高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題6.2平面向量的基本定理及坐標表示(知識點講解)(原卷版+解析)

專題6.2平面向量的基本定理及坐標表示（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.與向量線性運算相結(jié)合，考查平面向量基本定理、數(shù)量積、向量的夾角、模的計算，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標表示相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積、向量的夾角、模的計算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3．以平面圖形為載體，考查向量數(shù)量積的應用，凸顯數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（二）平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（三）平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0.（四）平面向量數(shù)量積的坐標表示設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))（五）平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標表示設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積等于__它們對應坐標的乘積的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__兩個向量垂直a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__提醒：a∥b與a⊥b所滿足的坐標關系不同．a(chǎn)∥b?x1y2＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.（六）常用結(jié)論1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))【?？碱}型剖析】題型一：平面向量基本定理的應用例1.(2023·四川·高考真題（理））設四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．6例2．(2023·天津·高考真題（文））在中，，，.若，，且，則的值為______________.【總結(jié)提升】平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．題型二：平面向量的坐標運算例3.(2023·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5例4.(2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6例5.(2023·全國·專題練習）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2例6.(2023·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點．若，則點的橫坐標為________．【總結(jié)提升】平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．題型三：平面向量共線的坐標表示例7.（2023·全國·高考真題（文））已知向量，若，則_________．例8．（2023·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高三階段練習）已知，，.(1)若，求D點的坐標；(2)設向量，，若與平行，求實數(shù)k的值.【總結(jié)提升】平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若，則的充要條件是”解題比較方便．題型四：平面向量數(shù)量積的運算例9.【多選題】（2023·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．例10.（2023·天津·高考真題（文））在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.例11．（2023·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．【總結(jié)提升】1.計算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進而求解．(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行求解．2.總結(jié)提升：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知兩向量的坐標，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．題型五：平面向量的模、夾角例12．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學模擬預測（理））已知向量，，，則（

）A．6 B．5 C．8 D．7例13.(2023·浙江高考真題）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?A．3?1B．3+1例14.（2023·湖南·高考真題）已知向量，，則___________例15.（2023·全國·高考真題（文））已知向量，則___________.例16.(2023·山東·高考真題（理））已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是__．【總結(jié)提升】1.求向量夾角問題的方法(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系；(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝eq\r(x2＋y2).②若向量a，b是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解．(2)求向量模的最值(范圍)的方法①代數(shù)法：把所求的模表示成某個變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解．②幾何法(數(shù)形結(jié)合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動點表示的圖形求解．題型六：兩個向量垂直問題例17．(2023·全國·高考真題（理））已知向量，且，則m=（）A．?8 B．?6C．6 D．8例18．(2023·全國·高考真題（文））已知向量．若，則______________．例19．(2023·全國·高三專題練習）已知是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是_________．例20．（2023·全國高考真題（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.【規(guī)律方法】1．利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個向量的垂直關系，求解相關參數(shù)的值（涉及向量垂直問題為高頻考點）根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數(shù)．3.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標表示如下：a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．兩個結(jié)論不能混淆，可以對比學習，分別簡記為：縱橫交錯積相等，橫橫縱縱積相反．專題6.2平面向量的基本定理及坐標表示（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1.與向量線性運算相結(jié)合，考查平面向量基本定理、數(shù)量積、向量的夾角、模的計算，凸顯數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．與向量的坐標表示相結(jié)合，考查向量的數(shù)量積、向量的夾角、模的計算，凸顯數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．3．以平面圖形為載體，考查向量數(shù)量積的應用，凸顯數(shù)學運算、數(shù)學建模、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識點展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（二）平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up7(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（三）平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0，a，b共線?x1y2－x2y1＝0.（四）平面向量數(shù)量積的坐標表示設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))（五）平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標表示設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).數(shù)量積兩個向量的數(shù)量積等于__它們對應坐標的乘積的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__兩個向量垂直a⊥b?__x1x2＋y1y2＝0__提醒：a∥b與a⊥b所滿足的坐標關系不同．a(chǎn)∥b?x1y2＝x2y1；a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.（六）常用結(jié)論1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).3．已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3)))【常考題型剖析】題型一：平面向量基本定理的應用例1.(2023·四川·高考真題（理））設四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點M，N滿足，則（）A．20 B．15 C．9 D．6答案：C【解析】分析：根據(jù)圖形得出,,,結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】因為四邊形ABCD為平行四邊形,點M、N滿足,根據(jù)圖形可得:,,,,,,，，故選C.例2．(2023·天津·高考真題（文））在中，，，.若，，且，則的值為______________.答案：【解析】【詳解】,則.【總結(jié)提升】平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．題型二：平面向量的坐標運算例3.(2023·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：D【解析】分析：先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D例4.(2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6答案：C【解析】分析：利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C例5.(2023·全國·專題練習）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若=+，則+的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2答案：A【解析】【詳解】如圖所示，建立平面直角坐標系.設,易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿足，則，，所以，設，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.例6.(2023·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點．若，則點的橫坐標為________．答案：3【解析】【詳解】分析：先根據(jù)條件確定圓方程，再利用方程組解出交點坐標，最后根據(jù)平面向量的數(shù)量積求結(jié)果.詳解：設，則由圓心為中點得易得，與聯(lián)立解得點的橫坐標所以.所以，由得或，因為，所以【總結(jié)提升】平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．要注意點的坐標和向量的坐標之間的關系，一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解．題型三：平面向量共線的坐標表示例7.（2023·全國·高考真題（文））已知向量，若，則_________．答案：【解析】分析：利用向量平行的充分必要條件得到關于的方程，解方程即可求得實數(shù)的值.【詳解】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.故答案為：.例8．（2023·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高三階段練習）已知，，.(1)若，求D點的坐標；(2)設向量，，若與平行，求實數(shù)k的值.答案：(1)(2)【解析】分析：（1）根據(jù)題意設，寫出的坐標，根據(jù)向量相等的坐標關系求解；（2）直接根據(jù)向量共線的坐標公式求解即可.(1)設，又因為，所以，因為，所以，得，所以.(2)由題意得，，，所以，，因為與平行，所以，解得.所以實數(shù)的值為.【總結(jié)提升】平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(2)利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若，則的充要條件是”解題比較方便．題型四：平面向量數(shù)量積的運算例9.【多選題】（2023·全國·高考真題）已知為坐標原點，點，，，，則（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】分析：A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標，應用向量數(shù)量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；故選：AC例10.（2023·天津·高考真題（文））在四邊形中，，，，，點在線段的延長線上，且，則__________.答案：.【解析】分析：建立坐標系利用向量的坐標運算分別寫出向量而求解．【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，則，．因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為．由得，，所以．所以．例11．（2023·北京·高考真題）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．答案：

【解析】分析：以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求得點的坐標，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得以及的值.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，，則點，，，因此，，.故答案為：；.【總結(jié)提升】1.計算向量數(shù)量積的三種常用方法(1)定義法：已知向量的模與夾角時，可直接使用數(shù)量積的定義求解，即a·b＝|a||b|cosθ(θ是a與b的夾角)．(2)基向量法：計算由基底表示的向量的數(shù)量積時，應用相應運算律，最終轉(zhuǎn)化為基向量的數(shù)量積，進而求解．(3)坐標法：若向量選擇坐標形式，則向量的數(shù)量積可應用坐標的運算形式進行求解．2.總結(jié)提升：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos<a，b>求解；若已知兩向量的坐標，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．題型五：平面向量的模、夾角例12．(2023·四川省內(nèi)江市第六中學模擬預測（理））已知向量，，，則（

）A．6 B．5 C．8 D．7答案：D【解析】分析：先求出，再將兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運算，即可求得答案.【詳解】由得：，由得，即得，故選：D例13.(2023·浙江高考真題）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?A．3?1B．3+1答案：A【解析】設a=(x,y),則由a,e=由b2?4因此|a?b|的最小值為圓心(2,0)到直線y=±3【思路點撥】先確定向量a,例14.（2023·湖南·高考真題）已知向量，，則___________答案：分析：利用向量模的坐標表示，即可求解.【詳解】，所以.故答案為：例15.（2023·全國·高考真題（文））已知向量，則___________.答案：【解析】分析：根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】．例16.(2023·山東·高考真題（理））已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實數(shù)λ的值是__．答案：【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．【詳解】解：由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【總結(jié)提升】1.求向量夾角問題的方法(1)當a，b是非坐標形式時，求a與b的夾角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它們之間的關系；(2)若已知a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)，則cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).提醒：〈a，b〉∈[0，π]．2．平面向量模問題的類型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向