xué)語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎?解
山路從A到B高度的平均變化率為山路從B到C高度的平均變化率為∵h(yuǎn)BC>hAB,∴山路從B到C比從A到B要陡峭的多.AD解析
由導(dǎo)數(shù)的定義可知,函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)與x0有關(guān),與h無關(guān),故選AD.題型二導(dǎo)數(shù)定義的直接應(yīng)用題型一求函數(shù)的平均變化率【例1】
已知函數(shù)h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)計(jì)算從x=1到x=1+Δx的平均變化率,其中Δx的值為①2;②1;③0.1;
④0.01.解∵Δy=h(1+Δx)-h(huán)(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx,課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引1.
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